Semihipercubo

En geometría , los semihipercubos (también llamados n-demicubos , n-hemicubos y politopos de media medida ) son una clase de n - politopos construidos a partir de la alternancia de un n - hipercubo , etiquetado como hγ _n por ser la mitad de la familia de hipercubos, γ _n . Se elimina la mitad de los vértices y se forman nuevas facetas. Las 2 n facetas se convierten en 2 n ( n −1)-demicubos , y se forman 2 ⁿ ( n −1) -facetas símplex en lugar de los vértices eliminados. ^[1]

Se les ha dado un prefijo semi- a cada nombre de hipercubo : semicubo , semiteseracto , etc. El semicubo es idéntico al tetraedro regular , y el semiteseracto es idéntico al tetraedro regular de 16 celdas . El semipenteracto se considera semirregular por tener solo facetas regulares. Las formas superiores no tienen todas las facetas regulares, sino que son todos politopos uniformes .

Los vértices y los bordes de un semihipercubo forman dos copias del gráfico del cubo dividido por la mitad .

Un n -demicubo tiene simetría de inversión si n es par .

Thorold Gosset describió el demipenteracto en su publicación de 1900, en la que enumeraba todas las figuras regulares y semirregulares de n dimensiones superiores a tres. Lo llamó semirregular 5-ico . También existe dentro de la familia de politopos semirregulares k _{21 .}

Los semihipercubos se pueden representar mediante símbolos Schläfli extendidos de la forma h{4,3,...,3} como la mitad de los vértices de {4,3,...,3}. Las figuras de vértices de los semihipercubos son n - símplex rectificados .

Se representan mediante diagramas de Coxeter-Dynkin de tres formas constructivas:

1. ... (Como ortótopo alternado ) s{2 ^1,1,...,1 }
2. ...(Como un hipercubo alternado ) h{4,3 ^{n −1} }
3. .... (Como un semihipercubo) {3 ^{1, n −3,1} }

HSM Coxeter también etiquetó los terceros diagramas de bifurcación como 1 _{k 1,} que representan las longitudes de las tres ramas y están lideradas por la rama anillada.

Un n-demicubo , n mayor que 2, tiene n ( n −1)/2 aristas que se encuentran en cada vértice. Los gráficos a continuación muestran menos aristas en cada vértice debido a la superposición de aristas en la proyección de simetría.

norte	1 k 1	Polígono de Petrie	Símbolo de Schläfli	Diagramas de Coxeter A 1 n B n D n	Elementos										Facetas : semihipercubos y símplex	Figura de vértice
					Vértices	Bordes	Caras	Células	4 caras	5 caras	6 caras	7 caras	8 caras	9 caras
2	1 −1,1	semicuadrado ( digon )	s{2} h{4} {3 1,−1,1 }		2	2									2 bordes	--
3	1 01	demicubo ( tetraedro )	s{2 1,1 } h{4,3} {3 1,0,1 }		4	6	4								(6 dígitos ) 4 triángulos	Triángulo (Triángulo rectificado)
4	1 11	demitesseract ( 16 celdas )	s{2 1,1,1 } h{4,3,3} {3 1,1,1 }		8	24	32	16							8 demicubos (tetraedros) 8 tetraedros	Octaedro (tetraedro rectificado)
5	1 21	demipenteracto	s{2 1,1,1,1 } h{4,3 3 } {3 1,2,1 }		16	80	160	120	26						10 de 16 celdas 16 de 5 celdas	Rectificado de 5 celdas
6	1 31	demihexeracto	s{2 1,1,1,1,1 } h{4,3 4 } {3 1,3,1 }		32	240	640	640	252	44					12 demipenteractos 32 5- simples	Hexateron rectificado
7	1 41	demihepteracto	s{2 1,1,1,1,1,1 } h{4,3 5 } {3 1,4,1 }		64	672	2240	2800	1624	532	78				14 semihexeractos 64 6- simples	Rectificado 6-simplex
8	1 51	demiocteract	s{2 1,1,1,1,1,1,1 } h{4,3 6 } {3 1,5,1 }		128	1792	7168	10752	8288	4032	1136	144			16 demihepteractos 128 7- simples	Rectificado 7-simplex
9	1 61	demienneract	s{2 1,1,1,1,1,1,1,1 } h{4,3 7 } {3 1,6,1 }		256	4608	21504	37632	36288	23520	9888	2448	274		18 demioctectos 256 8- simples	Rectificado 8-simplex
10	1 71	demidekeract	s{2 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 } h{4,3 8 } {3 1,7,1 }		512	11520	61440	122880	142464	115584	64800	24000	5300	532	20 demienneracts 512 9- simples	Rectificado 9-simplex
...
norte	1 n −3,1	n-demicube	s{2 1,1,...,1 } h{4,3 n −2 } {3 1, n −3,1 }	... ... ...	2n - 1										2 n ( n −1 )-demicubos 2 n −1 ( n −1 )- simples	Rectificado ( n −1)-símplex

En general, los elementos de un semicubo se pueden determinar a partir del n -cubo original: (con C _{n , m} = m ^-ésimo número de caras en el n -cubo = 2 ^{n − m} n !/( m !( n − m )!))

• Vértices: D _{n ,0} = 1/2 C _{n ,0} = 2 ^{n −1} ( Quedan la mitad de los vértices del n -cubo)
• Aristas: D _{n ,1} = C _{n ,2} = 1/2 n ( n −1) 2 ^{n −2} (Se pierden todas las aristas originales, cada cara cuadrada crea una nueva arista)
• Caras: D _{n ,2} = 4 * C _{n ,3} = 2/3 n ( n −1)( n −2) 2 ^{n −3} (Se pierden todas las caras originales, cada cubo crea 4 nuevas caras triangulares)
• Células: D _{n ,3} = C _{n ,3} + 2 ³ C _{n ,4} (tetraedros de las células originales más las nuevas)
• Hiperceldas: D _{n ,4} = C _{n ,4} + 2 ⁴ C _{n ,5} (16 celdas y 5 celdas respectivamente)
• ...
• [Para m = 3,..., n −1]: D _{n , m} = C _{n , m} + 2 ^m C _{n , m +1} ( m -demicubos y m -símplex respectivamente)
• ...
• Facetas: D _{n , n −1} = 2 n + 2 ^{n −1} (( n −1)-demicubos y ( n −1)-símplices respectivamente)

El estabilizador del semihipercubo en el grupo hiperoctaédrico (el grupo de Coxeter [4,3 ^{n −1} ]) tiene índice 2. Es el grupo de Coxeter [3 ^{n −3,1,1} ] de orden , y se genera por permutaciones de los ejes de coordenadas y reflexiones a lo largo de pares de ejes de coordenadas. ^[2]${\displaystyle BC_{n}}$${\displaystyle D_{n},}$${\displaystyle 2^{n-1}n!}$

Las construcciones como ortotopos alternados tienen la misma topología, pero pueden estirarse con diferentes longitudes en n ejes de simetría.

El disfenoide rómbico es el ejemplo tridimensional de cuboide alternado. Tiene tres conjuntos de longitudes de aristas y caras triangulares escalenas .

• Panal de abejas hipercubo
• Politopo E semirregular

• T. Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26, págs. 409: Hemicubos: 1 _n1 ) 
• Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
  • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

• Olshevsky, George. «Polítopo de media medida». Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.