Desigualdad de CHSH

Parte de una serie de artículos sobre
Mecánica cuántica
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Ecuación de Schrödinger
Introducción Glosario Historia
Fondo Mecánica clásica Antigua teoría cuántica Notación de corchetes Hamiltoniano Interferencia
Fundamentos Complementariedad Decoherencia Enredo Nivel de energía Medición No localidad Número cuántico Estado Superposición Simetría Túnel Incertidumbre Función de onda Colapsar
Experimentos Desigualdad de Bell Desigualdad de CHSH Davisson-Germer Doble rendija Elitzur–Vaidman Franck-Hertz Desigualdad de Leggett Desigualdad de Leggett-Garg Mach–Zehnder Corchete Borrador cuántico Elección retrasada El gato de Schrödinger Stern-Gerlach La elección retrasada de Wheeler
Formulaciones Descripción general Heisenberg Interacción Matriz Espacio de fases Schrödinger Suma de historias (integral de trayectoria)
Ecuaciones Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretations Bayesian Consistent histories Copenhagen de Broglie–Bohm Ensemble Hidden-variable Local Superdeterminism Many-worlds Objective-collapse Quantum logic Relational Transactional Von Neumann–Wigner
Advanced topics Relativistic quantum mechanics Quantum field theory Quantum information science Quantum computing Quantum chaos EPR paradox Density matrix Scattering theory Quantum statistical mechanics Quantum machine learning
Scientists Aharonov Bell Bethe Blackett Bloch Bohm Bohr Born Bose de Broglie Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordan Kramers Lamb Landau Laue Moseley Millikan Onnes Pauli Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Simmons Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

En física , la desigualdad CHSH se puede utilizar en la prueba del teorema de Bell , que establece que ciertas consecuencias del entrelazamiento en la mecánica cuántica no pueden reproducirse mediante teorías locales de variables ocultas . La verificación experimental de la desigualdad que se viola se considera una confirmación de que la naturaleza no puede describirse mediante tales teorías. CHSH son las siglas de John Clauser , Michael Horne , Abner Shimony y Richard Holt, quienes la describieron en un artículo muy citado publicado en 1969. ^[1] Derivaron la desigualdad CHSH, que, al igual que la desigualdad original de John Stewart Bell , ^[2] es una restricción (sobre la ocurrencia estadística de "coincidencias" en una prueba de Bell ), que es necesariamente cierta si existe una teoría local de variables ocultas subyacente . En la práctica, la desigualdad se viola rutinariamente en los experimentos modernos de mecánica cuántica. ^[3]

La forma habitual de la desigualdad CHSH es

$${\displaystyle |S|\leq 2,}$$

( 1 )

dónde

$${\displaystyle S=E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a',b\right)+E\left(a',b'\right).}$$

( 2 )

${\displaystyle a}$y son configuraciones del detector en el lado , y en el lado , las cuatro combinaciones se prueban en subexperimentos separados. Los términos etc. son las correlaciones cuánticas de los pares de partículas, donde la correlación cuántica se define como el valor esperado del producto de los "resultados" del experimento, es decir, el promedio estadístico de , donde son los resultados separados, utilizando la codificación +1 para el canal '+' y −1 para el canal '−'. La derivación de Clauser et al. de 1969 ^[1] estaba orientada hacia el uso de detectores de "dos canales", y de hecho es para estos que generalmente se usa, pero bajo su método los únicos resultados posibles eran +1 y −1. Para adaptarse a situaciones reales, que en ese momento significaban el uso de luz polarizada y polarizadores de un solo canal, tuvieron que interpretar '−' como que significaba "no detección en el canal '+'", es decir, '−' o nada. En el artículo original no se discutió cómo se podría aplicar la desigualdad de dos canales en experimentos reales con detectores imperfectos reales, aunque más tarde se demostró ^[4] que la desigualdad en sí misma era igualmente válida. Sin embargo, la ocurrencia de resultados cero significa que ya no es tan obvio cómo se deben estimar los valores de E a partir de los datos experimentales.${\displaystyle a'}$${\displaystyle A}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b'}$${\displaystyle B}$${\displaystyle E(a,b)}$${\displaystyle A(a)\times B(b)}$${\displaystyle A,B}$

El formalismo matemático de la mecánica cuántica predice que el valor de excede 2 para sistemas preparados en estados entrelazados adecuados y la elección apropiada de configuraciones de medición (ver más abajo). La violación máxima predicha por la mecánica cuántica es ( límite de Tsirelson ) ^[5] y se puede obtener a partir de un estado de Bell entrelazado máximo . ^[6]${\displaystyle S}$${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

Muchas pruebas de Bell realizadas después del segundo experimento de Alain Aspect en 1982 han utilizado la desigualdad CHSH, estimando los términos utilizando (3) y suponiendo un muestreo justo. Se han reportado algunas violaciones dramáticas de la desigualdad. ^[7]

En la práctica, la mayoría de los experimentos reales han utilizado luz en lugar de los electrones que Bell tenía en mente originalmente. La propiedad de interés es, en los experimentos más conocidos, ^{[8] [9] [10]} la dirección de polarización, aunque se pueden utilizar otras propiedades. El diagrama muestra un experimento óptico típico. Se registran las coincidencias (detecciones simultáneas), los resultados se clasifican como '++', '+−', '−+' o '−−' y se acumulan los recuentos correspondientes.

Se llevan a cabo cuatro subexperimentos separados, correspondientes a los cuatro términos de la estadística de prueba S ( 2 , arriba). En la práctica, generalmente se eligen los valores a = 0° , a ′ = 45° , b = 22,5° y b ′ = 67,5° (los "ángulos de prueba de Bell"), ya que estos son aquellos para los que la fórmula mecánica cuántica da la mayor violación de la desigualdad.${\displaystyle E(a,b)}$

Para cada valor seleccionado de , se registran los números de coincidencias en cada categoría . La estimación experimental para se calcula entonces como:${\displaystyle a,b}$${\displaystyle \left\{N_{++},N_{--},N_{+-},N_{-+}\right\}}$${\displaystyle E(a,b)}$

$${\displaystyle E(a,b)={\frac {N_{++}-N_{+-}-N_{-+}+N_{--}}{N_{++}+N_{+-}+N_{-+}+N_{--}}}}$$

( 3 )

Una vez que se han estimado todas las E , se puede encontrar una estimación experimental de S (Ec. 2 ). Si es numéricamente mayor que 2, se ha infringido la desigualdad CHSH y se declara que el experimento ha respaldado la predicción de la mecánica cuántica y descartado todas las teorías de variables ocultas locales.

El artículo del CHSH enumera muchas condiciones previas (o "suposiciones razonables y/o presumibles") para derivar el teorema y la fórmula simplificados. Por ejemplo, para que el método sea válido, se debe suponer que los pares detectados son una muestra justa de los emitidos. En los experimentos reales, los detectores nunca son 100% eficientes, por lo que solo se detecta una muestra de los pares emitidos. Un requisito sutil relacionado es que las variables ocultas no influyan ni determinen la probabilidad de detección de una manera que conduzca a muestras diferentes en cada brazo del experimento.

La desigualdad CHSH ha sido violada con pares de fotones , pares de iones de berilio , pares de iones de iterbio , pares de átomos de rubidio , pares de nubes de átomos de rubidio, vacantes de nitrógeno en diamantes y qubits de fase Josephson . ^[11]

La derivación original de 1969 no se dará aquí porque no es fácil de seguir e implica la suposición de que los resultados son todos +1 o −1, nunca cero. La derivación de Bell de 1971 es más general. En efecto, supone la "teoría local objetiva" utilizada posteriormente por Clauser y Horne. ^[12] Se supone que todas las variables ocultas asociadas con los propios detectores son independientes en ambos lados y se pueden promediar desde el principio. Otra derivación de interés se da en el artículo de Clauser y Horne de 1974, en el que parten de la desigualdad CH74.

Lo que sigue se basa en la página 37 de Speakable and Unspeakable de Bell ^[4] , y el cambio principal es utilizar el símbolo " E " en lugar de " P " para el valor esperado de la correlación cuántica. Esto evita cualquier sugerencia de que la correlación cuántica es en sí misma una probabilidad.

Comenzamos con el supuesto estándar de independencia de los dos lados, lo que nos permite obtener las probabilidades conjuntas de pares de resultados multiplicando las probabilidades separadas, para cualquier valor seleccionado de la "variable oculta" λ. Se supone que λ se extrae de una distribución fija de estados posibles de la fuente, y la probabilidad de que la fuente esté en el estado λ para cualquier ensayo particular viene dada por la función de densidad ρ(λ), cuya integral sobre el espacio completo de variables ocultas es 1. Por lo tanto, suponemos que podemos escribir: donde A y B son los resultados. Dado que los valores posibles de A y B son −1, 0 y +1, se deduce que:$${\displaystyle E(a,b)=\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\rho (\lambda )d\lambda }$$

${\displaystyle \left|{\underline {A}}\right|\leq 1\quad \left|{\underline {B}}\right|\leq 1}$

( 4 )

Entonces, si a , a ′, b y b ′ son configuraciones alternativas para los detectores,

${\displaystyle {\begin{aligned}&E(a,b)-E\left(a,b'\right)\\={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int \left[{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )-{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\pm {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda ){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\mp {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda ){\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \\={}&\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda -\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \end{aligned}}}$

Tomando valores absolutos de ambos lados y aplicando la desigualdad triangular al lado derecho, obtenemos

${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\leq \left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\left|\int {\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|}$

Usamos el hecho de que y son ambos no negativos para reescribir el lado derecho de esto como${\displaystyle \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )}$${\displaystyle \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )}$$${\displaystyle \int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b,\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|+\int \left|{\underline {A}}(a,\lambda ){\underline {B}}(b',\lambda )\right|\left|\left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda \right|}$$

Por ( 4 ), esto debe ser menor o igual a lo cual, usando el hecho de que la integral de ρ ( λ ) es 1, es igual a lo cual es igual a .$${\displaystyle \int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\right]\rho (\lambda )d\lambda +\int \left[1\pm {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\right]\rho (\lambda )d\lambda }$$$${\displaystyle 2\pm \left[\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}\left(b',\lambda \right)\rho (\lambda )d\lambda +\int {\underline {A}}\left(a',\lambda \right){\underline {B}}(b,\lambda )\rho (\lambda )d\lambda \right]}$$${\displaystyle 2\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$

Juntando esto con el lado izquierdo, tenemos: lo que significa que el lado izquierdo es menor o igual que y . Es decir: de donde obtenemos (por la desigualdad triangular nuevamente), que es la desigualdad CHSH.$${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq 2\;\pm \left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$$${\displaystyle 2+\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$${\displaystyle 2-\left[E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right]}$$${\displaystyle \left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|\;\leq \;2-\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|}$$$${\displaystyle 2\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)\right|+\left|E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|\;\geq \;\left|E(a,b)-E\left(a,b'\right)+E\left(a',b'\right)+E\left(a',b\right)\right|}$$

En su artículo de 1974, ^[12] Clauser y Horne demuestran que la desigualdad CHSH se puede derivar de la desigualdad CH74. Como nos dicen, en un experimento de dos canales la prueba de un solo canal CH74 sigue siendo aplicable y proporciona cuatro conjuntos de desigualdades que gobiernan las probabilidades p de coincidencias.

Partiendo de la versión no homogénea de la desigualdad, podemos escribir: donde j y k son cada uno '+' o '−', indicando qué detectores se están considerando.$${\displaystyle -1\;\leq \;p_{jk}(a,b)-p_{jk}(a,b')+p_{jk}(a',b)+p_{jk}(a',b')-p_{jk}(a')-p_{jk}(b)\;\leq \;0}$$

Para obtener el estadístico de prueba CHSH S ( 2 ), todo lo que se necesita es multiplicar las desigualdades para las que j es diferente de k por −1 y agregarlas a las desigualdades para las que j y k son iguales.

_{En la práctica experimental, las dos partículas no son un} par EPR ideal . Existe una condición necesaria y suficiente para que una matriz de densidad de dos cúbits viole la desigualdad CHSH, expresada por el polinomio máximo alcanzable Smax definido en la ecuación 2. [ ^{13] Esto es importante en} la distribución de claves cuánticas basada en entrelazamiento , donde la tasa de claves secretas depende del grado de correlaciones de medición. ^[14] ${\displaystyle \rho }$

Introduzcamos una matriz real 3×3 con elementos , donde son las matrices de Pauli . Luego encontramos los valores propios y vectores propios de la matriz simétrica real , donde los índices están ordenados por . Entonces, el polinomio CHSH máximo está determinado por los dos valores propios más grandes, ^[13]${\displaystyle T_{\rho }}$${\displaystyle t_{ij}=\operatorname {Tr} [\rho \cdot (\sigma _{i}\otimes \sigma _{j})]}$${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$${\displaystyle U_{\rho }=T_{\rho }^{\text{T}}T_{\rho }}$$${\displaystyle U_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {e}}_{i},\quad |{\boldsymbol {e}}_{i}|=1,\quad i=1,2,3,}$$${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}}$$${\displaystyle S_{\text{max}}(\rho )=2{\sqrt {\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$$

Existe una configuración óptima de las bases de medición a, a', b, b' para un determinado que produce S _max con al menos un parámetro libre. ^{[15] [16]}${\displaystyle \rho }$

La medida proyectiva que produce +1 o −1 para dos estados ortogonales respectivamente, puede expresarse mediante un operador . La elección de esta base de medida puede parametrizarse mediante un vector unitario real y el vector de Pauli expresando . Entonces, la correlación esperada en las bases a, b es Los valores numéricos de los vectores base, cuando se encuentran, pueden traducirse directamente a la configuración de las medidas proyectivas. ^[16]${\displaystyle |\alpha \rangle ,|\alpha ^{\perp }\rangle }$${\displaystyle \mathrm {A} =|\alpha \rangle \langle \alpha |-|\alpha ^{\perp }\rangle \langle \alpha ^{\perp }|}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\in \mathbb {R} ^{3},|{\boldsymbol {a}}|=1}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle \mathrm {A} ={\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$$${\displaystyle E(a,b)=\operatorname {Tr} [\rho ({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})\otimes ({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})]={\boldsymbol {a}}^{\text{T}}T_{\rho }{\boldsymbol {b}}.}$$

El conjunto óptimo de bases para el estado se encuentra tomando los dos mayores valores propios y los vectores propios correspondientes de , y hallando los vectores unitarios auxiliares donde es un parámetro libre. También calculamos el ángulo agudo para obtener las bases que maximizan la ecuación 2 ,${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \lambda _{1,2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1,2}}$${\displaystyle U_{\rho }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {c}}&={\boldsymbol {e}}_{1}\cos \varphi +{\boldsymbol {e}}_{2}\sin \varphi ,\\{\boldsymbol {c}}'&={\boldsymbol {e}}_{1}\sin \varphi -{\boldsymbol {e}}_{2}\cos \varphi ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle \theta =\operatorname {arctan} {\sqrt {\frac {\lambda _{2}+\lambda _{1}\tan ^{2}{\varphi }}{\lambda _{1}+\lambda _{2}\tan ^{2}{\varphi }}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}&=T_{\rho }{\boldsymbol {c}}'/|T_{\rho }{\boldsymbol {c}}'|,\\{\boldsymbol {a}}'&=T_{\rho }{\boldsymbol {c}}/|T_{\rho }{\boldsymbol {c}}|,\\{\boldsymbol {b}}&={\boldsymbol {c}}\cos \theta +{\boldsymbol {c}}'\sin \theta ,\\{\boldsymbol {b}}'&={\boldsymbol {c}}\cos \theta -{\boldsymbol {c}}'\sin \theta .\end{aligned}}}$$

En la distribución de claves cuánticas basada en entrelazamiento , hay otra base de medición utilizada para comunicar la clave secreta ( suponiendo que Alice usa el lado A). Las bases deben minimizar la tasa de error de bits cuánticos Q , que es la probabilidad de obtener diferentes resultados de medición (+1 en una partícula y −1 en la otra). ^[14] Las bases correspondientes son ^[16] El polinomio CHSH S también debe maximizarse, lo que junto con las bases anteriores crea la restricción . ^[16]${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{0},{\boldsymbol {b}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}_{0}&=T_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{1}/|T_{\rho }{\boldsymbol {e}}_{1}|,\\{\boldsymbol {b}}&={\boldsymbol {e}}_{1}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \varphi =\pi /4}$

El juego CHSH es un experimento mental que involucra a dos partes separadas a una gran distancia (lo suficientemente lejos como para impedir la comunicación clásica a la velocidad de la luz), cada una de las cuales tiene acceso a la mitad de un par de dos cúbits entrelazados. El análisis de este juego muestra que ninguna teoría clásica de variables ocultas locales puede explicar las correlaciones que pueden resultar del entrelazamiento. Dado que este juego es de hecho físicamente realizable, esto proporciona una evidencia sólida de que la física clásica es fundamentalmente incapaz de explicar ciertos fenómenos cuánticos, al menos de manera "local".

En el juego CHSH, hay dos jugadores cooperadores, Alice y Bob, y un árbitro, Charlie. Estos agentes se abreviarán respectivamente. Al comienzo del juego, Charlie elige bits de manera uniforme al azar y luego los envía a Alice y a Bob. Alice y Bob deben responder a Charlie con bits respectivamente. Ahora, una vez que Alice y Bob envían sus respuestas a Charlie, Charlie prueba si , donde ∧ denota una operación lógica AND y ⊕ denota una operación lógica XOR . Si esta igualdad se cumple, Alice y Bob ganan, y si no, pierden.${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle x,y\in \{0,1\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle a,b\in \{0,1\}}$${\displaystyle a\oplus b=x\land y}$

También se requiere que las respuestas de Alice y Bob solo dependan de los bits que ven: por lo tanto, la respuesta de Alice depende solo de , y lo mismo ocurre con Bob. Esto significa que Alice y Bob tienen prohibido comunicarse directamente entre sí sobre los valores de los bits que les envía Charlie. Sin embargo, Alice y Bob pueden decidir una estrategia común antes de que comience el juego.${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$

En las siguientes secciones, se muestra que si Alice y Bob utilizan solo estrategias clásicas que involucran su información local (y potencialmente algunos lanzamientos de moneda al azar), es imposible que ganen con una probabilidad mayor al 75%. Sin embargo, si se les permite a Alice y Bob compartir un solo par de cúbits entrelazados, entonces existe una estrategia que les permite a Alice y Bob tener éxito con una probabilidad de ~85%.

Primero establecemos que cualquier estrategia clásica determinista tiene una probabilidad de éxito de como máximo el 75% (donde la probabilidad se toma sobre la elección aleatoria uniforme de Charlie de ). Por una estrategia determinista, nos referimos a un par de funciones , donde es una función que determina la respuesta de Alice como una función del mensaje que recibe de Charlie, y es una función que determina la respuesta de Bob en función de lo que recibe. Para demostrar que cualquier estrategia determinista falla al menos el 25% del tiempo, simplemente podemos considerar todos los pares de estrategias posibles para Alice y Bob, de los cuales hay como máximo 8 (para cada parte, hay 4 funciones ). Se puede verificar que para cada una de esas 8 estrategias siempre hay al menos uno de los cuatro pares de entrada posibles que hace que la estrategia falle. Por ejemplo, en la estrategia donde ambos jugadores siempre responden 0, tenemos que Alice y Bob ganan en todos los casos excepto cuando , por lo que utilizando esta estrategia su probabilidad de victoria es exactamente del 75%.${\displaystyle x,y}$${\displaystyle f_{A},f_{B}:\{0,1\}\mapsto \{0,1\}}$${\displaystyle f_{A}}$${\displaystyle f_{B}}$${\displaystyle \{0,1\}\mapsto \{0,1\}}$${\displaystyle (x,y)\in \{0,1\}^{2}}$${\displaystyle x=y=1}$

Ahora, consideremos el caso de las estrategias clásicas aleatorias, donde Alice y Bob tienen acceso a números aleatorios correlacionados . Estos números pueden generarse lanzando una moneda juntos varias veces antes de que comience el juego y Alice y Bob aún pueden comunicarse. El resultado que dan en cada ronda es entonces una función tanto del mensaje de Charlie como del resultado del lanzamiento de moneda correspondiente. Esta estrategia puede verse como una distribución de probabilidad sobre estrategias deterministas y, por lo tanto, su probabilidad de éxito es una suma ponderada sobre las probabilidades de éxito de las estrategias deterministas. Pero como cada estrategia determinista tiene una probabilidad de éxito de como máximo el 75%, esta suma ponderada tampoco puede superar el 75%.

Ahora, imaginemos que Alice y Bob comparten el estado entrelazado de dos cúbits: , comúnmente conocido como par EPR . Alice y Bob utilizarán este par entrelazado en su estrategia, como se describe a continuación. La optimalidad de esta estrategia se desprende entonces del límite de Tsirelson .${\textstyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$

Al recibir el bit de Charlie, Alice medirá su qubit en la base o en la base , dependiendo de si o , respectivamente. Luego etiquetará los dos resultados posibles resultantes de cada elección de medición como si se observara el primer estado en la base de medición y, en caso contrario, como si se observara el primer estado en la base de medición.${\displaystyle x}$${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle a=1}$

Bob también usa el bit recibido de Charlie para decidir qué medición realizar: si mide en la base , mientras que si mide en la base , donde con .${\displaystyle y}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle \{|a_{0}\rangle ,|a_{1}\rangle \}}$${\displaystyle y=1}$${\displaystyle \{|b_{0}\rangle ,|b_{1}\rangle \}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&|a_{0}\rangle =\cos \theta \,|0\rangle +\sin \theta \,|1\rangle ,\qquad |a_{1}\rangle =-\sin \theta \,|0\rangle +\cos \theta \,|1\rangle ,\\&|b_{0}\rangle =\cos \theta \,|0\rangle -\sin \theta \,|1\rangle ,\qquad |b_{1}\rangle =\sin \theta \,|0\rangle +\cos \theta \,|1\rangle ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle \theta =\pi /8}$

La siguiente tabla muestra cómo se desarrolla el juego. Los estados están dispuestos en el orden que sitúa a cada estado entre los dos más similares. Podrían corresponder, por ejemplo, a fotones polarizados en ángulos de 0°, 22,5°, 45°, ... 180° (siendo 180° y 0° el mismo estado).

Cómo se juega el juego

Estado	${\displaystyle |1\rangle }$	${\displaystyle |b_{1}\rangle }$	${\displaystyle |+\rangle }$	${\displaystyle |a_{0}\rangle }$	${\displaystyle |0\rangle }$	${\displaystyle |b_{0}\rangle }$	${\displaystyle |-\rangle }$	${\displaystyle |a_{1}\rangle }$	${\displaystyle |1\rangle }$
¿En qué valor de x prueba Alice el estado?	0		1		0		1		0
¿En qué valor de y realiza Bob la prueba del estado?		1		0		1		0
¿Qué envía Alicia si encuentra el estado?	1		0		0		1		1
¿Qué envía Bob si encuentra el estado?		1		0		0		1

Para analizar la probabilidad de éxito, basta con analizar la probabilidad de que produzcan un par de valores ganadores en cada una de las cuatro entradas posibles y luego tomar el promedio. Analizamos el caso donde aquí: En este caso, los pares de respuestas ganadores son y . En la entrada , sabemos que Alice medirá en la base y Bob medirá en la base . Entonces, la probabilidad de que ambos produzcan 0 es la misma que la probabilidad de que sus mediciones produzcan respectivamente, por lo que exactamente . De manera similar, la probabilidad de que ambos produzcan 1 es exactamente . Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra cualquiera de estos resultados exitosos es .${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x=y=0}$${\displaystyle a=b=0}$${\displaystyle a=b=1}$${\displaystyle x=y=0}$${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle }$${\displaystyle |a_{0}\rangle ,|a_{1}\rangle }$${\displaystyle |0\rangle ,|a_{0}\rangle }$${\textstyle |(\langle 0|\otimes \langle a_{0}|)|\Phi \rangle |^{2}={\frac {1}{2}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$${\textstyle |(\langle 1|\otimes \langle a_{1}|)|\Phi \rangle |^{2}={\frac {1}{2}}\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$

En el caso de los otros 3 pares de entrada posibles, un análisis esencialmente idéntico muestra que Alice y Bob tendrán la misma probabilidad de ganar de , por lo que, en general, la probabilidad de ganar promedio para una entrada elegida al azar es . Como , esto es estrictamente mejor que lo que era posible en el caso clásico.${\displaystyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)\approx 85\%}$

Una estrategia cuántica arbitraria para el juego CHSH se puede modelar como un triple donde ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\left(|\psi \rangle ,(A_{0},A_{1}),(B_{0},B_{1})\right)}$

• ${\displaystyle |\psi \rangle \in \mathbb {C} ^{d}\otimes \mathbb {C} ^{d}}$es un estado bipartito para algunos ,${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle A_{0}}$y los observables de Alice corresponden cada uno a lo que recibe del árbitro, y${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle x\in \{0,1\}}$
• ${\displaystyle B_{0}}$y los observables de Bob corresponden cada uno a lo que recibe del árbitro.${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle y\in \{0,1\}}$

La estrategia cuántica óptima descrita anteriormente se puede reformular en esta notación de la siguiente manera: es el par EPR , el observable (que corresponde a Alice midiendo en la base), el observable (que corresponde a Alice midiendo en la base), donde y son matrices de Pauli . Los observables y (que corresponden a cada una de las elecciones de Bob de la base en la que medir). Denotaremos la probabilidad de éxito de una estrategia en el juego CHSH por , y definimos el sesgo de la estrategia como , que es la diferencia entre las probabilidades de ganar y perder de .${\displaystyle |\psi \rangle \in \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}$${\textstyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )}$${\displaystyle A_{0}=Z}$${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$${\displaystyle A_{1}=X}$${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\textstyle B_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(X+Z)}$${\textstyle B_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(Z-X)}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}}):=2\omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})-1}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

En particular, tenemos El sesgo de la estrategia cuántica descrita anteriormente es .$${\displaystyle \beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})={\frac {1}{4}}\sum _{x,y\in \{0,1\}}(-1)^{x\wedge y}\cdot \langle \psi |A_{x}\otimes B_{y}|\psi \rangle .}$$${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

La desigualdad de Tsirelson, descubierta por Boris Tsirelson en 1980, ^[17] establece que para cualquier estrategia cuántica para el juego CHSH, el sesgo . De manera equivalente, establece que la probabilidad de éxito para cualquier estrategia cuántica para el juego CHSH. En particular, esto implica la optimalidad de la estrategia cuántica descrita anteriormente para el juego CHSH.${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\textstyle \beta _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})\leq {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$$${\displaystyle \omega _{\text{CHSH}}^{*}({\mathcal {S}})\leq \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}}$$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

La desigualdad de Tsirelson establece que la probabilidad máxima de éxito de cualquier estrategia cuántica es , y vimos que esta probabilidad máxima de éxito se logra mediante la estrategia cuántica descrita anteriormente. De hecho, cualquier estrategia cuántica que logre esta probabilidad máxima de éxito debe ser isomorfa (en un sentido preciso) a la estrategia cuántica canónica descrita anteriormente; esta propiedad se denomina rigidez del juego CHSH, atribuida por primera vez a Summers y Werner. ^[18] Más formalmente, tenemos el siguiente resultado:${\textstyle \cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)}$

De manera informal, el teorema anterior establece que dada una estrategia óptima arbitraria para el juego CHSH, existe un cambio de base local (dado por las isometrías ) para Alice y Bob tal que su estado compartido se factoriza en el tensor de un par EPR y un estado auxiliar adicional . Además, los observables y de Alice y Bob se comportan, hasta las transformaciones unitarias, como los observables y en sus respectivos qubits del par EPR. McKague et al. ^[19] obtuvieron una versión aproximada o cuantitativa de la rigidez de CHSH, quienes demostraron que si se tiene una estrategia cuántica tal que para algún , entonces existen isometrías bajo las cuales la estrategia es -cercana a la estrategia cuántica canónica. También se conocen pruebas teóricas de representación de rigidez aproximada. ^[20]${\displaystyle V,W}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\Phi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle (A_{0},A_{1})}$${\displaystyle (B_{0},B_{1})}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\textstyle \omega _{\text{CHSH}}({\mathcal {S}})=\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{8}}\right)-\epsilon }$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle O({\sqrt {\epsilon }})}$

Cabe señalar que el juego CHSH puede considerarse como una prueba de entrelazamiento cuántico y mediciones cuánticas, y que la rigidez del juego CHSH nos permite probar un entrelazamiento específico , así como mediciones cuánticas específicas . Esto, a su vez, se puede aprovechar para probar o incluso verificar cálculos cuánticos completos; en particular, la rigidez de los juegos CHSH se ha aprovechado para construir protocolos para la delegación cuántica verificable, ^{[21] [22]} la expansión de aleatoriedad certificable, ^[23] y la criptografía independiente del dispositivo. ^[24]

• La correlación no implica causalidad
• Desigualdad de Leggett-Garg
• Teoría de juegos cuánticos

• Desigualdad de Bell - Laboratorio virtual de Quantum Flytrap, una simulación interactiva de la violación de la desigualdad de Bell de CHSH ^[1]