Enfoque (geometría)

En geometría , los focos ( / ˈf oʊ k aɪ / ; sg.: foco ) son puntos especiales con referencia a los cuales se construye cualquiera de una variedad de curvas . Por ejemplo, se pueden utilizar uno o dos focos para definir secciones cónicas , cuyos cuatro tipos son el círculo , la elipse , la parábola y la hipérbola . Además, se utilizan dos focos para definir el óvalo de Cassini y el óvalo cartesiano , y se utilizan más de dos focos para definir una n -elipse .

Una elipse puede definirse como el lugar de los puntos para los cuales la suma de las distancias a dos focos dados es constante.

Un círculo es el caso especial de una elipse en la que los dos focos coinciden entre sí. Por lo tanto, un círculo puede definirse de manera más sencilla como el lugar geométrico de los puntos cada uno de los cuales está a una distancia fija de un único foco dado. Un círculo también puede definirse como el círculo de Apolonio , en términos de dos focos diferentes, como el lugar geométrico de los puntos que tienen una relación fija de distancias a los dos focos.

Una parábola es un caso límite de una elipse en el que uno de los focos es un punto en el infinito .

Una hipérbola puede definirse como el lugar de puntos para el cual el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos focos dados es constante.

También es posible describir todas las secciones cónicas en términos de un único foco y una única directriz , que es una línea dada que no contiene el foco. Una cónica se define como el lugar geométrico de los puntos para cada uno de los cuales la distancia al foco dividida por la distancia a la directriz es una constante positiva fija, llamada excentricidad e . Si 0 < e < 1 la cónica es una elipse, si e = 1 la cónica es una parábola, y si e > 1 la cónica es una hipérbola. Si la distancia al foco es fija y la directriz es una línea en el infinito , por lo que la excentricidad es cero, entonces la cónica es un círculo.

También es posible describir todas las secciones cónicas como lugares geométricos de puntos que son equidistantes de un único foco y de una única directriz circular. Para la elipse, tanto el foco como el centro del círculo directriz tienen coordenadas finitas y el radio del círculo directriz es mayor que la distancia entre el centro de este círculo y el foco; por lo tanto, el foco está dentro del círculo directriz. La elipse así generada tiene su segundo foco en el centro del círculo directriz, y la elipse se encuentra completamente dentro del círculo.

En el caso de la parábola, el centro de la directriz se desplaza hasta el punto en el infinito (véase Geometría proyectiva ). El "círculo" directriz se convierte en una curva con curvatura cero, indistinguible de una línea recta. Los dos brazos de la parábola se vuelven cada vez más paralelos a medida que se extienden, y "en el infinito" se vuelven paralelos; utilizando los principios de la geometría proyectiva, los dos paralelos se cortan en el punto en el infinito y la parábola se convierte en una curva cerrada (proyección elíptica).

Para generar una hipérbola, se elige que el radio de la circunferencia directriz sea menor que la distancia entre el centro de esta circunferencia y el foco; por lo tanto, el foco está fuera de la circunferencia directriz. Los brazos de la hipérbola se aproximan a las líneas asintóticas y el brazo "derecho" de una rama de una hipérbola se encuentra con el brazo "izquierdo" de la otra rama de una hipérbola en el punto en el infinito; esto se basa en el principio de que, en geometría proyectiva, una sola línea se encuentra consigo misma en un punto en el infinito. Las dos ramas de una hipérbola son, por lo tanto, las dos mitades (torcidas) de una curva cerrada en el infinito.

En geometría proyectiva, todas las cónicas son equivalentes en el sentido de que cada teorema que puede enunciarse para una puede enunciarse para las otras.

En el problema gravitacional de dos cuerpos , las órbitas de los dos cuerpos entre sí se describen mediante dos secciones cónicas superpuestas, donde uno de los focos de una coincide con uno de los focos del otro en el centro de masa ( baricentro ) de los dos cuerpos.

Así, por ejemplo, la mayor luna del planeta menor Plutón , Caronte, tiene una órbita elíptica que tiene un foco en el baricentro del sistema Plutón-Caronte, que es un punto que está en el espacio entre los dos cuerpos; y Plutón también se mueve en una elipse con uno de sus focos en ese mismo baricentro entre los cuerpos. La elipse de Plutón está completamente dentro de la elipse de Caronte, como se muestra en esta animación del sistema.

En comparación, la Luna de la Tierra se mueve en una elipse con uno de sus focos en el baricentro de la Luna y la Tierra , baricentro que se encuentra dentro de la Tierra misma, mientras que la Tierra (más precisamente, su centro) se mueve en una elipse con un foco en ese mismo baricentro dentro de la Tierra. El baricentro está aproximadamente a tres cuartas partes de la distancia desde el centro de la Tierra hasta su superficie.

Además, el sistema Plutón-Caronte se mueve en una elipse alrededor de su baricentro con el Sol , al igual que el sistema Tierra-Luna (y cualquier otro sistema planeta-luna o planeta sin luna en el sistema solar). En ambos casos, el baricentro está dentro del cuerpo del Sol.

Dos estrellas binarias también se mueven en elipses compartiendo un foco en su baricentro; para ver una animación, consulte aquí .

Un óvalo cartesiano es el conjunto de puntos para cada uno de los cuales la suma ponderada de las distancias a dos focos dados es constante. Si los pesos son iguales, se obtiene el caso especial de una elipse.

Un óvalo de Cassini es el conjunto de puntos para cada uno de los cuales el producto de las distancias a dos focos dados es constante.

Una n -elipse es el conjunto de puntos que tienen la misma suma de distancias a n focos (el caso n = 2 es la elipse convencional).

El concepto de foco se puede generalizar a curvas algebraicas arbitrarias . Sea C una curva de clase m y sean I y J los puntos circulares en el infinito . Dibujemos las m tangentes a C a través de cada uno de I y J. Hay dos conjuntos de m líneas que tendrán m ² puntos de intersección, con excepciones en algunos casos debido a singularidades, etc. Estos puntos de intersección se definen como los focos de C. En otras palabras, un punto P es un foco si tanto PI como PJ son tangentes a C. Cuando C es una curva real, solo las intersecciones de pares conjugados son reales, por lo que hay m en a focos reales y m ² − m focos imaginarios. Cuando C es una cónica, los focos reales definidos de esta manera son exactamente los focos que se pueden usar en la construcción geométrica de C.

Sean P ₁ , P ₂ , …, P _m los focos de una curva C de clase m . Sea P el producto de las ecuaciones tangenciales de estos puntos y Q el producto de las ecuaciones tangenciales de los puntos circulares en el infinito. Entonces todas las líneas que son tangentes comunes tanto a P = 0 como a Q = 0 son tangentes a C . Entonces, por el teorema AF+BG , la ecuación tangencial de C tiene la forma HP + KQ = 0 . Como C tiene clase m , H debe ser una constante y K pero tener grado menor o igual a m − 2 . El caso H = 0 puede eliminarse como degenerado, por lo que la ecuación tangencial de C puede escribirse como P + fQ = 0 donde f es un polinomio arbitrario de grado 2 m . ^[1]

Por ejemplo, sea m = 2 , P ₁ = (1, 0) y P ₂ = (−1, 0) . Las ecuaciones tangenciales son

${\displaystyle {\begin{aligned}X+1&=0\\X-1&=0\end{aligned}}}$

Entonces P = X ² − 1 = 0. Las ecuaciones tangenciales para los puntos circulares en el infinito son

${\displaystyle {\begin{aligned}X+iY&=0\\X-iY&=0\end{aligned}}}$

Entonces Q = X ² + Y ² . Por lo tanto, la ecuación tangencial para una cónica con los focos dados es

${\displaystyle X^{2}-1+c(X^{2}+Y^{2})=0}$

o

${\displaystyle (1+c)X^{2}+cY^{2}=1,}$

donde c es una constante arbitraria. En coordenadas puntuales esto se convierte en

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{1+c}}+{\frac {y^{2}}{c}}=1.}$

• Hilton, Harold (1920). Curvas algebraicas planas. Oxford. pág. 69.
• Weisstein, Eric W. "Enfoque". MathWorld .