Hipérbola

En matemáticas , una hipérbola es un tipo de curva suave que se encuentra en un plano , definida por sus propiedades geométricas o por ecuaciones para las que es el conjunto solución. Una hipérbola tiene dos partes, llamadas componentes o ramas conectadas, que son imágenes especulares una de la otra y se asemejan a dos arcos infinitos . La hipérbola es uno de los tres tipos de sección cónica , formada por la intersección de un plano y un cono doble . (Las otras secciones cónicas son la parábola y la elipse . Un círculo es un caso especial de elipse). Si el plano interseca ambas mitades del cono doble pero no pasa por el vértice de los conos, entonces la cónica es una hipérbola.

Además de ser una sección cónica, una hipérbola puede surgir como el lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos fijos es constante, como una curva para cada punto de la cual los rayos a dos focos fijos son reflexiones a través de la línea tangente en ese punto, o como la solución de ciertas ecuaciones cuadráticas bivariadas como la relación recíproca ^[1] En aplicaciones prácticas, una hipérbola puede surgir como la trayectoria seguida por la sombra de la punta del gnomon de un reloj de sol , la forma de una órbita abierta como la de un objeto celeste que excede la velocidad de escape del cuerpo gravitacional más cercano, o la trayectoria de dispersión de una partícula subatómica , entre otras.${\displaystyle xy=1.}$

Cada rama de la hipérbola tiene dos brazos que se van haciendo más rectos (curvatura inferior) a medida que se alejan del centro de la hipérbola. Los brazos diagonalmente opuestos, uno de cada rama, tienden en el límite a una línea común, llamada asíntota de esos dos brazos. Por lo tanto, hay dos asíntotas, cuya intersección está en el centro de simetría de la hipérbola, que puede considerarse como el punto de espejo sobre el que cada rama se refleja para formar la otra rama. En el caso de la curva, las asíntotas son los dos ejes de coordenadas . ^[1]${\displaystyle y(x)=1/x}$

Las hipérbolas comparten muchas de las propiedades analíticas de las elipses, como la excentricidad , el foco y la directriz . Normalmente, la correspondencia se puede realizar con nada más que un cambio de signo en algún término. Muchos otros objetos matemáticos tienen su origen en la hipérbola, como los paraboloides hiperbólicos (superficies en forma de silla de montar), los hiperboloides ("cestas de basura"), la geometría hiperbólica ( la célebre geometría no euclidiana de Lobachevsky ), las funciones hiperbólicas (sinh, cosh, tanh, etc.) y los espacios girovectoriales (una geometría propuesta para su uso tanto en la relatividad como en la mecánica cuántica que no es euclidiana ).

La palabra hipérbola deriva del griego ὑπερβολή , que significa «sobre-arrojado» o «excesivo», de donde también deriva el término inglés hipérbole . Las hipérbolas fueron descubiertas por Menecmo en sus investigaciones sobre el problema de doblar el cubo , pero entonces se las llamaba secciones de conos obtusos. ^[2] Se cree que el término hipérbola fue acuñado por Apolonio de Perge ( c.  262  – c.  190 a. C. ) en su obra definitiva sobre las secciones cónicas , las Cónicas . ^[3] Los nombres de las otras dos secciones cónicas generales, la elipse y la parábola , derivan de las palabras griegas correspondientes para «deficiente» y «aplicada»; los tres nombres son préstamos de la terminología pitagórica anterior que se refería a una comparación del lado de rectángulos de área fija con un segmento de línea dado. El rectángulo podría ser "aplicado" al segmento (es decir, tener una longitud igual), ser más corto que el segmento o exceder el segmento. ^[4]

Una hipérbola se puede definir geométricamente como un conjunto de puntos ( lugar geométrico de puntos ) en el plano euclidiano:

Una hipérbola es un conjunto de puntos, tal que para cualquier punto del conjunto, la diferencia absoluta de las distancias a dos puntos fijos (los focos ) es constante, usualmente denotada por : ^[5]${\estilo de visualización P}$${\displaystyle |PF_{1}|,\,|PF_{2}|}$$Estilo de visualización F_{1},F_{2}}$${\displaystyle 2a,\,a>0}$$${\displaystyle H=\left\{P:\left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a\right\}.}$$

El punto medio del segmento de línea que une los focos se llama centro de la hipérbola. ^[6] La línea que pasa por los focos se llama eje mayor . Contiene los vértices , que tienen distancia al centro. La distancia de los focos al centro se llama distancia focal o excentricidad lineal . El cociente es la excentricidad .${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\tfrac {c}{a}}}$ ${\displaystyle e}$

La ecuación se puede ver de una manera diferente (ver diagrama): Si es el círculo con punto medio y radio , entonces la distancia de un punto de la rama derecha al círculo es igual a la distancia al foco : se llama directriz circular (relacionada con el foco ) de la hipérbola. ^{[7] [8]} Para obtener la rama izquierda de la hipérbola, uno tiene que usar la directriz circular relacionada con . Esta propiedad no debe confundirse con la definición de una hipérbola con ayuda de una directriz (línea) a continuación.${\displaystyle \left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a}$
${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle 2a}$${\displaystyle P}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle F_{1}}$$${\displaystyle |PF_{1}|=|Pc_{2}|.}$$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{1}}$

Si el sistema de coordenadas xy se gira alrededor del origen por el ángulo y se asignan nuevas coordenadas , entonces . La hipérbola rectangular (cuyos semiejes son iguales) tiene la nueva ecuación . Resolviendo para se obtiene${\displaystyle +45^{\circ }}$${\displaystyle \xi ,\eta }$${\displaystyle x={\tfrac {\xi +\eta }{\sqrt {2}}},\;y={\tfrac {-\xi +\eta }{\sqrt {2}}}}$
${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-y^{2}}{a^{2}}}=1}$${\displaystyle {\tfrac {2\xi \eta }{a^{2}}}=1}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta ={\tfrac {a^{2}/2}{\xi }}\ .}$

Así, en un sistema de coordenadas xy la gráfica de una función con ecuación es una hipérbola rectangular enteramente en el primer y tercer cuadrantes con${\displaystyle f:x\mapsto {\tfrac {A}{x}},\;A>0\;,}$$${\displaystyle y={\frac {A}{x}}\;,A>0\;,}$$

• los ejes de coordenadas como asíntotas ,
• la línea como eje mayor ,${\displaystyle y=x}$
• El centro y el semieje${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• Los vértices ${\displaystyle \left({\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left(-{\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;,}$
• el semi-lato recto y el radio de curvatura en los vértices${\displaystyle p=a={\sqrt {2A}}\;,}$
• La excentricidad lineal y la excentricidad${\displaystyle c=2{\sqrt {A}}}$${\displaystyle e={\sqrt {2}}\;,}$
• la tangente en el punto${\displaystyle y=-{\tfrac {A}{x_{0}^{2}}}x+2{\tfrac {A}{x_{0}}}}$${\displaystyle (x_{0},A/x_{0})\;.}$

Una rotación de la hipérbola original da como resultado una hipérbola rectangular enteramente en el segundo y cuarto cuadrantes, con las mismas asíntotas, centro, semilato recto, radio de curvatura en los vértices, excentricidad lineal y excentricidad que para el caso de rotación, con ecuación${\displaystyle -45^{\circ }}$${\displaystyle +45^{\circ }}$$${\displaystyle y=-{\frac {A}{x}}\;,~~A>0\;,}$$

• los semiejes ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• la línea como eje mayor,${\displaystyle y=-x}$
• Los vértices ${\displaystyle \left(-{\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left({\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;.}$

Al desplazar la hipérbola con ecuación de modo que el nuevo centro sea , se obtiene la nueva ecuación y las nuevas asíntotas son y . Los parámetros de forma permanecen inalterados.${\displaystyle y={\frac {A}{x}},\ A\neq 0\ ,}$${\displaystyle (c_{0},d_{0})}$$${\displaystyle y={\frac {A}{x-c_{0}}}+d_{0}\;,}$$${\displaystyle x=c_{0}}$${\displaystyle y=d_{0}}$${\displaystyle a,b,p,c,e}$

Las dos rectas alejadas del centro y paralelas al eje menor se llaman directrices de la hipérbola (ver diagrama).${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}}$

Para un punto arbitrario de la hipérbola, el cociente de la distancia a un foco y a la directriz correspondiente (ver diagrama) es igual a la excentricidad: La prueba para el par se sigue del hecho de que y satisfacen la ecuación El segundo caso se demuestra análogamente.${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\frac {|PF_{1}|}{|Pl_{1}|}}={\frac {|PF_{2}|}{|Pl_{2}|}}=e={\frac {c}{a}}\,.}$$${\displaystyle F_{1},l_{1}}$${\displaystyle |PF_{1}|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ |Pl_{1}|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$${\displaystyle y^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}$$${\displaystyle |PF_{1}|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}|Pl_{1}|^{2}=0\ .}$$

La afirmación inversa también es verdadera y puede utilizarse para definir una hipérbola (de manera similar a la definición de una parábola):

Para cualquier punto (foco), cualquier recta (directriz) no pasante y cualquier número real con el conjunto de puntos (lugar geométrico de los puntos), para el cual el cociente de las distancias al punto y a la recta es es una hipérbola.${\displaystyle F}$${\displaystyle l}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e}$${\displaystyle e>1}$${\displaystyle e}$$${\displaystyle H=\left\{P\,{\Biggr |}\,{\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right\}}$$

(La elección da como resultado una parábola y si una elipse .)${\displaystyle e=1}$${\displaystyle e<1}$

Sea y supongamos que es un punto en la curva. La directriz tiene ecuación . Con , la relación produce las ecuaciones${\displaystyle F=(f,0),\ e>0}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle l}$${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$${\displaystyle P=(x,y)}$${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\tfrac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$y${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

La sustitución da Esta es la ecuación de una elipse ( ) o una parábola ( ) o una hipérbola ( ). Todas estas cónicas no degeneradas tienen en común el origen como vértice (ver diagrama).${\displaystyle p=f(1+e)}$$${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2px-y^{2}=0.}$$${\displaystyle e<1}$${\displaystyle e=1}$${\displaystyle e>1}$

Si , introduzca nuevos parámetros de modo que , y entonces la ecuación anterior se convierte en que es la ecuación de una hipérbola con centro , el eje x como eje mayor y el semieje mayor/menor .${\displaystyle e>1}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle e^{2}-1={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$$${\displaystyle {\frac {(x+a)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}$$${\displaystyle (-a,0)}$${\displaystyle a,b}$

Debido a que el punto de la directriz (ver diagrama) y el foco son inversos con respecto a la inversión del círculo en el círculo (en el diagrama verde), el punto se puede construir utilizando el teorema de Tales (no se muestra en el diagrama). La directriz es la perpendicular a la línea que pasa por el punto .${\displaystyle c\cdot {\tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle l_{1}}$${\displaystyle {\overline {F_{1}F_{2}}}}$${\displaystyle E_{1}}$

Construcción alternativa de${\displaystyle E_{1}}$ : El cálculo muestra que el punto es la intersección de la asíntota con su perpendicular (ver diagrama).${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle F_{1}}$

La intersección de un cono doble vertical con un plano que no pasa por el vértice y cuya pendiente es mayor que la pendiente de las líneas del cono es una hipérbola (ver diagrama: curva roja). Para demostrar la propiedad definitoria de una hipérbola (ver arriba) se utilizan dos esferas de Dandelin , que son esferas que tocan el cono a lo largo de círculos , y el plano de intersección (hipérbola) en los puntos y . Resulta que: son los focos de la hipérbola.${\displaystyle d_{1},d_{2}}$${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{1},F_{2}}$

1. Sea un punto arbitrario de la curva de intersección.${\displaystyle P}$
2. La generatriz del cono que contiene interseca al círculo en el punto y al círculo en un punto .${\displaystyle P}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle B}$
3. Los segmentos de línea y son tangentes a la esfera y, por lo tanto, tienen la misma longitud.${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$${\displaystyle {\overline {PA}}}$${\displaystyle d_{1}}$
4. Los segmentos de línea y son tangentes a la esfera y, por lo tanto, tienen la misma longitud.${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$${\displaystyle {\overline {PB}}}$${\displaystyle d_{2}}$
5. El resultado es: es independiente del punto de la hipérbola , porque no importa dónde se encuentre el punto, debe estar en los círculos , y el segmento de línea debe cruzar el vértice. Por lo tanto, a medida que el punto se mueve a lo largo de la curva roja (hipérbola), el segmento de línea simplemente gira alrededor del vértice sin cambiar su longitud.${\displaystyle |PF_{1}|-|PF_{2}|=|PA|-|PB|=|AB|}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$

La definición de una hipérbola por sus focos y sus directrices circulares (ver arriba) se puede utilizar para dibujar un arco de la misma con ayuda de alfileres, una cuerda y una regla: ^[9]

0. Elige los focos , los vértices y una de las directrices circulares , por ejemplo (círculo con radio )${\displaystyle F_{1},F_{2}}$${\displaystyle V_{1},V_{2}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle 2a}$
1. Se fija una regla en un punto que puede girar libremente . El punto está marcado a una distancia de .${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle 2a}$
2. Se prepara una cuerda con longitud .${\displaystyle |AB|}$
3. Un extremo de la cuerda está fijado en un punto de la regla, el otro extremo está fijado en el punto .${\displaystyle A}$${\displaystyle F_{1}}$
4. Tome un bolígrafo y sujete la cuerda firmemente contra el borde de la regla.
5. Al girar la regla, el lápiz dibuja un arco de la rama derecha de la hipérbola, debido a (ver la definición de una hipérbola por directrices circulares ).${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle |PF_{1}|=|PB|}$

El siguiente método para construir puntos individuales de una hipérbola se basa en la generación de Steiner de una sección cónica no degenerada :

Dados dos lápices de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen y , respectivamente) y una aplicación proyectiva pero no perspectiva de sobre , entonces los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada.${\displaystyle B(U),B(V)}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle B(U)}$${\displaystyle B(V)}$

Para la generación de puntos de la hipérbola se utilizan los lápices en los vértices . Sea un punto de la hipérbola y . El segmento de recta se divide en n segmentos igualmente espaciados y esta división se proyecta paralelamente con la diagonal como dirección sobre el segmento de recta (ver diagrama). La proyección paralela es parte de la proyección proyectiva entre los lápices en y necesarios. Los puntos de intersección de dos rectas relacionadas y son puntos de la hipérbola definida de forma única.${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$${\displaystyle V_{1},V_{2}}$${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle A=(a,y_{0}),B=(x_{0},0)}$${\displaystyle {\overline {BP}}}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle {\overline {AP}}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{2}}$${\displaystyle S_{1}A_{i}}$${\displaystyle S_{2}B_{i}}$

Observaciones:

• La subdivisión podría extenderse más allá de los puntos y así obtener más puntos, pero la determinación de los puntos de intersección sería más imprecisa. Una mejor idea es extender los puntos ya construidos por simetría (ver animación).${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
• La generación de Steiner también existe para elipses y parábolas.
• La generación de Steiner a veces se denomina método del paralelogramo porque se pueden utilizar otros puntos en lugar de los vértices, que comienzan con un paralelogramo en lugar de un rectángulo.

Una hipérbola con ecuación está determinada de forma única por tres puntos con coordenadas x e y diferentes . Una forma sencilla de determinar los parámetros de forma es utilizar el teorema del ángulo inscrito para hipérbolas:${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c,\ a\neq 0}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;(x_{2},y_{2}),\;(x_{3},y_{3})}$${\displaystyle a,b,c}$

Para medir un ángulo entre dos líneas con ecuaciones en este contexto se utiliza el cociente${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}\ ,m_{1},m_{2}\neq 0}$$${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}\ .}$$

De manera análoga al teorema del ángulo inscrito para círculos se obtiene el

Una consecuencia del teorema del ángulo inscrito para las hipérbolas es la

Otra definición de hipérbola utiliza transformaciones afines :

Cualquier hipérbola es la imagen afín de la hipérbola unitaria con ecuación .${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma , donde es una matriz regular (su determinante no es 0) y es un vector arbitrario. Si son los vectores columna de la matriz , la hipérbola unitaria se mapea sobre la hipérbola.${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (\pm \cosh(t),\sinh(t)),t\in \mathbb {R} ,}$

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\ .}$$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$es el centro, un punto de la hipérbola y un vector tangente en este punto.${\displaystyle {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$

En general, los vectores no son perpendiculares. Es decir, en general no son los vértices de la hipérbola, sino que apuntan en las direcciones de las asíntotas. El vector tangente en el punto es Como en un vértice la tangente es perpendicular al eje mayor de la hipérbola, se obtiene el parámetro de un vértice de la ecuación y, por lo tanto, de donde se obtiene${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{1}\pm {\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\ .}$$${\displaystyle t_{0}}$$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\right)=0}$$$${\displaystyle \coth(2t_{0})=-{\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}+{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\ ,}$$

$${\displaystyle t_{0}={\tfrac {1}{4}}\ln {\tfrac {\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}{\left({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}}.}$$

Se utilizaron las fórmulas , , y .${\displaystyle \cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh 2x}$ ${\displaystyle 2\sinh x\cosh x=\sinh 2x}$${\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\tfrac {1}{2}}\ln {\tfrac {x+1}{x-1}}}$

Los dos vértices de la hipérbola son ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm \left({\vec {f}}_{1}\cosh t_{0}+{\vec {f}}_{2}\sinh t_{0}\right).}$

Resolviendo la representación paramétrica para mediante la regla de Cramer y utilizando , se obtiene la representación implícita${\displaystyle \cosh t,\sinh t}$${\displaystyle \;\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t-1=0\;}$$${\displaystyle \det \left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}-\det \left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}-\det \left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}=0.}$$

La definición de hipérbola en esta sección da una representación paramétrica de una hipérbola arbitraria, incluso en el espacio, si se permite que haya vectores en el espacio.${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

Como la hipérbola unitaria es afínmente equivalente a la hipérbola , una hipérbola arbitraria puede considerarse como la imagen afín (ver sección anterior) de la hipérbola :${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$${\displaystyle y=1/x}$${\displaystyle y=1/x\,}$

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\quad t\neq 0\,.}$$

${\displaystyle M:{\vec {f}}_{0}}$es el centro de la hipérbola, los vectores tienen las direcciones de las asíntotas y es un punto de la hipérbola. El vector tangente es En un vértice la tangente es perpendicular al eje mayor. Por lo tanto y el parámetro de un vértice es${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}}$$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}.}$$$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)={\vec {f}}_{1}^{2}t-{\vec {f}}_{2}^{2}{\tfrac {1}{t^{3}}}=0}$$

$${\displaystyle t_{0}=\pm {\sqrt[{4}]{\frac {{\vec {f}}_{2}^{2}}{{\vec {f}}_{1}^{2}}}}.}$$

${\displaystyle \left|{\vec {f}}\!_{1}\right|=\left|{\vec {f}}\!_{2}\right|}$es equivalente a y son los vértices de la hipérbola.${\displaystyle t_{0}=\pm 1}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$

Las siguientes propiedades de una hipérbola se demuestran fácilmente utilizando la representación de una hipérbola presentada en esta sección.

El vector tangente se puede reescribir mediante factorización: Esto significa que$${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\tfrac {1}{t}}\left({\vec {f}}_{1}t-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)\ .}$$

La diagonal del paralelogramo es paralela a la tangente en el punto de la hipérbola (ver diagrama).${\displaystyle AB}$${\displaystyle M:\ {\vec {f}}_{0},\ A={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t,\ B:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\ P:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$${\displaystyle P}$

Esta propiedad proporciona una forma de construir la tangente en un punto de la hipérbola.

Esta propiedad de una hipérbola es una versión afín de la degeneración de tres puntos del teorema de Pascal . ^[12]

Área del paralelogramo gris

El área del paralelogramo gris en el diagrama anterior es y, por lo tanto, independiente del punto . La última ecuación se desprende de un cálculo para el caso, donde es un vértice y la hipérbola en su forma canónica.${\displaystyle MAPB}$$${\displaystyle {\text{Area}}=\left|\det \left(t{\vec {f}}_{1},{\tfrac {1}{t}}{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\left|\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\cdots ={\frac {a^{2}+b^{2}}{4}}}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,.}$

Para una hipérbola con representación paramétrica (para simplificar el centro es el origen) se cumple lo siguiente:${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$

Para dos puntos cualesquiera, los puntos${\displaystyle P_{1}:\ {\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}},\ P_{2}:\ {\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}}}$

$${\displaystyle A:\ {\vec {a}}={\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}},\ B:\ {\vec {b}}={\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}}}$$

son colineales con el centro de la hipérbola (ver diagrama).

La prueba simple es una consecuencia de la ecuación .${\displaystyle {\tfrac {1}{t_{1}}}{\vec {a}}={\tfrac {1}{t_{2}}}{\vec {b}}}$

Esta propiedad proporciona la posibilidad de construir puntos de una hipérbola si se dan las asíntotas y un punto.

Esta propiedad de una hipérbola es una versión afín de la degeneración de 4 puntos del teorema de Pascal . ^[13]

Para simplificar, el centro de la hipérbola puede ser el origen y los vectores tienen la misma longitud. Si no se cumple el último supuesto, se puede aplicar primero una transformación de parámetros (ver arriba) para que el supuesto sea verdadero. Por lo tanto , los vértices abarcan el eje menor y se obtiene y .${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})}$${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}|=a}$${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}|=b}$

Para los puntos de intersección de la tangente en el punto con las asíntotas se obtienen los puntos El área del triángulo se puede calcular mediante un determinante 2 × 2: (ver reglas para determinantes ). es el área del rombo generado por . El área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales. Las diagonales son los semiejes de la hipérbola. Por lo tanto:${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{1}t_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{0}}}}$$${\displaystyle C=2t_{0}{\vec {f}}_{1},\ D={\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}.}$$${\displaystyle M,C,D}$$${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\Big |}\det \left(2t_{0}{\vec {f}}_{1},{\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}=2{\Big |}\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}}$$${\displaystyle \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$${\displaystyle a,b}$

El área del triángulo es independiente del punto de la hipérbola:${\displaystyle MCD}$${\displaystyle A=ab.}$

La reciprocidad de un círculo B en un círculo C siempre produce una sección cónica como una hipérbola. El proceso de "reciprocidad en un círculo C " consiste en reemplazar cada línea y punto en una figura geométrica por su polo y polar correspondientes , respectivamente. El polo de una línea es la inversión de su punto más cercano al círculo C , mientras que el polar de un punto es el inverso, es decir, una línea cuyo punto más cercano a C es la inversión del punto.

La excentricidad de la sección cónica obtenida por reciprocidad es la relación entre las distancias entre los centros de los dos círculos y el radio r del círculo de reciprocidad C. Si B y C representan los puntos en los centros de los círculos correspondientes, entonces

$${\displaystyle e={\frac {\overline {BC}}{r}}.}$$

Como la excentricidad de una hipérbola es siempre mayor que uno, el centro B debe estar fuera del círculo alternativo C.

Esta definición implica que la hipérbola es tanto el lugar geométrico de los polos de las rectas tangentes al círculo B como la envolvente de las rectas polares de los puntos de B. A la inversa, el círculo B es la envolvente de los polares de los puntos de la hipérbola y el lugar geométrico de los polos de las rectas tangentes a la hipérbola. Dos rectas tangentes a B no tienen polos (finitos) porque pasan por el centro C del círculo de reciprocidad C ; las polares de los puntos tangentes correspondientes de B son las asíntotas de la hipérbola. Las dos ramas de la hipérbola corresponden a las dos partes del círculo B que están separadas por estos puntos tangentes.

Una hipérbola también se puede definir como una ecuación de segundo grado en las coordenadas cartesianas en el plano ,${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0,}$$

siempre que las constantes y satisfagan la condición determinante${\displaystyle A_{xx},}$ ${\displaystyle A_{xy},}$ ${\displaystyle A_{yy},}$ ${\displaystyle B_{x},}$ ${\displaystyle B_{y},}$${\displaystyle C}$

$${\displaystyle D:={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\\A_{xy}&A_{yy}\end{vmatrix}}<0.}$$

Este determinante se denomina convencionalmente discriminante de la sección cónica. ^[14]

Un caso especial de hipérbola (la hipérbola degenerada que consiste en dos líneas que se intersecan) ocurre cuando otro determinante es cero:

$${\displaystyle \Delta :={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{vmatrix}}=0.}$$

Este determinante a veces se denomina discriminante de la sección cónica. ^[15]${\displaystyle \Delta }$

Los coeficientes de la ecuación general se pueden obtener a partir de las coordenadas conocidas del centro del semieje mayor y del semieje menor , y del ángulo de rotación (el ángulo desde el eje horizontal positivo hasta el eje mayor de la hipérbola) utilizando las fórmulas:${\displaystyle a,}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle (x_{\circ },y_{\circ })}$${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{xx}&=-a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta ,&B_{x}&=-A_{xx}x_{\circ }-A_{xy}y_{\circ },\\[1ex]A_{yy}&=-a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta ,&B_{y}&=-A_{xy}x_{\circ }-A_{yy}y_{\circ },\\[1ex]A_{xy}&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\sin \theta \cos \theta ,&C&=A_{xx}x_{\circ }^{2}+2A_{xy}x_{\circ }y_{\circ }+A_{yy}y_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

Estas expresiones pueden derivarse de la ecuación canónica

$${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}-{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$

por una traslación y rotación de las coordenadas :${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}X&={\phantom {+}}\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{alignedat}}}$$

Dada la parametrización general anterior de la hipérbola en coordenadas cartesianas, la excentricidad se puede encontrar utilizando la fórmula en Sección cónica#Excentricidad en términos de coeficientes .

El centro de la hipérbola se puede determinar a partir de las fórmulas${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}B_{x}&A_{xy}\\B_{y}&A_{yy}\end{vmatrix}}\,,\\[1ex]y_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}A_{xx}&B_{x}\\A_{xy}&B_{y}\end{vmatrix}}\,.\end{aligned}}}$$

En términos de nuevas coordenadas, la ecuación definitoria de la hipérbola se puede escribir${\displaystyle \xi =x-x_{c}}$${\displaystyle \eta =y-y_{c},}$

$${\displaystyle A_{xx}\xi ^{2}+2A_{xy}\xi \eta +A_{yy}\eta ^{2}+{\frac {\Delta }{D}}=0.}$$

Los ejes principales de la hipérbola forman un ángulo con el eje positivo que está dado por${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \tan(2\varphi )={\frac {2A_{xy}}{A_{xx}-A_{yy}}}.}$$

Al girar los ejes de coordenadas de modo que el eje esté alineado con el eje transversal, la ecuación adquiere su forma canónica.${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$$

Los semiejes mayor y menor están definidos por las ecuaciones${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}},\\[1ex]b^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{2}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}},\end{aligned}}}$$

donde y son las raíces de la ecuación cuadrática${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

$${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(A_{xx}+A_{yy}\right)\lambda +D=0.}$$

A modo de comparación, la ecuación correspondiente para una hipérbola degenerada (que consta de dos líneas que se cruzan) es

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}$$

La línea tangente a un punto dado de la hipérbola está definida por la ecuación${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

$${\displaystyle Ex+Fy+G=0}$$

donde y se definen por${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle F,}$${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=A_{xx}x_{0}+A_{xy}y_{0}+B_{x},\\[1ex]F&=A_{xy}x_{0}+A_{yy}y_{0}+B_{y},\\[1ex]G&=B_{x}x_{0}+B_{y}y_{0}+C.\end{aligned}}}$$

La recta normal a la hipérbola en el mismo punto viene dada por la ecuación

$${\displaystyle F(x-x_{0})-E(y-y_{0})=0.}$$

La recta normal es perpendicular a la recta tangente y ambas pasan por el mismo punto${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$

De la ecuación

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\qquad 0<b\leq a,}$$

El foco izquierdo es y el foco derecho es donde es la excentricidad. Denote las distancias desde un punto a los focos izquierdo y derecho como y Para un punto en la rama derecha,${\displaystyle (-ae,0)}$${\displaystyle (ae,0),}$${\displaystyle e}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}.}$

$${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a,}$$

y para un punto en la rama izquierda,

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.}$$

Esto se puede demostrar de la siguiente manera:

Si es un punto en la hipérbola la distancia al punto focal izquierdo es${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle r_{1}^{2}=(x+ae)^{2}+y^{2}=x^{2}+2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex+a)^{2}.}$$

Al punto focal derecho la distancia es

$${\displaystyle r_{2}^{2}=(x-ae)^{2}+y^{2}=x^{2}-2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex-a)^{2}.}$$