Geometría inversa

En geometría , la geometría inversa es el estudio de la inversión , una transformación del plano euclidiano que convierte círculos o líneas en otros círculos o líneas y que conserva los ángulos entre curvas que se cruzan. Muchos problemas difíciles en geometría se vuelven mucho más manejables cuando se aplica una inversión. La inversión parece haber sido descubierta por varias personas contemporáneamente, entre ellas Steiner (1824), Quetelet (1825), Bellavitis (1836), Stubbs e Ingram (1842-1843) y Kelvin (1845). ^[1]

El concepto de inversión puede generalizarse a espacios de dimensiones superiores.

Invertir un número en aritmética suele significar tomar su recíproco . Una idea estrechamente relacionada en geometría es la de "invertir" un punto. En el plano , el inverso de un punto P con respecto a un círculo de referencia (Ø) con centro O y radio r es un punto P ' , que se encuentra en el rayo de O a través de P tal que

${\displaystyle OP\cdot OP^{\prime }=r^{2}.}$

Esto se llama inversión de círculo o inversión de plano . La inversión que lleva cualquier punto P (distinto de O ) a su imagen P ' también lleva P ' de vuelta a P , por lo que el resultado de aplicar la misma inversión dos veces es la transformación identidad que la convierte en una autoinversión (es decir, una involución). ^{[2] [3]} Para hacer de la inversión una función total que también esté definida para O , es necesario introducir un punto en el infinito , un único punto colocado en todas las rectas, y extender la inversión, por definición, para intercambiar el centro O y este punto en el infinito.

De la definición se desprende que la inversión de cualquier punto dentro del círculo de referencia debe estar fuera de él, y viceversa, con el centro y el punto en el infinito cambiando posiciones, mientras que cualquier punto en el círculo no se ve afectado (es invariante bajo inversión). En resumen, para un punto dentro del círculo, cuanto más cerca esté del centro, más lejos estará su transformación. Mientras que para cualquier punto (dentro o fuera del círculo), cuanto más cerca esté del círculo, más cerca estará su transformación.

Para construir la inversa P ' de un punto P fuera de un círculo Ø :

• Dibuja el segmento desde O (centro del círculo Ø ) hasta P .
• Sea M el punto medio de OP . (No se muestra)
• Dibuje el círculo c con centro M pasando por P. (No está etiquetado. Es el círculo azul)
• Sean N y N ' los puntos donde se intersecan Ø y c .
• Dibujar el segmento NN ' .
• P ' es donde OP y NN ' se cruzan.

Para construir la inversa P de un punto P ' dentro de un círculo Ø :

• Dibuje el rayo r desde O (centro del círculo Ø ) a través de P ' . (No está etiquetado, es la línea horizontal)
• Dibuje la línea s a través de P ' perpendicular a r . (No está etiquetada. Es la línea vertical)
• Sea N uno de los puntos donde se intersecan Ø y s .
• Dibuje el segmento ON .
• Dibuje una línea t a través de N perpendicular a ON .
• P es donde se intersecan el rayo r y la línea t .

Existe una construcción del punto inverso a A con respecto a un círculo P que es independiente de si A está dentro o fuera de P. ^[4 ]

Consideremos un círculo P con centro O y un punto A que puede estar dentro o fuera del círculo P.

• Tome el punto de intersección C del rayo OA con el círculo P.
• Conecta el punto C con un punto arbitrario B en el círculo P (distinto de C y del punto en P antípoda a C )
• Sea h la reflexión del rayo BA en la recta BC . Entonces h corta al rayo OC en un punto A ' . A ' es el punto inverso de A respecto del círculo P . ^{[4] : § 3.2}

• 
  La inversa, con respecto al círculo rojo, de un círculo que pasa por O (azul) es una línea que no pasa por O (verde), y viceversa.
• 
  El inverso, con respecto al círculo rojo, de un círculo que no pasa por O (azul) es un círculo que no pasa por O (verde), y viceversa.
• 
  La inversión con respecto a un círculo no asigna el centro del círculo al centro de su imagen.

La inversión de un conjunto de puntos del plano con respecto a un círculo es el conjunto de inversos de estos puntos. Las siguientes propiedades hacen que la inversión del círculo sea útil.

• Un círculo que pasa por el centro O del círculo de referencia se invierte a una línea que no pasa por O , sino que es paralela a la tangente al círculo original en O , y viceversa; mientras que una línea que pasa por O se invierte en sí misma (pero no es invariante puntualmente). ^[5]
• Un círculo que no pasa por O se invierte en un círculo que no pasa por O. Si el círculo se encuentra con el círculo de referencia, estos puntos de intersección invariantes también están en el círculo inverso. Un círculo (o línea) no cambia por inversión si y solo si es ortogonal al círculo de referencia en los puntos de intersección. ^[5]

Las propiedades adicionales incluyen:

• Si un círculo q pasa por dos puntos distintos A y A' que son inversos con respecto a un círculo k , entonces los círculos k y q son ortogonales.
• Si los círculos k y q son ortogonales, entonces una línea recta que pasa por el centro O de k e interseca a q , lo hace en puntos inversos con respecto a k .
• Dado un triángulo OAB en el que O es el centro de un círculo k , y los puntos A' y B' son inversos de A y B con respecto a k , entonces

${\displaystyle \ángulo OAB=\ángulo OB'A'\ {\text{ y }}\ \ángulo OBA=\ángulo OA'B'.}$

• Los puntos de intersección de dos círculos p y q ortogonales a un círculo k , son inversos con respecto a k .
• Si M y M' son puntos inversos con respecto a un círculo k en dos curvas m y m', también inversas con respecto a k , entonces las tangentes a m y m' en los puntos M y M' son perpendiculares a la línea recta MM' o forman con esta línea un triángulo isósceles con base MM'.
• La inversión deja inalterada la medida de los ángulos, pero invierte la orientación de los ángulos orientados. ^[6]

• La inversión de una línea es un círculo que contiene el centro de inversión; o es la línea misma si contiene el centro
• La inversión de un círculo es otro círculo; o es una línea si el círculo original contiene el centro
• La inversión de una parábola es un cardioide.
• La inversión de la hipérbola es una lemniscata de Bernoulli

En el caso de un círculo que no pasa por el centro de inversión, el centro del círculo que se invierte y el centro de su imagen bajo inversión son colineales con el centro del círculo de referencia. Este hecho se puede utilizar para demostrar que la línea de Euler del triángulo inconexo de un triángulo coincide con su línea OI. La prueba es, en líneas generales, la siguiente:

Invertido respecto del círculo inscrito del triángulo ABC . El triángulo medial del triángulo en contacto está invertido en el triángulo ABC , es decir, el circuncentro del triángulo medial, es decir, el centro de nueve puntos del triángulo en contacto, el incentro y el circuncentro del triángulo ABC son colineales .

Dos círculos cualesquiera que no se intersequen pueden invertirse para convertirse en círculos concéntricos . En ese caso, la distancia inversa (que se suele denotar como δ) se define como el logaritmo natural del cociente de los radios de los dos círculos concéntricos.

Además, dos círculos cualesquiera que no se intersequen pueden invertirse en círculos congruentes , utilizando el círculo de inversión centrado en un punto del círculo de antisimilitud .

El mecanismo de Peaucellier-Lipkin es una implementación mecánica de la inversión en un círculo. Proporciona una solución exacta al importante problema de la conversión entre movimiento lineal y circular.

Si el punto R es el inverso del punto P entonces la línea perpendicular a la línea PR que pasa por uno de los puntos es la polar del otro punto (el polo ).

Los polos y los polares tienen varias propiedades útiles:

• Si un punto P se encuentra en una recta l , entonces el polo L de la recta l se encuentra en el polar p del punto P .
• Si un punto P se mueve a lo largo de una línea l , su polar p gira alrededor del polo L de la línea l .
• Si se pueden trazar dos líneas tangentes desde un polo al círculo, entonces su polar pasa por ambos puntos tangentes.
• Si un punto se encuentra en el círculo, su polar es la tangente que pasa por ese punto.
• Si un punto P se encuentra en su propia línea polar, entonces P está en el círculo.
• Cada línea tiene exactamente un polo.

La inversión de un círculo se puede generalizar a la inversión de una esfera en tres dimensiones. La inversión de un punto P en 3D con respecto a una esfera de referencia centrada en un punto O con radio R es un punto P ' en el rayo con dirección OP tal que . Al igual que con la versión 2D, una esfera se invierte en una esfera, excepto que si una esfera pasa por el centro O de la esfera de referencia, entonces se invierte en un plano. Cualquier plano que pase por O , se invierte en una esfera que toca en O . Un círculo, es decir, la intersección de una esfera con un plano secante, se invierte en un círculo, excepto que si el círculo pasa por O se invierte en una línea. Esto se reduce al caso 2D cuando el plano secante pasa por O , pero es un verdadero fenómeno 3D si el plano secante no pasa por O .${\displaystyle OP\cdot OP^{\prime }=||OP||\cdot ||OP^{\prime }||=R^{2}}$

La superficie más simple (además de un plano) es la esfera. La primera imagen muestra una inversión no trivial (el centro de la esfera no es el centro de la inversión) de una esfera junto con dos círculos que se intersecan de forma ortogonal.

La inversión de un cilindro, cono o toro da como resultado un cicluro de Dupin .

Un esferoide es una superficie de revolución y contiene un haz de círculos que se proyecta sobre un haz de círculos (ver imagen). La imagen inversa de un esferoide es una superficie de grado 4.

Un hiperboloide de una hoja, que es una superficie de revolución, contiene un haz de círculos que se proyecta sobre un haz de círculos. Un hiperboloide de una hoja contiene dos haces de líneas adicionales, que se proyectan sobre haces de círculos. La imagen muestra una de esas líneas (azul) y su inversión.

Una proyección estereográfica generalmente proyecta una esfera desde un punto (polo norte) de la esfera sobre el plano tangente en el punto opuesto (polo sur). Esta proyección se puede realizar mediante una inversión de la esfera sobre su plano tangente. Si la esfera (que se va a proyectar) tiene la ecuación (escrita alternativamente ; centro , radio , verde en la imagen), entonces se proyectará mediante la inversión en la esfera unitaria (roja) sobre el plano tangente en el punto . Las líneas que pasan por el centro de la inversión (punto ) se proyectan sobre sí mismas. Son las líneas de proyección de la proyección estereográfica.${\estilo de visualización N}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=-z}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z+{\tfrac {1}{2}})^{2}={\tfrac {1}{4}}}$${\estilo de visualización (0,0,-0.5)}$${\estilo de visualización 0.5}$${\displaystyle S=(0,0,-1)}$${\estilo de visualización N}$

Las coordenadas de 6 esferas son un sistema de coordenadas para el espacio tridimensional que se obtiene invirtiendo las coordenadas cartesianas .

Uno de los primeros en considerar los fundamentos de la geometría inversa fue Mario Pieri en 1911 y 1912. ^[7] Edward Kasner escribió su tesis sobre "Teoría invariante del grupo de inversión". ^[8]

Más recientemente, la estructura matemática de la geometría inversa se ha interpretado como una estructura de incidencia donde los círculos generalizados se denominan "bloques": En la geometría de incidencia , cualquier plano afín junto con un único punto en el infinito forma un plano de Möbius , también conocido como plano inverso . El punto en el infinito se agrega a todas las líneas. Estos planos de Möbius se pueden describir axiomáticamente y existen tanto en versiones finitas como infinitas.

Un modelo para el plano de Möbius que proviene del plano euclidiano es la esfera de Riemann .

La razón cruzada entre 4 puntos es invariante bajo una inversión. En particular, si O es el centro de la inversión y y son distancias a los extremos de una línea L, entonces la longitud de la línea será bajo una inversión con radio 1. La invariante es:${\estilo de visualización x,y,z,w}$$estilo de visualización r_{1}$$estilo de visualización r_{2}$${\estilo de visualización d}$$estilo de visualización d/(r_{1}r_{2})}$

${\displaystyle I={\frac {|xy||wz|}{|xw||yz|}}}$

Según Coxeter, ^[9] la transformación por inversión en el círculo fue inventada por L. I. Magnus en 1831. Desde entonces, esta aplicación se ha convertido en una vía hacia las matemáticas superiores. A través de algunos pasos de aplicación de la aplicación de la función de inversión en el círculo, un estudiante de geometría de transformación pronto aprecia la importancia del programa de Erlangen de Felix Klein , una consecuencia de ciertos modelos de geometría hiperbólica.

La combinación de dos inversiones en círculos concéntricos da como resultado una similitud , transformación homotética o dilatación caracterizada por la relación de los radios de los círculos.

${\displaystyle x\mapsto R^{2}{\frac {x}{|x|^{2}}}=y\mapsto T^{2}{\frac {y}{|y|^{2}}}=\left({\frac {T}{R}}\right)^{2}x.}$

Cuando un punto en el plano se interpreta como un número complejo con conjugado complejo entonces el recíproco de z es${\displaystyle z=x+iy,}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy,}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}.}$

En consecuencia, la forma algebraica de la inversión en un círculo unitario está dada por donde:${\displaystyle z\mapsto w}$

${\displaystyle w={\frac {1}{\bar {z}}}={\overline {\left({\frac {1}{z}}\right)}}}$.

La reciprocidad es clave en la teoría de la transformación como generador del grupo de Möbius . Los otros generadores son la traslación y la rotación, ambos familiares a través de manipulaciones físicas en el entorno 3-espacio. La introducción de la reciprocidad (dependiente de la inversión del círculo) es lo que produce la naturaleza peculiar de la geometría de Möbius, que a veces se identifica con la geometría inversa (del plano euclidiano). Sin embargo, la geometría inversa es el estudio más amplio ya que incluye la inversión bruta en un círculo (aún no convertida, con conjugación, en reciprocidad). La geometría inversa también incluye la aplicación de conjugación . Ni la conjugación ni la inversión en un círculo están en el grupo de Möbius ya que no son conformes (ver más abajo). Los elementos del grupo de Möbius son funciones analíticas de todo el plano y, por lo tanto, son necesariamente conformes .

Considérese, en el plano complejo, el círculo de radio alrededor del punto${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle (z-a)(z-a)^{*}=r^{2}}$

donde sin pérdida de generalidad, Utilizando la definición de inversión${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$

${\displaystyle w={\frac {1}{z^{*}}}}$

Es sencillo demostrar que obedece a la ecuación${\displaystyle w}$

${\displaystyle ww^{*}-{\frac {a}{(a^{2}-r^{2})}}(w+w^{*})+{\frac {a^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}}$

y por lo tanto eso describe el círculo de centro y radio${\displaystyle w}$${\textstyle {\frac {a}{a^{2}-r^{2}}}}$${\textstyle {\frac {r}{|a^{2}-r^{2}|}}.}$

Cuando el círculo se transforma en la línea paralela al eje imaginario${\displaystyle a\to r,}$${\displaystyle w+w^{*}={\tfrac {1}{a}}.}$

Para y el resultado para es${\displaystyle a\not \in \mathbb {R} }$${\displaystyle aa^{*}\neq r^{2}}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&ww^{*}-{\frac {aw+a^{*}w^{*}}{(a^{*}a-r^{2})}}+{\frac {aa^{*}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\left(w-{\frac {a^{*}}{aa^{*}-r^{2}}}\right)\left(w^{*}-{\frac {a}{a^{*}a-r^{2}}}\right)=\left({\frac {r}{\left|aa^{*}-r^{2}\right|}}\right)^{2}\end{aligned}}}$

mostrando que describe el círculo de centro y radio .${\displaystyle w}$${\textstyle {\frac {a}{(aa^{*}-r^{2})}}}$${\textstyle {\frac {r}{\left|a^{*}a-r^{2}\right|}}}$

Cuando la ecuación para se convierte en${\displaystyle a^{*}a\to r^{2},}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&aw+a^{*}w^{*}=1\Longleftrightarrow 2\operatorname {Re} \{aw\}=1\Longleftrightarrow \operatorname {Re} \{a\}\operatorname {Re} \{w\}-\operatorname {Im} \{a\}\operatorname {Im} \{w\}={\frac {1}{2}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\operatorname {Im} \{w\}={\frac {\operatorname {Re} \{a\}}{\operatorname {Im} \{a\}}}\cdot \operatorname {Re} \{w\}-{\frac {1}{2\cdot \operatorname {Im} \{a\}}}.\end{aligned}}}$

Como se mencionó anteriormente, el cero, el origen, requiere una consideración especial en la aplicación de inversión del círculo. El enfoque es unir un punto en el infinito designado ∞ o 1/0. En el enfoque de los números complejos, donde la reciprocidad es la operación aparente, este procedimiento conduce a la línea proyectiva compleja , a menudo llamada esfera de Riemann . Fueron subespacios y subgrupos de este espacio y grupo de aplicaciones los que se aplicaron para producir los primeros modelos de geometría hiperbólica de Beltrami , Cayley y Klein . Por lo tanto, la geometría inversa incluye las ideas originadas por Lobachevsky y Bolyai en su geometría plana. Además, Felix Klein estaba tan impresionado por esta facilidad de las aplicaciones para identificar fenómenos geométricos que presentó un manifiesto, el programa de Erlangen , en 1872. Desde entonces, muchos matemáticos reservan el término geometría para un espacio junto con un grupo de aplicaciones de ese espacio. Las propiedades significativas de las figuras en la geometría son aquellas que son invariantes bajo este grupo.

Por ejemplo, Smogorzhevsky ^[10] desarrolla varios teoremas de geometría inversa antes de comenzar la geometría lobachevskiana.

En un espacio euclidiano real de n dimensiones, una inversión en la esfera de radio r centrada en el punto es una función de un punto arbitrario que se obtiene invirtiendo la longitud del vector de desplazamiento y multiplicando por :${\displaystyle O=(o_{1},...,o_{n})}$${\displaystyle P=(p_{1},...,p_{n})}$ ${\displaystyle P-O}$${\displaystyle r^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P&\mapsto P'=O+{\frac {r^{2}(P-O)}{\|P-O\|^{2}}},\\[5mu]p_{j}&\mapsto p_{j}'=o_{j}+{\frac {r^{2}(p_{j}-o_{j})}{\sum _{k}(p_{k}-o_{k})^{2}}}.\end{aligned}}}$

La transformación por inversión en hiperplanos o hiperesferas en E ⁿ puede utilizarse para generar dilataciones, traslaciones o rotaciones. En efecto, dos hiperesferas concéntricas, utilizadas para producir inversiones sucesivas, dan como resultado una dilatación u homotecia en torno al centro de las hiperesferas.

Cuando se utilizan dos hiperplanos paralelos para producir reflexiones sucesivas, el resultado es una traslación . Cuando dos hiperplanos se intersecan en un plano ( n –2) , las reflexiones sucesivas producen una rotación donde cada punto del plano ( n –2) es un punto fijo de cada reflexión y, por lo tanto, de la composición.

Cualquier combinación de reflexiones, traslaciones y rotaciones se denomina isometría . Cualquier combinación de reflexiones, dilataciones, traslaciones y rotaciones se denomina semejanza .

Todas estas son aplicaciones conformes y, de hecho, cuando el espacio tiene tres o más dimensiones, las aplicaciones generadas por inversión son las únicas aplicaciones conformes. El teorema de Liouville es un teorema clásico de la geometría conforme .

La adición de un punto en el infinito al espacio elimina la distinción entre hiperplano e hiperesfera; la geometría inversa de dimensiones superiores se estudia con frecuencia en el supuesto contexto de una n -esfera como espacio base. Las transformaciones de la geometría inversa se denominan a menudo transformaciones de Möbius . La geometría inversa se ha aplicado al estudio de coloraciones o particiones de una n -esfera. ^[11]

La función de inversión del círculo es anticonforme, lo que significa que en cada punto conserva los ángulos e invierte la orientación (una función se llama conforme si conserva los ángulos orientados ). Algebraicamente, una función es anticonforme si en cada punto el jacobiano es un escalar por una matriz ortogonal con determinante negativo: en dos dimensiones, el jacobiano debe ser un escalar por una reflexión en cada punto. Esto significa que si J es el jacobiano, entonces y Calculando el jacobiano en el caso z _i = x _i /‖ x ‖ ² , donde ‖ x ‖ ² = x ₁ ² + ... + x _n ² da JJ ^T = kI , con k = 1/‖ x ‖ ⁴ⁿ , y además det( J ) es negativo; por lo tanto, la función inversa es anticonforme.${\displaystyle J\cdot J^{T}=kI}$${\displaystyle \det(J)=-{\sqrt {k}}.}$

En el plano complejo, la función de inversión de círculo más obvia (es decir, que utiliza el círculo unitario centrado en el origen) es la función conjugada compleja de la función inversa compleja que toma z como 1/ z . La función inversa analítica compleja es conforme y su conjugada, la inversión de círculo, es anticonforme. En este caso, una homografía es conforme mientras que una antihomografía es anticonforme.

La ( n  − 1)-esfera con ecuación

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+c=0}$

tendrá un radio positivo si a ₁ ² + ... + a _n ² es mayor que c , y en la inversión da la esfera

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2{\frac {a_{1}}{c}}x_{1}+\cdots +2{\frac {a_{n}}{c}}x_{n}+{\frac {1}{c}}=0.}$

Por lo tanto, será invariante bajo inversión si y solo si c = 1. Pero esta es la condición de ser ortogonal a la esfera unitaria. Por lo tanto, nos vemos obligados a considerar las ( n  − 1)-esferas con ecuación

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+1=0,}$

que son invariantes bajo inversión, ortogonales a la esfera unitaria y tienen centros fuera de la esfera. Estos, junto con los hiperplanos del subespacio que separan los hemisferios, son las hipersuperficies del modelo de disco de Poincaré de la geometría hiperbólica.

Como la inversión en la esfera unitaria deja invariables las esferas ortogonales a ella, la inversión asigna los puntos dentro de la esfera unitaria al exterior y viceversa. Esto es, por tanto, cierto en general para las esferas ortogonales, y en particular, la inversión en una de las esferas ortogonales a la esfera unitaria asigna la esfera unitaria a sí misma. También asigna el interior de la esfera unitaria a sí misma, con puntos fuera de la esfera ortogonal asignando el interior, y viceversa; esto define las reflexiones del modelo del disco de Poincaré si también incluimos con ellas las reflexiones a través de los diámetros que separan los hemisferios de la esfera unitaria. Estas reflexiones generan el grupo de isometrías del modelo, lo que nos dice que las isometrías son conformes. Por lo tanto, el ángulo entre dos curvas en el modelo es el mismo que el ángulo entre dos curvas en el espacio hiperbólico.

• Círculo de antisemejanza
• Dualidad (geometría proyectiva)
• Curva inversa
• Punto límite (geometría)
• Transformación de Möbius
• Geometría proyectiva
• El hexlet de Soddy
• Teorema de Mohr-Mascheroni
• Inversión de curvas y superficies (alemán)

• Altshiller-Court, Nathan (1952), Geometría universitaria: Introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo (2.ª ed.), Nueva York: Barnes & Noble , LCCN  52-13504
• Blair, David E. (2000), Teoría de la inversión y mapeo conforme , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2636-0
• Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), "Capítulo 5: Geometría inversa", Geometría , Cambridge: Cambridge University Press, págs. 199–260, ISBN 0-521-59787-0
• Coxeter, HSM (1969) [1961], Introducción a la geometría (2.ª ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
• Hartshorne, Robin (2000), "Capítulo 7: Geometría no euclidiana, Sección 37: Inversión circular", Geometría: Euclides y más allá , Springer, ISBN 0-387-98650-2
• Kay, David C. (1969), Geometría universitaria , Nueva York: Holt, Rinehart y Winston , LCCN  69-12075
• Patterson, Boyd (1941) "El plano inverso", American Mathematical Monthly 48: 589–99, doi :10.2307/2303867 MR 0006034

• Inversión: Reflexión en un círculo al cortar el nudo
• Página de geometría inversa de Wilson Stother
• Materiales de capacitación del Compendio de la OMI: problemas prácticos sobre cómo usar la inversión para problemas de olimpiadas de matemáticas
• Weisstein, Eric W. "Inversión". MundoMatemático .
• Diccionario visual de curvas planas especiales Xah Lee