Acción grupal

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Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

En matemáticas , muchos conjuntos de transformaciones forman un grupo bajo la composición de funciones ; por ejemplo, las rotaciones alrededor de un punto en el plano. A menudo es útil considerar el grupo como un grupo abstracto , y decir que se tiene una acción grupal del grupo abstracto que consiste en realizar las transformaciones del grupo de transformaciones. La razón para distinguir el grupo de las transformaciones es que, generalmente, un grupo de transformaciones de una estructura actúa también sobre varias estructuras relacionadas; por ejemplo, el grupo de rotaciones anterior actúa también sobre triángulos al transformar triángulos en triángulos.

Formalmente, una acción de grupo de un grupo G sobre un conjunto S es un homomorfismo de grupo de G a algún grupo (bajo composición de funciones ) de funciones de S a sí mismo.

Si un grupo actúa sobre una estructura, normalmente actuará también sobre los objetos construidos a partir de esa estructura. Por ejemplo, el grupo de isometrías euclidianas actúa sobre el espacio euclidiano y también sobre las figuras dibujadas en él; en particular, actúa sobre el conjunto de todos los triángulos . De manera similar, el grupo de simetrías de un poliedro actúa sobre los vértices , las aristas y las caras del poliedro.

Una acción de grupo sobre un espacio vectorial se denomina representación del grupo. En el caso de un espacio vectorial de dimensión finita, permite identificar muchos grupos con subgrupos del grupo lineal general GL( n , K ) , el grupo de las matrices invertibles de dimensión n sobre un cuerpo K.

El grupo simétrico S _n actúa sobre cualquier conjunto con n elementos permutando los elementos del conjunto. Aunque el grupo de todas las permutaciones de un conjunto depende formalmente del conjunto, el concepto de acción de grupo permite considerar un único grupo para estudiar las permutaciones de todos los conjuntos con la misma cardinalidad .

Si G es un grupo con elemento identidad e , y X es un conjunto, entonces una acción de grupo ( izquierda ) α de G sobre X es una función

${\displaystyle \alpha \colon G\times X\to X,}$

que satisface los dos axiomas siguientes : ^[1]

Identidad:	${\displaystyle \alpha (e,x)=x}$
Compatibilidad:	${\displaystyle \alpha (g,\alpha (h,x))=\alpha (gh,x)}$

para todos los g y h en G y todos los x en X .

Se dice entonces que el grupo G actúa sobre X ( desde la izquierda). Un conjunto X junto con una acción de G se denomina conjunto G ( izquierdo ) .

Puede ser conveniente desde el punto de vista de la notación currificar la acción α , de modo que, en su lugar, se tenga una colección de transformaciones α _g  : X → X , con una transformación α _g para cada elemento del grupo g ∈ G . Las relaciones de identidad y compatibilidad se leen entonces

${\displaystyle \alpha _{e}(x)=x}$

y

${\displaystyle \alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)}$

donde ∘ es la composición de funciones . El segundo axioma establece que la composición de funciones es compatible con la multiplicación de grupos; forman un diagrama conmutativo . Este axioma se puede acortar aún más y escribir como α _g ∘ α _h = α _gh .

Con lo anterior entendido, es muy común evitar escribir α por completo y reemplazarlo con un punto o sin nada. Por lo tanto, α ( g , x ) se puede abreviar a g ⋅ x o gx , especialmente cuando la acción es clara a partir del contexto. Los axiomas son entonces

${\displaystyle e{\cdot }x=x}$

${\displaystyle g{\cdot }(h{\cdot }x)=(gh){\cdot }x}$

De estos dos axiomas se sigue que para cualquier g fijo en G , la función de X a sí misma que aplica x a g ⋅ x es una biyección , siendo la biyección inversa la función correspondiente para g ⁻¹ . Por lo tanto, se puede definir de manera equivalente una acción de grupo de G sobre X como un homomorfismo de grupo de G en el grupo simétrico Sym( X ) de todas las biyecciones de X a sí misma. ^[2]

De la misma manera, una acción de grupo derecha de G sobre X es una función

${\displaystyle \alpha \colon X\times G\to X,}$

que satisface los axiomas análogos: ^[3]

Identidad:	${\displaystyle \alpha (x,e)=x}$
Compatibilidad:	${\displaystyle \alpha (\alpha (x,g),h)=\alpha (x,gh)}$

(con α ( x , g ) a menudo abreviado como xg o x ⋅ g cuando la acción que se considera queda clara en el contexto)

Identidad:	${\displaystyle x{\cdot }e=x}$
Compatibilidad:	${\displaystyle (x{\cdot }g){\cdot }h=x{\cdot }(gh)}$

para todos los g y h en G y todos los x en X .

La diferencia entre acciones izquierdas y derechas está en el orden en el que un producto gh actúa sobre x . Para una acción izquierda, h actúa primero, seguida de g en segundo lugar. Para una acción derecha, g actúa primero, seguida de h en segundo lugar. Debido a la fórmula ( gh ) ⁻¹ = h ⁻¹ g ⁻¹ , una acción izquierda puede construirse a partir de una acción derecha componiendo con la operación inversa del grupo. Además, una acción derecha de un grupo G sobre X puede considerarse como una acción izquierda de su grupo opuesto G ^op sobre X.

Así pues, para establecer propiedades generales de las acciones de grupo, basta considerar sólo las acciones de izquierda. Sin embargo, hay casos en los que esto no es posible. Por ejemplo, la multiplicación de un grupo induce tanto una acción de izquierda como una acción de derecha sobre el propio grupo: multiplicación por la izquierda y por la derecha, respectivamente.

Sea G un grupo que actúa sobre un conjunto X. La acción se llamafiel oeficaz si g ⋅ x = x para todo x ∈ X implica que g = e _G . Equivalentemente, elhomomorfismode G al grupo de biyecciones de X correspondiente a la acción esinyectivo.

La acción se llamalibre (osemirregularolibre de punto fijo) si la afirmación de que g ⋅ x = x para algún x ∈ X ya implica que g = e _G . En otras palabras, ningún elemento no trivial de G fija un punto de X . Esta es una propiedad mucho más fuerte que la fidelidad.

Por ejemplo, la acción de cualquier grupo sobre sí mismo por multiplicación izquierda es libre. Esta observación implica el teorema de Cayley de que cualquier grupo puede estar incluido en un grupo simétrico (que es infinito cuando el grupo lo es). Un grupo finito puede actuar fielmente sobre un conjunto de tamaño mucho menor que su cardinalidad (sin embargo, dicha acción no puede ser libre). Por ejemplo, el 2-grupo abeliano ( Z / 2 Z ) ⁿ (de cardinalidad 2 ⁿ ) actúa fielmente sobre un conjunto de tamaño 2 n . Este no es siempre el caso, por ejemplo, el grupo cíclico Z / 2 ⁿ Z no puede actuar fielmente sobre un conjunto de tamaño menor que 2 ⁿ .

En general, el conjunto más pequeño en el que se puede definir una acción fiel puede variar mucho para grupos del mismo tamaño. Por ejemplo, tres grupos de tamaño 120 son el grupo simétrico S ₅ , el grupo icosaédrico A ₅ × Z / 2 Z y el grupo cíclico Z / 120 Z . Los conjuntos más pequeños en los que se pueden definir acciones fieles para estos grupos son de tamaño 5, 7 y 16 respectivamente.

La acción de G sobre X se llamatransitiva si para dos puntos cualesquiera x , y ∈ X existe un g ∈ G tal que g ⋅ x = y .

La acción essimplemente transitivo (omarcadamente transitivo, oregular ) si es transitivo y libre. Esto significa que, dado x , y ∈ X, el elemento g en la definición de transitividad es único. Si un grupo G actúa sobre X simplemente de manera transitiva , entonces se denominaespacio homogéneo principalpara G o un G -torsor.

Para un entero n ≥ 1 , la acción esn -transitivo siXtiene al menosnelementos, y para cualquier par den-tuplas(x₁, ...,x _n ), (y₁, ...,y _n ) ∈X ⁿ con entradas distintas por pares (es decirx _i ≠x _j ,y _i ≠y _j cuandoi≠j) existe ung∈Gtal queg⋅x _i =y _i parai= 1, ...,n. En otras palabras, la acción sobre el subconjunto deX ⁿ de tuplas sin entradas repetidas es transitiva. Paran= 2, 3esto a menudo se llama transitividad doble, respectivamente triple. La clase degrupos 2-transitivos(es decir, subgrupos de un grupo simétrico finito cuya acción es 2-transitiva) y, más generalmente,grupos transitivos múltiplesse estudian bien en la teoría de grupos finitos.

Una acción esbruscamente n -transitivo cuando la acción sobre tuplas sin entradas repetidas en X ⁿ es bruscamente transitiva.

La acción del grupo simétrico de X es transitiva, de hecho n -transitiva para cualquier n hasta la cardinalidad de X. Si X tiene cardinalidad n , la acción del grupo alterno es ( n − 2) -transitiva pero no ( n − 1) -transitiva.

La acción del grupo lineal general de un espacio vectorial V sobre el conjunto V ∖ {0} de vectores no nulos es transitiva, pero no 2-transitiva (de manera similar para la acción del grupo lineal especial si la dimensión de v es al menos 2). La acción del grupo ortogonal de un espacio euclidiano no es transitiva sobre vectores no nulos pero sí sobre la esfera unitaria .

La acción de G sobre X se llama primitiva si no hay partición de X preservada por todos los elementos de G aparte de las particiones triviales (la partición en una sola pieza y su dual , la partición en singletons ).

Supongamos que X es un espacio topológico y la acción de G es por homeomorfismos .

La acción es errante si cada x ∈ X tiene un vecindario U tal que sólo hay un número finito de g ∈ G con g ⋅ U ∩ U ≠ ∅ . ^[4]

De manera más general, un punto x ∈ X se denomina punto de discontinuidad para la acción de G si existe un subconjunto abierto U ∋ x tal que solo hay un número finito de g ∈ G con g ⋅ U ∩ U ≠ ∅ . El dominio de discontinuidad de la acción es el conjunto de todos los puntos de discontinuidad. De manera equivalente, es el subconjunto abierto G -estable más grande Ω ⊂ X tal que la acción de G sobre Ω es errante. ^[5] En un contexto dinámico, esto también se denomina conjunto errante .

La acción es propiamente discontinua si para cada subconjunto compacto K ⊂ X hay sólo un número finito de g ∈ G tales que g ⋅ K ∩ K ≠ ∅ . Esto es estrictamente más fuerte que la acción errante; por ejemplo, la acción de Z sobre R ² ∖ {(0, 0)} dada por n ⋅( x , y ) = (2 ⁿ x , 2 ^{− n} y ) es errante y libre pero no propiamente discontinua. ^[6]

La acción por transformaciones de cubierta del grupo fundamental de un espacio localmente simplemente conexo sobre un espacio envolvente es errante y libre. Tales acciones pueden caracterizarse por la siguiente propiedad: cada x ∈ X tiene un entorno U tal que g ⋅ U ∩ U = ∅ para cada g ∈ G ∖ { e _G } . ^[7] Las acciones con esta propiedad a veces se denominan libremente discontinuas , y el subconjunto más grande en el que la acción es libremente discontinua se denomina entonces conjunto regular libre . ^[8]

Una acción de un grupo G sobre un espacio localmente compacto X se llama cocompacta si existe un subconjunto compacto A ⊂ X tal que X = G ⋅ A . Para una acción propiamente discontinua, la cocompactitud es equivalente a la compacidad del espacio cociente G \ X .

Supongamos ahora que G es un grupo topológico y X un espacio topológico sobre el que actúa mediante homeomorfismos. Se dice que la acción es continua si la función G × X → X es continua para la topología del producto .

Se dice que la acción eses propia si la función G × X → X × X definida por( g , x ) ↦ ( x , g ⋅ x )espropia.^[9]Esto significa que dados los conjuntos compactos K , K ′el conjunto de g ∈ G tal que g ⋅ K ∩ K ′ ≠ ∅es compacto. En particular, esto es equivalente a la discontinuidad propia G es ungrupo discreto.

Se dice que es localmente libre si existe un entorno U de e _G tal que g ⋅ x ≠ x para todo x ∈ X y g ∈ U ∖ { e _G } .

Se dice que la acción es fuertemente continua si el mapa orbital g ↦ g ⋅ x es continuo para cada x ∈ X . Contrariamente a lo que sugiere el nombre, esta es una propiedad más débil que la continuidad de la acción. ^{[ cita requerida ]}

Si G es un grupo de Lie y X una variedad diferenciable , entonces el subespacio de puntos suaves para la acción es el conjunto de puntos x ∈ X tales que la función g ↦ g ⋅ x es suave . Existe una teoría bien desarrollada de acciones de grupo de Lie , es decir, acciones que son suaves en todo el espacio.

Si g actúa mediante transformaciones lineales sobre un módulo sobre un anillo conmutativo , se dice que la acción es irreducible si no hay submódulos propios no nulos que sean g -invariantes. Se dice que es semisimple si se descompone como una suma directa de acciones irreducibles.

Consideremos un grupo G que actúa sobre un conjunto X.La órbita de un elemento x en X es el conjunto de elementos en X al que x puede ser movido por los elementos de G . La órbita de x se denota por G ⋅ x :$${\displaystyle G{\cdot }x=\{g{\cdot }x:g\in G\}.}$$

Las propiedades definitorias de un grupo garantizan que el conjunto de órbitas de (puntos x en) X bajo la acción de G formen una partición de X . La relación de equivalencia asociada se define diciendo x ~ y si y solo si existe un g en G con g ⋅ x = y . Las órbitas son entonces las clases de equivalencia bajo esta relación; dos elementos x e y son equivalentes si y solo si sus órbitas son las mismas, es decir, G ⋅ x = G ⋅ y .

La acción de grupo es transitiva si y solo si tiene exactamente una órbita, es decir, si existe x en X con G ⋅ x = X . Este es el caso si y solo si G ⋅ x = X para todo x en X (dado que X no está vacío).

El conjunto de todas las órbitas de X bajo la acción de G se escribe como X / G (o, con menos frecuencia, como G \ X ), y se denominacociente de la acción. En situaciones geométricas puede llamarse cocienteespacio de órbita , mientras que en situaciones algebraicas puede llamarse espacio decoinvariantes , que se escriben X _G , en contraste con los invariantes (puntos fijos), que se denotan X ^G : los coinvariantes son uncocientemientras que los invariantes son unsubconjunto. La terminología y notación de coinvariantes se utilizan particularmente encohomología de gruposyhomología de grupos, que utilizan la misma convención de superíndice/subíndice.

Si Y es un subconjunto de X , entonces G ⋅ Y denota el conjunto { g ⋅ y  : g ∈ G e y ∈ Y } . Se dice que el subconjunto Y es invariante bajo G si G ⋅ Y = Y (que es equivalente a G ⋅ Y ⊆ Y ). En ese caso, G también opera sobre Y restringiendo la acción a Y . El subconjunto Y se dice fijo bajo G si g ⋅ y = y para todo g en G y todo y en Y . Todo subconjunto que es fijo bajo G también es invariante bajo G , pero no a la inversa.

Toda órbita es un subconjunto invariante de X sobre el que G actúa transitivamente . A la inversa, cualquier subconjunto invariante de X es una unión de órbitas. La acción de G sobre X es transitiva si y solo si todos los elementos son equivalentes, es decir, que existe una sola órbita.

Un elemento G -invariante de X es x ∈ X tal que g ⋅ x = x para todo g ∈ G . El conjunto de todos esos x se denota X ^G y se llama G -invariantes de X . Cuando X es un G -módulo , X ^G es el grupo de cohomología cero de G con coeficientes en X , y los grupos de cohomología superiores son los funtores derivados del funtor de G -invariantes.

Dado g en G y x en X con g ⋅ x = x , se dice que " x es un punto fijo de g " o que " g fija x ". Para cada x en X , lasubgrupo estabilizador de G con respecto a x (también llamadogrupo de isotropíaogrupo pequeño^[10]) es el conjunto de todos los elementos en G que fijan x : Este es unsubgrupode G , aunque típicamente no es uno normal. La acción de G sobre X eslibresi y solo si todos los estabilizadores son triviales. El núcleo N del homomorfismo con el grupo simétrico, G → Sym( X ), está dado por laintersecciónde los estabilizadores G _x para todo x en X . Si N es trivial, se dice que la acción es fiel (o efectiva).$${\displaystyle G_{x}=\{g\in G:g{\cdot }x=x\}.}$$

Sean x e y dos elementos de X , y sea g un elemento de grupo tal que y = g ⋅ x . Entonces los dos grupos estabilizadores G _x y G _y están relacionados por G _y = gG _x g ⁻¹ . Demostración: por definición, h ∈ G _y si y solo si h ⋅( g ⋅ x ) = g ⋅ x . Aplicando g ⁻¹ a ambos lados de esta igualdad se obtiene ( g ⁻¹ hg )⋅ x = x ; es decir, g ⁻¹ hg ∈ G _x . Una inclusión opuesta se sigue de manera similar tomando h ∈ G _x y x = g ⁻¹ ⋅ y .

Lo anterior dice que los estabilizadores de elementos en la misma órbita son conjugados entre sí. Por lo tanto, a cada órbita, podemos asociar una clase de conjugación de un subgrupo de G (es decir, el conjunto de todos los conjugados del subgrupo). Sea ( H ) la clase de conjugación de H . Entonces la órbita O tiene tipo ( H ) si el estabilizador G _x de algún/cualquier x en O pertenece a ( H ) . Un tipo de órbita máxima a menudo se llama tipo de órbita principal .

Las órbitas y los estabilizadores están estrechamente relacionados. Para una x fija en X , considere la función f  : G → X dada por g ↦ g ⋅ x . Por definición, la imagen f ( G ) de esta función es la órbita G ⋅ x . La condición para que dos elementos tengan la misma imagen es En otras palabras, f ( g ) = f ( h ) si y solo si g y h se encuentran en la misma clase lateral para el subgrupo estabilizador G _x . Por lo tanto, la fibra f ⁻¹ ({ y }) de f sobre cualquier y en G ⋅ x está contenida en dicha clase lateral, y cada clase lateral de este tipo también ocurre como una fibra. Por lo tanto, f induce una biyección entre el conjunto G / G _x de clases laterales para el subgrupo estabilizador y la órbita G ⋅ x , que envía gG _x ↦ g ⋅ x . ^[11] Este resultado se conoce como el teorema de la órbita-estabilizador .$${\displaystyle f(g)=f(h)\iff g{\cdot }x=h{\cdot }x\iff g^{-1}h{\cdot }x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}.}$$

Si G es finito, entonces el teorema del estabilizador de órbita, junto con el teorema de Lagrange , da en otras palabras que la longitud de la órbita de x por el orden de su estabilizador es el orden del grupo . En particular, eso implica que la longitud de la órbita es un divisor del orden del grupo.$${\displaystyle |G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|,}$$

Ejemplo: Sea G un grupo de elementos de orden primo p que actúan sobre un conjunto X con k elementos. Como cada órbita tiene 1 o p elementos, hay al menos k órbitas módulo p de longitud 1 que son elementos G -invariantes. Más específicamente, k y el número de elementos G -invariantes son congruentes módulo p . ^[12]

Este resultado es especialmente útil ya que puede emplearse para contar argumentos (normalmente también en situaciones donde X es finito).

Ejemplo: Podemos usar el teorema del estabilizador de órbita para contar los automorfismos de un grafo . Consideremos el grafo cúbico como se muestra en la imagen, y sea G su grupo de automorfismos . Entonces G actúa sobre el conjunto de vértices {1, 2, ..., 8} , y esta acción es transitiva como se puede ver al componer rotaciones alrededor del centro del cubo. Por lo tanto, por el teorema del estabilizador de órbita, | G | = | G ⋅ 1 | | G ₁ | = 8 | G ₁ | . Aplicando ahora el teorema al estabilizador G ₁ , podemos obtener | G ₁ | = | ( G ₁ ) ⋅ 2 | | ( G ₁ ) ₂ | . Cualquier elemento de G que fija 1 debe enviar 2 a 2, 4 o 5. Como ejemplo de tales automorfismos, considere la rotación alrededor del eje diagonal a través de 1 y 7 por 2 π /3 , que permuta 2, 4, 5 y 3, 6, 8, y fija 1 y 7. Por lo tanto, | ( G ₁ ) ⋅ 2 | = 3 . Aplicando el teorema una tercera vez da | ( G ₁ ) ₂ | = | (( G ₁ ) ₂ ) ⋅ 3 | | (( G ₁ ) ₂ ) ₃ | . Cualquier elemento de G que fija 1 y 2 debe enviar 3 a 3 o 6. Reflejando el cubo en el plano a través de 1, 2, 7 y 8 es un automorfismo que envía 3 a 6, por lo tanto | (( G ₁ ) ₂ ) ⋅ 3 | = 2 . También se ve que (( G ₁ ) ₂ ) ₃ consiste sólo en el automorfismo identidad, ya que cualquier elemento de G que fije 1, 2 y 3 también debe fijar todos los demás vértices, ya que están determinados por su adyacencia a 1, 2 y 3. Combinando los cálculos anteriores, ahora podemos obtener | G | = 8 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 48 .

Un resultado estrechamente relacionado con el teorema del estabilizador de órbitas es el lema de Burnside : donde X ^g es el conjunto de puntos fijados por g . Este resultado es principalmente útil cuando G y X son finitos, cuando se puede interpretar de la siguiente manera: el número de órbitas es igual al número promedio de puntos fijados por elemento del grupo.$${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,}$$

Fijando un grupo G , el conjunto de diferencias formales de los conjuntos G finitos forma un anillo llamado anillo de Burnside de G , donde la adición corresponde a la unión disjunta y la multiplicación al producto cartesiano .

• ElLa acción trivial de cualquier grupo G sobre cualquier conjunto X se define por g ⋅ x = x para todo g en G y todo x en X ; es decir, cada elemento del grupo induce lapermutación identidaden X .^[13]
• En cada grupo G , la multiplicación por la izquierda es una acción de G sobre G : g ⋅ ​​x = gx para todo g , x en G . Esta acción es libre y transitiva (regular), y forma la base de una demostración rápida del teorema de Cayley : que cada grupo es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico de permutaciones del conjunto G .
• En cada grupo G con subgrupo H , la multiplicación por la izquierda es una acción de G sobre el conjunto de clases laterales G / H : g ⋅ ​​aH = gaH para todo g , a en G . En particular, si H no contiene subgrupos normales no triviales de G esto induce un isomorfismo de G a un subgrupo del grupo de permutación de grado [ G  : H ] .
• En cada grupo G , la conjugación es una acción de G sobre G : g ⋅ ​​x = gxg ⁻¹ . Se suele utilizar una notación exponencial para la variante de acción correcta: x ^g = g ⁻¹ xg ; satisface ( x ^g ) ^h = x ^gh .
• En cada grupo G con subgrupo H , la conjugación es una acción de G sobre conjugados de H : g ⋅ ​​K = gKg ⁻¹ para todo g en G y K conjugados de H .
• Una acción de Z sobre un conjunto X determina de forma única y es determinada por un automorfismo de X , dado por la acción de 1. De manera similar, una acción de Z / 2 Z sobre X es equivalente a los datos de una involución de X .
• El grupo simétrico S _n y sus subgrupos actúan sobre el conjunto {1, ..., n } permutando sus elementos
• El grupo de simetría de un poliedro actúa sobre el conjunto de vértices de dicho poliedro. También actúa sobre el conjunto de caras o el conjunto de aristas del poliedro.
• El grupo de simetría de cualquier objeto geométrico actúa sobre el conjunto de puntos de ese objeto.
• Para un espacio de coordenadas V sobre un cuerpo _F con grupo de unidades F * , la aplicación F *× V → V dada por a ×( x1 , x2 ,..., xn ) ↦( _ax1 , ax2 _{, ...} , axn _{) es} una acción de grupo llamada multiplicación escalar .
• El grupo de automorfismos de un espacio vectorial (o grafo , o grupo, o anillo...) actúa sobre el espacio vectorial (o conjunto de vértices del grafo, o grupo, o anillo...).
• El grupo lineal general GL( n , K ) y sus subgrupos, particularmente sus subgrupos de Lie (incluyendo el grupo lineal especial SL( n , K ) , el grupo ortogonal O( n , K ) , el grupo ortogonal especial SO( n , K ) y el grupo simpléctico Sp( n , K ) ) son grupos de Lie que actúan sobre el espacio vectorial K ⁿ . Las operaciones de grupo se dan multiplicando las matrices de los grupos con los vectores de K ⁿ .
• El grupo lineal general GL( n , Z ) actúa sobre Z ⁿ por acción matricial natural. Las órbitas de su acción se clasifican por el máximo común divisor de coordenadas del vector en Z ⁿ .
• El grupo afín actúa transitivamente sobre los puntos de un espacio afín , y el subgrupo V del grupo afín (es decir, un espacio vectorial) tiene acción transitiva y libre (es decir, regular ) sobre estos puntos; ^[14] de hecho esto puede usarse para dar una definición de un espacio afín .
• El grupo lineal proyectivo PGL( n + 1, K ) y sus subgrupos, particularmente sus subgrupos de Lie, que son grupos de Lie que actúan sobre el espacio proyectivo P ⁿ ( K ) . Este es un cociente de la acción del grupo lineal general sobre el espacio proyectivo. Particularmente notable es PGL(2, K ) , las simetrías de la línea proyectiva, que es marcadamente 3-transitiva, preservando la razón cruzada ; el grupo de Möbius PGL(2, C ) es de particular interés.
• Las isometrías del plano actúan sobre el conjunto de imágenes y patrones 2D, como los patrones de papel tapiz . La definición se puede hacer más precisa especificando qué se entiende por imagen o patrón, por ejemplo, una función de posición con valores en un conjunto de colores. Las isometrías son, de hecho, un ejemplo de grupo afín (acción). ^{[ dudoso – discutir ]}
• Los conjuntos sobre los que actúa un grupo G comprenden la categoría de G -conjuntos en la que los objetos son G -conjuntos y los morfismos son homomorfismos de G -conjuntos: funciones f  : X → Y tales que g ⋅( f ( x )) = f ( g ⋅ x ) para cada g en G .
• El grupo de Galois de una extensión de campo L / K actúa sobre el campo L pero sólo tiene una acción trivial sobre elementos del subcampo K. Los subgrupos de Gal( L / K ) corresponden a subcampos de L que contienen a K , es decir, extensiones de campo intermedias entre L y K.
• El grupo aditivo de los números reales ( R , +) actúa sobre el espacio de fases de los sistemas " de buen comportamiento " en la mecánica clásica (y en sistemas dinámicos más generales ) por traslación temporal : si t está en R y x está en el espacio de fases, entonces x describe un estado del sistema, y ​​t + x se define como el estado del sistema t segundos después si t es positivo o − t segundos atrás si t es negativo.
• El grupo aditivo de los números reales ( R , + ) actúa sobre el conjunto de funciones reales de una variable real de diversas maneras, siendo ( t ⋅ f )( x ) igual a, por ejemplo, f ( x + t ) , f ( x ) + t , f ( xe ^t ) , f ( x ) e ^t , f ( x + t ) e ^t , o f ( xe ^t ) + t , pero no f ( xe ^t + t ) .
• Dada una acción grupal de G sobre X , podemos definir una acción inducida de G sobre el conjunto potencia de X , estableciendo g ⋅ U = { g ⋅ u  : u ∈ U } para cada subconjunto U de X y cada g en G . Esto es útil, por ejemplo, para estudiar la acción del gran grupo de Mathieu sobre un conjunto 24 y para estudiar la simetría en ciertos modelos de geometrías finitas .
• Los cuaterniones con norma 1 (los versores ), como grupo multiplicativo, actúan sobre R ³ : para cualquier cuaternión z = cos α /2 + v sen α /2 , la aplicación f ( x ) = z x z ^* es una rotación en sentido antihorario a través de un ángulo α alrededor de un eje dado por un vector unitario v ; z es la misma rotación; véase cuaterniones y rotación espacial . Esta no es una acción fiel porque el cuaternión −1 deja todos los puntos donde estaban, al igual que el cuaternión 1 .
• Dados los G -conjuntos izquierdos X , Y , existe un G -conjunto izquierdo Y ^X cuyos elementos son G -aplicaciones equivariantes α  : X × G → Y , y con G -acción izquierda dada por g ⋅ α = α ∘ (id _X × – g ) (donde " – g " indica multiplicación derecha por g ). Este G -conjunto tiene la propiedad de que sus puntos fijos corresponden a aplicaciones equivariantes X → Y ; más generalmente, es un objeto exponencial en la categoría de G -conjuntos.

La noción de acción grupal puede ser codificada por el grupoide de acción G ′ = G ⋉ X asociado a la acción grupal. Los estabilizadores de la acción son los grupos de vértices del grupoide y las órbitas de la acción son sus componentes.

Si X e Y son dos G -conjuntos, un morfismo de X a Y es una función f  : X → Y tal que f ( g ⋅ x ) = g ⋅ f ( x ) para todo g en G y todo x en X . Los morfismos de G -conjuntos también se denominan mapas equivariantes o G - mapas .

La composición de dos morfismos es nuevamente un morfismo. Si un morfismo f es biyectivo, entonces su inverso también es un morfismo. En este caso , f se denomina isomorfismo y los dos conjuntos G X e Y se denominan isomorfos ; para todos los efectos prácticos, los conjuntos G isomorfos son indistinguibles.

Algunos ejemplos de isomorfismos:

• Toda acción regular de G es isomorfa a la acción de G sobre G dada por la multiplicación por la izquierda.
• Toda acción libre de G es isomorfa a G × S , donde S es un conjunto y G actúa sobre G × S por multiplicación por la izquierda en la primera coordenada. ( S puede tomarse como el conjunto de órbitas X / G ).
• Toda acción transitiva de G es isomorfa a la multiplicación por la izquierda por G en el conjunto de clases laterales izquierdas de algún subgrupo H de G. ( H puede tomarse como el grupo estabilizador de cualquier elemento del conjunto G original ).

Con esta noción de morfismo, la colección de todos los G -conjuntos forma una categoría ; esta categoría es un topos de Grothendieck (de hecho, asumiendo una metalógica clásica , este topos será incluso booleano).

También podemos considerar acciones de monoides sobre conjuntos, utilizando los mismos dos axiomas que antes. Sin embargo, esto no define aplicaciones biyectivas ni relaciones de equivalencia. Véase acción de semigrupo .

En lugar de acciones sobre conjuntos, podemos definir acciones de grupos y monoides sobre objetos de una categoría arbitraria: empezar con un objeto X de alguna categoría y luego definir una acción sobre X como un homomorfismo de monoide en el monoide de endomorfismos de X. Si X tiene un conjunto subyacente, entonces todas las definiciones y hechos establecidos anteriormente pueden trasladarse. Por ejemplo, si tomamos la categoría de espacios vectoriales, obtenemos representaciones de grupos de esta manera.

Podemos ver un grupo G como una categoría con un único objeto en el que cada morfismo es invertible . ^[15] Una acción de grupo (izquierda) no es entonces nada más que un funtor (covariante) de G a la categoría de conjuntos , y una representación de grupo es un funtor de G a la categoría de espacios vectoriales . ^[16] Un morfismo entre G -conjuntos es entonces una transformación natural entre los funtores de acción de grupo. ^[17] En analogía, una acción de un grupoide es un funtor del grupoide a la categoría de conjuntos o a alguna otra categoría.

Además de las acciones continuas de los grupos topológicos sobre espacios topológicos, también se suelen considerar las acciones suaves de los grupos de Lie sobre variedades suaves , las acciones regulares de los grupos algebraicos sobre variedades algebraicas y las acciones de los esquemas de grupo sobre esquemas . Todos estos son ejemplos de objetos de grupo que actúan sobre objetos de su respectiva categoría.

• 
  Órbita de un triángulo esférico fundamental (marcado en rojo) bajo la acción del grupo octaédrico completo.
• 
  Órbita de un triángulo esférico fundamental (marcado en rojo) bajo la acción del grupo icosaédrico completo.

• Gráfica de ganancia
• Grupo con operadores
• Acción grupal medible
• Acción monoide
• Desarrollo de Young-Deruyts

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