Motivación teórica de la relatividad general

Se puede obtener una motivación teórica para la relatividad general , incluida la motivación para la ecuación geodésica y la ecuación de campo de Einstein , a partir de la relatividad especial examinando la dinámica de partículas en órbitas circulares alrededor de la Tierra. Una ventaja clave al examinar las órbitas circulares es que es posible conocer la solución de la ecuación de campo de Einstein a priori . Esto proporciona un medio para informar y verificar el formalismo.

La relatividad general aborda dos cuestiones:

1. ¿Cómo afecta la curvatura del espacio-tiempo al movimiento de la materia ?
2. ¿Cómo afecta la presencia de materia a la curvatura del espacio-tiempo?

La primera pregunta se responde con la ecuación geodésica. La segunda pregunta se responde con la ecuación de campo de Einstein. La ecuación geodésica y la ecuación de campo están relacionadas a través de un principio de mínima acción . La motivación para la ecuación geodésica se proporciona en la sección Ecuación geodésica para órbitas circulares. La motivación para la ecuación de campo de Einstein se proporciona en la sección Tensor de tensión-energía.

Para mayor precisión, consideremos una órbita circular terrestre ( línea de universo helicoidal ) de una partícula. La partícula viaja con velocidad v. Un observador en la Tierra ve que la longitud se contrae en el marco de la partícula. Una vara de medir que viaja con la partícula parece más corta para el observador terrestre. Por lo tanto, la circunferencia de la órbita, que está en la dirección del movimiento, parece más larga que veces el diámetro de la órbita. ^[1]${\estilo de visualización \pi}$

En relatividad especial, la 4-velocidad propia de la partícula en el marco inercial (sin aceleración) de la Tierra es

${\displaystyle u=\left(\gamma ,\gamma {\mathbf {v} \over c}\right)}$

donde c es la velocidad de la luz , es la 3-velocidad y es${\displaystyle \mathbf {v}}$${\estilo de visualización \gamma}$

${\displaystyle \gamma ={1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}}$.

La magnitud del vector de 4 velocidades es siempre constante

${\displaystyle u_{\alpha }u^{\alpha }=-1}$

donde utilizamos una métrica de Minkowski

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$.

La magnitud de la 4-velocidad es por tanto un escalar de Lorentz .

La aceleración 4 en el marco de la Tierra (sin aceleración) es

${\displaystyle a\equiv {{du} \over {d\tau }}={d \over {d\tau }}{\left(\gamma ,\gamma {\mathbf {v} \over c}\right )}={\left(0,\gamma ^{2}{\mathbf {a} \over c^{2}}\right)}={\left(0,-\gamma ^{2}{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}{{\mathbf {r} } \over r^{2}}\right)}}$

donde c es el intervalo de tiempo propio medido en el marco de la partícula. Esto está relacionado con el intervalo de tiempo en el marco de la Tierra por${\estilo de visualización d\tau}$

${\displaystyle cdt=\gamma d\tau}$.

Aquí, la aceleración 3 para una órbita circular es

${\displaystyle \mathbf {a} =-\omega ^{2}\mathbf {r} =-{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{{\mathbf {r} } \over r^{ 2}}}$

donde es la velocidad angular de la partícula giratoria y es la posición 3 de la partícula.${\estilo de visualización \omega}$${\displaystyle \mathbf {r}}$

La magnitud de la 4-velocidad es constante. Esto implica que la 4-aceleración debe ser perpendicular a la 4-velocidad. Por lo tanto, el producto interno de la 4-aceleración y la 4-velocidad es siempre cero. El producto interno es un escalar de Lorentz .

La ecuación de la aceleración se puede generalizar, obteniéndose la ecuación geodésica

${\displaystyle {{du^{\mu }} \over {d\tau }}-a^{\mu }=0}$

${\displaystyle {{du^{\mu }} \over {d\tau }}+{R^{\mu }}_{\alpha \nu \beta }u^{\alpha }x^{\nu } u^{\beta}=0}$

donde es la posición 4 de la partícula y es el tensor de curvatura dado por${\displaystyle x^{\mu }}$${\displaystyle {R^{\mu }}_{\alpha \nu \beta }}$

${\displaystyle {R^{\mu }}_{\alpha \nu \beta }={1 \over r^{2}}\eta _{\alpha \beta }{\delta ^{\mu }}_ {\n }}$

¿Dónde está la función delta de Kronecker y tenemos las restricciones?${\displaystyle {\delta ^{\mu }}_{\nu }}$

${\displaystyle u_{\alpha }u^{\alpha }=-1}$

y

${\displaystyle a_{\alpha }u^{\alpha }=0}$.

Se puede comprobar fácilmente que las órbitas circulares satisfacen la ecuación geodésica. La ecuación geodésica es, en realidad, más general. Las órbitas circulares son una solución particular de la ecuación. Son admisibles y válidas otras soluciones distintas de las órbitas circulares.

El tensor de curvatura de Ricci es un tensor de curvatura especial dado por la contracción

${\displaystyle R_{\alpha \beta }\equiv {R^{\nu }}_{\alpha \nu \beta }}$.

La traza del tensor de Ricci, llamada curvatura escalar , es

${\displaystyle R\equiv {R^{\alpha }}_{\alpha }}$.

Consideremos la situación en la que ahora hay dos partículas en órbitas polares circulares cercanas de la Tierra con un radio y una velocidad de .${\displaystyle r}$${\displaystyle v}$

Las partículas realizan un movimiento armónico simple alrededor de la Tierra y entre sí. Se encuentran a su máxima distancia entre sí cuando cruzan el ecuador. Sus trayectorias se cruzan en los polos.

Imaginemos una nave espacial que se mueve junto con una de las partículas. El techo de la nave, la dirección, coincide con la dirección. El frente de la nave está en la dirección y la dirección está a la izquierda de la nave. La nave espacial es pequeña en comparación con el tamaño de la órbita, de modo que el marco local es un marco local de Lorentz. La separación de 4 de las dos partículas está dada por . En el marco local de la nave espacial, la ecuación geodésica está dada por${\displaystyle {\acute {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle {\acute {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle {\acute {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\acute {x}}^{\mu }}$

${\displaystyle {{d^{2}{\acute {x}}^{\mu }} \over {d\tau ^{2}}}+{\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }{\acute {u}}^{\alpha }{\acute {x}}^{\nu }{\acute {u}}^{\beta }=0}$

dónde

${\displaystyle {\acute {u}}^{\mu }={{d{\acute {x}}^{\mu }} \over {d\tau }}}$

y

${\displaystyle {\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }}$

es el tensor de curvatura en el marco local.

La ecuación de movimiento de una partícula en el espacio-tiempo plano y en ausencia de fuerzas es

${\displaystyle {{d{u}^{\mu }} \over {d\tau }}=0}$.

Si requerimos que una partícula viaje a lo largo de una geodésica en el espacio-tiempo curvo, entonces la expresión análoga en el espacio-tiempo curvo es

${\displaystyle {{D{\acute {u}}^{\mu }} \over {D\tau }}={{d{\acute {u}}^{\mu }} \over {d\tau }}+{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }{\acute {u}}^{\alpha }{\acute {u}}^{\beta }=0}$

donde la derivada de la izquierda es la derivada covariante , que es la generalización de la derivada normal a una derivada en el espacio-tiempo curvo. Aquí

${\displaystyle {\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \beta }}$

Es un símbolo de Christoffel .

La curvatura está relacionada con el símbolo de Christoffel por

${\displaystyle {\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }={{\partial {{\Gamma }^{\mu }}}_{\alpha \beta } \over {\partial x^{\nu }}}-{{\partial {{\Gamma }^{\mu }}}_{\alpha \nu } \over {\partial x^{\beta }}}+{{\Gamma }^{\mu }}_{\gamma \nu }{{\Gamma }^{\gamma }}_{\alpha \beta }-{{\Gamma }^{\mu }}_{\gamma \beta }{{\Gamma }^{\gamma }}_{\alpha \nu }}$.

El intervalo en el marco local es

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}\equiv g_{\mu \nu }d{\acute {x}}^{\mu }d{\acute {x}}^{\nu }}$

${\displaystyle =d{\acute {x}}^{2}+d{\acute {y}}^{2}+d{\acute {z}}^{2}-c^{2}d{\acute {t}}^{2}+2\gamma \cos(\theta )\cos(\phi )\,v\,d{\acute {t}}\,d{\acute {x}}+2\gamma \cos(\theta )\sin(\phi )v\,d{\acute {t}}\,d{\acute {y}}-2\gamma \sin(\theta )v\,d{\acute {t}}\,d{\acute {z}}}$

dónde

${\displaystyle \theta }$es el ángulo con el eje (longitud) y${\displaystyle z}$

${\displaystyle \phi }$es el ángulo con el eje (latitud).${\displaystyle x}$

Esto proporciona una métrica de

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&\gamma \cos(\theta )\cos(\phi ){\frac {v}{c}}&\gamma \cos(\theta )\sin(\phi ){\frac {v}{c}}&-\gamma \sin(\theta ){\frac {v}{c}}\\\gamma \cos(\theta )\cos(\phi ){\frac {v}{c}}&1&0&0\\\gamma \cos(\theta )\sin(\phi ){\frac {v}{c}}&0&1&0\\-\gamma \sin(\theta ){\frac {v}{c}}&0&0&1\end{pmatrix}}}$

en el marco local.

El inverso del tensor métrico se define de manera que${\displaystyle g^{\mu \nu }}$

${\displaystyle g_{\mu \alpha }g^{\alpha \nu }=\delta _{\mu }^{\nu }}$

donde el término de la derecha es el delta de Kronecker .

La transformación del infinitesimal 4-volumen es${\displaystyle d\Omega }$

${\displaystyle d{\acute {\Omega }}={\sqrt {-g}}d{\Omega }}$

donde g es el determinante del tensor métrico.

La diferencial del determinante del tensor métrico es

${\displaystyle dg=gg^{\mu \nu }dg_{\mu \nu }=-gg_{\mu \nu }dg^{\mu \nu }}$.

La relación entre los símbolos de Christoffel y el tensor métrico es

${\displaystyle {{\Gamma }^{\alpha }}_{\mu \nu }=g^{\alpha \beta }{\Gamma }_{\beta \mu \nu }}$

${\displaystyle {\Gamma }_{\beta \mu \nu }={\frac {1}{2}}\left({{\partial {g}}_{\beta \nu } \over {\partial x^{\mu }}}+{{\partial {g}}_{\beta \mu } \over {\partial x^{\nu }}}-{{\partial {g}}_{\mu \nu } \over {\partial x^{\beta }}}\right)}$.

El principio de mínima acción establece que la línea de universo entre dos eventos en el espacio-tiempo es aquella línea de universo que minimiza la acción entre los dos eventos. En mecánica clásica, el principio de mínima acción se utiliza para derivar las leyes de movimiento de Newton y es la base de la dinámica de Lagrange . En relatividad, se expresa como

${\displaystyle S=\int _{1}^{2}{\mathcal {L}}\,d\Omega }$

entre los eventos 1 y 2 es un mínimo. Aquí S es un escalar y

${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Se conoce como densidad lagrangiana . La densidad lagrangiana se divide en dos partes: la densidad de la partícula en órbita y la densidad del campo gravitacional generado por todas las demás partículas, incluidas las que componen la Tierra.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{e}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{e}}$.

En el espacio-tiempo curvo, la línea del universo "más corta" es aquella geodésica que minimiza la curvatura a lo largo de la geodésica. La acción es entonces proporcional a la curvatura de la línea del universo. Como S es un escalar, la curvatura escalar es la medida apropiada de la curvatura. La acción para la partícula es, por lo tanto,

${\displaystyle S_{p}=C\int _{1}^{2}{\acute {R}}\,d{\acute {\Omega }}=C\int _{1}^{2}{\acute {R}}{\sqrt {-g}}\,d{\Omega }=C\int _{1}^{2}g^{\alpha \beta }{\acute {R}}_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d{\Omega }}$

donde es una constante desconocida. Esta constante se determinará exigiendo que la teoría se reduzca a la ley de gravitación de Newton en el límite no relativista.${\displaystyle C}$

Por lo tanto, la densidad lagrangiana de la partícula es

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p}=Cg^{\alpha \beta }{\acute {R}}_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}}$.

La acción de la partícula y la Tierra es

${\displaystyle S=\int _{1}^{2}Cg^{\alpha \beta }{\acute {R}}_{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d\Omega +\int _{1}^{2}{\mathcal {L}}_{e}\,d\Omega }$.

Así, la línea del universo que se encuentra sobre la superficie de la esfera de radio r se obtiene variando el tensor métrico. La minimización y el desprecio de los términos que desaparecen en los límites, incluidos los términos de segundo orden en la derivada de g, dan como resultado

${\displaystyle 0=\delta S=\int _{1}^{2}C\left({\acute {R}}_{\alpha \beta }-{1 \over 2}{\acute {R}}g^{\alpha \beta }\right)\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d\Omega -\int _{1}^{2}{\acute {T}}_{\alpha \beta }\delta g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,d\Omega }$

donde ^[2]

${\displaystyle {\acute {T}}_{\alpha \beta }={1 \over {\sqrt {-g}}}\left({d \over {dx^{\nu }}}{{\partial {\mathcal {L}}_{e}} \over {\partial \left({{dg^{\alpha \beta }} \over {dx^{\nu }}}\right)}}-{{\partial {\mathcal {L}}_{e}} \over {\partial g^{\alpha \beta }}}\right)}$

es el tensor de tensión-energía de Hilbert del campo generado por la Tierra.

La relación, dentro de un factor constante desconocido, entre la energía de tensión y la curvatura es

${\displaystyle {\acute {T}}_{\alpha \beta }=C\left({\acute {R}}_{\alpha \beta }-{1 \over 2}{\acute {R}}\,g_{\alpha \beta }\right)}$.

La Ley de Gravitación de Newton en la mecánica no relativista establece que la aceleración de un objeto de masa debido a otro objeto de masa es igual a${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathbf {f} ={d^{2}\mathbf {r} \over d\tau ^{2}}=-{GM \over {c^{2}r^{3}}}\mathbf {r} }$

donde es la constante gravitacional , es un vector de masa a masa y es la magnitud de ese vector. El tiempo t se escala con la velocidad de la luz c${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \tau \equiv ct}$.

La aceleración es independiente de .${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle m}$

Para mayor claridad, considere una partícula de masa que orbita en el campo gravitatorio de la Tierra con masa . La ley de la gravitación se puede escribir${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathbf {f} =-{4\pi G \over {3c^{2}}}\rho (r)\mathbf {r} }$

¿Dónde está la densidad de masa promedio dentro de una esfera de radio ?${\displaystyle \rho (r)}$${\displaystyle r}$

La ley de Newton se puede escribir

${\displaystyle \mathbf {f} =-{4\pi G \over {3c^{4}}}\left({Mc^{2} \over V}\right)\mathbf {r} }$.

donde es el volumen de una esfera de radio . La cantidad se reconocerá a partir de la relatividad especial como la energía en reposo del cuerpo grande, la Tierra. Esta es la suma de las energías en reposo de todas las partículas que componen la Tierra. La cantidad entre paréntesis es entonces la densidad de energía en reposo promedio de una esfera de radio alrededor de la Tierra. El campo gravitacional es proporcional a la densidad de energía promedio dentro de un radio r. Este es el componente 00 del tensor de tensión-energía en relatividad para el caso especial en el que toda la energía es energía en reposo. De manera más general${\displaystyle V}$${\displaystyle r}$${\displaystyle Mc^{2}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle T_{00}=-{T^{0}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}\left({\gamma _{i}m_{i}c^{2} \over V}\right)}$

dónde

${\displaystyle \gamma _{i}\equiv {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}} \over c^{2}}}}}}$

y es la velocidad de la partícula i que forma la Tierra y en reposo la masa de la partícula i. Hay N partículas en total que forman la Tierra.${\displaystyle \mathbf {v_{i}} }$${\displaystyle m_{i}}$

Hay dos entidades relativistas simples que se reducen al componente 00 del tensor de tensión-energía en el límite no relativista

${\displaystyle u^{\alpha }T_{\alpha \beta }u^{\beta }\rightarrow T_{00}}$

y el rastro

${\displaystyle T\equiv {T^{\alpha }}_{\alpha }=-u_{\alpha }u^{\alpha }T=-u^{\alpha }T\eta _{\alpha \beta }u^{\beta }\rightarrow -T_{00}}$

¿Dónde está la 4-velocidad?${\displaystyle u^{\alpha }}$

El componente 00 del tensor de tensión-energía se puede generalizar al caso relativista como una combinación lineal de los dos términos.

${\displaystyle T_{00}\rightarrow u^{\alpha }\left(AT_{\alpha \beta }+BT\eta _{\alpha \beta }\right)u^{\beta }}$

dónde

${\displaystyle A+B=1}$

La 4-aceleración debida a la gravedad se puede escribir

${\displaystyle f^{\mu }=-8\pi {G \over {3c^{4}}}\left({A \over 2}T_{\alpha \beta }+{B \over 2}T\eta _{\alpha \beta }\right)\delta _{\nu }^{\mu }u^{\alpha }x^{\nu }u^{\beta }}$.

Desafortunadamente, esta aceleración no es cero , como se requiere para las órbitas circulares. Dado que la magnitud de la 4-velocidad es constante, es solo el componente de la fuerza perpendicular a la 4-velocidad el que contribuye a la aceleración. Por lo tanto, debemos restar el componente de fuerza paralelo a la 4-velocidad. Esto se conoce como transporte de Fermi-Walker . ^[3] En otras palabras,${\displaystyle \mu =0}$

${\displaystyle f^{\mu }\rightarrow f^{\mu }+u^{\mu }u_{\nu }f^{\nu }}$.

Esto produce

${\displaystyle f^{\mu }=-8\pi {G \over {3c^{4}}}\left({A \over 2}T_{\alpha \beta }+{B \over 2}T\eta _{\alpha \beta }\right)\left(\delta _{\nu }^{\mu }+u^{\mu }u_{\nu }\right)u^{\alpha }x^{\nu }u^{\beta }}$.

La fuerza en el marco local es

${\displaystyle {\acute {f}}^{\mu }=-8\pi {G \over {3c^{4}}}\left({A \over 2}{\acute {T}}_{\alpha \beta }+{B \over 2}{\acute {T}}g_{\alpha \beta }\right)\left(\delta _{\nu }^{\mu }+{\acute {u}}^{\mu }{\acute {u}}_{\nu }\right){\acute {u}}^{\alpha }{\acute {x}}^{\nu }{\acute {u}}^{\beta }}$.

La ecuación de campo de Einstein se obtiene ^[4] al igualar la aceleración requerida para órbitas circulares con la aceleración debida a la gravedad.

${\displaystyle a^{\mu }=f^{\mu }}$

${\displaystyle {\acute {{R}^{\mu }}}_{\alpha \nu \beta }{\acute {u}}^{\alpha }{\acute {x}}^{\nu }{\acute {u}}^{\beta }=-{\acute {f}}^{\mu }}$.

Ésta es la relación entre la curvatura del espacio-tiempo y el tensor tensión-energía.

El tensor de Ricci se convierte en

${\displaystyle {\acute {R}}_{\alpha \beta }=8\pi {G \over {c^{4}}}\left({A \over 2}{\acute {T}}_{\alpha \beta }+{B \over 2}{\acute {T}}g_{\alpha \beta }\right)}$.

La traza del tensor de Ricci es

${\displaystyle {\acute {R}}={\acute {R}}_{\alpha }^{\alpha }=8\pi {G \over {c^{4}}}\left({A \over 2}{\acute {T}}_{\alpha }^{\alpha }+{B \over 2}{\acute {T}}\delta _{\alpha }^{\alpha }\right)=8\pi {G \over {c^{4}}}\left({A \over 2}+2B\right){\acute {T}}}$.

Comparación del tensor de Ricci con el tensor de Ricci calculado a partir del principio de mínima acción, Motivación teórica de la relatividad general#Principio de mínima acción en la relatividad general identificando el tensor de tensión-energía con el tensor de tensión-energía de Hilbert, y recordando que A+B=1 elimina la ambigüedad en A, B y C.

${\displaystyle A=2}$

${\displaystyle B=-1}$

y

${\displaystyle C=\left(8\pi {G \over {c^{4}}}\right)^{-1}}$.

Esto da

${\displaystyle {\acute {R}}=-8\pi {G \over {c^{4}}}{\acute {T}}}$.

La ecuación de campo se puede escribir

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }=8\pi {G \over {c^{4}}}{\acute {T}}_{\alpha \beta }}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\alpha \beta }\equiv {\acute {R}}_{\alpha \beta }-{1 \over 2}{\acute {R}}g_{\alpha \beta }}$.

Esta es la ecuación de campo de Einstein que describe la curvatura del espacio-tiempo que resulta de la densidad de energía y tensión. Esta ecuación, junto con la ecuación geodésica, ha sido motivada por la cinética y la dinámica de una partícula que orbita la Tierra en una órbita circular. Son ciertas en general.

La solución de la ecuación de campo de Einstein requiere un proceso iterativo. La solución se representa en el tensor métrico

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$.

Normalmente, existe una estimación inicial del tensor. Esta estimación se utiliza para calcular los símbolos de Christoffel , que se utilizan para calcular la curvatura. Si no se cumple la ecuación de campo de Einstein, se repite el proceso.

Las soluciones se presentan en dos formas: soluciones de vacío y soluciones sin vacío. Una solución de vacío es aquella en la que el tensor de tensión-energía es cero. La solución de vacío relevante para órbitas circulares es la métrica de Schwarzschild . También hay una serie de soluciones exactas que son soluciones sin vacío, soluciones en las que el tensor de tensión no es cero.

Para resolver las ecuaciones geodésicas es necesario conocer el tensor métrico obtenido mediante la solución de la ecuación de campo de Einstein. A partir del tensor métrico se calculan los símbolos de Christoffel o la curvatura. A continuación, se integra la ecuación geodésica con las condiciones de contorno adecuadas .

Las ecuaciones de Maxwell , las ecuaciones de la electrodinámica, en el espacio-tiempo curvo son una generalización de las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo plano (véase Formulación de las ecuaciones de Maxwell en la relatividad especial ). La curvatura del espacio-tiempo afecta a la electrodinámica. Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo se pueden obtener reemplazando las derivadas en las ecuaciones en el espacio-tiempo plano por derivadas covariantes . Las ecuaciones con y sin fuente se convierten en (unidades cgs):

${\displaystyle {4\pi \over c}J^{b}=\partial _{a}F^{ab}+{\Gamma ^{a}}_{\mu a}F^{\mu b}+{\Gamma ^{b}}_{\mu a}F^{a\mu }\equiv D_{a}F^{ab}\equiv {F^{ab}}_{;a}\,\!}$,

y

${\displaystyle 0=\partial _{c}F_{ab}+\partial _{b}F_{ca}+\partial _{a}F_{bc}=D_{c}F_{ab}+D_{b}F_{ca}+D_{a}F_{bc}}$

donde es la 4-corriente , es el tensor de intensidad de campo , es el símbolo de Levi-Civita , y${\displaystyle \,J^{a}}$${\displaystyle \,F^{ab}}$${\displaystyle \,\epsilon _{abcd}}$

${\displaystyle {\partial \over {\partial x^{a}}}\equiv \partial _{a}\equiv {}_{,a}\equiv (\partial /\partial ct,\nabla )}$

es el gradiente 4. Los índices repetidos se suman según la convención de suma de Einstein . Hemos mostrado los resultados en varias notaciones comunes.

La primera ecuación tensorial es una expresión de las dos ecuaciones de Maxwell no homogéneas, la ley de Gauss y la ley de Ampère con corrección de Maxwell . La segunda ecuación es una expresión de las ecuaciones homogéneas, la ley de inducción de Faraday y la ley de Gauss para el magnetismo .

La ecuación de onda electromagnética se modifica a partir de la ecuación en el espacio-tiempo plano de dos maneras, se reemplaza la derivada por la derivada covariante y aparece un nuevo término que depende de la curvatura.

${\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }={4\pi \over c}J^{\alpha }}$

donde el 4-potencial se define de tal manera que

${\displaystyle F^{ab}=\partial ^{b}A^{a}-\partial ^{a}A^{b}\,\!}$.

Hemos asumido la generalización del calibre de Lorenz en el espacio-tiempo curvo.

${\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }=0}$.

• Motivaciones newtonianas para la relatividad general

• RP Feynman; FB Moringo y WG Wagner (1995). Feynman Lectures on Gravitation (Conferencias de Feynman sobre la gravitación) . Addison-Wesley . ISBN 0-201-62734-5.
• PAM Dirac (1996). Teoría general de la relatividad . Princeton University Press . ISBN 0-691-01146-X.