Alternancia (geometría)

En geometría, una alternancia o truncamiento parcial es una operación sobre un polígono , poliedro , mosaico o politopo de mayor dimensión que elimina vértices alternos. ^[1]

Coxeter etiqueta una alternancia con un prefijo h , que significa hemi o mitad . Debido a que la alternancia reduce todas las caras de un polígono a la mitad de sus lados, solo se puede aplicar a politopos con todas las caras de lados pares. Una cara cuadrada alternada se convierte en un dígono y, al ser degenerada, generalmente se reduce a una sola arista.

En términos más generales, cualquier poliedro o teselación uniforme en sus vértices con una configuración de vértices que consista en todos los elementos pares puede alternarse . Por ejemplo, la alternancia de una figura de vértice con 2a.2b.2c es a.3.b.3.c.3 donde tres es el número de elementos en esta figura de vértice. Un caso especial son las caras cuadradas cuyo orden se divide a la mitad en digones degenerados . Así, por ejemplo, el cubo 4.4.4 se alterna como 2.3.2.3.2.3 que se reduce a 3.3.3, que es el tetraedro , y las 6 aristas del tetraedro también pueden verse como las caras degeneradas del cubo original.

Un snubbed (en la terminología de Coxeter ) puede verse como una alternancia de un poliedro regular truncado o un poliedro cuasirregular truncado . En general, un poliedro puede ser snubbed si su truncamiento tiene solo caras pares. Todos los poliedros rectificados truncados pueden ser snubbed, no solo los poliedros regulares.

El antiprisma cuadrado romo es un ejemplo de un romo general, y puede representarse por ss{2,4}, con el antiprisma cuadrado , s{2,4}.

Esta operación de alternancia se aplica también a politopos y panales de dimensiones superiores, pero en general la mayoría de los resultados de esta operación no serán uniformes. Los huecos creados por los vértices eliminados no crearán facetas uniformes en general, y normalmente no hay suficientes grados de libertad para permitir un reescalado adecuado de las nuevas aristas. Sin embargo, existen excepciones, como la derivación de la celda de 24 achatada a partir de la celda de 24 truncada .

Ejemplos:

• Panales de miel
  1. Un panal cúbico alternado es el panal tetraédrico-octaédrico .
  2. Un panal prismático hexagonal alterno es el panal cúbico alterno girado .
• 4-politopo
  1. Un 24-cell truncado alternado es el 24-cell snub .
• 4-panales:
  1. Un panal de abeja truncado alternado de 24 celdas es el panal de abeja chato de 24 celdas .
• Un hipercubo siempre puede transformarse en un semihipercubo uniforme .
  1. Cubo → Tetraedro (regular)
     • →
  2. Tesseract ( 8 celdas ) → 16 celdas (regular)
     • →
  3. Penteracto → demipenteracto (semiregular)
  4. Hexeract → demihexeract (uniforme)
  5. ...

Coxeter también utilizó el operador a , que contiene ambas mitades, por lo que conserva la simetría original. Para poliedros regulares de lados pares, a{2p,q} representa un poliedro compuesto con dos copias opuestas de h{2p,q}. Para poliedros regulares de lados impares mayores que 3, a{p,q}, se convierte en un poliedro estrella .

Norman Johnson extendió el uso del operador alterado a {p,q}, b {p,q} para , y c {p,q} para , como,, yrespectivamente.

El poliedro compuesto conocido como octaedro estrellado se puede representar mediante un {4,3} (un cubo alterado ), y,.

El poliedro estrellado conocido como pequeño icosidodecaedro ditrigonal se puede representar mediante un {5,3} (un dodecaedro alterado ), y,Aquí todos los pentágonos se han alternado en pentagramas y se han insertado triángulos para ocupar los bordes libres resultantes.

El poliedro estrellado conocido como gran icosidodecaedro ditrigonal se puede representar mediante un {5/2,3} (un gran dodecaedro estrellado alterado ), y,Aquí todos los pentagramas se han alternado para formar pentágonos y se han insertado triángulos para ocupar los bordes libres resultantes.

Una operación similar puede truncar vértices alternativos, en lugar de simplemente eliminarlos. A continuación se muestra un conjunto de poliedros que se pueden generar a partir de los sólidos Catalan . Estos tienen dos tipos de vértices que se pueden truncar alternativamente. Truncando los vértices de "orden superior" y ambos tipos de vértices se obtienen estas formas:

Nombre	Original	Truncamiento alterno	Truncamiento	Nombre truncado
Cubo dual de tetraedro rectificado				Cubo truncado alternativo
Dodecaedro rómbico Dual del cuboctaedro				Dodecaedro rómbico truncado
Triacontaedro rómbico Dual de icosidodecaedro				Triacontaedro rómbico truncado
Tetraedro triakis Tetraedro dual truncado				Triakis tetraedro truncado
Triakis octaedro Dual del cubo truncado				Octaedro triakis truncado
Triakis icosaedro Dual de dodecaedro truncado				Triakisicosaedro truncado

• Notación poliédrica de Conway
• Construcción Wythoff

• Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3.ª edición, 1973), edición Dover, ISBN  0-486-61480-8
• Manuscrito de politopos uniformes de Norman Johnson (1991)
  • NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales de abejas , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966
• Weisstein, Eric W. "Desaire". MundoMatemático .
• Richard Klitzing, Desaires, facetas alternadas y diagramas de Stott-Coxeter-Dynkin , Symmetry: Culture and Science, vol. 21, n.º 4, 329-344, (2010) [1]

• Olshevsky, George. «Alternancia». Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
• Nombres de poliedros, desaire

Operadores de poliedros

• en
• a
• mi

Semilla	Truncamiento	Rectificación	Truncamiento de bits	Dual	Expansión	Omnitruncamiento	Alternancias
t 0 { p , q } { p , q }	t 01 { p , q } t{ p , q }	t 1 { p , q } r{ p , q }	t 12 { p , q } 2t{ p , q }	t 2 { p , q } 2r{ p , q }	t 02 { p , q } rr{ p , q }	t 012 { p , q } tr{ p , q }	ht0{p,q} h{ q , p }	ht 12 { p , q } s{ q , p }	ht 012 { p , q } sr{ p , q }