Función delta de Dirac

En análisis matemático , la función delta de Dirac (o distribución δ ), también conocida como impulso unitario , ^[1] es una función generalizada sobre los números reales , cuyo valor es cero en todas partes excepto en cero, y cuya integral sobre toda la recta real es igual a uno. ^{[2] [3] [4]} Por lo tanto, se puede representar heurísticamente como

$${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}0,&x\neq 0\\{\infty },&x=0\end{cases}}}$$

de tal manera que

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)=1.}$$

Dado que no existe ninguna función que tenga esta propiedad, modelar rigurosamente la "función" delta implica el uso de límites o, como es común en matemáticas, la teoría de la medida y la teoría de distribuciones .

La función delta fue introducida por el físico Paul Dirac y desde entonces se ha aplicado de forma rutinaria en física e ingeniería para modelar masas puntuales e impulsos instantáneos. Se denomina función delta porque es un análogo continuo de la función delta de Kronecker , que suele definirse en un dominio discreto y toma valores 0 y 1. El rigor matemático de la función delta fue objeto de controversia hasta que Laurent Schwartz desarrolló la teoría de distribuciones, donde se la define como una forma lineal que actúa sobre funciones.

El gráfico del delta de Dirac se considera generalmente como si siguiera todo el eje x y el eje y positivo . ^{[5] : 174} El delta de Dirac se utiliza para modelar una función de pico alto y estrecho (un impulso ), y otras abstracciones similares como una carga puntual , una masa puntual o un electrón puntual. Por ejemplo, para calcular la dinámica de una bola de billar que es golpeada, uno puede aproximar la fuerza del impacto por un delta de Dirac. Al hacerlo, uno no solo simplifica las ecuaciones, sino que también es capaz de calcular el movimiento de la bola, considerando solo el impulso total de la colisión, sin un modelo detallado de toda la transferencia de energía elástica a niveles subatómicos (por ejemplo).

Para ser más específicos, supongamos que una bola de billar está en reposo. En el instante en que otra bola la golpea, impartiéndole un momento P , con unidades kg⋅m⋅s ⁻¹ . El intercambio de momento no es realmente instantáneo, ya que está mediado por procesos elásticos a nivel molecular y subatómico, pero para fines prácticos es conveniente considerar que la transferencia de energía es efectivamente instantánea. La fuerza , por lo tanto, es P δ ( t ) ; las unidades de δ ( t ) son s ⁻¹ .${\displaystyle t=0}$

Para modelar esta situación de forma más rigurosa, supongamos que la fuerza, en cambio, se distribuye uniformemente a lo largo de un pequeño intervalo de tiempo . Es decir,${\displaystyle \Delta t=[0,T]}$

$${\displaystyle F_{\Delta t}(t)={\begin{cases}P/\Delta t&0<t\leq T,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Luego el momento en cualquier momento t se encuentra por integración:

$${\displaystyle p(t)=\int _{0}^{t}F_{\Delta t}(\tau )\,d\tau ={\begin{cases}P&t\geq T\\P\,t/\Delta t&0\leq t\leq T\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Ahora bien, la situación modelo de una transferencia instantánea de momento requiere tomar el límite como Δ t → 0 , dando un resultado en todas partes excepto en 0 :

$${\displaystyle p(t)={\begin{cases}P&t>0\\0&t<0.\end{cases}}}$$

Aquí se consideran las funciones como aproximaciones útiles a la idea de transferencia instantánea de momento.${\displaystyle F_{\Delta t}}$

La función delta nos permite construir un límite idealizado de estas aproximaciones. Desafortunadamente, el límite real de las funciones (en el sentido de convergencia puntual ) es cero en todas partes excepto en un único punto, donde es infinito. Para que el delta de Dirac tenga un sentido adecuado, deberíamos insistir en cambio en que la propiedad${\textstyle \lim _{\Delta t\to 0^{+}}F_{\Delta t}}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{\Delta t}(t)\,dt=P,}$$

que se cumple para todos , debería seguir cumpliéndose en el límite. Por lo tanto, en la ecuación , se entiende que el límite siempre se toma fuera de la integral .${\displaystyle \Delta t>0}$${\textstyle F(t)=P\,\delta (t)=\lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}(t)}$

En matemáticas aplicadas, como lo hemos hecho aquí, la función delta se manipula a menudo como una especie de límite (un límite débil ) de una secuencia de funciones, cada miembro de las cuales tiene un pico alto en el origen: por ejemplo, una secuencia de distribuciones gaussianas centradas en el origen con varianza que tiende a cero.

La delta de Dirac no es verdaderamente una función, al menos no una función habitual con dominio y rango en números reales . Por ejemplo, los objetos f ( x ) = δ ( x ) y g ( x ) = 0 son iguales en todas partes excepto en x = 0 pero tienen integrales que son diferentes. Según la teoría de integración de Lebesgue , si f y g son funciones tales que f = g casi en todas partes , entonces f es integrable si y solo si g es integrable y las integrales de f y g son idénticas. Un enfoque riguroso para considerar la función delta de Dirac como un objeto matemático por derecho propio requiere la teoría de la medida o la teoría de distribuciones .

Joseph Fourier presentó lo que ahora se llama el teorema integral de Fourier en su tratado Théorie analytique de la chaleur en la forma: ^[6]

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,}$$

lo que equivale a la introducción de la función δ en la forma: ^[7]

$${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .}$$

Más tarde, Augustin Cauchy expresó el teorema utilizando exponenciales: ^{[8] [9]}

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp.}$$

Cauchy señaló que en algunas circunstancias el orden de integración es significativo en este resultado (contraste con el teorema de Fubini ). ^{[10] [11]}

Como se justifica utilizando la teoría de distribuciones , la ecuación de Cauchy se puede reorganizar para asemejarse a la formulación original de Fourier y exponer la función δ como

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp\\[4pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\,dp\right)f(\alpha )\,d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\,d\alpha ,\end{aligned}}}$$

donde la función δ se expresa como

$${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\,dp\ .}$$

La interpretación rigurosa de la forma exponencial y las diversas limitaciones de la función f necesarias para su aplicación se han extendido durante varios siglos. Los problemas con una interpretación clásica se explican de la siguiente manera: ^[12]

El mayor inconveniente de la transformación clásica de Fourier es que se trata de una clase bastante limitada de funciones (funciones originales) para las que se puede calcular de forma eficaz. Es decir, es necesario que estas funciones decrezcan con la suficiente rapidez hasta cero (cerca del infinito) para garantizar la existencia de la integral de Fourier. Por ejemplo, la transformada de Fourier de funciones tan simples como los polinomios no existe en el sentido clásico. La extensión de la transformada clásica de Fourier a las distribuciones amplió considerablemente la clase de funciones que se podían transformar y eliminó muchos obstáculos.

Los desarrollos posteriores incluyeron la generalización de la integral de Fourier, "comenzando con la innovadora teoría L ² de Plancherel (1910), continuando con los trabajos de Wiener y Bochner (alrededor de 1930) y culminando con la fusión en la teoría de distribuciones de L. Schwartz (1945)...", ^[13] y conduciendo al desarrollo formal de la función delta de Dirac.

Una fórmula infinitesimal para una función delta de impulso unitario infinitamente alta (versión infinitesimal de la distribución de Cauchy ) aparece explícitamente en un texto de 1827 de Augustin-Louis Cauchy . ^[14] Siméon Denis Poisson consideró el tema en relación con el estudio de la propagación de ondas, como lo hizo Gustav Kirchhoff algo más tarde. Kirchhoff y Hermann von Helmholtz también introdujeron el impulso unitario como un límite de las gaussianas , que también correspondía a la noción de Lord Kelvin de una fuente de calor puntual. A finales del siglo XIX, Oliver Heaviside utilizó series formales de Fourier para manipular el impulso unitario. ^[15] La función delta de Dirac como tal fue introducida por Paul Dirac en su artículo de 1927 The Physical Interpretation of the Quantum Dynamics ^[16] y utilizada en su libro de texto The Principles of Quantum Mechanics . ^[3] La llamó "función delta" ya que la utilizó como un análogo continuo del delta discreto de Kronecker .

La función delta de Dirac puede considerarse libremente como una función en la línea real que es cero en todas partes excepto en el origen, donde es infinita.${\displaystyle \delta (x)}$

$${\displaystyle \delta (x)\simeq {\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$$

y que también está obligado a satisfacer la identidad ^[17]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.}$$

Esta es simplemente una caracterización heurística . El delta de Dirac no es una función en el sentido tradicional, ya que ninguna función extendida con valores reales definida sobre los números reales tiene estas propiedades. ^[18]

Una forma de capturar rigurosamente la noción de la función delta de Dirac es definir una medida , llamada medida de Dirac , que acepta un subconjunto A de la línea real R como argumento, y devuelve δ ( A ) = 1 si 0 ∈ A , y δ ( A ) = 0 en caso contrario. ^[19] Si la función delta se conceptualiza como modelando una masa puntual idealizada en 0, entonces δ ( A ) representa la masa contenida en el conjunto A . Entonces se puede definir la integral contra δ como la integral de una función contra esta distribución de masa. Formalmente, la integral de Lebesgue proporciona el dispositivo analítico necesario. La integral de Lebesgue con respecto a la medida δ satisface

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=f(0)}$$

para todas las funciones continuas con soporte compacto f . La medida δ no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue —de hecho, es una medida singular . En consecuencia, la medida delta no tiene derivada de Radon-Nikodym (con respecto a la medida de Lebesgue) —ninguna función verdadera para la cual se cumpla la propiedad

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)}$$

se cumple. ^[20] Como resultado, la última notación es un abuso conveniente de la notación y no una integral estándar ( de Riemann o Lebesgue ).

Como medida de probabilidad en R , la medida delta se caracteriza por su función de distribución acumulativa , que es la función de paso unitario . ^[21]

$${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

Esto significa que H ( x ) es la integral de la función indicadora acumulativa 1 _{(−∞, x ]} con respecto a la medida δ ; es decir,

$${\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta (dt)=\delta \!\left((-\infty ,x]\right),}$$

siendo esta última la medida de este intervalo. Así, en particular, la integración de la función delta con respecto a una función continua puede entenderse correctamente como una integral de Riemann-Stieltjes : ^[22]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).}$$

Todos los momentos superiores de δ son cero. En particular, la función característica y la función generadora de momentos son ambas iguales a uno.

En la teoría de distribuciones , una función generalizada no se considera una función en sí misma, sino solo a través de cómo afecta a otras funciones cuando se "integra" contra ellas. ^[23] De acuerdo con esta filosofía, para definir la función delta correctamente, es suficiente decir cuál es la "integral" de la función delta contra una función de prueba suficientemente "buena" φ . Las funciones de prueba también se conocen como funciones de protuberancia . Si la función delta ya se entiende como una medida, entonces la integral de Lebesgue de una función de prueba contra esa medida proporciona la integral necesaria.

Un espacio típico de funciones de prueba consta de todas las funciones suaves en R con soporte compacto que tienen tantas derivadas como se requiera. Como distribución, el delta de Dirac es una función lineal en el espacio de funciones de prueba y se define por ^[24]

${\displaystyle \delta [\varphi ]=\varphi (0)}$

( 1 )

para cada función de prueba φ .

Para que δ sea propiamente una distribución, debe ser continua en una topología adecuada en el espacio de funciones de prueba. En general, para que una función lineal S en el espacio de funciones de prueba defina una distribución, es necesario y suficiente que, para cada entero positivo N, exista un entero M _N y una constante C _N tales que para cada función de prueba φ , se tenga la desigualdad ^[25]

$${\displaystyle \left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x)\right|}$$

donde sup representa el supremo . Con la distribución δ , se tiene una desigualdad (con C _N = 1) con M _N = 0 para todo N. Por lo tanto , δ es una distribución de orden cero. Es, además, una distribución con soporte compacto ( siendo el soporte {0} ).

La distribución delta también se puede definir de varias maneras equivalentes. Por ejemplo, es la derivada distribucional de la función escalonada de Heaviside . Esto significa que para cada función de prueba φ , se tiene

$${\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx.}$$

Intuitivamente, si se permitiera la integración por partes , entonces la última integral debería simplificarse a

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,dx,}$$

y, de hecho, se permite una forma de integración por partes para la integral de Stieltjes, y en ese caso, uno tiene

$${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).}$$

En el contexto de la teoría de la medida, la medida de Dirac da lugar a una distribución por integración. Por el contrario, la ecuación ( 1 ) define una integral de Daniell en el espacio de todas las funciones continuas φ soportadas de forma compacta que, por el teorema de representación de Riesz , puede representarse como la integral de Lebesgue de φ con respecto a alguna medida de Radon .

En general, cuando se utiliza el término función delta de Dirac , se hace en el sentido de distribuciones más que de medidas, siendo la medida de Dirac uno de los varios términos que se utilizan para la noción correspondiente en la teoría de la medida. Algunas fuentes también pueden utilizar el término distribución delta de Dirac .

La función delta se puede definir en el espacio euclidiano n -dimensional R ⁿ como la medida tal que

$${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (d\mathbf {x} )=f(\mathbf {0} )}$$

para cada función continua f con soporte compacto . Como medida, la función delta n -dimensional es la medida del producto de las funciones delta unidimensionales en cada variable por separado. Por lo tanto, formalmente, con x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) , se tiene ^[26]

${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\,\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).}$

( 2 )

La función delta también se puede definir en el sentido de distribuciones exactamente como se indicó anteriormente en el caso unidimensional. ^[27] Sin embargo, a pesar de su uso generalizado en contextos de ingeniería, ( 2 ) debe manipularse con cuidado, ya que el producto de distribuciones solo se puede definir en circunstancias bastante estrechas. ^{[28] [29]}

La noción de una medida de Dirac tiene sentido en cualquier conjunto. ^[30] Por lo tanto, si X es un conjunto, x ₀ ∈ X es un punto marcado y Σ es cualquier álgebra sigma de subconjuntos de X , entonces la medida definida en conjuntos A ∈ Σ por

$${\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}}$$

es la medida delta o unidad de masa concentrada en x ₀ .

Otra generalización común de la función delta es a una variedad diferenciable donde la mayoría de sus propiedades como distribución también se pueden aprovechar debido a la estructura diferenciable . La función delta en una variedad M centrada en el punto x ₀ ∈ M se define como la siguiente distribución:

${\displaystyle \delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})}$

( 3 )

para todas las funciones reales suaves y compactas φ en M . ^[31] Un caso especial común de esta construcción es un caso en el que M es un conjunto abierto en el espacio euclidiano R ⁿ .

En un espacio localmente compacto de Hausdorff X , la medida delta de Dirac concentrada en un punto x es la medida de Radon asociada con la integral de Daniell ( 3 ) en funciones continuas con soporte compacto φ . ^[32] En este nivel de generalidad, el cálculo como tal ya no es posible, sin embargo, están disponibles una variedad de técnicas de análisis abstracto. Por ejemplo, la aplicación es una incrustación continua de X en el espacio de medidas finitas de Radon en X , equipada con su topología vaga . Además, la envoltura convexa de la imagen de X bajo esta incrustación es densa en el espacio de medidas de probabilidad en X . ^[33]${\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}}$

La función delta satisface la siguiente propiedad de escala para un escalar α distinto de cero : ^[34]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}}$$

y entonces

${\displaystyle \delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.}$

( 4 )

Demostración de la propiedad de escala: donde se utiliza un cambio de variable x′ = ax . Si a es negativo, es decir, a = −| a | , entonces Por lo tanto, .$${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{a}}g(0).}$$$${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{-\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{\infty }^{-\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}g(0).}$$${\displaystyle \delta (ax)={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\delta (x)}$

En particular, la función delta es una distribución uniforme (simetría), en el sentido de que

$${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x)}$$

que es homogénea de grado −1 .

El producto distribucional de δ con x es igual a cero:

$${\displaystyle x\,\delta (x)=0.}$$

De manera más general, para todos los números enteros positivos .${\displaystyle (x-a)^{n}\delta (x-a)=0}$${\displaystyle n}$

Por el contrario, si xf ( x ) = xg ( x ) , donde f y g son distribuciones, entonces

$${\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x)}$$

para alguna constante c . ^[35]

La integral de cualquier función multiplicada por el delta de Dirac retardado en el tiempo es${\displaystyle \delta _{T}(t){=}\delta (t{-}T)}$

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=f(T).}$$

A esto a veces se lo denomina propiedad de tamizado ^[36] o propiedad de muestreo . ^[37] Se dice que la función delta "selecciona" el valor de f(t) en t = T. ^[38]

De ello se deduce que el efecto de convolucionar una función f ( t ) con el delta de Dirac retardado en el tiempo es retrasar f ( t ) en la misma cantidad: ^[39]

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (t-T-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (\tau -(t-T))\,d\tau \qquad {\text{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}}$$

La propiedad de tamizado se cumple bajo la condición precisa de que f sea una distribución templada (véase el análisis de la transformada de Fourier a continuación). Como caso especial, por ejemplo, tenemos la identidad (entendida en el sentido de distribución)

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ).}$$

De manera más general, la distribución delta puede estar compuesta por una función suave g ( x ) de tal manera que se cumpla la fórmula familiar de cambio de variables, es decir

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x)\right|dx=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,du}$$

siempre que g sea una función continuamente diferenciable con g′ en ningún lugar cero. ^[40] Es decir, hay una forma única de asignar significado a la distribución de modo que esta identidad se cumpla para todas las funciones de prueba con soporte compacto f . Por lo tanto, el dominio debe dividirse para excluir el punto g′ = 0. Esta distribución satisface δ ( g ( x )) = 0 si g no es cero en ningún lugar, y de lo contrario si g tiene una raíz real en x ₀ , entonces${\displaystyle \delta \circ g}$

$${\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}$$

Es natural por tanto definir la composición δ ( g ( x )) para funciones continuamente diferenciables g por

$${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}$$

donde la suma se extiende sobre todas las raíces de g ( x ) , que se supone que son simples . Así, por ejemplo

$${\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.}$$

En la forma integral, la propiedad de escala generalizada puede escribirse como

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.}$$

Para una función real arbitraria constante y "de buen comportamiento" y ( x ) , donde H ( x ) es la función escalonada de Heaviside y c es una constante de integración.${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle \displaystyle {\int }y(x)\delta (x-a)dx=y(a)H(x-a)+c,}$$

La distribución delta en un espacio n -dimensional satisface, en cambio, la siguiente propiedad de escala, de modo que δ es una distribución homogénea de grado − n .$${\displaystyle \delta (\alpha {\boldsymbol {x}})=|\alpha |^{-n}\delta ({\boldsymbol {x}})~,}$$

Bajo cualquier reflexión o rotación ρ , la función delta es invariante,$${\displaystyle \delta (\rho {\boldsymbol {x}})=\delta ({\boldsymbol {x}})~.}$$

Al igual que en el caso de una variable, es posible definir la composición de δ con una función bi-Lipschitz ^[41] g : R ⁿ → R ⁿ de manera única, de modo que lo siguiente se cumple para todas las funciones f con soporte compacto .$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,f(g({\boldsymbol {x}}))\left|\det g'({\boldsymbol {x}})\right|d{\boldsymbol {x}}=\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta ({\boldsymbol {u}})f({\boldsymbol {u}})\,d{\boldsymbol {u}}}$$

Utilizando la fórmula de coarea de la teoría de la medida geométrica , también se puede definir la composición de la función delta con una inmersión de un espacio euclidiano a otro de diferente dimensión; el resultado es un tipo de corriente . En el caso especial de una función continuamente diferenciable g  : R ⁿ → R tal que el gradiente de g no es cero en ninguna parte, se cumple la siguiente identidad ^[42] donde la integral de la derecha es sobre g ⁻¹ (0) , la superficie ( n − 1) -dimensional definida por g ( x ) = 0 con respecto a la medida de contenido de Minkowski . Esto se conoce como una integral de capa simple .$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f({\boldsymbol {x}})\,\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f({\boldsymbol {x}})}{|{\boldsymbol {\nabla }}g|}}\,d\sigma ({\boldsymbol {x}})}$$

De manera más general, si S es una hipersuperficie suave de R ⁿ , entonces podemos asociar a S la distribución que integra cualquier función suave g soportada de forma compacta sobre S :$${\displaystyle \delta _{S}[g]=\int _{S}g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}})}$$

donde σ es la medida de hipersuperficie asociada a S . Esta generalización está asociada con la teoría de potenciales de capas simples en S . Si D es un dominio en R ⁿ con un límite suave S , entonces δ _S es igual a la derivada normal de la función indicadora de D en el sentido de la distribución,

$${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}g({\boldsymbol {x}})\,{\frac {\partial 1_{D}({\boldsymbol {x}})}{\partial n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{S}\,g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}}),}$$

donde n es la normal externa. ^{[43] [44]} Para una prueba, véase, por ejemplo, el artículo sobre la función delta de superficie .

En tres dimensiones, la función delta se representa en coordenadas esféricas por:

$${\displaystyle \delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})\delta (\phi -\phi _{0})&x_{0},y_{0},z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{2\pi r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})&x_{0}=y_{0}=0,\ z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{4\pi r^{2}}}\delta (r-r_{0})&x_{0}=y_{0}=z_{0}=0\end{cases}}}$$

La función delta es una distribución templada y, por lo tanto, tiene una transformada de Fourier bien definida . Formalmente, se encuentra ^[45]

$${\displaystyle {\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)dx=1.}$$

Propiamente hablando, la transformada de Fourier de una distribución se define imponiendo la autoadjunción de la transformada de Fourier bajo el emparejamiento dual de distribuciones templadas con funciones de Schwartz . Por lo tanto, se define como la única distribución templada que satisface${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle {\widehat {\delta }}}$

$${\displaystyle \langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle }$$

para todas las funciones de Schwartz φ . Y de hecho se sigue de esto que${\displaystyle {\widehat {\delta }}=1.}$

Como resultado de esta identidad, la convolución de la función delta con cualquier otra distribución templada S es simplemente S :

$${\displaystyle S*\delta =S.}$$

Es decir, δ es un elemento de identidad para la convolución en distribuciones templadas y, de hecho, el espacio de distribuciones soportadas de forma compacta bajo convolución es un álgebra asociativa con identidad, la función delta. Esta propiedad es fundamental en el procesamiento de señales , ya que la convolución con una distribución templada es un sistema lineal invariante en el tiempo , y la aplicación del sistema lineal invariante en el tiempo mide su respuesta al impulso . La respuesta al impulso se puede calcular con cualquier grado deseado de precisión eligiendo una aproximación adecuada para δ y, una vez que se conoce, caracteriza el sistema por completo. Véase Teoría de sistemas LTI § Respuesta al impulso y convolución .

La transformada inversa de Fourier de la distribución templada f ( ξ ) = 1 es la función delta. Formalmente, esto se expresa como y más rigurosamente, se deduce que para todas las funciones de Schwartz f .$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)}$$$${\displaystyle \langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }$$

En estos términos, la función delta proporciona una declaración sugerente de la propiedad de ortogonalidad del núcleo de Fourier en R . Formalmente, se tiene$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).}$$

Esto es, por supuesto, una forma abreviada de afirmar que la transformada de Fourier de la distribución templada es lo que a su vez se desprende de la imposición de la autoadjunción de la transformada de Fourier.$${\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}}$$$${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})}$$

Por continuación analítica de la transformada de Fourier, se obtiene que la transformada de Laplace de la función delta es ^[46]$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta (t-a)\,e^{-st}\,dt=e^{-sa}.}$$

La derivada de la distribución delta de Dirac, denotada δ′ y también llamada prima delta de Dirac o derivada delta de Dirac como se describe en Laplaciano del indicador , se define en funciones de prueba suaves con soporte compacto φ por ^[47]$${\displaystyle \delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).}$$

La primera igualdad aquí es una especie de integración por partes , porque si δ fuera una función verdadera entonces$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=\delta (x)\varphi (x)|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\varphi '(0).}$$

Por inducción matemática , la derivada k -ésima de δ se define de manera similar a la distribución dada en las funciones de prueba por

$${\displaystyle \delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).}$$

En particular, δ es una distribución infinitamente diferenciable.

La primera derivada de la función delta es el límite distribucional de los cocientes de diferencias: ^[48]$${\displaystyle \delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}.}$$

Más propiamente, se tiene donde τ _h es el operador de traslación, definido en funciones por τ _h φ ( x ) = φ ( x + h ) , y en una distribución S por$${\displaystyle \delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )}$$$${\displaystyle (\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].}$$

En la teoría del electromagnetismo , la primera derivada de la función delta representa un dipolo magnético puntual situado en el origen. Por ello, se la denomina función dipolo o función doblete . ^[49]

La derivada de la función delta satisface una serie de propiedades básicas, entre ellas: ^[50] lo cual se puede demostrar aplicando una función de prueba e integrando por partes.$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta '(-x)&=-\delta '(x)\\x\delta '(x)&=-\delta (x)\end{aligned}}}$$

La última de estas propiedades también se puede demostrar aplicando la definición de derivada distributiva, el teorema de Leibniz y la linealidad del producto interno: ^[51]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x\delta ',\varphi \rangle \,&=\,\langle \delta ',x\varphi \rangle \,=\,-\langle \delta ,(x\varphi )'\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi +x\varphi '\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi \rangle -\langle \delta ,x\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\varphi (0)-x(0)\varphi '(0)\\&=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle -x(0)\langle \delta ,\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle +x(0)\langle \delta ',\varphi \rangle \,=\,\langle x(0)\delta '-x'(0)\delta ,\varphi \rangle \\\Longrightarrow x(t)\delta '(t)&=x(0)\delta '(t)-x'(0)\delta (t)=-x'(0)\delta (t)=-\delta (t)\end{aligned}}}$$

Además, la convolución de δ′ con una función f suave y con soporte compacto es

$${\displaystyle \delta '*f=\delta *f'=f',}$$

lo cual se desprende de las propiedades de la derivada distribucional de una convolución.

De manera más general, en un conjunto abierto U en el espacio euclidiano n -dimensional , la distribución delta de Dirac centrada en un punto a ∈ U está definida por ^[52] para todo , el espacio de todas las funciones suaves con soporte compacto en U . Si es cualquier multiíndice con y denota el operador de derivada parcial mixta asociado , entonces la derivada α -ésima ∂ ^α δ _a de δ _a está dada por ^[52] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)}$$${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$

$${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}\quad {\text{ for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(U).}$$

Es decir, la derivada α -ésima de δ _a es la distribución cuyo valor en cualquier función de prueba φ es la derivada α -ésima de φ en a (con el signo positivo o negativo apropiado).

Las primeras derivadas parciales de la función delta se consideran capas dobles a lo largo de los planos de coordenadas. En términos más generales, la derivada normal de una capa simple apoyada sobre una superficie es una capa doble apoyada sobre esa superficie y representa un monopolo magnético laminar. Las derivadas superiores de la función delta se conocen en física como multipolos .

Las derivadas superiores entran en las matemáticas de forma natural como los bloques de construcción para la estructura completa de las distribuciones con apoyo puntual. Si S es cualquier distribución en U apoyada en el conjunto { a } que consiste en un único punto, entonces existe un entero m y coeficientes c _α tales que ^{[52] [53]}$${\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}$$

La función delta puede verse como el límite de una secuencia de funciones.

$${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x),}$$

donde η _ε ( x ) a veces se denomina función delta nacienteEste límite se entiende en un sentido débil: o bien que

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\eta _{\varepsilon }(x)f(x)\,dx=f(0)}$

( 5 )

para todas las funciones continuas f que tienen soporte compacto , o que este límite se cumple para todas las funciones suaves f con soporte compacto. La diferencia entre estos dos modos ligeramente diferentes de convergencia débil es a menudo sutil: el primero es convergencia en la topología vaga de las medidas, y el segundo es convergencia en el sentido de distribuciones .

Normalmente, una función delta naciente η _ε se puede construir de la siguiente manera. Sea η una función absolutamente integrable en R de integral total 1 , y definamos$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

En n dimensiones, se utiliza en cambio la escala$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

Entonces, un simple cambio de variables muestra que η _ε también tiene integral 1. Se puede demostrar que ( 5 ) se cumple para todas las funciones continuas con soporte compacto f , ^[54] y, por lo tanto, η _ε converge débilmente a δ en el sentido de las medidas.

Las η _ε construidas de esta manera se conocen como una aproximación a la identidad . ^[55] Esta terminología se debe a que el espacio L ¹ ( R ) de funciones absolutamente integrables está cerrado bajo la operación de convolución de funciones: f ∗ g ∈ L ¹ ( R ) siempre que f y g estén en L ¹ ( R ) . Sin embargo, no hay identidad en L ¹ ( R ) para el producto de convolución: ningún elemento h tal que f ∗ h = f para todo f . No obstante, la secuencia η _ε se aproxima a dicha identidad en el sentido de que

$${\displaystyle f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\text{as }}\varepsilon \to 0.}$$

Este límite se cumple en el sentido de convergencia media (convergencia en L ¹ ). Se necesitan condiciones adicionales sobre η _ε , por ejemplo que sea un suavizador asociado a una función con soporte compacto, ^[56] para asegurar la convergencia puntual casi en todas partes .

Si la η inicial = η ₁ es en sí misma suave y está soportada de forma compacta, entonces la secuencia se denomina suavizador . El suavizador estándar se obtiene eligiendo η como una función de protuberancia adecuadamente normalizada , por ejemplo

$${\displaystyle \eta (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1.\end{cases}}}$$

En algunas situaciones, como el análisis numérico , es deseable una aproximación lineal por partes a la identidad. Esto se puede obtener tomando η ₁ como una función de sombrero . Con esta elección de η ₁ , se tiene

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)}$$

que son todos continuos y están soportados de forma compacta, aunque no son lisos y por lo tanto no son un calmante.

En el contexto de la teoría de la probabilidad , es natural imponer la condición adicional de que el η ₁ inicial en una aproximación a la identidad debe ser positivo, ya que dicha función representa entonces una distribución de probabilidad . La convolución con una distribución de probabilidad a veces es favorable porque no da como resultado un sobreimpulso o subimpulso, ya que la salida es una combinación convexa de los valores de entrada y, por lo tanto, se encuentra entre el máximo y el mínimo de la función de entrada. Si tomamos η ₁ como cualquier distribución de probabilidad y dejamos η _ε ( x ) = η ₁ ( x / ε )/ ε como se indicó anteriormente, se obtendrá una aproximación a la identidad. En general, esto converge más rápidamente a una función delta si, además, η tiene media 0 y tiene momentos superiores pequeños. Por ejemplo, si η ₁ es la distribución uniforme en , también conocida como función rectangular , entonces: ^[57]${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]}$$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Otro ejemplo es la distribución del semicírculo de Wigner.$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon ,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Esto es continuo y está soportado de forma compacta, pero no es un suavizador porque no es suave.

Las funciones delta nacientes a menudo surgen como semigrupos de convolución . ^[58] Esto equivale a la restricción adicional de que la convolución de η _ε con η _δ debe satisfacer$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }}$$

para todo ε , δ > 0 . Los semigrupos de convolución en L ¹ que forman una función delta naciente son siempre una aproximación a la identidad en el sentido anterior, sin embargo la condición de semigrupo es una restricción bastante fuerte.

En la práctica, los semigrupos que se aproximan a la función delta surgen como soluciones fundamentales o funciones de Green para ecuaciones diferenciales parciales elípticas o parabólicas motivadas físicamente . En el contexto de las matemáticas aplicadas , los semigrupos surgen como resultado de un sistema lineal invariante en el tiempo . De manera abstracta, si A es un operador lineal que actúa sobre funciones de x , entonces surge un semigrupo de convolución al resolver el problema de valor inicial.

$${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\[5pt]\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}}$$

en el que el límite se entiende como es habitual en sentido débil. Fijando η _ε ( x ) = η ( ε , x ) se obtiene la función delta naciente asociada.

Algunos ejemplos de semigrupos de convolución físicamente importantes que surgen de dicha solución fundamental incluyen los siguientes.

El núcleo de calor , definido por

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}}$$

representa la temperatura en un alambre infinito en el instante t > 0 , si una unidad de energía térmica se almacena en el origen del alambre en el instante t = 0 . Este semigrupo evoluciona según la ecuación unidimensional del calor :

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$$

En teoría de probabilidad , η _ε ( x ) es una distribución normal de varianza ε y media 0 . Representa la densidad de probabilidad en el tiempo t = ε de la posición de una partícula que comienza en el origen después de un movimiento browniano estándar . En este contexto, la condición de semigrupo es entonces una expresión de la propiedad de Markov del movimiento browniano.

En el espacio euclidiano de dimensiones superiores R ⁿ , el núcleo de calor es y tiene la misma interpretación física, mutatis mutandis . También representa una función delta naciente en el sentido de que η _ε → δ en el sentido de distribución como ε → 0 .$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},}$$

El núcleo de Poisson$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \left\{{\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\right\}={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\,d\xi }$$

es la solución fundamental de la ecuación de Laplace en el semiplano superior. ^[59] Representa el potencial electrostático en una placa semiinfinita cuyo potencial a lo largo del borde se mantiene fijo en la función delta. El núcleo de Poisson también está estrechamente relacionado con la distribución de Cauchy y las funciones del núcleo de Epanechnikov y Gauss . ^[60] Este semigrupo evoluciona de acuerdo con la ecuación$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}u(t,x)}$$

donde el operador se define rigurosamente como el multiplicador de Fourier$${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}f\right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).}$$

En áreas de la física como la propagación de ondas y la mecánica ondulatoria , las ecuaciones involucradas son hiperbólicas y por lo tanto pueden tener soluciones más singulares. Como resultado, las funciones delta nacientes que surgen como soluciones fundamentales de los problemas de Cauchy asociados son generalmente integrales oscilatorias . Un ejemplo, que proviene de una solución de la ecuación de Euler-Tricomi de la dinámica de gases transónicos , ^{[61] es la} función de Airy reescalada$${\displaystyle \varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right).}$$

Aunque se utiliza la transformada de Fourier, es fácil ver que esto genera un semigrupo en cierto sentido: no es absolutamente integrable y, por lo tanto, no puede definir un semigrupo en el sentido fuerte mencionado anteriormente. Muchas funciones delta nacientes construidas como integrales oscilatorias solo convergen en el sentido de distribuciones (un ejemplo es el núcleo de Dirichlet a continuación), en lugar de en el sentido de medidas.

Otro ejemplo es el problema de Cauchy para la ecuación de onda en R ¹⁺¹ : ^[62]$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}}$$

La solución u representa el desplazamiento desde el equilibrio de una cuerda elástica infinita, con una perturbación inicial en el origen.

Otras aproximaciones a la identidad de este tipo incluyen la función sinc (ampliamente utilizada en electrónica y telecomunicaciones).$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\,dk}$$

y la función de Bessel$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).}$$

Un enfoque para el estudio de una ecuación diferencial parcial lineal$${\displaystyle L[u]=f,}$$

donde L es un operador diferencial en R ⁿ , es buscar primero una solución fundamental, que es una solución de la ecuación$${\displaystyle L[u]=\delta .}$$

Cuando L es particularmente simple, este problema puede resolverse a menudo utilizando directamente la transformada de Fourier (como en el caso del núcleo de Poisson y el núcleo de calor ya mencionados). Para operadores más complicados, a veces es más fácil considerar primero una ecuación de la forma$${\displaystyle L[u]=h}$$

donde h es una función de onda plana , lo que significa que tiene la forma$${\displaystyle h=h(x\cdot \xi )}$$

para algún vector ξ . Una ecuación de este tipo se puede resolver (si los coeficientes de L son funciones analíticas ) mediante el teorema de Cauchy-Kovalevskaya o (si los coeficientes de L son constantes) mediante cuadratura. Por lo tanto, si la función delta se puede descomponer en ondas planas, entonces se pueden resolver en principio ecuaciones diferenciales parciales lineales.

Esta descomposición de la función delta en ondas planas fue parte de una técnica general introducida primero esencialmente por Johann Radon y luego desarrollada en esta forma por Fritz John (1955). ^[63] Elija k de modo que n + k sea un entero par y, para un número real s , ponga$${\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\[5pt]-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}}$$

Entonces δ se obtiene aplicando una potencia del Laplaciano a la integral con respecto a la medida de la esfera unitaria dω de g ( x · ξ ) para ξ en la esfera unitaria S ^{n −1} :$${\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

El laplaciano se interpreta aquí como una derivada débil, de modo que esta ecuación se considera que significa que, para cualquier función de prueba φ ,$${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

El resultado se desprende de la fórmula para el potencial newtoniano (la solución fundamental de la ecuación de Poisson). Esta es esencialmente una forma de la fórmula de inversión para la transformada de Radon porque recupera el valor de φ ( x ) a partir de sus integrales sobre hiperplanos. Por ejemplo, si n es impar y k = 1 , entonces la integral del lado derecho es$${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]&\qquad =c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp\end{aligned}}}$$

donde Rφ ( ξ , p ) es la transformada de Radon de φ :$${\displaystyle R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.}$$

Una expresión equivalente alternativa de la descomposición de ondas planas es: ^[64]$${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}{\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }&n{\text{ even}}\\{\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }&n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

En el estudio de las series de Fourier , una cuestión importante consiste en determinar si la serie de Fourier asociada a una función periódica converge a la función y en qué sentido. La n -ésima suma parcial de la serie de Fourier de una función f de periodo 2π se define por convolución (en el intervalo [−π,π] ) con el núcleo de Dirichlet : Por lo tanto, donde Un resultado fundamental de las series de Fourier elementales establece que el núcleo de Dirichlet restringido al intervalo  [−π,π] tiende a un múltiplo de la función delta cuando N → ∞ . Esto se interpreta en el sentido de distribución, es decir, para cada función suave y compacta f . Por lo tanto, formalmente se tiene en el intervalo [−π,π] .$${\displaystyle D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.}$$$${\displaystyle s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}}$$$${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.}$$$${\displaystyle s_{N}(f)(0)=\int _{-\pi }^{\pi }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$$$${\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}}$$

A pesar de esto, el resultado no se cumple para todas las funciones continuas con soporte compacto : es decir, D _N no converge débilmente en el sentido de medidas. La falta de convergencia de las series de Fourier ha llevado a la introducción de una variedad de métodos de sumabilidad para producir convergencia. El método de suma de Cesàro conduce al núcleo de Fejér ^[65]

$${\displaystyle F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.}$$

Los núcleos de Fejér tienden a la función delta en un sentido más fuerte que ^[66]

$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$$

para cada función continua f con soporte compacto . La implicación es que la serie de Fourier de cualquier función continua es Cesàro sumable al valor de la función en cada punto.

La distribución delta de Dirac es una función lineal ilimitada y densamente definida en el espacio de Hilbert L ² de funciones integrables al cuadrado . De hecho, las funciones suaves y compactas son densas en L ² y la acción de la distribución delta sobre dichas funciones está bien definida. En muchas aplicaciones, es posible identificar subespacios de L ² y dar una topología más sólida en la que la función delta define una función lineal acotada .

El teorema de incrustación de Sobolev para espacios de Sobolev en la línea real R implica que cualquier función integrable al cuadrado f tal que

$${\displaystyle \|f\|_{H^{1}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}(1+|\xi |^{2})\,d\xi <\infty }$$

es automáticamente continua y satisface en particular

$${\displaystyle \delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}.}$$

Por lo tanto, δ es un funcional lineal acotado en el espacio de Sobolev H ¹ . De manera equivalente , δ es un elemento del espacio dual continuo H ⁻¹ de H ¹ . De manera más general, en n dimensiones, se tiene δ ∈ H ^{− s} ( R ⁿ ) siempre que s > ⁠norte/2⁠ .

En el análisis complejo , la función delta entra a través de la fórmula integral de Cauchy , que afirma que si D es un dominio en el plano complejo con borde suave, entonces

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},\quad z\in D}$$

para todas las funciones holomorfas f en D que son continuas en el cierre de D . Como resultado, la función delta δ _z se representa en esta clase de funciones holomorfas por la integral de Cauchy:

$${\displaystyle \delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}.}$$

Además, sea H ² (∂ D ) el espacio de Hardy que consiste en la clausura en L ² (∂ D ) de todas las funciones holomorfas en D continuas hasta el límite de D . Entonces las funciones en H ² (∂ D ) se extienden únicamente a funciones holomorfas en D , y la fórmula integral de Cauchy continúa siendo válida. En particular, para z ∈ D , la función delta δ _z es una funcional lineal continua en H ² (∂ D ) . Este es un caso especial de la situación en varias variables complejas en la que, para dominios suaves D , el núcleo de Szegő juega el papel de la integral de Cauchy. ^[67]

Otra representación de la función delta en un espacio de funciones holomorfas es en el espacio de funciones holomorfas integrables al cuadrado en un conjunto abierto . Este es un subespacio cerrado de , y por lo tanto es un espacio de Hilbert. Por otro lado, el funcional que evalúa una función holomorfa en en un punto de es un funcional continuo, y por lo tanto por el teorema de representación de Riesz, se representa por integración contra un núcleo , el núcleo de Bergman . Este núcleo es el análogo de la función delta en este espacio de Hilbert. Un espacio de Hilbert que tiene un núcleo de este tipo se llama espacio de Hilbert con núcleo reproductor . En el caso especial del disco unitario, se tiene${\displaystyle H(D)\cap L^{2}(D)}$${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle L^{2}(D)}$${\displaystyle H(D)\cap L^{2}(D)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle D}$${\displaystyle K_{z}(\zeta )}$$${\displaystyle \delta _{w}[f]=f(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{|z|<1}{\frac {f(z)\,dx\,dy}{(1-{\bar {z}}w)^{2}}}.}$$

Dado un conjunto base ortonormal completo de funciones { φ _n } en un espacio de Hilbert separable, por ejemplo, los vectores propios normalizados de un operador autoadjunto compacto , cualquier vector f puede expresarse como Los coeficientes {α _n } se encuentran como que puede representarse mediante la notación: una forma de la notación bra–ket de Dirac. ^[68] Al adoptar esta notación, la expansión de f toma la forma diádica : ^[69]$${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}\varphi _{n}.}$$$${\displaystyle \alpha _{n}=\langle \varphi _{n},f\rangle ,}$$$${\displaystyle \alpha _{n}=\varphi _{n}^{\dagger }f,}$$