Politopo uniforme de 6 elementos

Politopo uniforme de 6 dimensiones

Gráficas de tres politopos regulares y uniformes relacionados
6-símplex	6-símplex truncado		Rectificado 6-simplex
6-símplex cantelado		Runcinated 6-símplex
Estericado 6-simplex		Pentelado 6-símplex
6-ortoplex	6-ortoplex truncado		6-ortoplex rectificado
Ortoplex 6 cantelado	6-ortoplex runcinado		6-ortoplex estericado
6 cubos cantelados		6 cubos runcinados
Estericado de 6 cubos		Cubo de seis pentelados
6 cubos	Cubo truncado de 6		Rectificado de 6 cubos
6-demicubes	6 demicubo truncado		6 demicubo cantelado
Runcinated 6-demicube		Tubo esterificado de 6 demicubo
2 ₂₁		1 ₂₂
Truncado 2 ₂₁		Truncado 1 ₂₂

En geometría de seis dimensiones , un 6-politopo uniforme es un politopo uniforme de seis dimensiones . Un polipetón uniforme es transitivo por vértices y todas las facetas son 5-politopos uniformes .

No se ha determinado el conjunto completo de 6-politopos convexos uniformes , pero la mayoría se pueden realizar como construcciones de Wythoff a partir de un pequeño conjunto de grupos de simetría . Estas operaciones de construcción se representan mediante las permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter-Dynkin . Cada combinación de al menos un anillo en cada grupo conectado de nodos en el diagrama produce un 6-politopo uniforme.

Las polipetas uniformes más simples son los politopos regulares : el 6-símplex {3,3,3,3,3}, el 6-cubo (hexeracto) {4,3,3,3,3} y el 6-ortoplex (hexacromático) {3,3,3,3,4}.

Historia del descubrimiento

Politopos regulares : (caras convexas)
- 1852 : Ludwig Schläfli demostró en su manuscrito Theorie der vielfachen Kontinuität que existen exactamente 3 politopos regulares en 5 o más dimensiones .
Politopos semirregulares convexos : (Varias definiciones antes de la categoría uniforme de Coxeter )
- 1900 : Thorold Gosset enumeró la lista de politopos convexos semirregulares no prismáticos con facetas regulares (politetranoideos regulares convexos) en su publicación Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones . ^[1]
Politopos uniformes convexos :
- 1940 : La búsqueda fue ampliada sistemáticamente por HSM Coxeter en su publicación Regular and Semi-Regular Polytopes .
Politopos estelares uniformes no regulares : (similares a los poliedros uniformes no convexos )
- En curso : Jonathan Bowers y otros investigadores buscan otros politopos 6-uniformes no convexos, con un recuento actual de 41348 politopos 6-uniformes conocidos fuera de las familias infinitas (convexos y no convexos), excluyendo los prismas de los politopos 5-uniformes. La lista no está completa. ^[2]^[3]

6-politopos uniformes por grupos fundamentales de Coxeter

Se pueden generar 6-politopos uniformes con simetría reflexiva mediante estos cuatro grupos de Coxeter, representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter-Dynkin .

Hay cuatro grupos de simetría reflexiva fundamentales que generan 153 6-politopos uniformes únicos.

#	Grupo Coxeter
1	Un ₆	[3,3,3,3,3]
2	B6	[3,3,3,3,4]
3	D6	[3,3,3,3 ^1,1 ]
4	E6	[3 ^2,2,1 ]
4	E6	[3,3 ^2,2 ]

Correspondencias entre familias y mayor simetría en los diagramas de Coxeter-Dynkin. Los nodos del mismo color en cada fila representan espejos idénticos. Los nodos negros no están activos en la correspondencia.

Familias prismáticas uniformes

Prisma uniforme

Hay 6 prismas uniformes categóricos basados en los 5-politopos uniformes .

#	Grupo Coxeter		Notas
1	Un ₅ Un ₁	[3,3,3,3,2]	Familia de prismas basada en 5-símplex
2	B5A1	[4,3,3,3,2]	Familia de prismas basada en 5 cubos
3a	D5A1	[3 ^2,1,1 ,2]	Familia de prismas basada en 5 demicubes

#	Grupo Coxeter		Notas
4	Un ₃ yo ₂ (p)Un ₁	[3,3,2,pág.2]	Familia de prismas basada en duoprismas tetraédricos -p-gonales
5	B ₃ yo ₂ (p) A ₁	[4,3,2,pág.2]	Familia de prismas basada en duoprismas cúbicos -p-gonales
6	H3I2 ( _p ) _A1	[5,3,2,pág.2]	Familia de prismas basada en duoprismas dodecaédricos -p-gonales

Duoprisma uniforme

Existen 11 familias categóricas uniformes duoprismáticas de politopos basadas en productos cartesianos de politopos uniformes de menor dimensión. Cinco se forman como el producto de un 4-politopo uniforme con un polígono regular y seis se forman mediante el producto de dos poliedros uniformes :

#	Grupo Coxeter		Notas
1	Un ₄ yo ₂ (pág.)	[3,3,3,2,pág]	Familia basada en duoprismas -p-gonales de 5 células .
2	B ₄ I ₂ (pág.)	[4,3,3,2,pág]	Familia basada en duoprismas teseracto -p-gonales.
3	F ₄ yo ₂ (pág.)	[3,4,3,2,pág]	Familia basada en duoprismas -p-gonales de 24 células .
4	H ₄ I ₂ (pág.)	[5,3,3,2,pág]	Familia basada en duoprismas -p-gonales de 120 células .
5	D ₄ I ₂ (pág.)	[3 ^1,1,1 ,2,p]	Familia basada en duoprismas demitesseract -p-gonales.

#	Grupo Coxeter		Notas
6	Un ₃²	[3,3,2,3,3]	Familia basada en duoprismas tetraédricos .
7	Un ₃ B ₃	[3,3,2,4,3]	Familia basada en duoprismas tetraédricos - cúbicos .
8	Un _3H3	[3,3,2,5,3]	Familia basada en duoprismas tetraédricos - dodecaédricos .
9	B32	[4,3,2,4,3]	Familia basada en duoprismas cúbicos .
10	B3H3	[4,3,2,5,3]	Familia basada en duoprismas cúbico - dodecaédricos .
11	H32	[5,3,2,5,3]	Familia basada en duoprismas dodecaédricos .

Triaprisma uniforme

Existe una familia infinita de familias de politopos triaprismáticos uniformes construidas como productos cartesianos de tres polígonos regulares. Cada combinación de al menos un anillo en cada grupo conexo produce un 6-politopo prismático uniforme.

#	Grupo Coxeter			Notas
1	Yo ₂ (p)Yo ₂ (q)Yo ₂ (r)	[p,2,q,2,r]		Familia basada en triprismas p,q,r-gonales

Enumeración de los 6-politopos uniformes convexos

Familia simplex : A ₆ [3 ⁴ ] -
- 35 6-politopos uniformes como permutaciones de anillos en el diagrama de grupo, incluido uno regular:
  1. {3 ⁴ } - 6-símplex -
Familia de hipercubos / ortoplex : B ₆ [4,3 ⁴ ] -
- 63 6-politopos uniformes como permutaciones de anillos en el diagrama de grupo, incluidas dos formas regulares:
  1. {4,3 ³ } — 6-cubo (hexeracto) -
  2. {3 ³ ,4} — 6-ortoplex , (hexacross) -
Familia de semihipercubos D ₆ : [3 ^3,1,1 ] -
- 47 6-politopos uniformes (16 únicos) como permutaciones de anillos en el diagrama de grupo, incluidos:
  1. {3,3 ^2,1 }, 1 ₂₁ 6-demicubo (semihexeracto) -; también como h{4,3 ³ },
  2. {3,3,3 ^1,1 }, 2 ₁₁ 6-ortoplex -, una forma de media simetría de.
_Familia E6 : [3 ^3,1,1 ] -
- 39 6-politopos uniformes como permutaciones de anillos en el diagrama de grupo, incluidos:
  1. {3,3,3 ^2,1 }, 2 ₂₁ -
  2. {3,3 ^2,2 }, 1 ₂₂ -

Estas familias fundamentales generan 153 polipetas uniformes convexas no prismáticas.

Además, hay 57 construcciones uniformes de 6 politopos basadas en prismas de los 5-politopos uniformes : [3,3,3,3,2], [4,3,3,3,2], [3 ^2,1,1 ,2], excluyendo el prisma penteracto como duplicado del hexeracto.

Además, existen infinitos politopos 6 uniformes basados en:

Familias de prismas duoprismáticos: [3,3,2,p,2], [4,3,2,p,2], [5,3,2,p,2].
Familias de duoprismas: [3,3,3,2,p], [4,3,3,2,p], [5,3,3,2,p].
Familia de triaprismas: [p,2,q,2,r].

La A₆familia

Existen 32+4−1=35 formas, derivadas de marcar uno o más nodos del diagrama de Coxeter-Dynkin . Las 35 se enumeran a continuación. Norman Johnson las nombró a partir de las operaciones de construcción de Wythoff sobre el 6-símplex regular (heptapetón). Los nombres de las siglas de estilo Bowers se dan entre paréntesis para referencias cruzadas.

La familia A6 _tiene simetría de orden 5040 ( factorial 7 ).

Las coordenadas de 6-politopos uniformes con simetría 6-símplex se pueden generar como permutaciones de números enteros simples en el espacio 7, todos en hiperplanos con vector normal (1,1,1,1,1,1,1).

#	Coxeter-Dynkin	Sistema de nombres Johnson Nombre Bowers y (acrónimo)	Punto base	Recuento de elementos
#	Coxeter-Dynkin	Sistema de nombres Johnson Nombre Bowers y (acrónimo)	Punto base	5	4	3	2	1	0
1		Heptapetón 6-símplex (salto)	(0,0,0,0,0,0,1)	7	21	35	35	21	7
2		Heptapetón rectificado 6-símplex (ril)	(0,0,0,0,0,1,1)	14	63	140	175	105	21
3		Heptapetón truncado de 6-símplex (til)	(0,0,0,0,0,1,2)	14	63	140	175	126	42
4		Heptapetón birectificado birectificado de 6 símples (bril)	(0,0,0,0,1,1,1)	14	84	245	350	210	35
5		Heptapetón rombótico pequeño 6-símplex cantelado (sril)	(0,0,0,0,1,1,2)	35	210	560	805	525	105
6		Heptapetón bitruncado de 6-símplex (batal)	(0,0,0,0,1,2,2)	14	84	245	385	315	105
7		Gran heptapetón rombótico 6-símplex cantitruncado (gril)	(0,0,0,0,1,2,3)	35	210	560	805	630	210
8		Heptapetón prismático pequeño runcinado de 6 simples (spil)	(0,0,0,1,1,1,2)	70	455	1330	1610	840	140
9		Heptapetón birrombado pequeño 6-símplex bicantelado (sabril)	(0,0,0,1,1,2,2)	70	455	1295	1610	840	140
10		Heptapetón prismático truncado de 6-símplex (patal)	(0,0,0,1,1,2,3)	70	560	1820	2800	1890	420
11		Tetradecapetón tritruncado 6-símplex (fe)	(0,0,0,1,2,2,2)	14	84	280	490	420	140
12		Prismatorrombótico heptapetón runcicantelado 6-símplex (pril)	(0,0,0,1,2,2,3)	70	455	1295	1960	1470	420
13		Gran heptapetón birrombado bicantitruncado de 6 simples (gabrilo)	(0,0,0,1,2,3,3)	49	329	980	1540	1260	420
14		Gran heptapetón prismático 6-símplex runcicantitruncado (gapil)	(0,0,0,1,2,3,4)	70	560	1820	3010	2520	840
15		Heptapetón estericado de 6 simples y pequeñas celdillas (scal)	(0,0,1,1,1,1,2)	105	700	1470	1400	630	105
16		Biprismato-tetradecapetón pequeño biruncinado 6-símplex (sibpof)	(0,0,1,1,1,2,2)	84	714	2100	2520	1260	210
17		Heptapetón celitruncado esteritruncado 6-símplex (catal)	(0,0,1,1,1,2,3)	105	945	2940	3780	2100	420
18		Heptapetón celirrombado estericantelado 6-símplex (cral)	(0,0,1,1,2,2,3)	105	1050	3465	5040	3150	630
19		Heptapetón biprismático 6-símplex biruncitruncado (bapril)	(0,0,1,1,2,3,3)	84	714	2310	3570	2520	630
20		Heptapetón celigreador hombatado 6-símplex estericantitruncado (cagral)	(0,0,1,1,2,3,4)	105	1155	4410	7140	5040	1260
21		Heptapetón celiprismado esteriruncinado de 6 simples (copal)	(0,0,1,2,2,2,3)	105	700	1995	2660	1680	420
22		Heptapetón celiprismatotruncado 6-simplex esteriruncitruncado (captal)	(0,0,1,2,2,3,4)	105	945	3360	5670	4410	1260
23		Heptapetón (copril) celiprismatorombado 6-simplex esteriruncicantelado	(0,0,1,2,3,3,4)	105	1050	3675	5880	4410	1260
24		Gran biprismato-tetradecapetón biruncicantitruncado 6-símplex (gibpof)	(0,0,1,2,3,4,4)	84	714	2520	4410	3780	1260
25		Heptapetón gran celulado 6-símplex antitruncado esteriruncic (gacal)	(0,0,1,2,3,4,5)	105	1155	4620	8610	7560	2520
26		Teri-tetradecapetón pequeño pentelado 6-símplex (personal)	(0,1,1,1,1,1,2)	126	434	630	490	210	42
27		Heptapetón teracelado 6-símplex pentitruncado (tocal)	(0,1,1,1,1,2,3)	126	826	1785	1820	945	210
28		Heptapetón teriprismado 6-símplex penticantelado (topal)	(0,1,1,1,2,2,3)	126	1246	3570	4340	2310	420
29		Heptapetón terigreatorhombado penticantitruncado 6-símplex (togral)	(0,1,1,1,2,3,4)	126	1351	4095	5390	3360	840
30		Heptapetón tericellirombado 6-símplex pentiruncitruncado (tocral)	(0,1,1,2,2,3,4)	126	1491	5565	8610	5670	1260
31		Teriprismatorrombi-tetradecapetón (taporf) pentiruncicantelado de 6-símplex	(0,1,1,2,3,3,4)	126	1596	5250	7560	5040	1260
32		Heptapetón terigreatoprismado 6-simplex antitruncado pentiruncic (tagopal)	(0,1,1,2,3,4,5)	126	1701	6825	11550	8820	2520
33		Pentisteritruncado 6-simplex tericellitrunki-tetradecapeton (tactaf)	(0,1,2,2,2,3,4)	126	1176	3780	5250	3360	840
34		Pentistericantitruncado 6-simplex tericelligreatorhombated heptapeton (tacogral)	(0,1,2,2,3,4,5)	126	1596	6510	11340	8820	2520
35		Gran teri-tetradecapetón (gotaf) 6-símplex omnitruncado	(0,1,2,3,4,5,6)	126	1806	8400	16800	15120	5040

El B₆familia

Hay 63 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos.

La familia B ₆ tiene simetría de orden 46080 (6 factorial x 2 ⁶ ).

Norman Johnson les dio el nombre a partir de las operaciones de construcción de Wythoff sobre el cubo 6 y el ortoplex 6 habituales. Se dan los nombres de Bowers y los acrónimos para referencias cruzadas.

#	Diagrama de Coxeter-Dynkin	Símbolo de Schläfli	Nombres	Recuento de elementos
#	Diagrama de Coxeter-Dynkin	Símbolo de Schläfli	Nombres	5	4	3	2	1	0
36		t0 {3,3,3,3,4 _}	Hexacontatetrapetón 6-ortoplex (gee)	64	192	240	160	60	12
37		t1 _{ 3,3,3,3,4}	Ortoplex 6 rectificado Trapetón hexacontato rectificado (rag)	76	576	1200	1120	480	60
38		t2 {3,3,3,3,4 _}	6-ortoplex birectificado Hexacontatetrapeton birectificado (brag)	76	636	2160	2880	1440	160
39		t2 {4,3,3,3,3 _}	Hexeract birectificado de 6 cubos birectificado (brox)	76	636	2080	3200	1920	240
40		t1 _{ 4,3,3,3,3}	Rectificado de 6 cubos Rectificado hexeracto (rax)	76	444	1120	1520	960	192
41		t0 { _4,3,3,3,3 }	Hexeract de 6 cubos (hacha)	12	60	160	240	192	64
42		t0,1 { _3,3,3,3,4 }	6-ortoplex truncado Hexacontatetrapeton truncado (etiqueta)	76	576	1200	1120	540	120
43		t0,2 { _3,3,3,3,4 }	Ortoplex 6 cantelado Hexacontatetrapeton rombótico pequeño (srog)	136	1656	5040	6400	3360	480
44		t1,2 { _3,3,3,3,4 }	Trapetón hexacontado bitruncado 6-ortoplex (botag) bitruncado					1920	480
45		t0,3 { _3,3,3,3,4 }	Trapetón hexacontato prismático pequeño runcinado 6-ortoplex (spog)					7200	960
46		t1,3 { _3,3,3,3,4 }	6-ortoplex bicantelado Pequeño hexacontatetrapeton birombado (siborg)					8640	1440
47		t2,3 { _4,3,3,3,3 }	Hexeractihexacontitetrapeton tritruncado de 6 cubos (xog)					3360	960
48		t0,4 { _3,3,3,3,4 }	Trapetón hexacontado celulado pequeño estericado 6-ortoplex (scag)					5760	960
49		t1,4 { _4,3,3,3,3 }	Biprismato-hexeractihexacontitetrapeton (sobpoxog) pequeño de 6 cubos biruncinado					11520	1920
50		t1,3 { _4,3,3,3,3 }	Hexeracto birrombado pequeño bicantelado de 6 cubos (saborx)					9600	1920
51		t1,2 { _4,3,3,3,3 }	Cubo bitruncado de 6 bits Hexeract bitruncado (botox)					2880	960
52		t0,5 { _4,3,3,3,3 }	Teri-hexeractihexacontitetrapeton pequeño pentelado de 6 cubos (stoxog)					1920	384
53		t0,4 { _4,3,3,3,3 }	Hexeracto celulado pequeño estericado de 6 cubos (scox)					5760	960
54		t0,3 { _4,3,3,3,3 }	Hexeracto prismático pequeño de 6 cubos runcinados (spox)					7680	1280
55		t0,2 { _4,3,3,3,3 }	Hexeracto romboidal pequeño de 6 cubos cantelados (srox)					4800	960
56		t0,1 { _4,3,3,3,3 }	Cubo truncado de 6 cubos Hexeracto truncado (tox)	76	444	1120	1520	1152	384
57		t0,1,2 _{ 3,3,3,3,4}	Gran hexacontatetrapeton rombado (grog) Ortoplex 6 cantitruncado					3840	960
58		t0,1,3 { _3,3,3,3,4 }	Trapetón prismático hexacontate (potag) runcitruncado 6-ortoplex					15840	2880
59		t0,2,3 { _3,3,3,3,4 }	Trapetón hexacontado prismatorombado de 6 ortoplex runcicantelado (prog)					11520	2880
60		1,2,3 { _3,3,3,3,4 }	Gran hexacontatetrapeton birrombado (gaborg) bicantitruncado 6-ortoplex					10080	2880
61		t0,1,4 { _3,3,3,3,4 }	Trapetón hexacontato celitruncado 6-ortoplex esteritruncado (catog)					19200	3840
62		t0,2,4 { _3,3,3,3,4 }	Trapetón hexacontado celirrombado estericantelado 6-ortoplex (risco)					28800	5760
63		1,2,4 { _3,3,3,3,4 }	Trapetón hexacontado biprismatotruncado 6-ortoplex (boprax)					23040	5760
64		t0,3,4 {3,3,3,3,4 _}	Hexacontatetrapeton celiprismado , 6-ortoplex esterilizado (copog)					15360	3840
65		1,2,4 { _4,3,3,3,3 }	Cubo hexeracto biprismatotruncado de 6 cubos biruncitruncado (boprag)					23040	5760
66		1,2,3 { _4,3,3,3,3 }	Gran hexeracto birrombado bicantitruncado de 6 cubos (gaborx)					11520	3840
67		t0,1,5 { _3,3,3,3,4 }	Ortoplex 6 pentitruncado Trapetón hexaconta teritruncado (tacox)					8640	1920
68		t0,2,5 { _3,3,3,3,4 }	Trapetón hexacontate terirrombado (tapox) de 6 ortoplex penticantelado					21120	3840
69		t0,3,4 { _4,3,3,3,3 }	Hexeracto celiprismado de 6 cubos esterilizado (copox)					15360	3840
70		t0,2,5 { _4,3,3,3,3 }	Hexeracto terirrombado de 6 cubos penticantelado (topag)					21120	3840
71		t0,2,4 { _4,3,3,3,3 }	Hexeracto celirrombado estericantelado de 6 cubos (crax)					28800	5760
72		t0,2,3 { _4,3,3,3,3 }	Prismatorrombated hexeract (aproximadamente) de 6 cubos runcicantelados					13440	3840
73		t0,1,5 { _4,3,3,3,3 }	Hexeracto teritruncado de 6 cubos pentitruncado (tacog)					8640	1920
74		t0,1,4 { _4,3,3,3,3 }	Hexeracto celitruncado de 6 cubos esteritruncado (catax)					19200	3840
75		t0,1,3 { _4,3,3,3,3 }	Prismatotruncado hexeracto (potax) runcitruncado de 6 cubos					17280	3840
76		t0,1,2 {4,3,3,3,3 _}	Gran hexeracto romboidal de 6 cubos truncados (grox)					5760	1920
77		t0,1,2,3 { _3,3,3,3,4 }	Gran hexacontatetrapeton prismático (gopog) Runcicantitruncado 6-ortoplex					20160	5760
78		t0,1,2,4 { _3,3,3,3,4 }	Trapetón hexacontado hombatado de Celligreator, estericantitruncado 6-ortoplex (cagorg)					46080	11520
79		t0,1,3,4 { _3,3,3,3,4 }	Trapetón hexacontado truncado de celiprismato 6-ortoplex (captog)					40320	11520
80		t0,2,3,4 { _3,3,3,3,4 }	Trapetón hexacontado celiprismatorhombado esteriruncicantelado 6-ortoplex (coprag)					40320	11520
81		1,2,3,4 { _4,3,3,3,3 }	Gran biprismato-hexeractihexacontitetrapeton (gobpoxog) de 6 cubos antitruncados biruncic					34560	11520
82		t0,1,2,5 { _3,3,3,3,4 }	Trapetón hexacontado terigreatorhombado (togrig) de 6-ortoplex penticantitruncado					30720	7680
83		t0,1,3,5 { _3,3,3,3,4 }	Pentiruncitruncado 6-ortoplex Teriprismatotruncado hexacontatetrapeton (tocrax)					51840	11520
84		t0,2,3,5 { _4,3,3,3,3 }	Teriprismatorhombi-hexeractihexacontitetrapeton (tiprixog) pentiruncicantelado de 6 cubos					46080	11520
85		t0,2,3,4 { _4,3,3,3,3 }	Hexeracto (cóprix) celiprismatorrombado de 6 cubos esterilizado y con 6 núcleos					40320	11520
86		t0,1,4,5 { _4,3,3,3,3 }	Pentisteritruncado 6 cubos Tericelli-hexeractihexacontitetrapeton (tactaxog)					30720	7680
87		t0,1,3,5 { _4,3,3,3,3 }	Pentiruncitruncado de 6 cubos Teriprismatotruncado hexeract (tocrag)					51840	11520
88		t0,1,3,4 { _4,3,3,3,3 }	Hexeracto truncado de celiprismato de 6 cubos esteriruncitruncado (captix)					40320	11520
89		t0,1,2,5 { _4,3,3,3,3 }	Hexeracto terigreatorhombado de 6 cubos penticantitruncado (togrix)					30720	7680
90		t0,1,2,4 { _4,3,3,3,3 }	Hexeracto hombatado de Celligreator de 6 cubos antitruncado esteric (cagorx)					46080	11520
91		t0,1,2,3 { _4,3,3,3,3 }	Gran hexeracto prismático de 6 cubos antitruncados runciclados (gippox)					23040	7680
92		t0,1,2,3,4 { _3,3,3,3,4 }	Gran hexacontatetrapetón celulado (gocog) 6-ortoplex antitruncado esteriruncic					69120	23040
93		t0,1,2,3,5 { _3,3,3,3,4 }	Trapetón hexacontado terigreatoprismado pentiruncicantitruncado 6-ortoplex (tagpog)					80640	23040
94		t0,1,2,4,5 { _3,3,3,3,4 }	Trapetón hexacontado pentisterico antitruncado 6-ortoplex tericelligreatorhombated (tecagorg)					80640	23040
95		t0,1,2,4,5 { _4,3,3,3,3 }	Hexeracto pentisterico antitruncado de 6 cubos Tericelligreatorhombated (tocagrax)					80640	23040
96		t0,1,2,3,5 { _4,3,3,3,3 }	Hexeracto terigreatoprismado de 6 cubos antitruncado pentiruncic (viruela de la etiqueta)					80640	23040
97		t0,1,2,3,4 { _4,3,3,3,3 }	Hexeracto gran celulado de 6 cubos antitruncados esterirunciclados (gocax)					69120	23040
98		t0,1,2,3,4,5 { _4,3,3,3,3 }	Gran teri-hexeractihexacontitetrapetón (gotaxog) omnitruncado de 6 cubos					138240	46080

La D₆familia

La familia D ₆ tiene simetría de orden 23040 (6 factorial x 2 ⁵ ).

Esta familia tiene 3×16−1=47 politopos uniformes Wythoffianos, generados al marcar uno o más nodos del diagrama de Coxeter-Dynkin D ₆ . De estos, 31 (2×16−1) se repiten de la familia B ₆ y 16 son exclusivos de esta familia. Las 16 formas exclusivas se enumeran a continuación. Se proporcionan nombres de acrónimos de estilo Bowers para referencias cruzadas.

#	Diagrama de Coxeter	Nombres	Punto base (firmado alternativamente)	Recuento de elementos						Circunrrad
#	Diagrama de Coxeter	Nombres	Punto base (firmado alternativamente)	5	4	3	2	1	0	Circunrrad
99	=	Hemihexeracto de 6 demicúbos (hax)	(1,1,1,1,1,1)	44	252	640	640	240	32	0,8660254
100	=	Hemihexeracto truncado de seis cubos cánticos (thax)	(1,1,3,3,3,3)	76	636	2080	3200	2160	480	2.1794493
101	=	Hemihexeracto romboidal pequeño de 6 cubos rúnicos (sirhax)	(1,1,1,3,3,3)					3840	640	1.9364916
102	=	Hemihexeracto prismático pequeño de 6 cubos estéricos (sophax)	(1,1,1,1,3,3)					3360	480	1.6583123
103	=	Semihexeracto celulado pequeño de 6 cubos pénticos (sochax)	(1,1,1,1,1,3)					1440	192	1.3228756
104	=	Gran hemihexeracto rombótico de 6 cubos Runcicantic (girhax)	(1,1,3,5,5,5)					5760	1920	3.2787192
105	=	Hemihexeracto prismático truncado de 6 cubos estericánticos (pithax)	(1,1,3,3,5,5)					12960	2880	2.95804
106	=	Hemihexeract prismatorrombated de 6 cubos esteriruncos (prohax)	(1,1,1,3,5,5)					7680	1920	2.7838821
107	=	Hemihexeracto (cátido) celitruncado de 6 cubos penticánticos	(1,1,3,3,3,5)					9600	1920	2.5980761
108	=	Hemihexeracto celirrombado pentirúncico de 6 cubos (crohax)	(1,1,1,3,3,5)					10560	1920	2.3979158
109	=	Hemihexeracto celiprismado de 6 cubos pentistérico (cófijo)	(1,1,1,1,3,5)					5280	960	2.1794496
110	=	Gran hemihexeracto prismático de 6 cubos esteriruncicantico (gophax)	(1,1,3,5,7,7)					17280	5760	4.0926762
111	=	Hemihexeracto celigreatorhombado pentiruncicantico de 6 cubos (cagrohax)	(1,1,3,5,5,7)					20160	5760	3.7080991
112	=	Hemihexeracto (cáptido) celiprismatotruncado de 6 cubos pentistericántico	(1,1,3,3,5,7)					23040	5760	3.4278274
113	=	Hemihexeracto celiprismático pentisterirúncico de 6 cubos (caprohax)	(1,1,1,3,5,7)					15360	3840	3.2787192
114	=	Pentisteriruncicantic Hemihexeracto celulado de 6 cubos (gochax)	(1,1,3,5,7,9)					34560	11520	4.5552168

La E₆familia

Existen 39 formas basadas en todas las permutaciones de los diagramas de Coxeter-Dynkin con uno o más anillos. Se proporcionan acrónimos al estilo Bowers para referencias cruzadas. La familia E ₆ tiene una simetría de orden 51.840.

#	Diagrama de Coxeter	Nombres	Recuento de elementos
#	Diagrama de Coxeter	Nombres	5 caras	4 caras	Células	Caras	Bordes	Vértices
115		2 ₂₁ Icosiheptaheptacontidipeton (jak)	99	648	1080	720	216	27
116		Rectificado 2 ₂₁ Icosiheptaheptacontidipeton rectificado (rojo)	126	1350	4320	5040	2160	216
117		Truncado 2 ₂₁ Icosiheptaheptacontidipeton truncado (tojak)	126	1350	4320	5040	2376	432
118		Cantelated 221 Pequeño icosiheptaheptacontidipeton romboidal (sirjak)	342	3942	15120	24480	15120	2160
119		Runcinated 221 Pequeño icosiheptaheptacontidipeton (shopjak) demiprismado	342	4662	16200	19440	8640	1080
120		Icosiheptaheptacontidipeton demificado (hejak)	342	2430	7200	7920	3240	432
121		Bitruncado 221 Icosiheptaheptacontidipeton bitruncado (botajik)						2160
122		Icosiheptaheptacontidipeton desmirrectificado (harjak)						1080
123		Cantitruncado 221 Gran icosiheptaheptacontidipeton rombado (girjak)						4320
124		Runcitruncado 221 Demiprismatotruncado icosiheptaheptacontidipeton (hopitjak)						4320
125		Esteritruncado 221 Icosiheptaheptacontidipeton celitruncado (catjak)						2160
126		Icosiheptaheptacontidipeton desmitruncado (hotjak)						2160
127		Runcicantellated 221 Demiprismatorombated icosiheptaheptacontidipeton (haprojak)						6480
128		Pequeño icosiheptaheptacontidipeton (shorjak) demirhombado						4320
129		Icosiheptaheptacontidipeton prismático pequeño (spojak)						4320
130		Icosiheptaheptacontidipeton tritruncado (titajak)						4320
131		Runcicantitruncated 221 Gran icosiheptaheptacontidipeton desmiprismado (ghopjak)						12960
132		Estericantitruncado 221 Celligreatorhombated icosiheptaheptacontidipeton (cograjik)						12960
133		Gran icosiheptaheptacontidipeton (ghorjak) demirhombado						8640
134		Icosiheptaheptacontidipeton prismatruncado (potjak)						12960
135		Icosiheptaheptacontidipeton demiceltruncado (hictijik)						8640
136		Icosiheptaheptacontidipeton prismatorrombated (proyecto)						12960
137		Gran icosiheptaheptacontidipeton prismático (gapjak)						25920
138		Icosiheptaheptacontidipeton demiceligreatorromboide (hocgarjik)						25920

#	Diagrama de Coxeter	Nombres	Recuento de elementos
#	Diagrama de Coxeter	Nombres	5 caras	4 caras	Células	Caras	Bordes	Vértices
139	=	1 ₂₂ Pentacontatetrapeton (mo)	54	702	2160	2160	720	72
140	=	Pentacontatetrapeton (ariete) rectificado 1 ₂₂	126	1566	6480	10800	6480	720
141	=	Pentacontatetrapeton birectificado 1 ₂₂ (barm)	126	2286	10800	19440	12960	2160
142	=	Trirectificado 122 Pentacontatetrapeton trirectificado (recortado)	558	4608	8640	6480	2160	270
143	=	Pentacontatetrapeton truncado 1 ₂₂ (tim)					13680	1440
144	=	Pentacontatetrapeton bitruncado 122 bitruncado (bitem)						6480
145	=	122 Pentacontatetrapeton tritruncado (titam)						8640
146	=	Trapetón pentacontatóreo romboidal pequeño cantelado 122 (sram)						6480
147	=	Cantitruncado 122 Gran pentacontatetrapeton romboidal (gramo)						12960
148	=	Pentacontatetrapeton prismático pequeño Runcinated 122 (spam)						2160
149	=	122 Pentacontatetrapeton birombado pequeño (sabrim) bicantelado						6480
150	=	Bicantitruncado 122 Gran pentacontatetrapeton birrombado (gabrim)						12960
151	=	Trapetón pentacontado prismático truncado 122 (patom)						12960
152	=	Pentacontatetrapeton prismatorombado runcicantelado 122 (prom)						25920
153	=	Gran pentacontatetrapeton prismático (gopam) Omnitruncado 122						51840

Triaprismas

Los triaprismas uniformes , { p }×{ q }×{ r }, forman una clase infinita para todos los números enteros p , q , r >2. {4}×{4}×{4} forma una forma de simetría inferior del 6-cubo .

El vector f extendido es ( p , p , 1 )*( q , q , 1 )*( r , r , 1 )=( pqr ,3 pqr ,3 pqr + pq + pr + qr ,3 p ( p +1),3 p , 1 ).

Diagrama de Coxeter	Nombres	Recuento de elementos
Diagrama de Coxeter	Nombres	5 caras	4 caras	Células	Caras	Bordes	Vértices
	{ p }×{ q }×{ r } ^[4]	p + q + r	pq + pr + qr + p + q + r	pqr + 2( pq + pr + qr )	3 pqr + pq + pr + qr	3 pqr	pqr
	{ p }×{ p }×{ p }	3 p	3 p ( p + 1)	pág. ² ( pág. +6)	3 pág. ² ( pág. +1)	3 pág. ³	pág. ³
	{3}×{3}×{3} (punta de tres puntos)	9	36	81	99	81	27
	{4}×{4}×{4} = 6 cubos	12	60	160	240	192	64

6-politopos no wythoffianos

En 6 dimensiones y más, hay una cantidad infinita de politopos convexos uniformes no Wythoffianos : el producto cartesiano del gran antiprisma en 4 dimensiones y cualquier polígono regular en 2 dimensiones. Aún no se ha demostrado si hay más o no.

Panales regulares y uniformes

Correspondencias entre familias y mayor simetría en los diagramas de Coxeter-Dynkin. Los nodos del mismo color en cada fila representan espejos idénticos. Los nodos negros no están activos en la correspondencia.

Hay cuatro grupos de Coxeter afines fundamentales y 27 grupos prismáticos que generan teselaciones regulares y uniformes en el espacio 5:

#	Grupo Coxeter		Formularios
1	${\tilde {A}}_{5}$	[3 ^[6] ]	12
2	${\tilde {C}}_{5}$	[4,3 ³ ,4]	35
3	${\tilde {B}}_{5}$	[4,3,3 ^1,1 ] [4,3 ³ ,4,1 ⁺ ]	47 (16 nuevos)
4	${\tilde {D}}_{5}$	[3 ^1,1 ,3,3 ^1,1 ] [1 ⁺ ,4,3 ³ ,4,1 ⁺ ]	20 (3 nuevos)

Los panales regulares y uniformes incluyen:

${\tilde {A}}_{5}$ Hay 12 panales uniformes únicos, entre ellos:
${\tilde {C}}_{5}$ Hay 35 panales uniformes, entre ellos:
- Panal de abejas hipercubo regular del espacio euclidiano 5, el panal de abejas de 5 cubos , con símbolos {4,3 ³ ,4},=
${\tilde {B}}_{5}$ Hay 47 panales uniformes, 16 nuevos, entre ellos:
- El panal hipercubo alternado uniforme , panal 5-demicúbico , con símbolos h{4,3 ³ ,4},==
${\tilde {D}}_{5}$ , [3 ^1,1 ,3,3 ^1,1 ]: Hay 20 permutaciones anilladas únicas y 3 nuevas. Coxeter llama a la primera panal cúbico de 5 cuartos , con símbolos q{4,3 ³ ,4},=Los otros dos nuevos son=,=.

Grupos prismáticos
#	Grupo Coxeter
1	${\tilde {A}}_{4}$ incógnita ${\tilde {I}}_{1}$	[3 ^[5] ,2,∞]
2	${\tilde {B}}_{4}$ incógnita ${\tilde {I}}_{1}$	[4,3,3 ^1,1 ,2,∞]
3	${\tilde {C}}_{4}$ incógnita ${\tilde {I}}_{1}$	[4,3,3,4,2,∞]
4	${\tilde {D}}_{4}$ incógnita ${\tilde {I}}_{1}$	[3 ^1,1,1,1 ,2,∞]
5	${\tilde {F}}_{4}$ incógnita ${\tilde {I}}_{1}$	[3,4,3,3,2,∞]
6	${\tilde {C}}_{3}$ x x ${\tilde {I}}_{1}$ ${\tilde {I}}_{1}$	[4,3,4,2,∞,2,∞]
7	${\tilde {B}}_{3}$ x x ${\tilde {I}}_{1}$ ${\tilde {I}}_{1}$	[4,3 ^1,1 ,2,∞,2,∞]
8	${\tilde {A}}_{3}$ x x ${\tilde {I}}_{1}$ ${\tilde {I}}_{1}$	[3 ^[4] ,2,∞,2,∞]
9	${\tilde {C}}_{2}$ x x x ${\tilde {I}}_{1}$ ${\tilde {I}}_{1}$ ${\tilde {I}}_{1}$	[4,4,2,∞,2,∞,2,∞]
10	${\tilde {H}}_{2}$ x x x ${\tilde {I}}_{1}$ ${\tilde {I}}_{1}$ ${\tilde {I}}_{1}$	[6,3,2,∞,2,∞,2,∞]
11	${\tilde {A}}_{2}$ x x x ${\tilde {I}}_{1}$ ${\tilde {I}}_{1}$ ${\tilde {I}}_{1}$	[3 ^[3] ,2,∞,2,∞,2,∞]
12	${\tilde {I}}_{1}$ x x x x ${\tilde {I}}_{1}$ ${\tilde {I}}_{1}$ ${\tilde {I}}_{1}$ ${\tilde {I}}_{1}$	[∞,2,∞,2,∞,2,∞,2,∞]
13	${\tilde {A}}_{2}$ x x ${\tilde {A}}_{2}$ ${\tilde {I}}_{1}$	[3 ^[3] ,2,3 ^[3] ,2,∞]
14	${\tilde {A}}_{2}$ x x ${\tilde {B}}_{2}$ ${\tilde {I}}_{1}$	[3 ^[3] ,2,4,4,2,∞]
15	${\tilde {A}}_{2}$ x x ${\tilde {G}}_{2}$ ${\tilde {I}}_{1}$	[3 ^[3] ,2,6,3,2,∞]
16	${\tilde {B}}_{2}$ x x ${\tilde {B}}_{2}$ ${\tilde {I}}_{1}$	[4,4,2,4,4,2,∞]
17	${\tilde {B}}_{2}$ x x ${\tilde {G}}_{2}$ ${\tilde {I}}_{1}$	[4,4,2,6,3,2,∞]
18	${\tilde {G}}_{2}$ x x ${\tilde {G}}_{2}$ ${\tilde {I}}_{1}$	[6,3,2,6,3,2,∞]
19	${\tilde {A}}_{3}$ incógnita ${\tilde {A}}_{2}$	[3 ^[4] ,2,3 ^[3] ]
20	${\tilde {B}}_{3}$ incógnita ${\tilde {A}}_{2}$	[4,3 ^1,1 ,2,3 ^[3] ]
21	${\tilde {C}}_{3}$ incógnita ${\tilde {A}}_{2}$	[4,3,4,2,3 ^[3] ]
22	${\tilde {A}}_{3}$ incógnita ${\tilde {B}}_{2}$	[3 ^[4] ,2,4,4]
23	${\tilde {B}}_{3}$ incógnita ${\tilde {B}}_{2}$	[4,3 ^1,1 ,2,4,4]
24	${\tilde {C}}_{3}$ incógnita ${\tilde {B}}_{2}$	[4,3,4,2,4,4]
25	${\tilde {A}}_{3}$ incógnita ${\tilde {G}}_{2}$	[3 ^[4] ,2,6,3]
26	${\tilde {B}}_{3}$ incógnita ${\tilde {G}}_{2}$	[4,3 ^1,1 ,2,6,3]
27	${\tilde {C}}_{3}$ incógnita ${\tilde {G}}_{2}$	[4,3,4,2,6,3]

Panales hiperbólicos regulares y uniformes

No existen grupos hiperbólicos compactos de Coxeter de rango 6, grupos que puedan generar panales con todas las facetas finitas y una figura de vértice finita . Sin embargo, existen 12 grupos hiperbólicos paracompactos de Coxeter de rango 6, cada uno de los cuales genera panales uniformes en el espacio 5 como permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter.

Grupos paracompactos hiperbólicos
${\bar {P}}_{5}$ = [3,3 ^[5] ]: ${\widehat {AU}}_{5}$ = [(3,3,3,3,3,4)]: ${\widehat {AR}}_{5}$ = [(3,3,4,3,3,4)]:	${\bar {S}}_{5}$ = [4,3,3 ^2,1 ]: ${\bar {O}}_{5}$ = [3,4,3 ^1,1 ]: ${\bar {N}}_{5}$ = [3,(3,4) ^1,1 ]:	${\bar {U}}_{5}$ = [3,3,3,4,3]: ${\bar {X}}_{5}$ = [3,3,4,3,3]: ${\bar {R}}_{5}$ = [3,4,3,3,4]:	${\bar {Q}}_{5}$ = [3 ^2,1,1,1 ]: ${\bar {M}}_{5}$ = [4,3,3 ^1,1,1 ]: ${\bar {L}}_{5}$ = [3 ^1,1,1,1,1 ]:

Notas sobre la construcción de Wythoff para los 6-politopos uniformes

La construcción de los politopos uniformes hexadimensionales reflectantes se realiza mediante un proceso de construcción de Wythoff y se representa mediante un diagrama de Coxeter-Dynkin , donde cada nodo representa un espejo. Los nodos están anillados para indicar qué espejos están activos. El conjunto completo de politopos uniformes generados se basa en las permutaciones únicas de los nodos anillados. Los politopos uniformes hexadimensionales se nombran en relación con los politopos regulares de cada familia. Algunas familias tienen dos constructores regulares y, por lo tanto, pueden tener dos formas de nombrarlos.

Aquí están los operadores principales disponibles para construir y nombrar los 6-politopos uniformes.

Las formas prismáticas y los gráficos bifurcados pueden utilizar la misma notación de indexación de truncamiento, pero requieren un sistema de numeración explícito en los nodos para mayor claridad.

Operación	Símbolo Schläfli extendido	Descripción
Padre	t ₀ {p, q, r, s, t}	Cualquier politopo regular de 6
Rectificado	t ₁ {p, q, r, s, t}	Los bordes están completamente truncados en puntos individuales. El politopo de 6 caras ahora tiene las caras combinadas del padre y el dual.
Birectificado	t2 {p,q,r,s,t _}	La birectificación reduce las células a sus duales .
Truncado	t _0,1 {p,q,r,s,t}	Cada vértice original se corta y una nueva cara llena el espacio vacío. El truncamiento tiene un grado de libertad que tiene una solución que crea un politopo 6 truncado uniforme. El politopo 6 tiene sus caras originales duplicadas en lados y contiene las caras del dual.
Bittruncado	t _1,2 {p, q, r, s, t}	Bitrunction transforma las celdas a su truncamiento dual.
Tritruncado	t _2,3 {p, q, r, s, t}	La tritruncación transforma 4 caras en su truncamiento dual.
Cantelado	t _0,2 {p,q,r,s,t}	Además del truncamiento de vértices, cada arista original se bisela y aparecen nuevas caras rectangulares en su lugar. Una cantelación uniforme se encuentra a medio camino entre las formas original y dual.
Bicantelado	t _1,3 {p, q, r, s, t}	Además del truncamiento de vértices, cada arista original se bisela y aparecen nuevas caras rectangulares en su lugar. Una cantelación uniforme se encuentra a medio camino entre las formas original y dual.
Runcinado	t _0,3 {p,q,r,s,t}	La runcinación reduce las células y crea nuevas células en los vértices y los bordes.
Biruncinado	t _1,4 {p, q, r, s, t}	La runcinación reduce las células y crea nuevas células en los vértices y los bordes.
Estericado	t _0,4 {p,q,r,s,t}	La esterificación reduce las 4 caras y crea 4 caras nuevas en los vértices, aristas y caras de los espacios.
Pentelado	t _0,5 {p,q,r,s,t}	La pentelación reduce las 5 caras y crea 5 caras nuevas en los vértices, aristas, caras y celdas en los espacios. ( operación de expansión para polipetas)
Omnitruncado	t _0,1,2,3,4,5 {p,q,r,s,t}	Se aplican los cinco operadores: truncamiento, cantelación, runcinación, esterificación y pentelación.

Véase también

Lista de politopos regulares § Dimensiones superiores

Notas

^ T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
^ Polipeta uniforme, Jonathan Bowers
^ Polítopo uniforme
^ "Punta N,m,k".

Referencias

T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
A. Boole Stott : Deducción geométrica de politopos semirregulares a partir de regulares y rellenos espaciales , Verhandelingen de la unidad de ancho van Wetenschappen de la academia Koninklijke Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins y JCP Miller: Poliedros uniformes , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londres, 1954
- HSM Coxeter, Politopos regulares , 3.ª edición, Dover, Nueva York, 1973
Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
- (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales de abejas , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966
Klitzing, Richard. "Polipetas (politopos uniformes 6D)".
Klitzing, Richard. "Operadores de truncamiento de politopos uniformes".

Enlaces externos

Nombres de politopos
Politopos de varias dimensiones, Jonathan Bowers
Glosario multidimensional
Glosario del hiperespacio, George Olshevsky.

en a mi Politopos fundamentales convexos regulares y uniformes en dimensiones 2–10
Familia	Un	Bn	Yo ₂ (p) / D _n	Mi ₆ / Mi ₇ / Mi ₈ / Fa ₄ / Sol ₂	H- _n
Polígono regular	Triángulo	Cuadrado	p-gon	Hexágono	Pentágono
Poliedro uniforme	Tetraedro	Octaedro • Cubo	Semicubo		Dodecaedro • Icosaedro
Policoron uniforme	Pentachoron	16 celdas • Tesseract	Acto de Demitesseract	24 celdas	120 celdas • 600 celdas
Politopo 5 uniforme	5-símplex	5-ortoplex • 5-cubo	5-demicubes
Politopo uniforme de 6 elementos	6-símplex	6-ortoplex • 6-cubo	6-demicubes	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Politopo 7 uniforme	7-símplex	7-ortoplex • 7-cubo	7-demicube	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Politopo 8 uniforme	8-símplex	8-ortoplex • 8-cubo	8-demicubes	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Politopo uniforme de 9 elementos	9-símplex	9-ortoplex • 9-cubo	9-demicubes
Politopo uniforme de 10	10-símplex	10-ortoplex • 10-cubo	10-demicubes
Politopo uniforme n	n - símplex	n - ortoplex • n - cubo	n - demicubo	1 _k2 • 2 _k1 • k21	n - politopo pentagonal
Temas: Familias de politopos • Politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos

en a mi Panales fundamentales convexos regulares y uniformes en dimensiones 2–9
Espacio	Familia	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / / ${\tilde {F}}_{4}$ ${\tilde {E}}_{n-1}$
Y ²	Azulejos uniformes	0 _[3]	delta ₃	hδ3	qδ3	Hexagonal
Y ³	Panal de abeja convexo uniforme	0 _[4]	delta ₄	hδ4	qδ4
E4	Uniforme de 4 panales	0 _[5]	del ₅	hδ5	qδ5	Panal de abeja de 24 celdas
E ⁵	Uniforme de 5 panales	0 _[6]	delta ₆	hδ6	qδ6
E6	Uniforme de 6 panales	0 _[7]	delta ₇	hδ7	qδ7	2 ₂₂
E7	Uniforme de 7 panales	0 _[8]	del ₈	hδ8	qδ8	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E8	Uniforme de 8 panales	0 _[9]	del ₉	hδ9	qδ9	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E9	Uniforme de 9 panales	0 _[10]	delta ₁₀	hδ10	qδ10
E10	Uniforme de 10 panales	0 _[11]	delta ₁₁	hδ11	qδ11
En ^-1	Uniforme ( n -1)- panal	0 _{[ n ]}	delta _n	hδn	qδn	1 _k2 • 2 _k1 • k21

[1] T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900

[2] Polipeta uniforme, Jonathan Bowers

[3] Polítopo uniforme

[4] "Punta N,m,k".