Curva inversa

En geometría inversa , una curva inversa de una curva dada C es el resultado de aplicar una operación inversa a C. Específicamente, con respecto a un círculo fijo con centro O y radio k, la inversa de un punto Q es el punto P para el cual P se encuentra en el rayo OQ y OP · OQ = k ² . La inversa de la curva C es entonces el lugar geométrico de P cuando Q se extiende sobre C . El punto O en esta construcción se llama centro de inversión , el círculo círculo de inversión y k radio de inversión .

Una inversión aplicada dos veces es la transformación identidad, por lo que la inversa de una curva inversa con respecto al mismo círculo es la curva original. Los puntos del círculo de inversión están fijados por la inversión, por lo que su inversa es ella misma.

La inversa del punto ( x , y ) con respecto al círculo unitario es ( X , Y ) donde

${\displaystyle X={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},\qquad Y={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}} ,}$

o equivalentemente

${\displaystyle x={\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\qquad y={\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}} .}$

Por lo tanto, la inversa de la curva determinada por f ( x , y ) = 0 con respecto al círculo unitario es

${\displaystyle f\left({\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},{\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}\right)=0.}$

De esto se desprende claramente que invertir una curva algebraica de grado n con respecto a un círculo produce una curva algebraica de grado como máximo 2 n .

De manera similar, la inversa de la curva definida paramétricamente por las ecuaciones

${\displaystyle x=x(t),\qquad y=y(t)}$

con respecto al círculo unitario se da paramétricamente como

${\displaystyle {\begin{aligned}X=X(t)&={\frac {x(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}},\\Y=Y(t)&={\frac {y(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Esto implica que la inversa circular de una curva racional también es racional.

De manera más general, la inversa de la curva determinada por f ( x , y ) = 0 con respecto al círculo con centro ( a , b ) y radio k es

${\displaystyle f\left(a+{\frac {k^{2}(Xa)}{(Xa)^{2}+(Yb)^{2}}},b+{\frac {k^{2}(Yb)}{(Xa)^{2}+(Yb)^{2}}}\right)=0.}$

La inversa de la curva definida paramétricamente por

${\displaystyle x=x(t),\qquad y=y(t)}$

con respecto al mismo círculo se da paramétricamente como

${\displaystyle {\begin{aligned}X=X(t)&=a+{\frac {k^{2}{\bigl (}x(t)-a{\bigr )}}{{\bigl (}x(t)-a{\bigr )}^{2}+{\bigl (}y(t)-b{\bigr )}^{2}}},\\Y=Y(t)&=b+{\frac {k^{2}{\bigl (}y(t)-b{\bigr )}}{{\bigl (}x(t)-a{\bigr )}^{2}+{\bigl (}y(t)-b{\bigr )}^{2}}}.\end{aligned}}}$

En coordenadas polares , las ecuaciones son más sencillas cuando el círculo de inversión es el círculo unitario. La inversa del punto ( r , θ ) con respecto al círculo unitario es ( R , Θ ) donde

${\displaystyle R={\frac {1}{r}},\qquad \Theta =\theta .}$

Por lo tanto, la inversa de la curva f ( r , θ ) = 0 está determinada por f ( ⁠1/R⁠ , Θ ) = 0 y la inversa de la curva r = g ( θ ) es r = ⁠1/g ( θ )⁠ .

Como se señaló anteriormente, la inversa con respecto a un círculo de una curva de grado n tiene un grado como máximo de 2 n . El grado es exactamente 2 n a menos que la curva original pase por el punto de inversión o sea circular , lo que significa que contiene los puntos circulares, (1, ± i , 0) , cuando se considera como una curva en el plano proyectivo complejo. En general, la inversión con respecto a una curva arbitraria puede producir una curva algebraica con un grado proporcionalmente mayor.

Específicamente, si C es p -circular de grado n , y si el centro de inversión es una singularidad de orden q en C , entonces la curva inversa será una curva ( n − p − q ) -circular de grado 2 n − 2 p − q y el centro de inversión es una singularidad de orden n − 2 p en la curva inversa. Aquí q = 0 si la curva no contiene el centro de inversión y q = 1 si el centro de inversión es un punto no singular en ella; de manera similar, los puntos circulares, (1, ± i , 0) , son singularidades de orden p en C . El valor k puede eliminarse de estas relaciones para mostrar que el conjunto de curvas p -circulares de grado p + k , donde p puede variar pero k es un entero positivo fijo, es invariante bajo inversión.

Aplicando la transformación anterior a la lemniscata de Bernoulli

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)}$

nos da

${\displaystyle a^{2}\left(u^{2}-v^{2}\right)=1,}$

la ecuación de una hipérbola; dado que la inversión es una transformación biracional y la hipérbola es una curva racional, esto demuestra que la lemniscata también es una curva racional, es decir, una curva de género cero.

Si aplicamos la transformación a la curva de Fermat x ⁿ + y ⁿ = 1 , donde n es impar, obtenemos

${\displaystyle \left(u^{2}+v^{2}\right)^{n}=u^{n}+v^{n}.}$

Cualquier punto racional en la curva de Fermat tiene un punto racional correspondiente en esta curva, lo que da una formulación equivalente del último teorema de Fermat .

Como ejemplo de curvas trascendentales , la espiral de Arquímedes y la espiral hiperbólica son curvas inversas. De manera similar, la espiral de Fermat y la espiral de Litius son curvas inversas. La espiral logarítmica es su propia inversa. ^[1]

Para simplificar, el círculo de inversión en los siguientes casos será el círculo unitario. Los resultados de otros círculos de inversión se pueden obtener mediante la traslación y ampliación de la curva original.

Para una línea que pasa por el origen, la ecuación polar es θ = θ ₀ , donde θ ₀ es fijo y permanece invariable bajo la inversión.

La ecuación polar para una línea que no pasa por el origen es

${\displaystyle r\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)=a}$

y la ecuación de la curva inversa es

${\displaystyle r=a\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)}$

que define un círculo que pasa por el origen. Aplicando la inversión nuevamente se ve que la inversa de un círculo que pasa por el origen es una línea.

En coordenadas polares, la ecuación general para un círculo que no pasa por el origen (habiéndose cubierto los otros casos) es

${\displaystyle r^{2}-2r_{0}r\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)+r_{0}^{2}-a^{2}=0,\qquad (a>0,\ r>0,\ a\neq r_{0})}$

donde a es el radio y ( r ₀ , θ ₀ ) son las coordenadas polares del centro. La ecuación de la curva inversa es entonces

${\displaystyle 1-2r_{0}r\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)+\left(r_{0}^{2}-a^{2}\right)r^{2}=0,}$

o

${\displaystyle r^{2}-{\frac {2r_{0}}{r_{0}^{2}-a^{2}}}r\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)+{\frac {1}{r_{0}^{2}-a^{2}}}=0.}$

Esta es la ecuación de un círculo con radio.

${\displaystyle A={\frac {a}{\left|r_{0}^{2}-a^{2}\right|}}}$

y centro cuyas coordenadas polares son

${\displaystyle \left(R_{0},\Theta _{0}\right)=\left({\frac {r_{0}}{r_{0}^{2}-a^{2}}},\theta _{0}\right).}$

Tenga en cuenta que R ₀ puede ser negativo.

Si el círculo original se interseca con el círculo unitario, entonces los centros de los dos círculos y un punto de intersección forman un triángulo con lados 1, a , r ₀ este es un triángulo rectángulo, es decir, los radios están en ángulos rectos, exactamente cuando

${\displaystyle r_{0}^{2}=a^{2}+1.}$

Pero de las ecuaciones anteriores, el círculo original es el mismo que el círculo inverso exactamente cuando

${\displaystyle r_{0}^{2}-a^{2}=1.}$

Entonces, el inverso de un círculo es el mismo círculo si y sólo si interseca el círculo unitario en ángulos rectos.

Para resumir y generalizar esta sección y la anterior:

1. La inversa de una línea o de un círculo es una línea o un círculo.
2. Si la curva original es una línea, entonces la curva inversa pasará por el centro de inversión. Si la curva original pasa por el centro de inversión, entonces la curva invertida será una línea.
3. La curva invertida será la misma que la original exactamente cuando la curva intersecta el círculo de inversión en ángulos rectos.

La ecuación de una parábola es, hasta semejanza, trasladarse de modo que el vértice esté en el origen y rotar de modo que el eje sea horizontal, x = y ² . En coordenadas polares esto se convierte en

${\displaystyle r={\frac {\cos \theta }{\sin ^{2}\theta }}.}$

La curva inversa tiene entonces la ecuación

${\displaystyle r={\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos \theta }}=\sin \theta \tan \theta }$

que es la cisoide de Diocles .

La ecuación polar de una sección cónica con un foco en el origen es, hasta semejanza

${\displaystyle r={\frac {1}{1+e\cos \theta }},}$

donde e es la excentricidad. La inversa de esta curva será entonces

${\displaystyle r=1+e\cos \theta ,}$

que es la ecuación de un limazón de Pascal . Cuando e = 0 este es el círculo de inversión. Cuando 0 < e < 1 la curva original es una elipse y la inversa es una curva cerrada simple con un nodo ac en el origen. Cuando e = 1 la curva original es una parábola y la inversa es la cardioide que tiene una cúspide en el origen. Cuando e > 1 la curva original es una hipérbola y la inversa forma dos bucles con un nodo crónico en el origen.

La ecuación general de una elipse o hipérbola es

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Traduciendo esto de modo que el origen sea uno de los vértices se obtiene

${\displaystyle {\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

y reorganizando da

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2a}}\pm {\frac {ay^{2}}{2b^{2}}}=x}$

o, cambiando constantes,

${\displaystyle cx^{2}+dy^{2}=x.}$

Nótese que la parábola anterior ahora encaja en este esquema al poner c = 0 y d = 1. La ecuación de la inversa es

${\displaystyle {\frac {cx^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}$

o

${\displaystyle x\left(x^{2}+y^{2}\right)=cx^{2}+dy^{2}.}$

Esta ecuación describe una familia de curvas llamadas concoides de De Sluze . Esta familia incluye, además de la cisoide de Diocles mencionada anteriormente, la trisectriz de Maclaurin ( d = − ⁠do/3⁠ ) ​​y el estrofoide derecho ( d = − c ).

Invertir la ecuación de una elipse o hipérbola

${\displaystyle cx^{2}+dy^{2}=1}$

da

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=cx^{2}+dy^{2}}$

que es la hipopeda . Cuando d = − c esta es la lemniscata de Bernoulli .

Aplicando la fórmula de grados anterior, la inversa de una cónica (que no sea un círculo) es una cúbica circular si el centro de inversión está en la curva, y una cuártica bicircular en caso contrario. Las cónicas son racionales, por lo que las curvas inversas también lo son. A la inversa, cualquier cúbica circular racional o cuártica bicircular racional es la inversa de una cónica. De hecho, cualquier curva de este tipo debe tener una singularidad real y, tomando este punto como centro de inversión, la curva inversa será una cónica según la fórmula de grados. ^{[2] [3]}

Una curva analagmática es aquella que se invierte sobre sí misma. Algunos ejemplos son el círculo , la cardioide , el óvalo de Cassini , la estrofoide y la trisectriz de Maclaurin .

• Geometría inversa
• Inversión de curvas y superficies (alemán)

• Stubbs, JW (1843). "Sobre la aplicación de un nuevo método a la geometría de curvas y superficies curvas". Philosophical Magazine . Serie 3. 23 : 338–347.
• Lawrence, J. Dennis (1972). Catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. pp. 43–46, 121. ISBN 0-486-60288-5.
• Weisstein, Eric W. "Curva inversa". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Curva analagmática". MathWorld .
• "Inversión" en el Diccionario visual de curvas planas especiales
• "Inverse d'une Courbe par Rapport à un Point" en la Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

• Definición en el Índice de curvas famosas de MacTutor. Este sitio también tiene ejemplos de curvas inversas y una aplicación Java para explorar las curvas inversas de cada curva del índice.