Estrés (mecánica)

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Estrés
Las tensiones residuales dentro de un transportador de plástico se revelan mediante luz polarizada .
Símbolos comunes	σ
Unidad SI	pascal
Otras unidades	psi , barra
En unidades base del SI	Pa = kg · m −1 · s −2
Dimensión	${\displaystyle {\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}{\mathsf {T}}^{-2}}$

Part of a series on
Continuum mechanics
${\displaystyle J=-D{\frac {d\varphi }{dx}}}$ Fick's laws of diffusion
Laws Conservations Mass Momentum Energy Inequalities Clausius–Duhem (entropy)
Solid mechanics Deformation Elasticity linear Plasticity Hooke's law Stress Strain Finite strain Infinitesimal strain Compatibility Bending Contact mechanics frictional Material failure theory Fracture mechanics
Fluid mechanics Fluids Statics · Dynamics Archimedes' principle · Bernoulli's principle Navier–Stokes equations Poiseuille equation · Pascal's law Viscosity (Newtonian · non-Newtonian) Buoyancy · Mixing · Pressure Liquids Adhesion Capillary action Chromatography Cohesion (chemistry) Surface tension Gases Atmosphere Boyle's law Charles's law Combined gas law Fick's law Gay-Lussac's law Graham's law Plasma
Rheology Viscoelasticity Rheometry Rheometer Smart fluids Electrorheological Magnetorheological Ferrofluids
Scientists Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Fick Gay-Lussac Graham Hooke Newton Navier Noll Pascal Stokes Truesdell
v t e

En mecánica de medios continuos , la tensión es una cantidad física que describe las fuerzas presentes durante la deformación . Por ejemplo, un objeto que se separa, como una banda elástica estirada, está sujeto a una tensión de tracción y puede sufrir elongación . Un objeto que se junta, como una esponja arrugada, está sujeto a una tensión de compresión y puede sufrir acortamiento. ^{[1] [2]} Cuanto mayor sea la fuerza y ​​menor el área de la sección transversal del cuerpo sobre el que actúa, mayor será la tensión. La tensión tiene la dimensión de fuerza por área, con unidades del SI de newtons por metro cuadrado (N/m ² ) o pascal (Pa). ^[1]

La tensión expresa las fuerzas internas que las partículas vecinas de un material continuo ejercen entre sí, mientras que la deformación es la medida de la deformación relativa del material. ^[3] Por ejemplo, cuando una barra vertical sólida soporta un peso en la parte superior , cada partícula en la barra empuja a las partículas inmediatamente debajo de ella. Cuando un líquido está en un recipiente cerrado bajo presión , cada partícula es empujada por todas las partículas circundantes. Las paredes del recipiente y la superficie que induce la presión (como un pistón) empujan contra ellas en una reacción (newtoniana) . Estas fuerzas macroscópicas son en realidad el resultado neto de una gran cantidad de fuerzas intermoleculares y colisiones entre las partículas en esas moléculas . La tensión se representa con frecuencia con una letra griega minúscula sigma ( σ ). ^[3]

La deformación en el interior de un material puede surgir por diversos mecanismos, como la tensión aplicada por fuerzas externas al material en masa (como la gravedad ) o a su superficie (como fuerzas de contacto , presión externa o fricción ). Cualquier deformación (deformación) de un material sólido genera una tensión elástica interna , análoga a la fuerza de reacción de un resorte , que tiende a restaurar el material a su estado original no deformado. En líquidos y gases , solo las deformaciones que cambian el volumen generan una tensión elástica persistente. Si la deformación cambia gradualmente con el tiempo, incluso en fluidos normalmente habrá alguna tensión viscosa , que se opone a ese cambio. Las tensiones elásticas y viscosas suelen combinarse bajo el nombre de tensión mecánica .

Puede existir una tensión significativa incluso cuando la deformación es insignificante o inexistente (una suposición común al modelar el flujo de agua). La tensión puede existir en ausencia de fuerzas externas; dicha tensión incorporada es importante, por ejemplo, en el hormigón pretensado y el vidrio templado . La tensión también puede imponerse sobre un material sin la aplicación de fuerzas netas , por ejemplo, por cambios en la temperatura o la composición química , o por campos electromagnéticos externos (como en materiales piezoeléctricos y magnetoestrictivos ).

La relación entre la tensión mecánica, la deformación y la velocidad de deformación puede ser bastante complicada, aunque una aproximación lineal puede ser adecuada en la práctica si las cantidades son suficientemente pequeñas. La tensión que excede ciertos límites de resistencia del material dará lugar a una deformación permanente (como flujo plástico , fractura , cavitación ) o incluso cambiará su estructura cristalina y composición química .

Los seres humanos conocen la tensión que se produce en el interior de los materiales desde la antigüedad. Hasta el siglo XVII, esta comprensión era en gran medida intuitiva y empírica, aunque esto no impidió el desarrollo de tecnologías relativamente avanzadas como el arco compuesto y el soplado de vidrio . ^[4]

A lo largo de varios milenios, los arquitectos y constructores en particular, aprendieron a unir vigas de madera y bloques de piedra cuidadosamente formados para soportar, transmitir y distribuir la tensión de la manera más eficaz, con ingeniosos dispositivos como los capiteles , arcos , cúpulas , cerchas y arbotantes de las catedrales góticas .

Los arquitectos antiguos y medievales desarrollaron algunos métodos geométricos y fórmulas simples para calcular los tamaños adecuados de pilares y vigas, pero la comprensión científica de la tensión solo fue posible después de que se inventaron las herramientas necesarias en los siglos XVII y XVIII: el riguroso método experimental de Galileo Galilei , las coordenadas y la geometría analítica de René Descartes , y las leyes de movimiento y equilibrio de Newton y el cálculo de infinitesimales . ^[5] Con esas herramientas, Augustin-Louis Cauchy pudo dar el primer modelo matemático riguroso y general de un cuerpo elástico deformado al introducir las nociones de tensión y deformación. ^[6] Cauchy observó que la fuerza a través de una superficie imaginaria era una función lineal de su vector normal; y, además, que debe ser una función simétrica (con momento total cero). La comprensión de la tensión en los líquidos comenzó con Newton, quien proporcionó una fórmula diferencial para las fuerzas de fricción (tensión cortante) en flujo laminar paralelo .

El estrés se define como la fuerza a través de un límite pequeño por unidad de área de ese límite, para todas las orientaciones del límite. ^[7] Derivado de una cantidad física fundamental (fuerza) y una cantidad puramente geométrica (área), el estrés es también una cantidad fundamental, como la velocidad, el torque o la energía , que puede cuantificarse y analizarse sin una consideración explícita de la naturaleza del material o de sus causas físicas.

Siguiendo las premisas básicas de la mecánica de medios continuos, el estrés es un concepto macroscópico . Es decir, las partículas consideradas en su definición y análisis deben ser lo suficientemente pequeñas como para ser tratadas como homogéneas en composición y estado, pero aún lo suficientemente grandes como para ignorar los efectos cuánticos y los movimientos detallados de las moléculas. Por lo tanto, la fuerza entre dos partículas es en realidad el promedio de un número muy grande de fuerzas atómicas entre sus moléculas; y se supone que las cantidades físicas como la masa, la velocidad y las fuerzas que actúan a través de la masa de los cuerpos tridimensionales, como la gravedad, se distribuyen suavemente sobre ellos. ^{[8] : 90–106} Dependiendo del contexto, también se puede suponer que las partículas son lo suficientemente grandes como para permitir el promedio de otras características microscópicas, como los granos de una varilla de metal o las fibras de un trozo de madera .

Cuantitativamente, la tensión se expresa mediante el vector de tracción de Cauchy T definido como la fuerza de tracción F entre partes adyacentes del material a través de una superficie separadora imaginaria S , dividido por el área de S . ^{[9] : 41–50} En un fluido en reposo la fuerza es perpendicular a la superficie, y es la familiar presión . En un sólido , o en un flujo de líquido viscoso , la fuerza F puede no ser perpendicular a S ; por lo tanto, la tensión a través de una superficie debe considerarse una cantidad vectorial, no un escalar. Además, la dirección y la magnitud generalmente dependen de la orientación de S . Por lo tanto, el estado de tensión del material debe describirse mediante un tensor , llamado tensor de tensión (de Cauchy) ; que es una función lineal que relaciona el vector normal n de una superficie S con el vector de tracción T a través de S . Con respecto a cualquier sistema de coordenadas elegido , el tensor de tensión de Cauchy se puede representar como una matriz simétrica de números reales 3×3. Incluso dentro de un cuerpo homogéneo , el tensor de tensión puede variar de un lugar a otro y puede cambiar con el tiempo; por lo tanto, la tensión dentro de un material es, en general, un campo tensorial que varía en el tiempo .

En general, la tensión T que una partícula P aplica sobre otra partícula Q a lo largo de una superficie S puede tener cualquier dirección con respecto a S. El vector T puede considerarse como la suma de dos componentes: la tensión normal ( compresión o tensión ) perpendicular a la superficie y la tensión cortante que es paralela a la superficie.

Si se supone que el vector unitario normal n de la superficie (que apunta desde Q hacia P ) es fijo, el componente normal se puede expresar con un solo número, el producto escalar T · n . Este número será positivo si P está "tirando" de Q (tensión de tracción) y negativo si P está "empujando" contra Q (tensión de compresión). El componente de corte es entonces el vector T − ( T · n ) n .

La dimensión del estrés es la de la presión , y por lo tanto sus coordenadas se miden en las mismas unidades que la presión: es decir, pascales (Pa, es decir, newtons por metro cuadrado ) en el Sistema Internacional , o libras por pulgada cuadrada (psi) en el sistema Imperial . Debido a que los esfuerzos mecánicos superan fácilmente el millón de pascales, MPa, que significa megapascal, es una unidad común de estrés.

El estrés en un cuerpo material puede deberse a múltiples causas físicas, incluidas influencias externas y procesos físicos internos. Algunos de estos agentes (como la gravedad, los cambios de temperatura y fase , y los campos electromagnéticos) actúan sobre la masa del material, variando continuamente con la posición y el tiempo. Otros agentes (como las cargas externas y la fricción, la presión ambiental y las fuerzas de contacto) pueden crear tensiones y fuerzas que se concentran en ciertas superficies, líneas o puntos; y posiblemente también en intervalos de tiempo muy cortos (como en los impulsos debidos a colisiones). En la materia activa , la autopropulsión de partículas microscópicas genera perfiles de estrés macroscópicos. ^[11] En general, la distribución del estrés en un cuerpo se expresa como una función continua por partes del espacio y el tiempo.

Por el contrario, la tensión suele estar correlacionada con varios efectos sobre el material, posiblemente incluyendo cambios en propiedades físicas como birrefringencia , polarización y permeabilidad . La imposición de tensión por un agente externo suele crear cierta tensión (deformación) en el material, incluso si es demasiado pequeña para ser detectada. En un material sólido, dicha tensión generará a su vez una tensión elástica interna, análoga a la fuerza de reacción de un resorte estirado , que tiende a restaurar el material a su estado original no deformado. Los materiales fluidos (líquidos, gases y plasmas ) por definición solo pueden oponerse a deformaciones que cambiarían su volumen. Si la deformación cambia con el tiempo, incluso en fluidos normalmente habrá alguna tensión viscosa, que se oponga a ese cambio. Dichas tensiones pueden ser de naturaleza cortante o normal. El origen molecular de las tensiones cortantes en fluidos se da en el artículo sobre viscosidad . Lo mismo para las tensiones viscosas normales se puede encontrar en Sharma (2019). ^[12]

La relación entre la tensión y sus efectos y causas, incluida la deformación y la tasa de cambio de la deformación, puede ser bastante complicada (aunque una aproximación lineal puede ser adecuada en la práctica si las cantidades son lo suficientemente pequeñas). La tensión que excede ciertos límites de resistencia del material dará como resultado una deformación permanente (como flujo plástico , fractura , cavitación ) o incluso cambiará su estructura cristalina y composición química .

En algunas situaciones, la tensión dentro de un cuerpo puede describirse adecuadamente mediante un solo número o un solo vector (un número y una dirección). Tres situaciones de tensión simples de este tipo , que se encuentran a menudo en el diseño de ingeniería, son la tensión normal uniaxial , la tensión cortante simple y la tensión normal isotrópica . ^[13]

Una situación común con un patrón de tensión simple es cuando una varilla recta, con material y sección transversal uniformes, está sometida a tensión por fuerzas opuestas de magnitud a lo largo de su eje. Si el sistema está en equilibrio y no cambia con el tiempo, y el peso de la barra puede despreciarse, entonces a través de cada sección transversal de la barra la parte superior debe tirar de la parte inferior con la misma fuerza, F con continuidad a través del área de sección transversal completa , A . Por lo tanto, la tensión σ a lo largo de la barra, a través de cualquier superficie horizontal, puede expresarse simplemente por el número único σ, calculado simplemente con la magnitud de esas fuerzas, F , y el área de sección transversal, A . Por otro lado, si uno imagina que la barra se corta a lo largo de su longitud, paralela al eje, no habrá fuerza (por lo tanto, no habrá tensión) entre las dos mitades a lo largo del corte. Este tipo de tensión puede llamarse tensión normal (simple) o tensión uniaxial; específicamente, tensión de tracción (uniaxial, simple, etc.). ^[13] Si la carga es de compresión sobre la barra, en lugar de estirarla, el análisis es el mismo excepto que la fuerza F y la tensión cambian de signo, y la tensión se denomina tensión de compresión.${\displaystyle F}$$${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}}$$${\displaystyle \sigma }$

Este análisis supone que la tensión se distribuye uniformemente sobre toda la sección transversal. En la práctica, dependiendo de cómo se fija la barra en los extremos y de cómo se fabricó, esta suposición puede no ser válida. En ese caso, el valor = F / A será solo la tensión promedio, llamada tensión de ingeniería o tensión nominal . Si la longitud de la barra L es muchas veces su diámetro D y no tiene defectos graves ni tensión incorporada, entonces se puede suponer que la tensión se distribuye uniformemente sobre cualquier sección transversal que sea más de unas pocas veces D desde ambos extremos. (Esta observación se conoce como el principio de Saint-Venant ).${\displaystyle \sigma }$

La tensión normal se produce en muchas otras situaciones además de la tensión y la compresión axiales. Si una barra elástica con una sección transversal uniforme y simétrica se dobla en uno de sus planos de simetría, la tensión de flexión resultante seguirá siendo normal (perpendicular a la sección transversal), pero variará a lo largo de la sección transversal: la parte exterior estará bajo tensión de tracción, mientras que la parte interior estará comprimida. Otra variante de la tensión normal es la tensión circunferencial que se produce en las paredes de un tubo o recipiente cilíndrico lleno de un fluido presurizado.

Otro tipo simple de tensión ocurre cuando una capa uniformemente gruesa de material elástico como pegamento o caucho está firmemente unida a dos cuerpos rígidos que son tirados en direcciones opuestas por fuerzas paralelas a la capa; o una sección de una barra de metal blando que está siendo cortada por las mandíbulas de una herramienta similar a unas tijeras . Sea F la magnitud de esas fuerzas y M el plano medio de esa capa. Al igual que en el caso de tensión normal, la parte de la capa de un lado de M debe tirar de la otra parte con la misma fuerza F. Suponiendo que se conoce la dirección de las fuerzas, la tensión a través de M se puede expresar simplemente por el único número , calculado simplemente con la magnitud de esas fuerzas, F y el área de la sección transversal, A. A diferencia de la tensión normal, esta tensión cortante simple se dirige paralela a la sección transversal considerada, en lugar de perpendicular a ella. ^[13] Para cualquier plano S que sea perpendicular a la capa, la fuerza interna neta a través de S y , por lo tanto, la tensión, será cero.${\displaystyle \tau }$$${\displaystyle \tau ={\frac {F}{A}}}$$

Al igual que en el caso de una barra cargada axialmente, en la práctica la tensión de corte puede no estar distribuida uniformemente sobre la capa; por lo tanto, como antes, la relación F / A solo será una tensión promedio ("nominal", "de ingeniería"). Ese promedio suele ser suficiente para fines prácticos. ^{[14] : 292} La tensión de corte también se observa cuando una barra cilíndrica, como un eje, se somete a pares opuestos en sus extremos. En ese caso, la tensión de corte en cada sección transversal es paralela a la sección transversal, pero orientada tangencialmente con respecto al eje, y aumenta con la distancia desde el eje. Se produce una tensión de corte significativa en la placa intermedia (el "alma") de las vigas en I bajo cargas de flexión, debido a que el alma restringe las placas de los extremos ("bridas").

Otro tipo simple de tensión se produce cuando el cuerpo material está sometido a una compresión o tensión iguales en todas las direcciones. Este es el caso, por ejemplo, de una porción de líquido o gas en reposo, ya sea encerrada en algún recipiente o como parte de una masa mayor de fluido; o dentro de un cubo de material elástico que está siendo presionado o tirado en sus seis caras por fuerzas perpendiculares iguales, siempre que, en ambos casos, el material sea homogéneo, sin tensión incorporada, y que el efecto de la gravedad y otras fuerzas externas puedan despreciarse.

En estas situaciones, la tensión a lo largo de cualquier superficie interna imaginaria resulta ser igual en magnitud y siempre dirigida perpendicularmente a la superficie independientemente de la orientación de la superficie. Este tipo de tensión puede denominarse isotrópica normal o simplemente isotrópica ; si es compresiva, se denomina presión hidrostática o simplemente presión . Los gases, por definición, no pueden soportar tensiones de tracción, pero algunos líquidos pueden soportar cantidades muy grandes de tensión de tracción isotrópica en determinadas circunstancias. Véase tubo Z.

Las piezas con simetría rotacional , como ruedas, ejes, tuberías y pilares, son muy comunes en ingeniería. A menudo, los patrones de tensión que se producen en dichas piezas tienen simetría rotacional o incluso cilíndrica . El análisis de dichas tensiones cilíndricas puede aprovechar la simetría para reducir la dimensión del dominio y/o del tensor de tensión.

A menudo, los cuerpos mecánicos experimentan más de un tipo de tensión al mismo tiempo; esto se llama tensión combinada . En la tensión normal y cortante, la magnitud de la tensión es máxima para superficies que son perpendiculares a una dirección determinada y cero en cualquier superficie que sea paralela a . Cuando la tensión cortante es cero solo en superficies que son perpendiculares a una dirección particular, la tensión se llama biaxial y puede verse como la suma de dos tensiones normales o cortantes. En el caso más general, llamado tensión triaxial , la tensión es distinta de cero en cada elemento de la superficie.${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

Las tensiones combinadas no pueden describirse mediante un único vector. Incluso si el material se somete a la misma tensión en todo el volumen del cuerpo, la tensión en cualquier superficie imaginaria dependerá de la orientación de esa superficie, de una manera no trivial.

Cauchy observó que el vector de tensión a lo largo de una superficie siempre será una función lineal del vector normal de la superficie , el vector de longitud unitaria que es perpendicular a ella. Es decir, , donde la función satisface para cualquier vector y cualquier número real . La función , ahora llamada tensor de tensión (de Cauchy) , describe completamente el estado de tensión de un cuerpo uniformemente estresado. (Hoy, cualquier conexión lineal entre dos cantidades vectoriales físicas se llama tensor , lo que refleja el uso original de Cauchy para describir las "tensiones" (esfuerzos) en un material). En el cálculo tensorial , se clasifica como un tensor de segundo orden de tipo (0,2) o (1,1) según la convención.${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle T={\boldsymbol {\sigma }}(n)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\alpha u+\beta v)=\alpha {\boldsymbol {\sigma }}(u)+\beta {\boldsymbol {\sigma }}(v)}$$${\displaystyle u,v}$${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

Como cualquier aplicación lineal entre vectores, el tensor de tensión se puede representar en cualquier sistema de coordenadas cartesianas elegido mediante una matriz de 3 × 3 de números reales. Dependiendo de si las coordenadas están numeradas o nombradas , la matriz se puede escribir como o El vector de tensión a través de una superficie con un vector normal (que es covariante - "fila; horizontal" - vector) con coordenadas es entonces un producto matricial (donde T en el índice superior es transposición , y como resultado obtenemos un vector (fila) covariante ) (consulte el tensor de tensión de Cauchy ), es decir${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle x,y,z}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle T={\boldsymbol {\sigma }}(n)}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}}$${\displaystyle T=n\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}&T_{2}&T_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{21}&\sigma _{31}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{32}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$

La relación lineal entre y se deriva de las leyes fundamentales de conservación del momento lineal y del equilibrio estático de fuerzas, y por lo tanto es matemáticamente exacta, para cualquier material y cualquier situación de tensión. Los componentes del tensor de tensiones de Cauchy en cada punto de un material satisfacen las ecuaciones de equilibrio ( ecuaciones de movimiento de Cauchy para aceleración cero). Además, el principio de conservación del momento angular implica que el tensor de tensiones es simétrico , es decir , , y . Por lo tanto, el estado de tensión del medio en cualquier punto e instante puede especificarse mediante solo seis parámetros independientes, en lugar de nueve. Estos pueden escribirse donde los elementos se denominan tensiones normales ortogonales (en relación con el sistema de coordenadas elegido) y tensiones cortantes ortogonales . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}}$${\displaystyle \sigma _{13}=\sigma _{31}}$${\displaystyle \sigma _{23}=\sigma _{32}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}}$${\displaystyle \tau _{xy},\tau _{xz},\tau _{yz}}$

El tensor de tensiones de Cauchy obedece a la ley de transformación de tensores ante un cambio en el sistema de coordenadas. Una representación gráfica de esta ley de transformación es el círculo de distribución de tensiones de Mohr .

Como matriz real simétrica 3×3, el tensor de tensiones tiene tres vectores propios de longitud unitaria mutuamente ortogonales y tres valores propios reales , tales que . Por lo tanto, en un sistema de coordenadas con ejes , el tensor de tensiones es una matriz diagonal, y tiene solo las tres componentes normales λ 1 , λ 2 , λ 3 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}} las tensiones principales . Si los tres valores propios son iguales, la tensión es una compresión o tensión isótropa , siempre perpendicular a cualquier superficie, no hay tensión cortante y el tensor es una matriz diagonal en cualquier marco de coordenadas.${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}e_{i}=\lambda _{i}e_{i}}$${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$

En general, la tensión no se distribuye uniformemente sobre un cuerpo material y puede variar con el tiempo. Por lo tanto, el tensor de tensiones debe definirse para cada punto y cada momento, considerando una partícula infinitesimal del medio que rodea ese punto y tomando las tensiones promedio en esa partícula como las tensiones en el punto.

Los objetos fabricados por el hombre suelen estar hechos a partir de placas de diversos materiales mediante operaciones que no modifican su carácter esencialmente bidimensional, como cortar, taladrar, doblar suavemente y soldar a lo largo de los bordes. La descripción de la tensión en dichos cuerpos se puede simplificar modelando esas piezas como superficies bidimensionales en lugar de cuerpos tridimensionales.

En esa perspectiva, se redefine una "partícula" como un parche infinitesimal de la superficie de la placa, de modo que el límite entre partículas adyacentes se convierte en un elemento de línea infinitesimal; ambos se extienden implícitamente en la tercera dimensión, normales a (directamente a través de) la placa. La "tensión" se redefine entonces como una medida de las fuerzas internas entre dos "partículas" adyacentes a lo largo de su elemento de línea común, dividida por la longitud de esa línea. Algunos componentes del tensor de tensión se pueden ignorar, pero como las partículas no son infinitesimales en la tercera dimensión, ya no se puede ignorar el par que una partícula aplica sobre sus vecinas. Ese par se modela como un esfuerzo de flexión que tiende a cambiar la curvatura de la placa. Estas simplificaciones pueden no ser válidas en las soldaduras, en las curvas cerradas y en los pliegues (donde el radio de curvatura es comparable al espesor de la placa).

El análisis de la tensión puede simplificarse considerablemente también para barras delgadas, vigas o cables de composición y sección transversal uniformes (o que varían suavemente) que están sujetos a flexión y torsión moderadas. Para esos cuerpos, se pueden considerar solo las secciones transversales que son perpendiculares al eje de la barra y redefinir una "partícula" como un trozo de cable con una longitud infinitesimal entre dos de esas secciones transversales. La tensión ordinaria se reduce entonces a una escalar (tensión o compresión de la barra), pero se debe tener en cuenta también una tensión de flexión (que intenta cambiar la curvatura de la barra, en alguna dirección perpendicular al eje) y una tensión de torsión (que intenta torcerla o destorcerla sobre su eje).

El análisis de esfuerzos es una rama de la física aplicada que abarca la determinación de la distribución interna de fuerzas internas en objetos sólidos. Es una herramienta esencial en ingeniería para el estudio y diseño de estructuras como túneles, presas, piezas mecánicas y marcos estructurales, bajo cargas prescritas o esperadas. También es importante en muchas otras disciplinas; por ejemplo, en geología, para estudiar fenómenos como la tectónica de placas , el vulcanismo y las avalanchas ; y en biología, para comprender la anatomía de los seres vivos.

El análisis de tensiones se ocupa generalmente de objetos y estructuras que se pueden suponer en equilibrio estático macroscópico . Según las leyes de movimiento de Newton , cualquier fuerza externa que se aplique a un sistema de este tipo debe equilibrarse con fuerzas de reacción internas, ^{[15] : 97} que casi siempre son fuerzas de contacto superficial entre partículas adyacentes, es decir, como tensión. ^[9] Dado que cada partícula debe estar en equilibrio, esta tensión de reacción generalmente se propagará de partícula a partícula, creando una distribución de tensión en todo el cuerpo. El problema típico en el análisis de tensiones es determinar estas tensiones internas, dadas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. Estas últimas pueden ser fuerzas corporales (como la gravedad o la atracción magnética), que actúan en todo el volumen de un material; ^{[16] : 42–81} o cargas concentradas (como la fricción entre un eje y un cojinete , o el peso de una rueda de tren sobre un riel), que se imagina que actúan sobre un área bidimensional, o a lo largo de una línea, o en un solo punto.

En el análisis de tensiones, normalmente se ignoran las causas físicas de las fuerzas o la naturaleza precisa de los materiales. En cambio, se supone que las tensiones están relacionadas con la deformación (y, en problemas no estáticos, con la velocidad de deformación) del material mediante ecuaciones constitutivas conocidas . ^[17]

El análisis de tensiones puede llevarse a cabo experimentalmente, aplicando cargas al artefacto real o al modelo a escala, y midiendo las tensiones resultantes, mediante cualquiera de los diversos métodos disponibles. Este enfoque se utiliza a menudo para la certificación y el control de la seguridad. La mayor parte de las tensiones se analizan mediante métodos matemáticos, especialmente durante el diseño. El problema básico de análisis de tensiones puede formularse mediante las ecuaciones de movimiento de Euler para cuerpos continuos (que son consecuencias de las leyes de Newton para la conservación del momento lineal y del momento angular ) y el principio de tensión de Euler-Cauchy , junto con las ecuaciones constitutivas adecuadas. De este modo, se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que implican el campo tensorial de tensión y el campo tensorial de deformación , como funciones desconocidas que deben determinarse. Las fuerzas externas del cuerpo aparecen como el término independiente ("lado derecho") en las ecuaciones diferenciales, mientras que las fuerzas concentradas aparecen como condiciones de contorno. El problema básico de análisis de tensiones es, por tanto, un problema de valor de contorno .

El análisis de tensiones para estructuras elásticas se basa en la teoría de la elasticidad y la teoría de la deformación infinitesimal . Cuando las cargas aplicadas causan una deformación permanente, se deben utilizar ecuaciones constitutivas más complicadas, que puedan dar cuenta de los procesos físicos involucrados ( flujo plástico , fractura , cambio de fase , etc.). Las estructuras de ingeniería suelen diseñarse de modo que las tensiones máximas esperadas estén dentro del rango de elasticidad lineal (la generalización de la ley de Hooke para medios continuos); es decir, las deformaciones causadas por tensiones internas están relacionadas linealmente con ellas. En este caso, las ecuaciones diferenciales que definen el tensor de tensiones son lineales y el problema se vuelve mucho más fácil. Por un lado, la tensión en cualquier punto también será una función lineal de las cargas. Para tensiones lo suficientemente pequeñas, incluso los sistemas no lineales pueden suponerse lineales.

El análisis de tensiones se simplifica cuando las dimensiones físicas y la distribución de cargas permiten tratar la estructura como unidimensional o bidimensional. En el análisis de cerchas, por ejemplo, se puede suponer que el campo de tensiones es uniforme y uniaxial en cada elemento. En ese caso, las ecuaciones diferenciales se reducen a un conjunto finito de ecuaciones (normalmente lineales) con un número finito de incógnitas. En otros contextos, se puede reducir el problema tridimensional a uno bidimensional y/o sustituir los tensores generales de tensión y deformación por modelos más sencillos, como la tensión/compresión uniaxial, el esfuerzo cortante simple, etc.

Sin embargo, para casos bidimensionales o tridimensionales se debe resolver un problema de ecuación diferencial parcial. Se pueden obtener soluciones analíticas o de forma cerrada para las ecuaciones diferenciales cuando la geometría, las relaciones constitutivas y las condiciones de contorno son lo suficientemente simples. De lo contrario, generalmente se debe recurrir a aproximaciones numéricas como el método de elementos finitos , el método de diferencias finitas y el método de elementos de contorno .

Otras medidas de tensión útiles incluyen el primer y segundo tensor de tensión de Piola-Kirchhoff , el tensor de tensión de Biot y el tensor de tensión de Kirchhoff .