Polo y polar

En geometría , un polo y una polar son respectivamente un punto y una línea que tienen una relación recíproca única con respecto a una sección cónica dada .

La reciprocidad polar en un círculo dado es la transformación de cada punto del plano en su línea polar y de cada línea del plano en su polo.

Polo y polar tienen varias propiedades útiles:

• Si un punto P se encuentra en la recta l , entonces el polo L de la recta l se encuentra en el polar p del punto P.
• Si un punto P se mueve a lo largo de una línea l , su polar p gira alrededor del polo L de la línea l .
• Si se pueden trazar dos líneas tangentes desde un polo a la sección cónica, entonces su polar pasa por ambos puntos tangentes.
• Si un punto se encuentra en la sección cónica, su polar es la tangente que pasa por este punto a la sección cónica.
• Si un punto P se encuentra en su propia línea polar, entonces P está en la sección cónica.
• Cada línea tiene, con respecto a una sección cónica no degenerada, exactamente un polo.

El polo de una recta L en un círculo C es un punto Q que es la inversión en C del punto P en L que está más cerca del centro del círculo. Por el contrario, la recta polar (o polar ) de un punto Q en un círculo C es la recta L tal que su punto P más cercano al centro del círculo es la inversión de Q en C .

La relación entre polos y polares es recíproca. Por lo tanto, si un punto A se encuentra sobre la línea polar q de un punto Q , entonces el punto Q debe encontrarse sobre la línea polar a del punto A. Las dos líneas polares a y q no necesitan ser paralelas.

Existe otra descripción de la línea polar de un punto P en el caso de que se encuentre fuera del círculo C. En este caso, hay dos líneas a través de P que son tangentes al círculo , y la polar de P es la línea que une los dos puntos de tangencia (no se muestra aquí). Esto demuestra que el polo y la línea polar son conceptos en la geometría proyectiva del plano y se generalizan con cualquier cónica no singular en el lugar del círculo C.

Los conceptos de polo y su línea polar se han desarrollado en la geometría proyectiva . Por ejemplo, la línea polar puede considerarse como el conjunto de conjugados armónicos proyectivos de un punto dado, el polo, con respecto a una cónica. La operación de reemplazar cada punto por su polar y viceversa se conoce como polaridad.

Una polaridad es una correlación que también es una involución .

Para un punto P y su polar p , cualquier otro punto Q en p es el polo de una línea q que pasa por P . Esto constituye una relación recíproca, y es una en la que se conservan las incidencias. ^[1]

Los conceptos de polo, polar y reciprocidad pueden generalizarse de los círculos a otras secciones cónicas , como la elipse , la hipérbola y la parábola . Esta generalización es posible porque las secciones cónicas resultan de una reciprocidad de un círculo en otro círculo, y las propiedades involucradas, como la incidencia y la razón cruzada , se conservan bajo todas las transformaciones proyectivas .

Una sección cónica general puede escribirse como una ecuación de segundo grado en las coordenadas cartesianas ( x , y ) del plano

$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0}$$

donde A _xx , A _xy , A _yy , B _x , B _y y C son las constantes que definen la ecuación. Para una sección cónica de este tipo, la línea polar hasta un punto polar dado ( ξ , η ) se define mediante la ecuación

$${\displaystyle Dx+Ey+F=0\,}$$

donde D , E y F son también constantes que dependen de las coordenadas polares ( ξ , η )

$${\displaystyle {\begin{aligned}D&=A_{xx}\xi +A_{xy}\eta +B_{x}\\E&=A_{xy}\xi +A_{yy}\eta +B_{y}\\F&=B_{x}\xi +B_{y}\eta +C\end{aligned}}}$$

El polo de la línea , relativo a la sección cónica no degenerada, se puede calcular en dos pasos.${\displaystyle Dx+Ey+F=0}$$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0}$$

Primero, calcula los números x, y y z de

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}D\\E\\F\end{bmatrix}}}$$

Ahora, el polo es el punto con coordenadas${\displaystyle \left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)}$

• Relación polo-polar para una elipse
• Relación polo-polar para una hipérbola
• Relación polo-polar para una parábola

cónico	ecuación	polar del punto${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$
círculo	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y=r^{2}}$
elipse	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$
hipérbola	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$
parábola	${\displaystyle y=ax^{2}}$	${\displaystyle y+y_{0}=2ax_{0}x}$

cónico	ecuación	polo de la línea ux + vy = w
círculo	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {r^{2}u}{w}},\;{\frac {r^{2}v}{w}}\right)}$
elipse	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle \left({\frac {a^{2}u}{w}},\;{\frac {b^{2}v}{w}}\right)}$
hipérbola	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle \left({\frac {a^{2}u}{w}},\;-{\frac {b^{2}v}{w}}\right)}$
parábola	${\displaystyle y=ax^{2}}$	${\displaystyle \left(-{\frac {u}{2av}},\;-{\frac {w}{v}}\right)}$

En geometría proyectiva , dos líneas en un plano siempre se cortan. Por lo tanto, dados cuatro puntos que forman un cuadrángulo completo , las líneas que unen los puntos se cruzan en tres puntos diagonales adicionales .

Dado un punto Z que no está en la cónica C , traza dos secantes desde Z a C que se crucen en los puntos A , B , D y E . Entonces estos cuatro puntos forman un cuadrángulo completo y Z está en uno de los puntos diagonales. La línea que une los otros dos puntos diagonales es el polar de Z , y Z es el polo de esta línea. ^[2]

Los polos y polares fueron definidos por Joseph Díaz Gergonne y juegan un papel importante en su solución del problema de Apolonio . ^[3]

En dinámica planar, un polo es un centro de rotación, el polar es la línea de acción de la fuerza y ​​la cónica es la matriz de masa-inercia. ^[4] La relación polo-polar se utiliza para definir el centro de percusión de un cuerpo rígido planar. Si el polo es el punto de articulación, entonces el polar es la línea de acción de percusión como se describe en la teoría del tornillo planar .

• Polígono dual
• Poliedro dual
• Curva polar

• Johnson RA (1960). Geometría euclidiana avanzada: un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo . Nueva York: Dover Publications. págs. 100–105.
• Coxeter HSM , Greitzer SL (1967). Geometry Revisited . Washington : MAA . Págs. 132-136, 150. ISBN. 978-0-88385-619-2.
• Gray JJ (2007). Mundos de la nada: un curso sobre la historia de la geometría en el siglo XIX . Londres: Springer Verlag. pp. 21. ISBN. 978-1-84628-632-2.
• Korn GA, Korn TM (1961). Manual matemático para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 43–45. LCCN  59014456. La versión de bolsillo publicada por Dover Publications tiene el ISBN 978-0-486-41147-7 . 
• Wells D (1991). Diccionario Penguin de geometría curiosa e interesante. Nueva York: Penguin Books. págs. 190-191. ISBN 0-14-011813-6.

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Polos y polares .

• Animación interactiva con múltiples polos y polares en Cut-the-Knot
• Animación interactiva con un polo y su polar.
• 3D interactivo con múltiples polos/polares coloreados - código abierto
• Weisstein, Eric W. "Polar". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Reciprocidad". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Polo de inversión". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Curva recíproca". MathWorld .
• Tutorial en Math-abundance