Espacio girovectorial

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Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

Un espacio girovectorial es un concepto matemático propuesto por Abraham A. Ungar para estudiar la geometría hiperbólica en analogía con la forma en que se utilizan los espacios vectoriales en la geometría euclidiana . ^[1] Ungar introdujo el concepto de girovectores que tienen una adición basada en girogrupos en lugar de vectores que tienen una adición basada en grupos . Ungar desarrolló su concepto como una herramienta para la formulación de la relatividad especial como una alternativa al uso de transformaciones de Lorentz para representar composiciones de velocidades (también llamadas impulsos ; los "impulsos" son aspectos de las velocidades relativas y no deben confundirse con " traslaciones "). Esto se logra introduciendo "operadores giroscópicos"; se utilizan dos vectores de velocidad 3D para construir un operador, que actúa sobre otra velocidad 3D.

Los girogrupos son estructuras de tipo grupo débilmente asociativas. Ungar propuso el término girogrupo para lo que llamó un girogrupo giroconmutativo, reservándose el término girogrupo para el caso no giroconmutativo, en analogía con grupos vs. grupos abelianos . Los girogrupos son un tipo de bucle de Bol . Los girogrupos giroconmutativos son equivalentes a los bucles K ^[2] aunque se definen de forma diferente. También se utilizan los términos bucle de Bruck ^[3] y conjunto de símbolos diádico ^{[4] .}

Un girogrupo ( G , ) consta de un conjunto subyacente G y una operación binaria que satisface los siguientes axiomas:${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$

1. En G hay al menos un elemento 0 llamado identidad izquierda con 0 a = a para todo a en G.${\displaystyle \oplus }$
2. Para cada a en G hay un elemento a en G llamado inverso izquierdo de a con ( a ) a = 0.${\displaystyle \ominus }$${\displaystyle \ominus }$${\displaystyle \oplus }$
3. Para cualquier a , b , c en G existe un único elemento gyr[ a , b ] c en G tal que la operación binaria obedece la ley giroasociativa izquierda: a ( b c ) = ( a b ) gyr[ a , b ] c${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$
4. La función gyr[ a , b ]: G → G dada por c ↦ gyr[ a , b ] c es un automorfismo del magma ( G , ) – es decir, gyr[ a , b ] es un miembro de Aut( G , ) y el automorfismo gyr[ a , b ] de G se llama giroautomorfismo de G generado por a ,  b en G . La operación gyr: G  ×  G  → Aut( G ,  ) se llama girador de G .${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \oplus }$
5. El giroautomorfismo gyr[ a , b ] tiene la propiedad de bucle izquierdo gyr[ a , b ] = gyr[ a b , b ]${\displaystyle \oplus }$

El primer par de axiomas son como los axiomas de grupo . El último par presenta los axiomas del girador y el axioma del medio vincula los dos pares.

Dado que un girogrupo tiene inversas y una identidad, se califica como un cuasigrupo y un bucle .

Los girogrupos son una generalización de los grupos . Cada grupo es un ejemplo de girogrupo con gyr[ a , b ] definido como la función identidad para todos los a y b en G .

^{En [5]} se da un ejemplo de un girogrupo finito .

Algunas identidades que se cumplen en cualquier girogrupo ( G , ) son:${\displaystyle \oplus }$

1. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))}$(giro)
2. ${\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} }$(asociatividad de izquierda)
3. ${\displaystyle (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]\mathbf {w} )}$(asociatividad correcta)

Además, se puede demostrar la ley de inversión de giro, que es la motivación para la definición de giroconmutatividad a continuación:

1. ${\displaystyle \ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\ominus \mathbf {v} \ominus \mathbf {u} )}$(ley de inversión de giro)

Algunos teoremas adicionales satisfechos por el grupo de giro de cualquier girogrupo incluyen:

1. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {0} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=I}$(giros de identidad)
2. ${\displaystyle \mathrm {gyr} ^{-1}[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]}$(ley de inversión del giroautomorfismo)
3. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\ominus \mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]}$(propiedad de giro uniforme)
4. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ]}$(propiedad de bucle derecho)
5. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,\mathbf {v} ]}$(propiedad de bucle izquierdo)

Se dan más identidades en la página 50 de ^[6] . Una consecuencia particularmente útil de las identidades anteriores es que los girogrupos satisfacen la propiedad de Bol izquierda.

1. ${\displaystyle (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ))\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} ))}$

Un girogrupo (G, ) es giroconmutativo si su operación binaria obedece a la ley giroconmutativa: a b = gyr[ a , b ]( b a ). Para la suma de velocidades relativista, esta fórmula que muestra el papel de la rotación que relaciona a  +  b y b  +  a fue publicada en 1914 por Ludwik Silberstein . ^{[7] [8]}${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$

En cada girogrupo se puede definir una segunda operación llamada coadición : a b = a gyr[ a , b ] b para todo a , b  ∈  G . La coadición es conmutativa si la adición del girogrupo es giroconmutativa.${\displaystyle \boxplus }$ ${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \ominus }$

Las velocidades relativistas pueden considerarse como puntos en el modelo Beltrami-Klein de geometría hiperbólica y, por lo tanto, la suma de vectores en el modelo Beltrami-Klein puede darse mediante la fórmula de suma de velocidades . Para que la fórmula se generalice a la suma de vectores en el espacio hiperbólico de dimensiones mayores que 3, la fórmula debe escribirse de una forma que evite el uso del producto vectorial en favor del producto escalar .

En el caso general, la suma de dos velocidades de Einstein se da en forma independiente de las coordenadas como:${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left\{\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {u} \right\}}$

donde es el factor gamma dado por la ecuación .${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }}$${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Usando coordenadas esto se convierte en:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{1+{\frac {u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}}{c^{2}}}}}\left\{\left[1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})\right]{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}\right\}}$

dónde .${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}{c^{2}}}}}}}$

La suma de velocidades de Einstein es conmutativa y asociativa solo cuando y son paralelas . De hecho${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} =\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )}$

y

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} }$

donde "gyr" es la abstracción matemática de la precesión de Thomas en un operador llamado giro de Thomas y dado por

${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))}$

para todos w . La precesión de Thomas tiene una interpretación en geometría hiperbólica como el defecto del triángulo hiperbólico negativo .

Si la forma matricial 3 × 3 de la rotación aplicada a 3 coordenadas viene dada por gyr[ u , v ], entonces la rotación matricial 4 × 4 aplicada a 4 coordenadas viene dada por:

${\displaystyle \mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]={\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{pmatrix}}}$. ^[9]

La composición de dos impulsos de Lorentz B( u ) y B( v ) de velocidades u y v viene dada por: ^{[9] [10]}

${\displaystyle B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )=B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]B(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )}$

Este hecho de que se pueda utilizar B( u v ) o B( v u ) dependiendo de si se escribe la rotación antes o después explica la paradoja de la composición de velocidad .${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \oplus }$

La composición de dos transformaciones de Lorentz L( u ,U) y L( v ,V) que incluyen rotaciones U y V viene dada por: ^[11]

${\displaystyle L(\mathbf {u} ,U)L(\mathbf {v} ,V)=L(\mathbf {u} \oplus U\mathbf {v} ,\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,U\mathbf {v} ]UV)}$

En lo anterior, un boost se puede representar como una matriz de 4 × 4. La matriz boost B( v ) significa el boost B que usa los componentes de v , es decir v ₁ , v ₂ , v ₃ en las entradas de la matriz, o más bien los componentes de v / c en la representación que se usa en la sección Transformación de Lorentz#Formas matriciales . Las entradas de la matriz dependen de los componentes de la 3-velocidad v , y eso es lo que significa la notación B( v ). Se podría argumentar que las entradas dependen de los componentes de la 4-velocidad porque 3 de las entradas de la 4-velocidad son las mismas que las entradas de la 3-velocidad, pero la utilidad de parametrizar el boost por 3-velocidad es que el boost resultante que se obtiene de la composición de dos boosts usa los componentes de la composición de 3-velocidad u v en la matriz de 4 × 4 B( u v ). Pero el impulso resultante también debe multiplicarse por una matriz de rotación porque la composición del impulso (es decir, la multiplicación de dos matrices de 4 × 4) no da como resultado un impulso puro sino un impulso y una rotación, es decir, una matriz de 4 × 4 que corresponde a la rotación Gyr[ u , v ] para obtener B( u )B( v ) = B( u v )Gyr[ u , v ] = Gyr[ u , v ]B( v u ).${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \oplus }$

Sea s cualquier constante positiva, sea (V,+,.) cualquier espacio de producto interior real y sea V _s ={ v  ∈ V :| v |<s}. Un espacio girovectorial de Einstein ( V _s ,  ,  ) es un girogrupo de Einstein ( V _s ,  ) con multiplicación escalar dada por r v  =  s  tanh( r  tanh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v | donde r es cualquier número real, v  ∈  V _s , v  ≠  0 y r 0  =  0 con la notación v r  =  r v .${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$ 

La multiplicación escalar de Einstein no se distribuye sobre la suma de Einstein excepto cuando los girovectores son colineales (monodistributividad), pero tiene otras propiedades de los espacios vectoriales: Para cualquier entero positivo n y para todos los números reales r , r ₁ , r ₂ y v  ∈  V _s :

nv   =  v  ...  v​${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \oplus }$	n términos
( r 1  +  r 2 )  v  =  r 1 v r 2 v${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \oplus }$  ${\displaystyle \otimes }$	Ley distributiva escalar
( r 1 r 2 )  v  =  r 1  ( r 2 v )${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$	Ley asociativa escalar
r  ( r1a ) r2a )  = r ( r1a ) r ( r2a )​​​​​ ​${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \oplus }$  ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \oplus }$  ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$	Ley monodistributiva

La transformación de Möbius del disco unitario abierto en el plano complejo viene dada por la descomposición polar

${\displaystyle z\to {e^{i\theta }}{\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}}$^{[ cita necesaria ] [ aclaración necesaria ]} que puede escribirse como que define la adición de Möbius .${\displaystyle e^{i\theta }{(a\oplus _{M}{z})}}$${\displaystyle {a\oplus _{M}{z}}={\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}}$

Para generalizar esto a dimensiones superiores, los números complejos se consideran como vectores en el plano , y la suma de Möbius se reescribe en forma vectorial como:${\displaystyle \mathbf {\mathrm {R} } ^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {(1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {v} |^{2})\mathbf {u} +(1-{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {u} |^{2})\mathbf {v} }{1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{4}}}|\mathbf {u} |^{2}|\mathbf {v} |^{2}}}}$

Esto da como resultado la suma vectorial de puntos en el modelo de bola de Poincaré de geometría hiperbólica, donde el radio s=1 para el disco unitario complejo ahora se convierte en cualquier s>0.

Sea s cualquier constante positiva, sea (V,+,.) cualquier espacio de producto interior real y sea V _s ={ v  ∈ V :| v |<s}. Un espacio girovectorial de Möbius ( V _s ,  ,  ) es un girogrupo de Möbius ( V _s ,  ) con multiplicación escalar dada por r v  =  s  tanh( r  tanh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v | donde r es cualquier número real, v  ∈  V _s , v  ≠  0 y r 0  =  0 con la notación v r  =  r v .${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$ 

La multiplicación escalar de Möbius coincide con la multiplicación escalar de Einstein (ver sección anterior) y esto se debe a que la suma de Möbius y la suma de Einstein coinciden para vectores que son paralelos.

Un modelo de espacio de velocidad adecuado de geometría hiperbólica se da mediante velocidades propias con adición de vectores dada por la fórmula de adición de velocidades propias: ^{[6] [12] [13]}

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{U}\mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {v} +\left\{{\frac {\beta _{\mathbf {u} }}{1+\beta _{\mathbf {u} }}}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {1-\beta _{\mathbf {v} }}{\beta _{\mathbf {v} }}}\right\}\mathbf {u} }$

donde es el factor beta dado por .${\displaystyle \beta _{\mathbf {w} }}$${\displaystyle \beta _{\mathbf {w} }={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {|\mathbf {w} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Esta fórmula proporciona un modelo que utiliza un espacio completo en comparación con otros modelos de geometría hiperbólica que utilizan discos o semiplanos.

Un espacio girovectorial de velocidad propia es un espacio de producto interno real V, con la adición de girogrupos de velocidad propia y con la multiplicación escalar definida por r v  =  s  sinh( r  sinh ⁻¹ (| v |/ s )) v / | v | donde r es cualquier número real, v  ∈  V , v  ≠  0 y r 0  =  0 con la notación v r  =  r v .${\displaystyle \oplus _{U}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$ 

Un isomorfismo del espacio girovectorial preserva la adición de girogrupos, la multiplicación escalar y el producto interno.

Los tres espacios girovectoriales Möbius, Einstein y Velocidad Propia son isomorfos.

Si M, E y U son espacios girovectoriales de Möbius, Einstein y de velocidad propia respectivamente con elementos v _m , v _e y v _u entonces los isomorfismos vienen dados por:

UE por${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle \gamma _{\mathbf {v} _{e}}\mathbf {v} _{e}}$

U E por${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle \beta _{\mathbf {v} _{u}}\mathbf {v} _{u}}$

E M por${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\otimes _{E}\mathbf {v} _{e}}$

Yo por${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle 2\otimes _{M}\mathbf {v} _{m}}$

M U por${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle 2{{{\gamma }^{2}}_{\mathbf {v} _{m}}}\mathbf {v} _{m}}$

U M por${\displaystyle \rightarrow }$${\displaystyle {\frac {\beta _{\mathbf {v} _{u}}}{1+\beta _{\mathbf {v} _{u}}}}\mathbf {v} _{u}}$

De esta tabla la relación entre y viene dada por las ecuaciones:${\displaystyle \oplus _{E}}$${\displaystyle \oplus _{M}}$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} =2\otimes \left({{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {u} \oplus _{M}{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {v} }\right)}$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\otimes \left({2\otimes \mathbf {u} \oplus _{E}2\otimes \mathbf {v} }\right)}$

Esto está relacionado con la conexión entre las transformaciones de Möbius y las transformaciones de Lorentz .

La girotrigonometría es el uso de giroconceptos para estudiar triángulos hiperbólicos .

La trigonometría hiperbólica, tal como se estudia habitualmente, utiliza las funciones hiperbólicas cosh, senh, etc., y esto contrasta con la trigonometría esférica , que utiliza las funciones trigonométricas euclidianas cos, sen, pero con identidades de triángulos esféricos en lugar de identidades de triángulos planos ordinarios . La girotrigonometría adopta el enfoque de utilizar las funciones trigonométricas ordinarias, pero junto con las identidades de los girotriángulos.

El estudio de los centros de los triángulos se ha centrado tradicionalmente en la geometría euclidiana, pero también se pueden estudiar en la geometría hiperbólica. Mediante la girotrigonometría se pueden calcular expresiones para coordenadas trigonométricas baricéntricas que tienen la misma forma tanto para la geometría euclidiana como para la hiperbólica. Para que las expresiones coincidan, no deben incluir la especificación de que la suma de los ángulos es de 180 grados. ^{[14] [15] [16]}

Mediante la girotrigonometría se puede hallar una suma de girovectores que opera según la ley del giroparalelogramo. Esta es la coadición a la operación del girogrupo. La suma de giroparalelogramos es conmutativa.

La ley del giroparalelogramo es similar a la ley del paralelogramo en que un giroparalelogramo es un cuadrilátero hiperbólico cuyas dos girodiagonales se intersecan en sus puntos giromedios, así como un paralelogramo es un cuadrilátero euclidiano cuyas dos diagonales se intersecan en sus puntos medios. ^[17]

Los vectores de Bloch que pertenecen a la bola unitaria abierta del 3-espacio euclidiano, se pueden estudiar con la adición de Einstein ^[18] o la adición de Möbius. ^[6]

Una reseña de uno de los primeros libros sobre girovectores ^[19] dice lo siguiente:

"A lo largo de los años, ha habido un puñado de intentos de promover el estilo no euclidiano para su uso en la resolución de problemas de relatividad y electrodinámica, cuyo fracaso a la hora de atraer a un número considerable de seguidores, agravado por la ausencia de resultados positivos, debe hacer reflexionar a cualquiera que esté considerando una iniciativa similar. Hasta hace poco, nadie estaba en condiciones de ofrecer una mejora de las herramientas disponibles desde 1912. En su nuevo libro, Ungar proporciona el elemento crucial que faltaba en la panoplia del estilo no euclidiano: un elegante formalismo algebraico no asociativo que explota al máximo la estructura de la ley de composición de la velocidad de Einstein". ^[20]

• Domenico Giulini, Estructuras algebraicas y geométricas de la relatividad especial, un capítulo en "Relatividad especial: ¿sobrevivirá los próximos 100 años?", editado por Claus Lämmerzahl, Jürgen Ehlers, Springer, 2006.

• La relatividad especial de Einstein: el punto de vista geométrico hiperbólico
• Ungar, Abraham A. (2001). "Trigonometría hiperbólica y su aplicación en el modelo de esfera de Poincaré de geometría hiperbólica". pp. 6–19. CiteSeerX  10.1.1.17.6107 .