Funciones hiperbólicas

En matemáticas , las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias , pero definidas utilizando la hipérbola en lugar del círculo . Así como los puntos (cos t , sen t ) forman un círculo con un radio unitario , los puntos (cosh t , senh t ) forman la mitad derecha de la hipérbola unitaria . Además, de manera similar a cómo las derivadas de sin( t ) y cos( t ) son cos( t ) y –sin( t ) respectivamente, las derivadas de sinh( t ) y cosh( t ) son cosh( t ) y +sinh( t ) respectivamente.

Las funciones hiperbólicas se utilizan en los cálculos de ángulos y distancias en la geometría hiperbólica . También se utilizan en las soluciones de muchas ecuaciones diferenciales lineales (como la ecuación que define una catenaria ), ecuaciones cúbicas y la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas . Las ecuaciones de Laplace son importantes en muchas áreas de la física , incluidas la teoría electromagnética , la transferencia de calor , la dinámica de fluidos y la relatividad especial .

Las funciones hiperbólicas básicas son: ^[1]

• seno hiperbólico " sinh " ( / ˈ s ɪ ŋ , ˈ s ɪ n tʃ , ˈ ʃ aɪ n / ), ^[2]
• coseno hiperbólico " cosh " ( / ˈ k ɒ ʃ , ˈ k oʊ ʃ / ), ^[3]

de donde se derivan: ^[4]

• tangente hiperbólica " tanh " ( / ˈ t æ ŋ , ˈ t æ n tʃ , ˈ θ æ n / ), ^[5]
• cotangente hiperbólica " coth " ( / ˈkɒθ , ˈkooʊθ / ) , [ 6 ] ^{[ 7} ]
• secante hiperbólica " sech " ( / ˈ s ɛ tʃ , ˈ ʃ ɛ k / ), ^[8]
• cosecante hiperbólica " csch " o " cosech " ( / ˈ k oʊ s ɛ tʃ , ˈ k oʊ ʃ ɛ k / ^[3] )

correspondiente a las funciones trigonométricas derivadas.

Las funciones hiperbólicas inversas son:

• área del seno hiperbólico " arsinh " (también denominado " sinh ⁻¹ ", " asinh " o a veces " arcsinh ") ^{[9] [10] [11]}
• área del coseno hiperbólico " arcosh " (también denominado " cosh ⁻¹ ", " acosh " o a veces " arccosh ")
• área tangente hiperbólica " artanh " (también denominada " tanh ⁻¹ ", " atanh " o a veces " arcthanh ")
• área cotangente hiperbólica " arcoth " (también denominada " coth ⁻¹ ", " acoth " o a veces " arcoth ")
• área secante hiperbólica " arsech " (también denominada " sech ⁻¹ ", " asech " o a veces " arcsech ")
• área cosecante hiperbólica " arcsch " (también denominada " arcosech ", " csch ⁻¹ ", " cosech ⁻¹ "," acsch ", " acosech ", o a veces " arccsch " o " arccosech ")

Las funciones hiperbólicas toman un argumento real llamado ángulo hiperbólico . El tamaño de un ángulo hiperbólico es el doble del área de su sector hiperbólico . Las funciones hiperbólicas pueden definirse en términos de los catetos de un triángulo rectángulo que cubre este sector.

En el análisis complejo , las funciones hiperbólicas surgen al aplicar las funciones seno y coseno ordinarias a un ángulo imaginario. El seno hiperbólico y el coseno hiperbólico son funciones enteras . Como resultado, las demás funciones hiperbólicas son meromórficas en todo el plano complejo.

Según el teorema de Lindemann-Weierstrass , las funciones hiperbólicas tienen un valor trascendental para cada valor algebraico distinto de cero del argumento. ^[12]

Las funciones hiperbólicas fueron introducidas en la década de 1760 de forma independiente por Vincenzo Riccati y Johann Heinrich Lambert . ^[13] Riccati utilizó Sc. y Cc. ( seno/coseno circular ) para referirse a las funciones circulares y Sh. y Ch. ( seno/coseno hiperbólico ) para referirse a las funciones hiperbólicas. Lambert adoptó los nombres, pero alteró las abreviaturas a las que se utilizan hoy en día. ^[14] Las abreviaturas sh , ch , th , cth también se utilizan actualmente, según la preferencia personal.

Hay varias formas equivalentes de definir las funciones hiperbólicas.

En términos de la función exponencial : ^{[1] [4]}

• Seno hiperbólico: la parte impar de la función exponencial, es decir,$${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}= {\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$$
• Coseno hiperbólico: la parte par de la función exponencial, es decir,$${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$$
• Tangente hiperbólica:$${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.}$$
• Cotangente hiperbólica: para x ≠ 0 ,$${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.}$$
• Secante hiperbólica:$${\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.}$$
• Cosecante hiperbólica: para x ≠ 0 ,$${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.}$$

Las funciones hiperbólicas pueden definirse como soluciones de ecuaciones diferenciales : El seno y el coseno hiperbólicos son la solución ( s , c ) del sistema con las condiciones iniciales Las condiciones iniciales hacen que la solución sea única; sin ellas cualquier par de funciones sería una solución.$${\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x),\\s'(x)&=c(x),\\\end{aligned}}}$$${\displaystyle s(0)=0,c(0)=1.}$${\displaystyle (ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})}$

sinh( x ) y cosh( x ) son también la única solución de la ecuación f  ″( x ) = f  ( x ) , tal que f  (0) = 1 , f  ′(0) = 0 para el coseno hiperbólico, y f  (0) = 0 , f  ′(0) = 1 para el seno hiperbólico.

Las funciones hiperbólicas también pueden deducirse a partir de funciones trigonométricas con argumentos complejos :

• Seno hiperbólico: ^[1] $${\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix).}$$
• Coseno hiperbólico: ^[1] $${\displaystyle \cosh x=\cos(ix).}$$
• Tangente hiperbólica:$${\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix).}$$
• Cotangente hiperbólica:$${\displaystyle \coth x=i\cot(ix).}$$
• Secante hiperbólica:$${\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix).}$$
• Cosecante hiperbólica:$${\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix).}$$

donde i es la unidad imaginaria con i ² = −1 .

Las definiciones anteriores están relacionadas con las definiciones exponenciales a través de la fórmula de Euler (ver § Funciones hiperbólicas para números complejos a continuación).

Se puede demostrar que el área bajo la curva del coseno hiperbólico (sobre un intervalo finito) es siempre igual a la longitud del arco correspondiente a ese intervalo: ^[15]$${\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}}$$

La tangente hiperbólica es la solución (única) de la ecuación diferencial f  ′ = 1 − f  ² , con f  (0) = 0 . ^{[16] [17]}

Las funciones hiperbólicas satisfacen muchas identidades, todas ellas similares en forma a las identidades trigonométricas . De hecho, la regla de Osborn ^[18] establece que se puede convertir cualquier identidad trigonométrica (hasta pero sin incluir senos o senos implícitos de cuarto grado) para , , o y en una identidad hiperbólica, desarrollándola completamente en términos de potencias integrales de senos y cosenos, cambiando seno a seno y coseno a coseno, y cambiando el signo de cada término que contenga un producto de dos senos.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle 3\theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$

Funciones pares e impares:$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}}$$

Por eso:$${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, cosh x y sech x son funciones pares ; las demás son funciones impares .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}}$$

El seno y el coseno hiperbólicos satisfacen:$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}}$$

El último de los cuales es similar a la identidad trigonométrica pitagórica .

Uno también tiene$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}}$$

para las demás funciones.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$$particularmente$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}$$

También:$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$$

También: ^[19]$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}$$

donde sgn es la función de signo .

Si x ≠ 0 , entonces ^[20]

$${\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x+1)\end{aligned}}}$$

La siguiente desigualdad es útil en estadística: ^[21]$${\displaystyle \operatorname {cosh} (t)\leq e^{t^{2}/2}.}$$

Esto se puede demostrar comparando las series de Taylor de las dos funciones término por término.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

Cada una de las funciones sinh y cosh es igual a su segunda derivada , es decir:$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.}$$

Todas las funciones con esta propiedad son combinaciones lineales de sinh y cosh , en particular las funciones exponenciales y . ^[22]${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle e^{-x}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{-1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}}$$

Las siguientes integrales se pueden demostrar mediante sustitución hiperbólica :$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}$$

donde C es la constante de integración .

Es posible expresar explícitamente la serie de Taylor en cero (o la serie de Laurent , si la función no está definida en cero) de las funciones anteriores.

$${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$$Esta serie es convergente para cada valor complejo de x . Como la función senh x es impar , en su serie de Taylor solo aparecen exponentes impares para x .

$${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$$Esta serie es convergente para cada valor complejo de x . Como la función cosh x es par , en su serie de Taylor solo aparecen exponentes pares para x .

La suma de las series sinh y cosh es la expresión de la serie infinita de la función exponencial .

Las siguientes series van seguidas de una descripción de un subconjunto de su dominio de convergencia , donde la serie es convergente y su suma es igual a la función.$${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}$$

dónde:

• ${\displaystyle B_{n}}$es el n -ésimo número de Bernoulli
• ${\displaystyle E_{n}}$es el n- ésimo número de Euler

Las siguientes expansiones son válidas en todo el plano complejo:

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}}$

Las funciones hiperbólicas representan una expansión de la trigonometría más allá de las funciones circulares . Ambos tipos dependen de un argumento , ya sea un ángulo circular o un ángulo hiperbólico .

Como el área de un sector circular con radio r y ángulo u (en radianes) es r ² u /2 , será igual a u cuando r = √ 2 . En el diagrama, dicho círculo es tangente a la hipérbola xy = 1 en (1,1). El sector amarillo representa un área y una magnitud angular. De manera similar, las regiones amarilla y roja juntas representan un sector hiperbólico con un área que corresponde a la magnitud angular hiperbólica.

Los catetos de los dos triángulos rectángulos con hipotenusa en el rayo que define los ángulos tienen una longitud √ 2 veces las funciones circular e hiperbólica.

El ángulo hiperbólico es una medida invariante con respecto al mapeo de compresión , al igual que el ángulo circular es invariante bajo rotación. ^[23]

La función Gudermanniana da una relación directa entre las funciones circulares y las funciones hiperbólicas que no involucran números complejos.

La gráfica de la función a cosh( x / a ) es la catenaria , la curva formada por una cadena flexible y uniforme que cuelga libremente entre dos puntos fijos bajo gravedad uniforme.

La descomposición de la función exponencial en sus partes pares e impares da las identidades y Combinado con la fórmula de Euler esto da para la función exponencial compleja general .$${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x,}$$$${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.}$$$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$$${\displaystyle e^{x+iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)}$$

Además,$${\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}$$

Funciones hiperbólicas en el plano complejo

${\displaystyle \sinh(z)}$	${\displaystyle \cosh(z)}$	${\displaystyle \tanh(z)}$	${\displaystyle \coth(z)}$	${\displaystyle \operatorname {sech} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {csch} (z)}$

Dado que la función exponencial se puede definir para cualquier argumento complejo , también podemos extender las definiciones de las funciones hiperbólicas a argumentos complejos. Las funciones sinh z y cosh z son entonces holomorfas .

Las relaciones con las funciones trigonométricas ordinarias están dadas por la fórmula de Euler para números complejos: así:$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}$$

Así, las funciones hiperbólicas son periódicas con respecto al componente imaginario, con período ( para la tangente y la cotangente hiperbólicas).${\displaystyle 2\pi i}$${\displaystyle \pi i}$

• e (constante matemática)
• Teorema de círculos iguales , basado en senh
• Funciones hiperbolásticas
• Crecimiento hiperbólico
• Funciones hiperbólicas inversas
• Lista de integrales de funciones hiperbólicas
• Espirales de Poinsot
• Función sigmoidea
• Tangente hiperbólica modificada de Soboleva
• Funciones trigonométricas

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Funciones hiperbólicas .

• "Funciones hiperbólicas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Funciones hiperbólicas en PlanetMath
• GonioLab: Visualización del círculo unitario, funciones trigonométricas e hiperbólicas ( Java Web Start )
• Calculadora de funciones hiperbólicas basada en la web