4-politopo

Gráficas de los seis 4-politopos regulares convexos

{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}
Pentátopo de 5 células, 4- símplex	Ortoplex de 16 células Ortoplex de 4 células	Tesseract de 8 celdas y 4 cubos
{3,4,3}	{3,3,5}	{5,3,3}
Octaplex de 24 celdas	Tetraplex de 600 células	Dodecaplex de 120 células

En geometría , un 4-politopo (a veces también llamado policoron , ^[1] policelda o poliedro ) es un politopo de cuatro dimensiones . ^{[2] [3]} Es una figura conexa y cerrada, compuesta por elementos politópicos de menor dimensión: vértices , aristas , caras ( polígonos ) y celdas ( poliedros ). Cada cara es compartida por exactamente dos celdas. Los 4-politopos fueron descubiertos por el matemático suizo Ludwig Schläfli antes de 1853. ^[4]

El análogo bidimensional de un 4-politopo es un polígono , y el análogo tridimensional es un poliedro .

Topológicamente, los 4-politopos están estrechamente relacionados con los panales uniformes , como el panal cúbico , que teselan el espacio tridimensional; de manera similar, el cubo tridimensional está relacionado con el mosaico cuadrado infinito bidimensional . Los 4-politopos convexos se pueden cortar y desplegar como redes en el espacio tridimensional.

Un 4-politopo es una figura cerrada de cuatro dimensiones . Está compuesto por vértices (puntos de esquina), aristas , caras y celdas . Una celda es el análogo tridimensional de una cara y, por lo tanto, es un poliedro . Cada cara debe unir exactamente dos celdas, de manera análoga a la forma en que cada arista de un poliedro une solo dos caras. Como cualquier politopo, los elementos de un 4-politopo no se pueden subdividir en dos o más conjuntos que también sean 4-politopos, es decir, no es un compuesto.

Los 4-politopos convexos regulares son los análogos cuatridimensionales de los sólidos platónicos . El 4-politopo más conocido es el teseracto o hipercubo, el análogo cuatridimensional del cubo.

Los 4-politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida del contenido cuatridimensional (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor en la secuencia es más redondo que su predecesor, y encierra más contenido ^[5] dentro del mismo radio. El 4-símplex (5 celdas) es el caso más pequeño límite, y el de 120 celdas es el más grande. La complejidad (medida comparando matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden.

Politopos cuatripartitos convexos regulares
Grupo de simetría	Un 4	B4​		F4​	H4​
Nombre	5 celdas Hipertetraedro de 5 puntas	16 celdas Hiper - octaedro de 8 puntas	8 celdas Hipercubo de 16 puntos	24 celdas 24 puntos	600 celdas Hipericosaedro de 120 puntos	120 celdas Hiperdodecaedro de 600 puntos
Símbolo de Schläfli	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Espejos Coxeter
Diédricos especulares	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
Gráfico
Vértices	5 tetraédricos	8 octaédrico	16 tetraédrico	24 cúbicos	120 icosaédricos	600 tetraédricos
Bordes	10 triangular	24 cuadrados	32 triangular	96 triangular	720 pentagonal	1200 triangular
Caras	10 triángulos	32 triángulos	24 cuadrados	96 triángulos	1200 triángulos	720 pentágonos
Células	5 tetraedros	16 tetraedros	8 cubos	24 octaedros	600 tetraedros	120 dodecaedros
Toros	1 5-tetraedro	2 8-tetraedro	2 4 cubos	4 6-octaedro	20 30-tetraedro	12 10-dodecaedro
Inscrito	120 en 120 celdas	675 en 120 celdas	2 de 16 celdas	3 de 8 celdas	25 24 celdas	10 600 celdas
Grandes polígonos		2 cuadrados x 3	4 rectángulos x 4	4 hexágonos x 4	12 decágonos x 6	100 hexágonos irregulares x 4
Polígonos de Petrie	1 pentágono x 2	1 octágono x 3	2 octágonos x 4	2 dodecágonos x 4	4 30-ágonos x 6	20 30-ágonos x 4
Radio largo	${\estilo de visualización 1}$	${\estilo de visualización 1}$	${\estilo de visualización 1}$	${\estilo de visualización 1}$	${\estilo de visualización 1}$	${\estilo de visualización 1}$
Longitud del borde	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\aproximadamente 1,581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\aproximadamente 1,414}$	${\estilo de visualización 1}$	${\estilo de visualización 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\aproximadamente 0,618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\aproximadamente 0,270}$
Radio corto	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\aproximadamente 0,707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\aproximadamente 0,926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\aproximadamente 0,926}$
Área	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\aproximadamente 10,825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\aproximadamente 27,713}$	${\estilo de visualización 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\aproximadamente 41,569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\aproximadamente 198,48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\aproximadamente 90,366}$
Volumen	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\aproximadamente 2,329}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\aproximadamente 5,333}$	${\estilo de visualización 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\aproximadamente 11,314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118}$
4-Contenido	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0.667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193}$

Ejemplos de presentaciones de un circuito de 24 celdas

Seccionamiento		Neto
Proyecciones
Schlegel	Ortogonal 2D	3D ortogonal

Los 4-politopos no se pueden ver en el espacio tridimensional debido a su dimensión adicional. Se utilizan varias técnicas para facilitar su visualización.

Proyección ortogonal

Las proyecciones ortogonales se pueden utilizar para mostrar distintas orientaciones de simetría de un politopo de cuatro dimensiones. Se pueden dibujar en 2D como gráficos de vértice-arista y se pueden mostrar en 3D con caras sólidas como envolventes proyectivas visibles .

Proyección en perspectiva

Así como una forma tridimensional puede proyectarse sobre una hoja plana, una forma cuatridimensional puede proyectarse sobre un espacio tridimensional o incluso sobre una hoja plana. Una proyección común es el diagrama de Schlegel , que utiliza la proyección estereográfica de puntos sobre la superficie de una esfera tridimensional en tres dimensiones, conectados por bordes rectos, caras y celdas dibujadas en un espacio tridimensional.

Seccionamiento

De la misma manera que un corte a través de un poliedro revela una superficie de corte, un corte a través de un politopo de cuatro capas revela una "hipersuperficie" de corte en tres dimensiones. Una secuencia de dichas secciones puede utilizarse para comprender la forma general. La dimensión adicional puede equipararse con el tiempo para producir una animación fluida de estas secciones transversales.

Redes

Una red de un 4-politopo está compuesta de celdas poliédricas que están conectadas por sus caras y todas ocupan el mismo espacio tridimensional, así como las caras poligonales de una red de un poliedro están conectadas por sus aristas y todas ocupan el mismo plano.

La topología de cualquier 4-politopo dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . ^[6]

El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar poliedros no se puede generalizar de manera útil a dimensiones superiores y es cero para todos los 4-politopos, cualquiera sea su topología subyacente. Esta inadecuación de la característica de Euler para distinguir de manera confiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores condujo al descubrimiento de los números de Betti más sofisticados. ^[6]

De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de los 4-politopos toroidales, y esto condujo al uso de coeficientes de torsión. ^[6]

Como todos los politopos, los 4-politopos pueden clasificarse según propiedades como " convexidad " y " simetría ".

• Un 4-politopo es convexo si su límite (incluyendo sus celdas, caras y aristas) no se interseca consigo mismo y el segmento de línea que une dos puntos cualesquiera del 4-politopo está contenido en el 4-politopo o en su interior; de lo contrario, es no convexo . Los 4-politopos autointersecantes también se conocen como 4-politopos estrella , por analogía con las formas similares a estrellas de los polígonos estrella no convexos y los poliedros de Kepler-Poinsot .
• Un 4-politopo es regular si es transitivo en sus banderines . Esto significa que sus celdas son todas poliedros regulares congruentes , y de manera similar sus figuras de vértice son congruentes y de otro tipo de poliedro regular.
• Un politopo 4-convexo es semirregular si tiene un grupo de simetría bajo el cual todos los vértices son equivalentes ( transitivo de vértices ) y sus celdas son poliedros regulares . Las celdas pueden ser de dos o más tipos, siempre que tengan el mismo tipo de cara. Hay solo 3 casos identificados por Thorold Gosset en 1900: el de 5 celdas rectificado , el de 600 celdas rectificado y el de 24 celdas chato .
• Un 4-politopo es uniforme si tiene un grupo de simetría en el que todos los vértices son equivalentes y sus celdas son poliedros uniformes . Las caras de un 4-politopo uniforme deben ser regulares .
• Un 4-politopo es escaliforme si es transitivo por vértices y tiene todas las aristas de igual longitud. Esto permite celdas que no son uniformes, como los sólidos de Johnson convexos de caras regulares .
• Un 4-politopo regular que también es convexo se dice que es un 4-politopo regular convexo .
• Un 4-politopo es prismático si es el producto cartesiano de dos o más politopos de menor dimensión. Un 4-politopo prismático es uniforme si sus factores son uniformes. El hipercubo es prismático (producto de dos cuadrados o de un cubo y un segmento de línea ), pero se considera por separado porque tiene simetrías distintas de las heredadas de sus factores.
• Un mosaico o panal de abejas de 3-espacios es la división del espacio euclidiano tridimensional en una cuadrícula repetitiva de celdas poliédricas. Tales mosaicos o teselaciones son infinitos y no delimitan un volumen "4D", y son ejemplos de 4-politopos infinitos. Un mosaico uniforme de 3-espacios es aquel cuyos vértices son congruentes y están relacionados por un grupo espacial y cuyas celdas son poliedros uniformes .

A continuación se enumeran las distintas categorías de 4-politopos clasificados según los criterios anteriores:

Politopo 4-uniforme ( transitivo de vértice ):

• Politopos convexos uniformes de 4 elementos (64, más dos familias infinitas)
  • 47 politopos uniformes convexos no prismáticos que incluyen:
    • 6 4-politopos regulares convexos
  • Politopos prismáticos uniformes de 4 elementos :
    • {} × {p,q} : 18 hiperprismas poliédricos (incluido el hiperprisma cúbico, el hipercubo regular )
    • Prismas construidos sobre antiprismas (familia infinita)
    • {p} × {q} : duoprismas (familia infinita)
• Politopos 4 uniformes no convexos (10 + desconocidos)

  

  • 10 politopos de Schläfli-Hess (regulares)
  • 57 hiperprismas construidos sobre poliedros uniformes no convexos
  • Número total desconocido de 4-politopos uniformes no convexos: Norman Johnson y otros colaboradores han identificado 2191 formas (convexas y en estrella, excluidas las familias infinitas), todas construidas mediante figuras de vértices con el software Stella4D . ^[7]

Otros 4-politopos convexos :

• Pirámide poliédrica
• Bipirámide poliédrica
• Prisma poliédrico

Politopos cuatridimensionales uniformes infinitos del espacio tridimensional euclidiano (teselaciones uniformes de celdas convexas uniformes)

• 28 panales convexos uniformes : teselaciones poliédricas convexas uniformes, que incluyen:
  • 1 teselación regular, panal cúbico : {4,3,4}

Politopos cuatridimensionales uniformes infinitos del espacio tridimensional hiperbólico (teselaciones uniformes de celdas convexas uniformes)

• 76 panales convexos uniformes wythoffianos en el espacio hiperbólico , incluidos:
  • 4 teselaciones regulares del espacio hiperbólico compacto 3-espacio : {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}

Politopo dual uniforme de 4 elementos ( transitivo celular ):

• 41 politopos uniformes convexos duales únicos
• 17 prismas poliédricos uniformes convexos duales únicos
• Familia infinita de duoprismas uniformes convexos duales (celdas tetraédricas irregulares)
• 27 panales de abejas convexos dobles uniformes únicos, que incluyen:
  • Panal de abejas rombico dodecaédrico
  • Panal tetraédrico diesfenoidal

Otros:

• Estructura de Weaire-Phelan en forma de panal de abeja periódico que llena el espacio con celdas irregulares

Resumen de 4-politopos regulares :

• 11 celdas
• 57 celdas

Estas categorías incluyen únicamente los 4-politopos que presentan un alto grado de simetría. Son posibles muchos otros 4-politopos, pero no se han estudiado tan exhaustivamente como los incluidos en estas categorías.

• Politopo 4-regular
• 3-esfera : análogo de una esfera en el espacio de 4 dimensiones. No es un 4-politopo, ya que no está delimitado por celdas poliédricas.
• El duocilindro es una figura en el espacio de cuatro dimensiones relacionada con los duoprismas . Tampoco es un 4-politopo porque sus volúmenes delimitadores no son poliédricos.

• HSM Coxeter :
  • Coxeter, HSM (1973) [1948]. Politopos regulares (3.ª ed.). Nueva York: Dover.
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins y JCP Miller : Poliedros uniformes , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londres, 1954
  • Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
    • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
    • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• JH Conway y MJT Guy : Politopos arquimedianos de cuatro dimensiones , Actas del Coloquio sobre convexidad en Copenhague, páginas 38 y 39, 1965
• NW Johnson : La teoría de los politopos uniformes y los panales de abejas , tesis doctoral, Universidad de Toronto, 1966
• Politopos arquimedianos cuatridimensionales (alemán), Marco Möller, tesis doctoral de 2004 [2] Archivado el 22 de marzo de 2005 en Wayback Machine.

Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre 4-politopos .

• Weisstein, Eric W. "Polichoron". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Fórmula poliédrica". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Características de Euler del policoron regular". MathWorld .
• Policora uniforme, Jonathan Bowers
• Visor de policoron uniforme: subprograma Java3D con fuentes
• R. Klitzing, policora