Simetría tetraédrica

Grupos de puntos seleccionados en tres dimensiones

Simetría involutiva C s , (*) [ ] =	Simetría cíclica C nv , (*nn) [n] =	Simetría diedro D nh , (*n22) [n,2] =
Grupo poliédrico , [n,3], (*n32)
Simetría tetraédrica T d , (*332) [3,3] =	Simetría octaédrica O h , (*432) [4,3] =	Simetría icosaédrica I h , (*532) [5,3] =

Un tetraedro regular tiene 12 simetrías rotacionales (o que preservan la orientación ) y un orden de simetría de 24, incluidas las transformaciones que combinan una reflexión y una rotación.

El grupo de todas las simetrías (no necesariamente las que preservan la orientación) es isomorfo al grupo S ₄ , el grupo simétrico de permutaciones de cuatro objetos, ya que existe exactamente una simetría de este tipo para cada permutación de los vértices del tetraedro. El conjunto de simetrías que preservan la orientación forma un grupo denominado subgrupo alterno A ₄ de S ₄ .

Las simetrías quirales y completas (o simetrías tetraédricas aquirales y simetrías piritoédricas ) son simetrías puntuales discretas (o equivalentemente, simetrías en la esfera ). Se encuentran entre los grupos puntuales cristalográficos del sistema cristalino cúbico .

Ejes de giro

C 3	C 3	C 2
2	2	3

Vistos en proyección estereográfica, los bordes del tetrakis hexaedro forman 6 círculos (o líneas radiales centrales) en el plano. Cada uno de estos 6 círculos representa una línea especular en simetría tetraédrica. La intersección de estos círculos se encuentra en puntos de giro de orden 2 y 3.

Ortogonal	Proyecciones estereográficas
	Cuádruple	3 veces	Doble pliegue
Simetría tetraédrica quiral, T, (332), [3,3] + = [1 + ,4,3 + ],=
Simetría piritoédrica, T h , (3*2), [4,3 + ],
Simetría tetraédrica aquiral, T d , (*332), [3,3] = [1 + 4,3],=

El grupo de rotación tetraédrica T con dominio fundamental ; para el triakistetraedro , véase más abajo, este último es una cara completa

Un tetraedro puede colocarse en 12 posiciones distintas con solo rotarlo . Estas posiciones se ilustran arriba en formato gráfico cíclico , junto con las rotaciones de 180° de arista (flechas azules) y 120° de vértice (flechas rojizas) que permutan el tetraedro a través de esas posiciones.

En el tetrakis hexaedro, una cara completa es un dominio fundamental; se pueden obtener otros sólidos con la misma simetría ajustando la orientación de las caras, por ejemplo, aplanando subconjuntos seleccionados de caras para combinar cada subconjunto en una cara, o reemplazando cada cara por múltiples caras o una superficie curva.

T , 332 , [3,3] ⁺ , o 23 , de orden 12 – simetría tetraédrica rotacional o quiral . Hay tres ejes de rotación 2-fold ortogonales, como la simetría diedral quiral D ₂ o 222, con además cuatro ejes 3-fold, centrados entre las tres direcciones ortogonales. Este grupo es isomorfo a A ₄ , el grupo alternado en 4 elementos; de hecho es el grupo de permutaciones pares de los cuatro ejes 3-fold: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Las clases de conjugación de T son:

• identidad
• 4 × rotación de 120° en el sentido de las agujas del reloj (vista desde un vértice): (234), (143), (412), (321)
• 4 × rotación de 120° en sentido antihorario (ídem)
• 3 × rotación de 180°

Las rotaciones de 180°, junto con la identidad, forman un subgrupo normal de tipo Dih ₂ , con grupo cociente de tipo Z ₃ . Los tres elementos de este último son la identidad, la "rotación en sentido horario" y la "rotación en sentido antihorario", correspondientes a permutaciones de los tres ejes ortogonales 2-fold, conservando la orientación.

A ₄ es el grupo más pequeño que demuestra que el inverso del teorema de Lagrange no es cierto en general: dado un grupo finito G y un divisor d de | G |, no existe necesariamente un subgrupo de G con orden d : el grupo G = A ₄ ​​no tiene ningún subgrupo de orden 6. Aunque es una propiedad para el grupo abstracto en general, se desprende claramente del grupo de isometría de simetría tetraédrica quiral: debido a la quiralidad el subgrupo tendría que ser C ₆ o D ₃ , pero no se aplica ninguna de las dos cosas.

Zapato.	Coxeter		Orbe.	Su Majestad	Generadores	Estructura	Ciclista	Orden	Índice
yo	[3,3] +	=	332	23	2	Un 4		12	1
D2​	[2,2] +	=	222	222	3	D4​		4	3
C 3	[3] +		33	3	1	Z3​		3	4
C 2	[2] +		22	2	1	El 2		2	6
C 1	[ ] +		11	1	1	El 1		1	12

T _d , *332 , [3,3] o 4 3m, de orden 24 – simetría aquiral o tetraédrica completa , también conocida como grupo de triángulos (2,3,3) . Este grupo tiene los mismos ejes de rotación que T, pero con seis planos especulares, cada uno a través de dos ejes triples. Los ejes dobles son ahora ejes S ₄ ( 4 ). T _d y O son isomorfos como grupos abstractos: ambos corresponden a S ₄ , el grupo simétrico sobre 4 objetos. T _d es la unión de T y el conjunto obtenido combinando cada elemento de O \ T con inversión. Véanse también las isometrías del tetraedro regular .

Las clases de conjugación de T _d son:

• identidad
• 8 × rotación de 120° (C ₃ )
• 3 × rotación de 180° (C ₂ )
• 6 × reflexión en un plano a través de dos ejes de rotación (C _s )
• 6 × Rotorreflexión a 90° (S ₄ )

Zapato.	Coxeter		Orbe.	Su Majestad	Generadores	Estructura	Ciclista	Orden	Índice
T.D.​	[3,3]		*332	4 3 m	3	S 4		24	1
C 3v	[3]		*33	3 m	2	D6 = S3​		6	4
C2v​	[2]		*22	mm2	2	D4​		4	6
C s	[ ]		*	2 o m	1	Z2 = D2​		2	12
El 2d	[2 + ,4]		2*2	4,2 m	2	D8​		8	3
C 4	[2 + ,4 + ]		2×	4	1	Z4​		4	6
yo	[3,3] +		332	23	2	Un 4		12	2
D2​	[2,2] +		222	222	2	D4​		4	6
C 3	[3] +		33	3	1	Z3 = A3​		3	8
C 2	[2] +		22	2	1	El 2		2	12
C 1	[ ] +		11	1	1	El 1		1	24

T _h , 3*2 , [4,3 ⁺ ] o m 3 , de orden 24 – simetría piritoédrica . ^[1] Este grupo tiene los mismos ejes de rotación que T, con planos de espejo a través de dos de las direcciones ortogonales. Los ejes triples son ahora ejes S ₆ ( 3 ) , y hay una simetría de inversión central. T _h es isomorfo a T × Z ₂ : cada elemento de T _h es un elemento de T, o uno combinado con inversión. Aparte de estos dos subgrupos normales, también hay un subgrupo normal D _2h (el de un cuboide ), de tipo Dih ₂ × Z ₂ = Z ₂ × Z ₂ × Z ₂ . Es el producto directo del subgrupo normal de T (ver arriba) con C _i . El grupo cociente es el mismo que el anterior: de tipo Z ₃ . Los tres elementos de este último son la identidad, “rotación en sentido horario” y “rotación en sentido antihorario”, correspondientes a permutaciones de los tres ejes ortogonales 2-fold, conservando la orientación.

Es la simetría de un cubo con en cada cara un segmento de recta que divide la cara en dos rectángulos iguales, de modo que los segmentos de recta de las caras adyacentes no se encuentran en el borde. Las simetrías corresponden a las permutaciones pares de las diagonales del cuerpo y las mismas combinadas con la inversión. También es la simetría de un piritoedro , que es extremadamente similar al cubo descrito, con cada rectángulo reemplazado por un pentágono con un eje de simetría y 4 lados iguales y 1 lado diferente (el correspondiente al segmento de recta que divide la cara del cubo); es decir, las caras del cubo sobresalen en la línea divisoria y se estrechan allí. Es un subgrupo del grupo de simetría icosaédrica completo (como grupo de isometría, no solo como grupo abstracto), con 4 de los 10 ejes triples.

Las clases de conjugación de T _h incluyen las de T, con las dos clases de 4 combinadas, y cada una con inversión:

• identidad
• 8 × rotación de 120° (C ₃ )
• 3 × rotación de 180° (C ₂ )
• inversión (S ₂ )
• 8 × Rotorreflexión a 60° (S ₆ )
• 3 × reflexión en un plano (C _s )

Zapato.	Coxeter		Orbe.	Su Majestad	Generadores	Estructura	Ciclista	Orden	Índice
El​	[3 + ,4]		3*2	metros 3	2	Un 4 × Z2		24	1
D 2 horas	[2,2]		*222	mmm	3	D4 × D2​		8	3
C2v​	[2]		*22	mm2	2	D4​		4	6
C s	[ ]		*	2 o m	1	D2​		2	12
C 2 horas	[2 + ,2]		2*	2/metro	2	Z2 × D2​		4	6
S 2	[2 + ,2 + ]		×	1	1	El 2		2	12
yo	[3,3] +		332	23	2	Un 4		12	2
D3​	[2,3] +		322	3	2	D6​		6	4
D2​	[2,2] +		222	222	3	D8​		4	6
C 3	[3] +		33	3	1	Z3​		3	8
C 2	[2] +		22	2	1	El 2		2	12
C 1	[ ] +		11	1	1	El 1		1	24

El icosaedro coloreado como un tetraedro romo tiene simetría quiral.

Clase	Nombre	Imagen	Caras	Bordes	Vértices
Sólido platónico	tetraedro		4	6	4
Sólido arquimediano	tetraedro truncado		8	18	12
Catalán sólido	triakis tetraedro		12	18	8
Johnson, que estuvo a punto de estrellarse, es sólido	Triakis tetraedro truncado		16	42	28
	Dodecaedro tetraédrico		28	54	28
Poliedro estrellado uniforme	Tetrahemihexaedro		7	12	6

• Simetría octaédrica
• Simetría icosaédrica
• Grupo tetraédrico binario

• Weisstein, Eric W. "Grupo tetraédrico". MathWorld .
• Materiales de aprendizaje relacionados con Grupo simétrico S4 en Wikiversidad