Hiperrectángulo

Ortotopo hiperrectángulo
Un cuboide rectangular es un 3-ortotopo
Tipo	Prisma
Caras	2 n
Bordes	n ×2n − 1
Vértices	2 n
Símbolo de Schläfli	{}×{}×···×{} = {} n [1]
Diagrama de Coxeter	···
Grupo de simetría	[2 n −1 ] , orden 2 n
Poliedro dual	Fusil rectangular n
Propiedades	convexo , zonoedro , isogonal

En geometría , un hiperrectángulo (también llamado caja , hipercaja , -celda u ortótopo ^[2] ), es la generalización de un rectángulo (una figura plana ) y del cuboide rectangular (una figura sólida ) a dimensiones superiores . Una condición necesaria y suficiente es que sea congruente con el producto cartesiano de intervalos finitos . ^[3] Esto significa que un sólido rectangular -dimensional tiene cada una de sus aristas igual a uno de los intervalos cerrados utilizados en la definición. Toda -celda es compacta . ^{[4] [5]}${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

Si todas las aristas tienen la misma longitud, se trata de un hipercubo . Un hiperrectángulo es un caso especial de paraleletopo .

Para cada entero de a , sean y números reales tales que . El conjunto de todos los puntos en cuyas coordenadas satisfacen las desigualdades es una -celda . ^[6]${\displaystyle i}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle a_{i}<b_{i}}$${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{k})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}}$${\displaystyle k}$

Una celda de dimensión α es especialmente simple. Por ejemplo, una celda 1 es simplemente el intervalo con α . ​​Una celda 2 es el rectángulo formado por el producto cartesiano de dos intervalos cerrados, y una celda 3 es un sólido rectangular. ${\displaystyle k}$${\displaystyle k\leq 3}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a<b}$

Los lados y los bordes de una celda no necesitan ser iguales en longitud (euclidiana); aunque el cubo unitario (que tiene límites de igual longitud euclidiana) es una celda de 3, el conjunto de todas las celdas de 3 con bordes de igual longitud es un subconjunto estricto del conjunto de todas las celdas de 3.${\displaystyle k}$

Un ortotopo de cuatro dimensiones es probablemente un hipercuboide. ^[7]

El caso especial de un ortótopo n -dimensional donde todos los bordes tienen la misma longitud es el n - cubo o hipercubo. ^[2]

Por analogía, el término "hiperrectángulo" puede referirse a productos cartesianos de intervalos ortogonales de otros tipos, como rangos de claves en la teoría de bases de datos o rangos de números enteros , en lugar de números reales . ^[8]

n -fusil
Ejemplo: 3 fusiles
Tipo	Prisma
Caras	2 n
Vértices	2 n
Símbolo de Schläfli	{}+{}+···+{} = n {} [1]
Diagrama de Coxeter	...
Grupo de simetría	[2 n −1 ] , orden 2 n
Poliedro dual	n -ortotopo
Propiedades	convexo , isotópico

El politopo dual de un n -ortótopo se ha denominado de diversas formas: n - ortoplex rectangular , n - fusil rómbico o n - rombo . Está formado por 2 n puntos ubicados en el centro de las caras rectangulares del ortótopo.

El símbolo Schläfli de un fusil n se puede representar mediante una suma de n segmentos de línea ortogonales: { } + { } + ... + { } o n { }.

Un 1-fusil es un segmento de línea . Un 2-fusil es un rombo . Sus selecciones transversales planas en todos los pares de ejes son rombos .

norte	Imagen de ejemplo
1	Segmento de línea { }
2	Rombo { } + { } = 2{ }
3	3-ortoplex rómbico dentro de 3-ortotopo { } + { } + { } = 3{ }

• Rectángulo delimitador mínimo
• Cuboides
• Cubo de Hilbert

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973). Politopos regulares (3.ª ed.). Nueva York: Dover. pp. 122-123. ISBN 0-486-61480-8.

• Weisstein, Eric W. "Ortótopo". MathWorld .
• Foran, James (7 de enero de 1991). Fundamentos del análisis real. CRC Press. ISBN 9780824784539. Recuperado el 23 de mayo de 2014 .
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . McGraw-Hill.