Espacio conectado

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio conexo es un espacio topológico que no puede representarse como la unión de dos o más subconjuntos abiertos no vacíos disjuntos . La conexidad es una de las principales propiedades topológicas que se utilizan para distinguir los espacios topológicos.

Un subconjunto de un espacio topológico es un${\estilo de visualización X}$conjunto conexo si es un espacio conexo cuando se lo ve como unsubespaciode.${\estilo de visualización X}$

Algunas condiciones relacionadas pero más fuertes son la conexión por trayectorias, la conexión simple y la conexión por coordenadas . Otra noción relacionada es la conexión local , que no implica ni se sigue de la conexión.${\estilo de visualización n}$

Se dice que un espacio topológico es${\estilo de visualización X}$desconectado si es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos. En caso contrario,se dice que esconexo. Se dice que unsubconjuntode un espacio topológico es conexo si es conexo según su topología de subespacio. Algunos autores excluyen alconjunto vacío(con su topología única) como espacio conexo, pero este artículo no sigue esa práctica.${\estilo de visualización X}$

Para un espacio topológico las siguientes condiciones son equivalentes:${\estilo de visualización X}$

1. ${\estilo de visualización X}$es conexo, es decir, no se puede dividir en dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos.
2. Los únicos subconjuntos que son a la vez abiertos y cerrados ( conjuntos clopen ) son y el conjunto vacío.${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$
3. Los únicos subconjuntos de con límite vacío son y el conjunto vacío.${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$
4. ${\estilo de visualización X}$no puede escribirse como la unión de dos conjuntos separados no vacíos (conjuntos para los cuales cada uno es disjunto del cierre del otro).
5. Todas las funciones continuas desde hasta son constantes, donde es el espacio de dos puntos dotado de la topología discreta .${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización \{0,1\}}$${\estilo de visualización \{0,1\}}$

Históricamente, esta formulación moderna de la noción de conectividad (en términos de que no hay partición en dos conjuntos separados) apareció por primera vez (de manera independiente) con NJ Lennes, Frigyes Riesz y Felix Hausdorff a principios del siglo XX. Véase ^[1] para más detalles.${\estilo de visualización X}$

Dado un punto en un espacio topológico la unión de cualquier colección de subconjuntos conexos tales que cada uno contenido será una vez más un subconjunto conexo. El componente conexo de un punto en es la unión de todos los subconjuntos conexos de que lo contienen es el único subconjunto conexo más grande (con respecto a ) de que contiene Los subconjuntos conexos máximos (ordenados por inclusión ) de un espacio topológico no vacío se denominan componentes conexos del espacio. Los componentes de cualquier espacio topológico forman una partición de  : son disjuntos , no vacíos y su unión es todo el espacio. Cada componente es un subconjunto cerrado del espacio original. De ello se deduce que, en el caso en que su número sea finito, cada componente también es un subconjunto abierto. Sin embargo, si su número es infinito, este podría no ser el caso; por ejemplo, los componentes conexos del conjunto de los números racionales son los conjuntos de un punto ( singletons ), que no son abiertos. Demostración: Dos números racionales distintos cualesquiera están en componentes diferentes. Tome un número irracional y luego establezca y Entonces es una separación de y . Por lo tanto, cada componente es un conjunto de un punto.${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización X,}$${\estilo de visualización x}$ ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización x;}$${\displaystyle \subseteq}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización x.}$ ${\displaystyle \subseteq}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$$Estilo de visualización q_{1}<q_{2}}$${\displaystyle q_{1}<r<q_{2},}$${\displaystyle A=\{q\in \mathbb {Q} :q<r\}}$${\displaystyle B=\{q\in \mathbb {Q} :q>r\}.}$${\estilo de visualización (A,B)}$${\displaystyle \mathbb {Q},}$${\displaystyle q_{1}\en A,q_{2}\en B}$

Sea el componente conexo de en un espacio topológico y sea la intersección de todos los conjuntos clopen que contienen (llamado cuasi-componente de ) Entonces, donde la igualdad se cumple si es Hausdorff compacto o localmente conexo. ^[2]$Estilo de visualización: Gamma__{x}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización X,}$$Estilo de visualización: Gamma__{x}'$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x.}$${\displaystyle \Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}}$${\estilo de visualización X}$

Un espacio en el que todos los componentes son conjuntos de un punto se llamatotalmente desconectado . En relación con esta propiedad, un espaciose denomina${\estilo de visualización X}$totalmente separados si, para dos elementos distintos cualesquierayde, existenconjuntos abiertosque contienenyque contienentales quees la unión dey. Claramente, cualquier espacio totalmente separado está totalmente desconectado, pero la inversa no se cumple. Por ejemplo, tomemos dos copias de los números racionales, e identifiquémoslas en cada punto excepto cero. El espacio resultante, con latopología de cociente, está totalmente desconectado. Sin embargo, al considerar las dos copias de cero, se ve que el espacio no está totalmente separado. De hecho, ni siquiera esHausdorff, y la condición de estar totalmente separado es estrictamente más fuerte que la condición de ser Hausdorff.${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización V}$${\displaystyle \mathbb {Q}}$

• El intervalo cerrado en la topología de subespacio estándar es conexo; aunque puede, por ejemplo, escribirse como la unión de y el segundo conjunto no es abierto en la topología elegida de${\estilo de visualización [0,2)}$ ${\estilo de visualización [0,1)}$${\estilo de visualización [1,2),}$${\estilo de visualización [0,2).}$
• La unión de y está desconectada; ambos intervalos están abiertos en el espacio topológico estándar.${\estilo de visualización [0,1)}$${\estilo de visualización (1,2]}$${\displaystyle [0,1)\cup (1,2].}$
• ${\displaystyle (0,1)\cup \{3\}}$está desconectado.
• Un subconjunto convexo de está conexo; en realidad, simplemente está conexo .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Un plano euclidiano que excluye el origen es conexo, pero no simplemente conexo. El espacio euclidiano tridimensional sin el origen es conexo, e incluso simplemente conexo. Por el contrario, el espacio euclidiano unidimensional sin el origen no es conexo.${\estilo de visualización (0,0),}$
• Un plano euclidiano al que se le quita una línea recta no es conexo ya que consta de dos semiplanos.
• ${\displaystyle \mathbb {R}}$, el espacio de números reales con la topología habitual, está conexo.
• La línea Sorgenfrey está desconectada. ^[3]
• Si se elimina un solo punto de , el resto está desconectado. Sin embargo, si se eliminan una infinidad contable de puntos de , donde el resto está conexo. Si , entonces permanece simplemente conexo después de eliminar una cantidad contable de puntos.${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 2,}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Cualquier espacio vectorial topológico , por ejemplo, cualquier espacio de Hilbert o espacio de Banach , sobre un campo conexo (como o ), es simplemente conexo.${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {C}}$
• Todo espacio topológico discreto con al menos dos elementos es desconexo, de hecho, un espacio de este tipo es totalmente desconexo . El ejemplo más simple es el espacio discreto de dos puntos . ^[4]
• Por otra parte, un conjunto finito puede ser conexo. Por ejemplo, el espectro de un anillo de valoración discreto consta de dos puntos y es conexo. Es un ejemplo de un espacio de Sierpiński .
• El conjunto de Cantor está totalmente desconectado; dado que el conjunto contiene incontables puntos, tiene incontables componentes.
• Si un espacio es homotópicamente equivalente a un espacio conexo, entonces es él mismo conexo.${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$
• La curva sinusoidal del topólogo es un ejemplo de un conjunto que está conectado pero que no está conectado por trayectorias ni conectado localmente.
• El grupo lineal general (es decir, el grupo de matrices invertibles -por- reales) consta de dos componentes conexos: uno con matrices de determinante positivo y otro con determinante negativo. En particular, no es conexo. Por el contrario, es conexo. De manera más general, el conjunto de operadores acotados invertibles en un espacio de Hilbert complejo es conexo.${\displaystyle \nombreoperador {GL} (n,\mathbb {R} )}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \nombreoperador {GL} (n,\mathbb {C} )}$
• Los espectros de los dominios integrales y de los anillos locales conmutativos están conectados. En términos más generales, los siguientes son equivalentes ^[5]
  1. El espectro de un anillo conmutativo está conectado${\estilo de visualización R}$
  2. Cada módulo proyectivo finitamente generado tiene rango constante .${\estilo de visualización R}$
  3. ${\estilo de visualización R}$no tiene idempotente (es decir, no es un producto de dos anillos de una manera no trivial).${\displaystyle \neq 0,1}$${\estilo de visualización R}$

Un ejemplo de un espacio no conectado es un plano del que se ha eliminado una línea infinita. Otros ejemplos de espacios desconectados (es decir, espacios que no están conectados) incluyen el plano al que se le ha eliminado un anillo , así como la unión de dos discos cerrados disjuntos , donde todos los ejemplos de este párrafo tienen la topología de subespacio inducida por el espacio euclidiano bidimensional.

AEl espacio conexo por caminos es una noción más fuerte de conectividad, que requiere la estructura de un camino. Un camino desde un puntoa otroen unespacio topológicoes una función continuadesde elintervalo unitariohastacony.${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$ ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización f}$ ${\estilo de visualización [0,1]}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle f(0)=x}$${\displaystyle f(1)=y}$El componente de ruta dees unaclase de equivalenciadebajo larelación de equivalenciaque haceequivalente asi y solo si hay una ruta desdea.Se dice que el espacio estáconexo por ruta(oconexo por rutao-conexo) si hay exactamente un componente de ruta. Para espacios no vacíos, esto es equivalente a la afirmación de que hay una ruta que une dos puntos cualesquiera en. Nuevamente, muchos autores excluyen el espacio vacío.${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathbf {0}}$${\estilo de visualización X}$

Todo espacio conexo por trayectorias es conexo. La inversa no siempre es cierta: ejemplos de espacios conexos que no son conexos por trayectorias incluyen la línea larga extendida y la curva sinusoidal del topólogo .$Estilo de visualización L*$

Los subconjuntos de la recta real son conexos si y solo si son conexos por trayectorias; estos subconjuntos son los intervalos y rayos de . Además, los subconjuntos abiertos de o son conexos si y solo si son conexos por trayectorias. Además, la conexidad y la conexidad por trayectorias son las mismas para espacios topológicos finitos .${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Se dice que un espacio está conexo por arco o conexo por arco si dos puntos topológicamente distinguibles pueden unirse mediante un arco , que es una incrustación . Un componente de arco de es un subconjunto conexo por arco máximo de ; o equivalentemente una clase de equivalencia de la relación de equivalencia de si dos puntos pueden unirse mediante un arco o mediante un camino cuyos puntos son topológicamente indistinguibles.${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$

Todo espacio de Hausdorff conexo por trayectorias también es conexo por arcos; de manera más general, esto es cierto para un espacio de Hausdorff , que es un espacio en el que cada imagen de una trayectoria es cerrada. Un ejemplo de un espacio conexo por trayectorias pero no por arcos lo da la línea con dos orígenes ; sus dos copias pueden estar conectadas por una trayectoria pero no por un arco.${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle 0}$

La intuición para espacios conexos por trayectorias no se transfiere fácilmente a espacios conexos por arcos. Sea la línea con dos orígenes . Los siguientes son hechos cuyos análogos son válidos para espacios conexos por trayectorias, pero no son válidos para espacios conexos por arcos:${\displaystyle X}$

• La imagen continua de un espacio arcoconexo puede no ser arcoconexa: por ejemplo, un mapa cociente de un espacio arcoconexo a su cociente con una cantidad contable (al menos 2) de puntos topológicamente distinguibles no puede ser arcoconexo debido a una cardinalidad demasiado pequeña.
• Los componentes del arco no pueden estar separados. Por ejemplo, tiene dos componentes de arco superpuestos.${\displaystyle X}$
• El espacio producto arcoconexo puede no ser un producto de espacios arcoconexos. Por ejemplo, es arcoconexo, pero no lo es.${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$
• Los componentes de arco de un espacio de producto no pueden ser productos de los componentes de arco de los espacios marginales. Por ejemplo, tiene un solo componente de arco, pero tiene dos componentes de arco.${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$
• Si los subconjuntos conexos por arco tienen una intersección no vacía, entonces su unión puede no ser conexa por arco. Por ejemplo, los componentes de arco de se intersecan, pero su unión no es conexa por arco.${\displaystyle X}$

Se dice que un espacio topológico es localmente conexo en un punto si cada entorno de contiene un entorno abierto conexo. Es localmente conexo si tiene una base de conjuntos conexos. Se puede demostrar que un espacio es localmente conexo si y solo si cada componente de cada conjunto abierto de es abierto.${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

De manera similar, se dice que un espacio topológico eslocalmente conexo por caminos si tiene una base de conjuntos conexos por caminos. Un subconjunto abierto de un espacio localmente conexo por caminos es conexo si y solo si es conexo por caminos. Esto generaliza la afirmación anterior sobrey, cada uno de los cuales es localmente conexo por caminos. De manera más general, cualquiervariedad topológicaes localmente conexa por caminos.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Localmente conexo no implica conexo, ni localmente conexo por trayectorias implica conexo por trayectorias. Un ejemplo simple de un espacio localmente conexo (y localmente conexo por trayectorias) que no es conexo (ni conexo por trayectorias) es la unión de dos intervalos separados en , como .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (0,1)\cup (2,3)}$

Un ejemplo clásico de un espacio conexo que no está conexo localmente es la llamada curva sinusoidal del topólogo , definida como , con la topología euclidiana inducida por la inclusión en .${\displaystyle T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

La intersección de conjuntos conexos no es necesariamente conexa.

La unión de conjuntos conexos no es necesariamente conexa, como se puede ver al considerar .${\displaystyle X=(0,1)\cup (1,2)}$

Cada elipse es un conjunto conexo, pero la unión no es conexa, ya que puede dividirse en dos conjuntos abiertos disjuntos y .${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

Esto significa que, si la unión es desconectada, entonces la colección puede ser dividida en dos subcolecciones, de modo que las uniones de las subcolecciones sean disjuntas y abiertas en (ver imagen). Esto implica que en varios casos, una unión de conjuntos conexos es necesariamente conexa. En particular:${\displaystyle X}$${\displaystyle \{X_{i}\}}$${\displaystyle X}$

1. Si la intersección común de todos los conjuntos no está vacía ( ), entonces obviamente no se pueden dividir en conjuntos con uniones disjuntas . Por lo tanto, la unión de conjuntos conexos con intersección no vacía es conexa.${\textstyle \bigcap X_{i}\neq \emptyset }$
2. Si la intersección de cada par de conjuntos no está vacía ( ), entonces tampoco se pueden dividir en colecciones con uniones disjuntas, por lo que su unión debe estar conectada.${\displaystyle \forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset }$
3. Si los conjuntos se pueden ordenar como una "cadena enlazada", es decir, indexados por índices enteros y , entonces nuevamente su unión debe estar conectada.${\displaystyle \forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset }$
4. Si los conjuntos son disjuntos por pares y el espacio cociente es conexo, entonces X debe ser conexo. De lo contrario, si es una separación de X entonces es una separación del espacio cociente (ya que son disjuntos y abiertos en el espacio cociente). ^[6]${\displaystyle X/\{X_{i}\}}$${\displaystyle U\cup V}$${\displaystyle q(U)\cup q(V)}$${\displaystyle q(U),q(V)}$

La diferencia de conjuntos conexos no es necesariamente conexa. Sin embargo, si y su diferencia es desconexa (y por lo tanto puede escribirse como una unión de dos conjuntos abiertos y ), entonces la unión de con cada uno de dichos componentes es conexa (es decir, es conexa para todos los ).${\displaystyle X\supseteq Y}$${\displaystyle X\setminus Y}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y\cup X_{i}}$${\displaystyle i}$

• Teorema principal de conexidad : Sean y espacios topológicos y sea una función continua. Si es conexa (por caminos), entonces la imagen es conexa (por caminos). Este resultado puede considerarse una generalización del teorema del valor intermedio .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(X)}$
• Todo espacio conectado por caminos está conectado.
• En un espacio conexo localmente, todo conjunto conexo abierto es conexo.
• Todo espacio conectado localmente está conectado localmente.
• Un espacio conexo localmente es conexo si y solo si es conexo.
• La clausura de un subconjunto conexo es conexa. Además, cualquier subconjunto entre un subconjunto conexo y su clausura es conexo.
• Los componentes conectados siempre están cerrados (pero en general no abiertos)
• Los componentes conectados de un espacio conectado localmente también están abiertos.
• Los componentes conexos de un espacio son uniones disjuntas de los componentes conexos por caminos (que en general no son ni abiertos ni cerrados).
• Todo cociente de un espacio conexo (resp. localmente conexo, conexo por caminos, localmente conexo por caminos) es conexo (resp. localmente conexo, conexo por caminos, localmente conexo por caminos).
• Todo producto de una familia de espacios conexos (resp. conexos por trayectorias) es conexo (resp. conexo por trayectorias).
• Cada subconjunto abierto de un espacio conectado localmente (resp. conectado por trayectorias localmente) está conectado localmente (resp. conectado por trayectorias localmente).
• Cada variedad está conectada por caminos locales.
• El espacio conectado por arco está conectado por trayectoria, pero el espacio conectado por trayectoria puede no estar conectado por arco
• La imagen continua de un conjunto conexo en forma de arco está conexa en forma de arco.

Los grafos tienen subconjuntos conexos por caminos, es decir, aquellos subconjuntos para los cuales cada par de puntos tiene un camino de aristas que los une. Pero no siempre es posible encontrar una topología en el conjunto de puntos que induzca los mismos conjuntos conexos. El grafo de 5 ciclos (y cualquier grafo de ciclos con impares) es un ejemplo de ello.${\displaystyle n}$${\displaystyle n>3}$

En consecuencia, se puede formular una noción de conectividad independientemente de la topología de un espacio. Es decir, existe una categoría de espacios conectivos que consisten en conjuntos con colecciones de subconjuntos conexos que satisfacen axiomas de conectividad; sus morfismos son aquellas funciones que asignan conjuntos conexos a conjuntos conexos (Muscat y Buhagiar 2006). Los espacios topológicos y los grafos son casos especiales de espacios conectivos; de hecho, los espacios conectivos finitos son precisamente los grafos finitos.

Sin embargo, cada grafo puede convertirse canónicamente en un espacio topológico, tratando los vértices como puntos y las aristas como copias del intervalo unitario (véase teoría de grafos topológicos#Los grafos como espacios topológicos ). Entonces se puede demostrar que el grafo es conexo (en el sentido teórico de grafos) si y solo si es conexo como espacio topológico.

Existen formas más fuertes de conectividad para los espacios topológicos , por ejemplo:

• Si no existen dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos en un espacio topológico , deben estar conexos y, por lo tanto, los espacios hiperconexos también son conexos.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• Dado que, por definición, un espacio simplemente conexo también debe estar conexo por trayectorias, cualquier espacio simplemente conexo también es conexo. Si se elimina el requisito de "conectividad por trayectorias" de la definición de conectividad simple, un espacio simplemente conexo no necesita estar conexo.
• Otras versiones más sólidas de la conectividad incluyen la noción de espacio contráctil . Todo espacio contráctil está conectado por caminos y, por lo tanto, también está conectado.

En general, cualquier espacio conexo por trayectorias debe ser conexo, pero existen espacios conexos que no lo son. El espacio peine eliminado proporciona un ejemplo de ello, al igual que la curva sinusoidal del topólogo mencionada anteriormente .

• Componente conexo (teoría de grafos)  : subgrafo máximo cuyos vértices pueden alcanzarse entre síPages displaying short descriptions of redirect targets
• Locus de conectividad
• Dominio (análisis matemático)  : subconjunto abierto conexo de un espacio topológico
• Espacio extremadamente desconectado  – Espacio topológico en el que el cierre de cada conjunto abierto es abierto
• Espacio localmente conexo  – Propiedad de los espacios topológicos
• n -conectado
• Espacio uniformemente conexo  – Tipo de espacio uniforme
• Conectividad de píxeles