Tensor de tensión de Cauchy

Tensor de tensión de Cauchy
Componentes del estrés en tres dimensiones
Símbolos comunes	σ
Unidad SI	pascal (Pa)
Otras unidades	Libra por pulgada cuadrada (psi), bar
En unidades base del SI	Pa = kg · m −1 · s −2
Comportamiento bajo transformación de coordenadas	tensor
Dimensión	${\displaystyle {\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}{\mathsf {T}}^{-2}}$

En mecánica de medios continuos , el tensor de tensiones de Cauchy (símbolo , llamado así por Augustin-Louis Cauchy ), también llamado tensor de tensiones verdadero ^[1] o simplemente tensor de tensiones , define completamente el estado de tensión en un punto dentro de un material en el estado deformado , colocación o configuración. El tensor de segundo orden consta de nueve componentes y relaciona un vector de dirección de longitud unitaria e con el vector de tracción T ^{( e )} a través de una superficie imaginaria perpendicular a e :${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$$estilo de visualización sigma _{ij}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} )}=\mathbf {e} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{o}}\quad T_{j}^{(e)}=\sum _{i}\sigma _{ij}e_{i}.}$^[a]

Las unidades básicas del SI tanto del tensor de tensión como del vector de tracción son newton por metro cuadrado (N/m ² ) o pascal (Pa), que corresponden al escalar de tensión. El vector unitario es adimensional .

El tensor de tensiones de Cauchy obedece a la ley de transformación de tensores ante un cambio en el sistema de coordenadas. Una representación gráfica de esta ley de transformación es el círculo de Mohr para tensiones.

El tensor de tensiones de Cauchy se utiliza para el análisis de tensiones de cuerpos materiales que experimentan pequeñas deformaciones : es un concepto central en la teoría lineal de la elasticidad . Para grandes deformaciones, también llamadas deformaciones finitas , se requieren otras medidas de tensión, como el tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff , el tensor de tensiones de Biot y el tensor de tensiones de Kirchhoff .

Según el principio de conservación del momento lineal , si el cuerpo continuo está en equilibrio estático, se puede demostrar que los componentes del tensor de tensiones de Cauchy en cada punto material del cuerpo satisfacen las ecuaciones de equilibrio ( ecuaciones de movimiento de Cauchy para aceleración cero). Al mismo tiempo, según el principio de conservación del momento angular , el equilibrio requiere que la suma de momentos con respecto a un punto arbitrario sea cero, lo que lleva a la conclusión de que el tensor de tensiones es simétrico , por lo que tiene solo seis componentes de tensión independientes, en lugar de los nueve originales. Sin embargo, en presencia de tensiones de pareja, es decir, momentos por unidad de volumen, el tensor de tensiones no es simétrico. Este también es el caso cuando el número de Knudsen es cercano a uno , o el continuo es un fluido no newtoniano, lo que puede conducir a fluidos rotacionalmente no invariantes, como los polímeros .${\displaystyle K_{n}\rightarrow 1}$

Existen ciertas invariantes asociadas al tensor de tensiones, cuyos valores no dependen del sistema de coordenadas elegido ni del elemento de área sobre el que actúa el tensor de tensiones. Se trata de los tres valores propios del tensor de tensiones, que se denominan tensiones principales.

El principio de tensión de Euler-Cauchy establece que sobre cualquier superficie (real o imaginaria) que divida al cuerpo, la acción de una parte del cuerpo sobre la otra es equivalente (equipollente) al sistema de fuerzas distribuidas y pares sobre la superficie que divide al cuerpo , ^[2] y está representada por un campo , llamado vector de tracción , definido sobre la superficie y que se supone que depende continuamente del vector unitario de la superficie . ^{[3] [4] : p.66–96}${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle \mathbf {n}}$

Para formular el principio de tensión de Euler-Cauchy, considérese una superficie imaginaria que pasa por un punto material interno que divide el cuerpo continuo en dos segmentos, como se ve en la Figura 2.1a o 2.1b (se puede utilizar el diagrama del plano de corte o el diagrama con el volumen arbitrario dentro del continuo encerrado por la superficie ).${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización S}$

Siguiendo la dinámica clásica de Newton y Euler , el movimiento de un cuerpo material se produce por la acción de fuerzas aplicadas externamente que se supone que son de dos tipos: fuerzas superficiales y fuerzas corporales . ^[5] Así, la fuerza total aplicada a un cuerpo o a una porción del cuerpo puede expresarse como:${\displaystyle \mathbf {F}}$ ${\displaystyle \mathbf {b}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {b} +\mathbf {F} }$

En este artículo solo se analizarán las fuerzas superficiales, ya que son relevantes para el tensor de tensión de Cauchy.

Cuando el cuerpo está sometido a fuerzas superficiales externas o fuerzas de contacto , siguiendo las ecuaciones de movimiento de Euler , las fuerzas y momentos de contacto internos se transmiten de un punto a otro en el cuerpo, y de un segmento al otro a través de la superficie divisoria , debido al contacto mecánico de una porción del continuo sobre la otra (Figura 2.1a y 2.1b). En un elemento de área que contiene , con vector normal , la distribución de fuerza es equipolenta a una fuerza de contacto ejercida en el punto P y momento superficial . En particular, la fuerza de contacto está dada por${\displaystyle \mathbf {F}}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle \Delta S}$${\estilo de visualización P}$ ${\displaystyle \mathbf {n}}$${\displaystyle \Delta \mathbf {F} }$${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$

${\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\Delta S}$

¿Dónde está la tracción superficial media ?${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$

El principio de tensión de Cauchy afirma ^{[6] : p.47–102} que a medida que se vuelve muy pequeño y tiende a cero, la relación se convierte en y el vector de tensión de par se desvanece. En campos específicos de la mecánica de medios continuos se supone que la tensión de par no se desvanece; sin embargo, las ramas clásicas de la mecánica de medios continuos abordan materiales no polares que no consideran las tensiones de par y los momentos corporales.${\displaystyle \Delta S}$${\displaystyle \Delta \mathbf {F} /\Delta S}$${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$

El vector resultante se define como la tracción superficial , ^[7] también llamada vector de tensión , ^[8] tracción , ^[4] o vector de tracción . ^[6] dada por en el punto asociado a un plano con un vector normal :${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}{\Delta S}}={dF_{i} \over dS}.}$

Esta ecuación significa que el vector de tensión depende de su ubicación en el cuerpo y de la orientación del plano sobre el que actúa.

Esto implica que la acción de equilibrio de las fuerzas de contacto internas genera una densidad de fuerza de contacto o campo de tracción de Cauchy ^[5] que representa una distribución de las fuerzas de contacto internas en todo el volumen del cuerpo en una configuración particular del cuerpo en un momento dado . No es un campo vectorial porque depende no solo de la posición de un punto material particular, sino también de la orientación local del elemento de superficie según lo definido por su vector normal . ^[9]${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$

Dependiendo de la orientación del plano considerado, el vector de tensión puede no ser necesariamente perpendicular a ese plano, es decir, paralelo a , y puede descomponerse en dos componentes (Figura 2.1c):${\displaystyle \mathbf {n} }$

• una normal al plano, llamada tensión normal

${\displaystyle \mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS}},}$

¿Dónde está el componente normal de la fuerza al área diferencial?${\displaystyle dF_{\mathrm {n} }}$${\displaystyle d\mathbf {F} }$${\displaystyle dS}$

• y la otra paralela a este plano, llamada esfuerzo cortante

${\displaystyle \mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {s} }}{dS}},}$

donde es el componente tangencial de la fuerza al área superficial diferencial . La tensión cortante se puede descomponer además en dos vectores mutuamente perpendiculares.${\displaystyle dF_{\mathrm {s} }}$${\displaystyle d\mathbf {F} }$${\displaystyle dS}$

Según el postulado de Cauchy , el vector de tensión permanece invariable para todas las superficies que pasan por el punto y que tienen el mismo vector normal en , ^{[7] [10] es decir, que tienen una} tangente común en . Esto significa que el vector de tensión es una función del vector normal únicamente, y no está influenciado por la curvatura de las superficies internas.${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {n} }$

Una consecuencia del postulado de Cauchy es el Lema Fundamental de Cauchy , ^{[1] [7] [11]} también llamado teorema recíproco de Cauchy , ^{[12] : p.103–130} que establece que los vectores de tensión que actúan sobre lados opuestos de la misma superficie son iguales en magnitud y opuestos en dirección. El lema fundamental de Cauchy es equivalente a la tercera ley de Newton del movimiento de acción y reacción, y se expresa como

${\displaystyle -\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(-\mathbf {n} )}.}$

El estado de tensión en un punto del cuerpo se define entonces por todos los vectores de tensión T ^{( n )} asociados a todos los planos (infinitos en número) que pasan por ese punto. ^[13] Sin embargo, según el teorema fundamental de Cauchy , ^[11] también llamado teorema de tensión de Cauchy , ^[1] simplemente conociendo los vectores de tensión en tres planos mutuamente perpendiculares, el vector de tensión en cualquier otro plano que pase por ese punto se puede encontrar a través de ecuaciones de transformación de coordenadas.

El teorema de tensión de Cauchy establece que existe un campo tensorial de segundo orden σ ( x , t), llamado tensor de tensión de Cauchy, independiente de n , tal que T es una función lineal de n :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

Esta ecuación implica que el vector de tensión T ^{( n )} en cualquier punto P de un continuo asociado a un plano con vector unitario normal n puede expresarse como una función de los vectores de tensión en los planos perpendiculares a los ejes de coordenadas, es decir en términos de los componentes σ _ij del tensor de tensión σ .

Para demostrar esta expresión, considere un tetraedro con tres caras orientadas en los planos de coordenadas, y con un área infinitesimal d A orientada en una dirección arbitraria especificada por un vector unitario normal n (Figura 2.2). El tetraedro se forma cortando el elemento infinitesimal a lo largo de un plano arbitrario con una normal unitaria n . El vector de tensión en este plano se denota por T ^{( n )} . Los vectores de tensión que actúan sobre las caras del tetraedro se denotan como T ^{( e ₁ )} , T ^{( e ₂ )} y T ^{( e ₃ )} , y son por definición los componentes σ _ij del tensor de tensión σ . Este tetraedro a veces se llama tetraedro de Cauchy . El equilibrio de fuerzas, es decir , la primera ley de movimiento de Euler (segunda ley de movimiento de Newton), da:

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,dA_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}dA\right)\mathbf {a} ,}$

donde el lado derecho representa el producto de la masa encerrada por el tetraedro y su aceleración: ρ es la densidad, a es la aceleración y h es la altura del tetraedro, considerando el plano n como base. El área de las caras del tetraedro perpendiculares a los ejes se puede hallar proyectando d A en cada cara (usando el producto escalar):

${\displaystyle dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,}$

y luego sustituyendo en la ecuación para cancelar d A :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}\right)\mathbf {a} .}$

Para considerar el caso límite a medida que el tetraedro se encoge hasta un punto, h debe tender a 0 (intuitivamente, el plano n se traslada a lo largo de n hacia O ). Como resultado, el lado derecho de la ecuación se acerca a 0, por lo que

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}.}$

Suponiendo un elemento material (ver figura en la parte superior de la página) con planos perpendiculares a los ejes de coordenadas de un sistema de coordenadas cartesianas, los vectores de tensión asociados a cada uno de los planos del elemento, es decir T ^{( e ₁ )} , T ^{( e ₂ )} y T ^{( e ₃ )} se pueden descomponer en un componente normal y dos componentes de corte, es decir , componentes en la dirección de los tres ejes de coordenadas. Para el caso particular de una superficie con vector unitario normal orientado en la dirección del eje x ₁ , denotemos la tensión normal por σ ₁₁ , y las dos tensiones de corte como σ ₁₂ y σ ₁₃ :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3},}$

En notación de índice esto es

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j}=\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}.}$

Los nueve componentes σ _ij de los vectores de tensión son los componentes de un tensor cartesiano de segundo orden llamado tensor de tensión de Cauchy , que se puede utilizar para definir completamente el estado de tensión en un punto y está dado por

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right],}$

donde σ ₁₁ , σ ₂₂ , y σ ₃₃ son tensiones normales, y σ ₁₂ , σ ₁₃ , σ ₂₁ , σ ₂₃ , σ ₃₁ , y σ ₃₂ son tensiones cortantes. El primer índice i indica que la tensión actúa sobre un plano normal al eje X _i , y el segundo índice j denota la dirección en la que actúa la tensión (por ejemplo, σ ₁₂ implica que la tensión actúa sobre el plano que es normal al 1 _er eje es decir; X ₁ y actúa a lo largo del 2 _º eje es decir; X ₂ ). Un componente de tensión es positivo si actúa en la dirección positiva de los ejes de coordenadas, y si el plano donde actúa tiene un vector normal hacia afuera que apunta en la dirección de coordenadas positiva.

Así, utilizando los componentes del tensor de tensión

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\&=\sum _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}\\&=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}\right)n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

Alternativamente, en forma matricial tenemos

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf {n} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].}$

La representación en notación Voigt del tensor de tensión de Cauchy aprovecha la simetría del tensor de tensión para expresar la tensión como un vector de seis dimensiones de la forma:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{13}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}.}$

La notación Voigt se utiliza ampliamente para representar relaciones de tensión-deformación en mecánica de sólidos y para la eficiencia computacional en software de mecánica estructural numérica.

Se puede demostrar que el tensor de tensión es un tensor contravariante de segundo orden, lo que es una declaración de cómo se transforma bajo un cambio del sistema de coordenadas. De un sistema x _i a un sistema x _i ' , las componentes σ _ij en el sistema inicial se transforman en las componentes σ _ij ' en el nuevo sistema de acuerdo con la regla de transformación de tensores (Figura 2.4):

${\displaystyle \sigma '_{ij}=a_{im}a_{jn}\sigma _{mn}\quad {\text{or}}\quad {\boldsymbol {\sigma }}'=\mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{\textsf {T}},}$

donde A es una matriz de rotación con componentes a _ij . En forma matricial esto es

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma '_{11}&\sigma '_{12}&\sigma '_{13}\\\sigma '_{21}&\sigma '_{22}&\sigma '_{23}\\\sigma '_{31}&\sigma '_{32}&\sigma '_{33}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{matrix}}\right].}$

Desarrollando la operación matricial y simplificando los términos utilizando la simetría del tensor de tensión , se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}'={}&a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23},\\\sigma _{22}'={}&a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23},\\\sigma _{33}'={}&a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23},\\\sigma _{12}'={}&a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13}a_{23}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23}+a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13},\\\sigma _{23}'={}&a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33}+a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13},\\\sigma _{13}'={}&a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}.\end{aligned}}}$

El círculo de Mohr para tensiones es una representación gráfica de esta transformación de tensiones.

La magnitud del componente de tensión normal σ _n de cualquier vector de tensión T ^{( n )} que actúa sobre un plano arbitrario con vector unitario normal n en un punto dado, en términos de los componentes σ _ij del tensor de tensión σ , es el producto escalar del vector de tensión y el vector unitario normal:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {n} }&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\cdot \mathbf {n} \\&=T_{i}^{(\mathbf {n} )}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}.\end{aligned}}}$

La magnitud del componente de esfuerzo cortante τ _n , que actúa ortogonalmente al vector n , se puede encontrar utilizando el teorema de Pitágoras :

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }&={\sqrt {\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}}\\&={\sqrt {T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}},\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\left(\sigma _{ij}n_{j}\right)\left(\sigma _{ik}n_{k}\right)=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}.}$

De acuerdo con el principio de conservación del momento lineal , si el cuerpo continuo está en equilibrio estático se puede demostrar que los componentes del tensor de tensiones de Cauchy en cada punto material del cuerpo satisfacen las ecuaciones de equilibrio:

${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0}$,

dónde${\displaystyle \sigma _{ji,j}=\sum _{j}\partial _{j}\sigma _{ji}}$

Por ejemplo, para un fluido hidrostático en condiciones de equilibrio, el tensor de tensión toma la forma:

${\displaystyle {\sigma _{ij}}=-p{\delta _{ij}},}$

donde es la presión hidrostática, y es el delta de Kronecker .${\displaystyle p}$${\displaystyle {\delta _{ij}}\ }$

Derivación de ecuaciones de equilibrio

Consideremos un cuerpo continuo (véase la Figura 4) que ocupa un volumen , que tiene un área de superficie , con fuerzas de tracción o de superficie definidas por unidad de área que actúan sobre cada punto de la superficie del cuerpo, y fuerzas corporales por unidad de volumen sobre cada punto dentro del volumen . Por lo tanto, si el cuerpo está en equilibrio , la fuerza resultante que actúa sobre el volumen es cero, por lo tanto:${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T_{i}^{(n)}}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \int _{S}T_{i}^{(n)}dS+\int _{V}F_{i}dV=0}$ Por definición el vector de tensión es , entonces${\displaystyle T_{i}^{(n)}=\sigma _{ji}n_{j}}$ ${\displaystyle \int _{S}\sigma _{ji}n_{j}\,dS+\int _{V}F_{i}\,dV=0}$ Usando el teorema de divergencia de Gauss para convertir una integral de superficie en una integral de volumen se obtiene ${\displaystyle \int _{V}\sigma _{ji,j}\,dV+\int _{V}F_{i}\,dV=0}$ ${\displaystyle \int _{V}(\sigma _{ji,j}+F_{i}\,)dV=0}$ Para un volumen arbitrario la integral se desvanece y tenemos las ecuaciones de equilibrio ${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0}$

Según el principio de conservación del momento angular , el equilibrio requiere que la suma de momentos con respecto a un punto arbitrario sea cero, lo que lleva a la conclusión de que el tensor de tensiones es simétrico , teniendo así sólo seis componentes de tensión independientes, en lugar de los nueve originales:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}$

Derivación de la simetría del tensor de tensión

Sumando los momentos respecto al punto O (Figura 4), el momento resultante es cero, ya que el cuerpo está en equilibrio. Por lo tanto, ${\displaystyle {\begin{aligned}M_{O}&=\int _{S}(\mathbf {r} \times \mathbf {T} )dS+\int _{V}(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )dV=0\\0&=\int _{S}\varepsilon _{ijk}x_{j}T_{k}^{(n)}dS+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}dV\\\end{aligned}}}$ donde es el vector de posición y se expresa como${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} =x_{j}\mathbf {e} _{j}}$ Sabiendo eso y utilizando el teorema de divergencia de Gauss para pasar de una integral de superficie a una integral de volumen, tenemos${\displaystyle T_{k}^{(n)}=\sigma _{mk}n_{m}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{S}\varepsilon _{ijk}x_{j}\sigma _{mk}n_{m}\,dS+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}\,dV\\&=\int _{V}(\varepsilon _{ijk}x_{j}\sigma _{mk})_{,m}dV+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}\,dV\\&=\int _{V}(\varepsilon _{ijk}x_{j,m}\sigma _{mk}+\varepsilon _{ijk}x_{j}\sigma _{mk,m})dV+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}\,dV\\&=\int _{V}(\varepsilon _{ijk}x_{j,m}\sigma _{mk})dV+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}(\sigma _{mk,m}+F_{k})dV\\\end{aligned}}}$ La segunda integral es cero, ya que contiene las ecuaciones de equilibrio. Esto deja la primera integral, donde , por lo tanto${\displaystyle x_{j,m}=\delta _{jm}}$ ${\displaystyle \int _{V}(\varepsilon _{ijk}\sigma _{jk})dV=0}$ Para un volumen arbitrario V, entonces tenemos ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\sigma _{jk}=0}$ que se cumple en cada punto del cuerpo. Desarrollando esta ecuación tenemos ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}}$, , y${\displaystyle \sigma _{23}=\sigma _{32}}$${\displaystyle \sigma _{13}=\sigma _{31}}$ o en general ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}$ Esto demuestra que el tensor de tensión es simétrico.

Sin embargo, en presencia de pares de tensiones, es decir, momentos por unidad de volumen, el tensor de tensiones no es simétrico. Esto también sucede cuando el número de Knudsen es cercano a uno , o el continuo es un fluido no newtoniano, lo que puede dar lugar a fluidos rotacionalmente no invariantes, como los polímeros .${\displaystyle K_{n}\rightarrow 1}$

En cada punto de un cuerpo sometido a tensión existen al menos tres planos, llamados planos principales , con vectores normales , llamados direcciones principales , donde el vector de tensión correspondiente es perpendicular al plano, es decir, paralelo o en la misma dirección que el vector normal , y donde no existen tensiones cortantes normales . Las tres tensiones normales a estos planos principales se denominan tensiones principales .${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$

Los componentes del tensor de tensión dependen de la orientación del sistema de coordenadas en el punto considerado. Sin embargo, el tensor de tensión en sí mismo es una cantidad física y, como tal, es independiente del sistema de coordenadas elegido para representarlo. Hay ciertos invariantes asociados con cada tensor que también son independientes del sistema de coordenadas. Por ejemplo, un vector es un tensor simple de rango uno. En tres dimensiones, tiene tres componentes. El valor de estos componentes dependerá del sistema de coordenadas elegido para representar el vector, pero la magnitud del vector es una cantidad física (un escalar) y es independiente del sistema de coordenadas cartesianas elegido para representar el vector (siempre que sea normal ). De manera similar, cada tensor de segundo rango (como los tensores de tensión y deformación) tiene tres cantidades invariantes independientes asociadas con él. Un conjunto de tales invariantes son las tensiones principales del tensor de tensión, que son simplemente los valores propios del tensor de tensión. Sus vectores de dirección son las direcciones principales o vectores propios .${\displaystyle \sigma _{ij}}$

Un vector de tensión paralelo al vector unitario normal viene dado por:${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\lambda \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{\mathrm {n} }\mathbf {n} }$

donde es una constante de proporcionalidad, y en este caso particular corresponde a las magnitudes de los vectores de tensión normal o tensiones principales.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$

Sabiendo que y , tenemos${\displaystyle T_{i}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{j}}$${\displaystyle n_{i}=\delta _{ij}n_{j}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{i}^{(n)}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}-\lambda n_{i}&=0\\\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}&=0\\\end{aligned}}}$

Se trata de un sistema homogéneo , es decir igual a cero, de tres ecuaciones lineales donde son las incógnitas. Para obtener una solución no trivial (no nula) para , la matriz determinante de los coeficientes debe ser igual a cero, es decir, el sistema es singular. Por tanto,${\displaystyle n_{j}}$${\displaystyle n_{j}}$

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\lambda &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\lambda \\\end{vmatrix}}=0}$

La expansión del determinante conduce a la ecuación característica

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=-\lambda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda +I_{3}=0}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\&=\sigma _{kk}={\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\\[4pt]I_{2}&={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{ii}\sigma _{jj}-\sigma _{ij}\sigma _{ji}\right)={\frac {1}{2}}\left[\left({\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\right)^{2}-{\text{tr}}\left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\right]\\[4pt]I_{3}&=\det(\sigma _{ij})=\det({\boldsymbol {\sigma }})\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{31}^{2}\sigma _{22}\\\end{aligned}}}$

La ecuación característica tiene tres raíces reales , es decir, no imaginarias debido a la simetría del tensor de tensiones. Las , y , son las tensiones principales, funciones de los valores propios . Los valores propios son las raíces del polinomio característico . Las tensiones principales son únicas para un tensor de tensiones dado. Por lo tanto, a partir de la ecuación característica, los coeficientes , y , llamados primero, segundo y tercer invariantes de tensiones , respectivamente, siempre tienen el mismo valor independientemente de la orientación del sistema de coordenadas.${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \sigma _{1}=\max \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$${\displaystyle \sigma _{3}=\min \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$${\displaystyle \sigma _{2}=I_{1}-\sigma _{1}-\sigma _{3}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle I_{3}}$

Para cada valor propio, existe una solución no trivial para en la ecuación . Estas soluciones son las direcciones principales o vectores propios que definen el plano donde actúan las tensiones principales. Las tensiones principales y las direcciones principales caracterizan la tensión en un punto y son independientes de la orientación.${\displaystyle n_{j}}$${\displaystyle \left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}=0}$

Un sistema de coordenadas con ejes orientados a las direcciones principales implica que las tensiones normales son las tensiones principales y el tensor de tensiones está representado por una matriz diagonal:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$

Las tensiones principales se pueden combinar para formar los invariantes de tensión, , , y . El primer y tercer invariante son la traza y el determinante, respectivamente, del tensor de tensión. Por lo tanto,${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle I_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\I_{2}&=\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}\\I_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\end{aligned}}}$

Debido a su simplicidad, el sistema de coordenadas principal suele ser útil cuando se considera el estado del medio elástico en un punto particular. Las tensiones principales se expresan a menudo en la siguiente ecuación para evaluar las tensiones en las direcciones x e y o las tensiones axiales y de flexión en una pieza. ^{[14] : p.58–59} Las tensiones normales principales se pueden utilizar entonces para calcular la tensión de von Mises y, en última instancia, el factor de seguridad y el margen de seguridad.

${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}$

Si se utiliza solo la parte de la ecuación que se encuentra debajo de la raíz cuadrada , se obtiene el esfuerzo cortante máximo y mínimo para los valores positivos y negativos. Esto se muestra como:

${\displaystyle \tau _{\max },\tau _{\min }=\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}$

El esfuerzo cortante máximo o esfuerzo cortante principal máximo es igual a la mitad de la diferencia entre el esfuerzo principal mayor y menor, y actúa sobre el plano que biseca el ángulo entre las direcciones del esfuerzo principal mayor y menor, es decir, el plano del esfuerzo cortante máximo está orientado a partir de los planos de esfuerzo principal. El esfuerzo cortante máximo se expresa como${\displaystyle 45^{\circ }}$

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\max }-\sigma _{\min }\right|}$

Suponiendo entonces${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|}$

Cuando el tensor de tensión no es cero, el componente de tensión normal que actúa sobre el plano para la tensión cortante máxima no es cero y es igual a

${\displaystyle \sigma _{\text{n}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}+\sigma _{3}\right)}$

Derivación de las tensiones cortantes máximas y mínimas [8] : p.45–78  [11] : p.1–46  [13] [15] : p.111–157  [16] : p.9–41  [17] : p.33–66  [18] : p.43–61

La tensión normal se puede escribir en términos de tensiones principales como${\displaystyle (\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3})}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {n} }&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\\\end{aligned}}}$ Sabiendo que , la tensión cortante en términos de componentes de tensiones principales se expresa como${\displaystyle \left(T^{(n)}\right)^{2}=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{n}}^{2}&=\left(T^{(n)}\right)^{2}-\sigma _{\text{n}}^{2}\\&=\sigma _{1}^{2}n_{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}n_{3}^{2}-\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)^{2}\\&=\left(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2}\right)n_{1}^{2}+\left(\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}^{2}\right)n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-\left[\left(\sigma _{1}-\sigma _{3}\right)n_{1}^{2}+\left(\sigma _{2}-\sigma _{3}\right)n_{2}^{2}+\sigma _{3}\right]^{2}\\&=(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}n_{1}^{2}n_{2}^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}n_{2}^{2}n_{3}^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}n_{1}^{2}n_{3}^{2}\\\end{aligned}}}$ El esfuerzo cortante máximo en un punto de un cuerpo continuo se determina maximizando el sujeto a la condición de que${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }^{2}}$ ${\displaystyle n_{i}n_{i}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1}$ Este es un problema de maximización con restricciones, que se puede resolver utilizando la técnica del multiplicador de Lagrange para convertir el problema en un problema de optimización sin restricciones. Por lo tanto, los valores estacionarios (valores máximo y mínimo) de ocurren donde el gradiente de es paralelo al gradiente de .${\displaystyle \tau _{\text{n}}^{2}}$${\displaystyle \tau _{\text{n}}^{2}}$${\displaystyle F}$ La función lagrangiana para este problema se puede escribir como ${\displaystyle {\begin{aligned}F\left(n_{1},n_{2},n_{3},\lambda \right)&=\tau ^{2}+\lambda \left(g\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)-1\right)\\&=\sigma _{1}^{2}n_{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}n_{3}^{2}-\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)^{2}+\lambda \left(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}-1\right)\\\end{aligned}}}$ donde es el multiplicador lagrangiano (que es diferente del que se usa para denotar valores propios).${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$ Los valores extremos de estas funciones son ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=0\qquad {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=0\qquad {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=0}$ de allí ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=n_{1}\sigma _{1}^{2}-2n_{1}\sigma _{1}\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)+\lambda n_{1}=0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=n_{2}\sigma _{2}^{2}-2n_{2}\sigma _{2}\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)+\lambda n_{2}=0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=n_{3}\sigma _{3}^{2}-2n_{3}\sigma _{3}\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)+\lambda n_{3}=0}$ Estas tres ecuaciones junto con la condición se pueden resolver para y${\displaystyle n_{i}n_{i}=1}$${\displaystyle \lambda ,n_{1},n_{2},}$${\displaystyle n_{3}}$ Al multiplicar las tres primeras ecuaciones por y , respectivamente, y sabiendo que obtenemos${\displaystyle n_{1},\,n_{2},}$${\displaystyle n_{3}}$${\displaystyle \sigma _{\text{n}}=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}}$ ${\displaystyle n_{1}^{2}\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{1}n_{1}^{2}\sigma _{\text{n}}+n_{1}^{2}\lambda =0}$ ${\displaystyle n_{2}^{2}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{2}n_{2}^{2}\sigma _{\text{n}}+n_{2}^{2}\lambda =0}$ ${\displaystyle n_{3}^{2}\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{1}n_{3}^{2}\sigma _{\text{n}}+n_{3}^{2}\lambda =0}$ Sumando estas tres ecuaciones obtenemos ${\displaystyle {\begin{aligned}\left[n_{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+n_{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}^{2}\right]-2\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)\sigma _{\mathrm {n} }+\lambda \left(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}\right)&=0\\\left[\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)^{2}\right]-2\sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\lambda &=0\\\left[\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\sigma _{\mathrm {n} }^{2}\right]-2\sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\lambda &=0\\\lambda &=\sigma _{\mathrm {n} }^{2}-\tau _{\mathrm {n} }^{2}\end{aligned}}}$ Este resultado se puede sustituir en cada una de las tres primeras ecuaciones para obtener ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=n_{1}\sigma _{1}^{2}-2n_{1}\sigma _{1}\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)+\left(\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{1}&=0\\n_{1}\sigma _{1}^{2}-2n_{1}\sigma _{1}\sigma _{\text{n}}+\left(\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{1}&=0\\\left(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{1}&=0\\\end{aligned}}}$ Haciendo lo mismo para las otras dos ecuaciones que tenemos ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=\left(\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{2}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{2}=0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=\left(\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{3}=0}$ Una primera aproximación para resolver estas tres últimas ecuaciones es considerar la solución trivial . Sin embargo, esta opción no cumple la restricción .${\displaystyle n_{i}=0}$${\displaystyle n_{i}n_{i}=1}$ Considerando la solución donde y , se determina a partir de la condición de que , entonces de la ecuación original para se ve que . Los otros dos valores posibles para se pueden obtener de manera similar suponiendo${\displaystyle n_{1}=n_{2}=0}$${\displaystyle n_{3}\neq 0}$${\displaystyle n_{i}n_{i}=1}$${\displaystyle n_{3}=\pm 1}$${\displaystyle \tau _{\text{n}}^{2}}$${\displaystyle \tau _{\text{n}}=0}$${\displaystyle \tau _{\text{n}}}$ ${\displaystyle n_{1}=n_{3}=0}$y${\displaystyle n_{2}\neq 0}$ ${\displaystyle n_{2}=n_{3}=0}$y${\displaystyle n_{1}\neq 0}$ Por lo tanto, un conjunto de soluciones para estas cuatro ecuaciones es: ${\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}&=0,&n_{2}&=0,&n_{3}&=\pm 1,&\tau _{\text{n}}&=0\\n_{1}&=0,&n_{2}&=\pm 1,&n_{3}&=0,&\tau _{\text{n}}&=0\\n_{1}&=\pm 1,&n_{2}&=0,&n_{3}&=0,&\tau _{\text{n}}&=0\end{aligned}}}$ Estos corresponden a valores mínimos y verifican que no existen tensiones cortantes en los planos normales a las direcciones principales de tensión, como se mostró anteriormente.${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$ Un segundo conjunto de soluciones se obtiene suponiendo que y . Por lo tanto, tenemos${\displaystyle n_{1}=0,\,n_{2}\neq 0}$${\displaystyle n_{3}\neq 0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{2}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}=0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}=0}$ Para encontrar los valores de y primero sumamos estas dos ecuaciones${\displaystyle n_{2}}$${\displaystyle n_{3}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{2}\sigma _{\text{n}}+2\sigma _{3}\sigma _{\text{n}}&=0\\\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{\text{n}}\left(\sigma _{2}-\sigma _{3}\right)&=0\\\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\sigma _{\text{n}}\end{aligned}}}$ Sabiendo que para${\displaystyle n_{1}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{n}}=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}=\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}}$ y ${\displaystyle n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1}$ tenemos ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\sigma _{\text{n}}\\\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\left(\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)\\\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\left(\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}\left(1-n_{2}^{2}\right)\right)=0\end{aligned}}}$ y resolviendo tenemos${\displaystyle n_{2}}$ ${\displaystyle n_{2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ Luego, resolviendo tenemos${\displaystyle n_{3}}$ ${\displaystyle n_{3}={\sqrt {1-n_{2}^{2}}}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ y ${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{n}}^{2}&=(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}n_{2}^{2}n_{3}^{2}\\\tau _{\text{n}}&={\frac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}\end{aligned}}}$ Los otros dos valores posibles para se pueden obtener de manera similar suponiendo${\displaystyle \tau _{\text{n}}}$ ${\displaystyle n_{2}=0,\,n_{1}\neq 0}$y${\displaystyle n_{3}\neq 0}$ ${\displaystyle n_{3}=0,\,n_{1}\neq 0}$y${\displaystyle n_{2}\neq 0}$ Por lo tanto, el segundo conjunto de soluciones para , que representa un máximo para es${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=0}$${\displaystyle \tau _{\text{n}}}$ ${\displaystyle n_{1}=0,\,\,n_{2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{3}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,\tau _{\text{n}}=\pm {\frac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}}$ ${\displaystyle n_{1}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{2}=0,\,\,n_{3}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,\tau _{\text{n}}=\pm {\frac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}}$ ${\displaystyle n_{1}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{3}=0,\,\,\tau _{\text{n}}=\pm {\frac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}}$ Por lo tanto, suponiendo , el esfuerzo cortante máximo se expresa por${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$ ${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\max }-\sigma _{\min }\right|}$ y puede afirmarse que es igual a la mitad de la diferencia entre las tensiones principales mayor y menor, actuando sobre el plano que biseca el ángulo entre las direcciones de las tensiones principales mayor y menor.