Leyes del movimiento de Newton

Parte de una serie sobre
Mecánica clásica
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$ Segunda ley del movimiento
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Temas centrales Mojadura Desplazamiento Ecuaciones de movimiento Leyes del movimiento de Euler Fuerza ficticia Fricción Oscilador armónico Inertial / Non-inertial reference frame Mechanics of planar particle motion Motion (linear) Newton's law of universal gravitation Newton's laws of motion Relative velocity Rigid body dynamics Euler's equations Simple harmonic motion Vibration
Rotation Circular motion Rotating reference frame Centripetal force Centrifugal force reactive Coriolis force Pendulum Tangential speed Rotational frequency Angular acceleration / displacement / frequency / velocity
Scientists Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Maupertuis Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Poisson Hamilton Jacobi Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
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Las leyes de Newton del movimiento son tres leyes físicas que describen la relación entre el movimiento de un objeto y las fuerzas que actúan sobre él. Estas leyes, que constituyen la base de la mecánica newtoniana , pueden resumirse de la siguiente manera:

1. Un cuerpo permanece en reposo o en movimiento a velocidad constante en línea recta, excepto en la medida en que actúa sobre él una fuerza.
2. En cualquier instante de tiempo, la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a la aceleración del cuerpo multiplicada por su masa o, equivalentemente, la tasa a la que el momento del cuerpo cambia con el tiempo.
3. Si dos cuerpos ejercen fuerzas entre sí, estas fuerzas tienen la misma magnitud pero direcciones opuestas. ^{[1] [2]}

Las tres leyes del movimiento fueron enunciadas por primera vez por Isaac Newton en su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ( Principios matemáticos de la filosofía natural ), publicada originalmente en 1687. ^[3] Newton las utilizó para investigar y explicar el movimiento de muchos objetos y sistemas físicos. En el tiempo transcurrido desde Newton, nuevos conocimientos, especialmente en torno al concepto de energía, construyeron el campo de la mecánica clásica sobre sus cimientos. También se han descubierto limitaciones a las leyes de Newton; son necesarias nuevas teorías cuando los objetos se mueven a velocidades muy altas ( relatividad especial ), son muy masivos ( relatividad general ) o son muy pequeños ( mecánica cuántica ).

Las leyes de Newton suelen enunciarse en términos de masas puntuales o de partículas , es decir, cuerpos cuyo volumen es despreciable. Esta es una aproximación razonable para cuerpos reales cuando se puede despreciar el movimiento de las partes internas y cuando la separación entre cuerpos es mucho mayor que el tamaño de cada uno. Por ejemplo, la Tierra y el Sol pueden considerarse como puntuales cuando se considera la órbita del primero alrededor del segundo, pero la Tierra no es puntual cuando se consideran las actividades en su superficie. ^{[nota 1]}

La descripción matemática del movimiento, o cinemática , se basa en la idea de especificar posiciones utilizando coordenadas numéricas. El movimiento se representa mediante estos números que cambian con el tiempo: la trayectoria de un cuerpo se representa mediante una función que asigna a cada valor de una variable de tiempo los valores de todas las coordenadas de posición. El caso más simple es unidimensional, es decir, cuando un cuerpo está restringido a moverse solo a lo largo de una línea recta. Su posición puede entonces darse por un solo número, que indica dónde está en relación con algún punto de referencia elegido. Por ejemplo, un cuerpo puede ser libre de deslizarse a lo largo de una pista que va de izquierda a derecha, y por lo tanto su ubicación puede especificarse por su distancia desde un punto cero conveniente, u origen , con números negativos que indican posiciones a la izquierda y números positivos que indican posiciones a la derecha. Si la ubicación del cuerpo en función del tiempo es , entonces su velocidad promedio durante el intervalo de tiempo de a es ^[6] Aquí, la letra griega ( delta ) se utiliza, por tradición, para significar "cambio en". Una velocidad media positiva significa que la coordenada de posición aumenta en el intervalo en cuestión, una velocidad media negativa indica una disminución neta en ese intervalo y una velocidad media de cero significa que el cuerpo termina el intervalo de tiempo en el mismo lugar en el que comenzó. El cálculo proporciona los medios para definir una velocidad instantánea , una medida de la velocidad y la dirección del movimiento de un cuerpo en un solo momento de tiempo, en lugar de en un intervalo. Una notación para la velocidad instantánea es reemplazar con el símbolo , por ejemplo, Esto denota que la velocidad instantánea es la derivada de la posición con respecto al tiempo. Se puede pensar aproximadamente como la relación entre un cambio infinitesimalmente pequeño en la posición y el intervalo de tiempo infinitesimalmente pequeño en el que ocurre. ^[7] Más cuidadosamente, la velocidad y todas las demás derivadas se pueden definir utilizando el concepto de límite . ^[6] Una función tiene un límite de en un valor de entrada dado si la diferencia entre y se puede hacer arbitrariamente pequeña eligiendo una entrada lo suficientemente cercana a . Se escribe: La velocidad instantánea puede definirse como el límite de la velocidad media a medida que el intervalo de tiempo se reduce a cero: La aceleración es a la velocidad lo que la velocidad es a la posición: es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. ^{[nota 2]} La aceleración también puede definirse como un límite: En consecuencia, la aceleración es la${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle t_{1}}$ $${\displaystyle {\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}}.}$$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle s}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle d}$$${\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}.}$$${\displaystyle ds}$${\displaystyle dt}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t_{0}}$$${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(t)=L.}$$$${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}.}$$ $${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}}.}$$segunda derivada de la posición, ^[7] a menudo escrita .${\displaystyle {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}}$

La posición, cuando se considera como un desplazamiento desde un punto de origen, es un vector : una cantidad con magnitud y dirección. ^{[9] : 1} La velocidad y la aceleración también son cantidades vectoriales. Las herramientas matemáticas del álgebra vectorial proporcionan los medios para describir el movimiento en dos, tres o más dimensiones. Los vectores a menudo se denotan con una flecha, como en , o en negrita, como . A menudo, los vectores se representan visualmente como flechas, siendo la dirección del vector la dirección de la flecha y la magnitud del vector indicada por la longitud de la flecha. Numéricamente, un vector puede representarse como una lista; por ejemplo, el vector de velocidad de un cuerpo podría ser , lo que indica que se mueve a 3 metros por segundo a lo largo del eje horizontal y a 4 metros por segundo a lo largo del eje vertical. El mismo movimiento descrito en un sistema de coordenadas diferente se representará con números diferentes, y el álgebra vectorial se puede utilizar para traducir entre estas alternativas. ^{[9] : 4}${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle {\bf {s}}}$${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathrm {3~m/s} ,\mathrm {4~m/s} )}$

El estudio de la mecánica se complica por el hecho de que palabras de uso cotidiano como energía se utilizan con un significado técnico. ^[10] Además, palabras que son sinónimas en el lenguaje cotidiano no lo son en física: fuerza no es lo mismo que potencia o presión , por ejemplo, y masa tiene un significado diferente a peso . ^{[11] [12] : 150} El concepto físico de fuerza hace cuantitativa la idea cotidiana de un empujón o un tirón. Las fuerzas en la mecánica newtoniana a menudo se deben a cuerdas y cuerdas, fricción, esfuerzo muscular, gravedad, etc. Al igual que el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, la fuerza es una cantidad vectorial.

Traducido del latín, la primera ley de Newton dice:

Todo objeto persevera en su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta, excepto en la medida en que se ve obligado a cambiar ese estado por fuerzas impresas sobre él. ^{[nota 3]}

La primera ley de Newton expresa el principio de inercia : el comportamiento natural de un cuerpo es moverse en línea recta a velocidad constante. El movimiento de un cuerpo preserva el statu quo, pero las fuerzas externas pueden perturbarlo.

La comprensión moderna de la primera ley de Newton es que ningún observador inercial tiene privilegios sobre otro. El concepto de observador inercial convierte en cuantitativa la idea cotidiana de no sentir efectos del movimiento. Por ejemplo, una persona parada en el suelo mirando pasar un tren es un observador inercial. Si el observador en el suelo ve el tren moviéndose suavemente en línea recta a una velocidad constante, entonces un pasajero sentado en el tren también será un observador inercial: el pasajero del tren no siente movimiento. El principio expresado por la primera ley de Newton es que no hay forma de decir qué observador inercial se está moviendo "realmente" y cuál está "realmente" parado. El estado de reposo de un observador es el estado de movimiento uniforme en línea recta de otro observador, y ningún experimento puede determinar si uno u otro punto de vista es correcto o incorrecto. No hay un estándar absoluto de reposo. ^{[17] [14] : 62–63  [18] : 7–9} El propio Newton creía que existían el espacio y el tiempo absolutos , pero que las únicas medidas de espacio o tiempo accesibles para la experimentación son relativas. ^[19]

El cambio de movimiento de un objeto es proporcional a la fuerza impresa y se realiza en la dirección de la línea recta en la que se imprime la fuerza. ^{[14] : 114}

Por "movimiento", Newton se refería a la cantidad ahora llamada momento , que depende de la cantidad de materia contenida en un cuerpo, la velocidad a la que se mueve ese cuerpo y la dirección en la que se mueve. ^[20] En notación moderna, el momento de un cuerpo es el producto de su masa por su velocidad: donde las tres cantidades pueden cambiar con el tiempo. La segunda ley de Newton, en forma moderna, establece que la derivada temporal del momento es la fuerza: Si la masa no cambia con el tiempo, entonces la derivada actúa solo sobre la velocidad, y por lo tanto la fuerza es igual al producto de la masa por la derivada temporal de la velocidad, que es la aceleración: ^[21] Como la aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, esto también se puede escribir$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,,}$$$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.}$$${\displaystyle m}$$${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m\mathbf {a} \,.}$$$${\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {d^{2}\mathbf {s} }{dt^{2}}}.}$$

Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo se suman como vectores y, por lo tanto, la fuerza total sobre un cuerpo depende tanto de las magnitudes como de las direcciones de las fuerzas individuales. Cuando la fuerza neta sobre un cuerpo es igual a cero, entonces, según la segunda ley de Newton, el cuerpo no acelera y se dice que está en equilibrio mecánico . Un estado de equilibrio mecánico es estable si, cuando la posición del cuerpo cambia ligeramente, el cuerpo permanece cerca de ese equilibrio. De lo contrario, el equilibrio es inestable.

Una representación visual común de fuerzas que actúan en conjunto es el diagrama de cuerpo libre , que representa esquemáticamente un cuerpo de interés y las fuerzas que se le aplican por influencias externas. ^[22] Por ejemplo, un diagrama de cuerpo libre de un bloque colocado sobre un plano inclinado puede ilustrar la combinación de fuerza gravitacional, fuerza "normal" , fricción y tensión de la cuerda. ^{[nota 4]}

La segunda ley de Newton se presenta a veces como una definición de fuerza, es decir, una fuerza es aquello que existe cuando un observador inercial ve un cuerpo acelerando. Para que esto sea más que una tautología —aceleración implica fuerza, fuerza implica aceleración— también debe hacerse alguna otra afirmación sobre la fuerza. Por ejemplo, se podría especificar una ecuación que detalle la fuerza, como la ley de gravitación universal de Newton . Al insertar una expresión de este tipo en la segunda ley de Newton, se puede escribir una ecuación con poder predictivo. ^{[nota 5]} La segunda ley de Newton también se ha considerado como el establecimiento de un programa de investigación para la física, estableciendo que los objetivos importantes de la materia son identificar las fuerzas presentes en la naturaleza y catalogar los componentes de la materia. ^{[14] : 134  [25] : 12-2}${\displaystyle \mathbf {F} }$

A toda acción se opone siempre una reacción igual, o bien, las acciones mutuas de dos cuerpos entre sí son siempre iguales y dirigidas a partes contrarias. ^{[14] : 116}

Paráfrasis demasiado breves de la tercera ley, como "acción es igual a reacción ", pueden haber causado confusión entre generaciones de estudiantes: la "acción" y la "reacción" se aplican a cuerpos diferentes. Por ejemplo, considere un libro en reposo sobre una mesa. La gravedad de la Tierra atrae hacia abajo el libro. La "reacción" a esa "acción" no es la fuerza de apoyo de la mesa que sostiene el libro, sino la atracción gravitatoria del libro que actúa sobre la Tierra. ^{[nota 6]}

La tercera ley de Newton se relaciona con un principio más fundamental, la conservación del momento . Este último sigue siendo cierto incluso en casos en los que la afirmación de Newton no lo es, por ejemplo, cuando los campos de fuerza , así como los cuerpos materiales, tienen momento, y cuando el momento se define correctamente, también en la mecánica cuántica . ^{[nota 7]} En la mecánica newtoniana, si dos cuerpos tienen momentos y respectivamente, entonces el momento total del par es , y la tasa de cambio de es Por la segunda ley de Newton, el primer término es la fuerza total sobre el primer cuerpo, y el segundo término es la fuerza total sobre el segundo cuerpo. Si los dos cuerpos están aislados de influencias externas, la única fuerza sobre el primer cuerpo puede ser la del segundo, y viceversa. Por la tercera ley de Newton, estas fuerzas tienen la misma magnitud pero dirección opuesta, por lo que se cancelan cuando se suman, y es constante. Alternativamente, si se sabe que es constante, se deduce que las fuerzas tienen la misma magnitud y dirección opuesta.${\displaystyle \mathbf {p} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {p} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {p} }$$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d\mathbf {p} _{1}}{dt}}+{\frac {d\mathbf {p} _{2}}{dt}}.}$$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

Varias fuentes han propuesto elevar otras ideas utilizadas en la mecánica clásica a la categoría de leyes de Newton. Por ejemplo, en la mecánica newtoniana, la masa total de un cuerpo formado al unir dos cuerpos más pequeños es la suma de sus masas individuales. Frank Wilczek ha sugerido llamar la atención sobre esta suposición designándola como "Ley Cero de Newton". ^[33] Otro candidato para una "ley cero" es el hecho de que en cualquier instante, un cuerpo reacciona a las fuerzas que se le aplican en ese instante. ^[34] Del mismo modo, la idea de que las fuerzas se suman como vectores (o en otras palabras, obedecen al principio de superposición ), y la idea de que las fuerzas cambian la energía de un cuerpo, han sido descritas como una "cuarta ley". ^{[nota 8]}

El estudio del comportamiento de cuerpos masivos utilizando las leyes de Newton se conoce como mecánica newtoniana. Algunos problemas de ejemplo de mecánica newtoniana son particularmente notables por razones conceptuales o históricas.

Si un cuerpo cae desde el reposo cerca de la superficie de la Tierra, entonces, en ausencia de resistencia del aire, se acelerará a una tasa constante. Esto se conoce como caída libre . La velocidad alcanzada durante la caída libre es proporcional al tiempo transcurrido, y la distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido. ^[39] Es importante destacar que la aceleración es la misma para todos los cuerpos, independientemente de su masa. Esto se deduce de la combinación de la segunda ley del movimiento de Newton con su ley de gravitación universal . Esta última establece que la magnitud de la fuerza gravitatoria de la Tierra sobre el cuerpo es donde es la masa del cuerpo que cae, es la masa de la Tierra, es la constante de Newton y es la distancia desde el centro de la Tierra hasta la ubicación del cuerpo, que es muy cercana al radio de la Tierra. Al igualar esto a , la masa del cuerpo se cancela en ambos lados de la ecuación, lo que deja una aceleración que depende de , , y , y puede tomarse como constante. Este valor particular de aceleración generalmente se denota como :$${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}},}$$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r}$${\displaystyle ma}$${\displaystyle m}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle g={\frac {GM}{r^{2}}}\approx \mathrm {9.8~m/s^{2}} .}$$

Si el cuerpo no se libera desde el reposo, sino que se lanza hacia arriba y/o horizontalmente con una velocidad distinta de cero, entonces la caída libre se convierte en movimiento de proyectil . ^[40] Cuando se puede descuidar la resistencia del aire, los proyectiles siguen trayectorias en forma de parábola , porque la gravedad afecta el movimiento vertical del cuerpo y no el horizontal. En el pico de la trayectoria del proyectil, su velocidad vertical es cero, pero su aceleración es hacia abajo, como lo es en todo momento. Establecer el vector incorrecto como igual a cero es una confusión común entre los estudiantes de física. ^[41]${\displaystyle g}$

Cuando un cuerpo se encuentra en movimiento circular uniforme, la fuerza que actúa sobre él cambia la dirección de su movimiento, pero no su velocidad. Para un cuerpo que se mueve en un círculo de radio a una velocidad constante , su aceleración tiene una magnitud y está dirigida hacia el centro del círculo. ^{[nota 9]} La fuerza necesaria para mantener esta aceleración, llamada fuerza centrípeta , también está dirigida hacia el centro del círculo y tiene magnitud . Muchas órbitas , como la de la Luna alrededor de la Tierra, pueden aproximarse mediante un movimiento circular uniforme. En tales casos, la fuerza centrípeta es la gravedad y, por la ley de gravitación universal de Newton, tiene magnitud , donde es la masa del cuerpo más grande que se orbita. Por lo tanto, la masa de un cuerpo se puede calcular a partir de observaciones de otro cuerpo que orbita a su alrededor. ^{[43] : 130}${\displaystyle r}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}$$${\displaystyle mv^{2}/r}$${\displaystyle GMm/r^{2}}$${\displaystyle M}$

La bala de cañón de Newton es un experimento mental que interpola entre el movimiento de un proyectil y el movimiento circular uniforme. Una bala de cañón que se lanza débilmente desde el borde de un acantilado alto llegará al suelo en el mismo tiempo que si se dejara caer desde el reposo, porque la fuerza de la gravedad solo afecta al impulso de la bala en la dirección descendente, y su efecto no se ve disminuido por el movimiento horizontal. Si la bala de cañón se lanza con una velocidad horizontal inicial mayor, viajará más lejos antes de llegar al suelo, pero llegará al suelo en el mismo tiempo. Sin embargo, si la bala de cañón se lanza con una velocidad inicial aún mayor, entonces la curvatura de la Tierra se vuelve significativa: el propio suelo se curvará en dirección opuesta a la bala de cañón que cae. Una bala de cañón muy rápida caerá alejándose de la trayectoria inercial en línea recta a la misma velocidad a la que la Tierra se curva debajo de ella; en otras palabras, estará en órbita (imaginándonos que no se ve frenada por la resistencia del aire o los obstáculos). ^[44]

Consideremos un cuerpo de masa capaz de moverse a lo largo del eje, y supongamos que existe un punto de equilibrio en la posición . Es decir, en , la fuerza neta sobre el cuerpo es el vector cero, y por la segunda ley de Newton, el cuerpo no acelerará. Si la fuerza sobre el cuerpo es proporcional al desplazamiento desde el punto de equilibrio, y está dirigida al punto de equilibrio, entonces el cuerpo realizará un movimiento armónico simple . Escribiendo la fuerza como , la segunda ley de Newton se convierte en Esta ecuación diferencial tiene la solución donde la frecuencia es igual a , y las constantes y se pueden calcular sabiendo, por ejemplo, la posición y la velocidad que tiene el cuerpo en un momento dado, como .${\displaystyle m}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle F=-kx}$$${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-kx\,.}$$$${\displaystyle x(t)=A\cos \omega t+B\sin \omega t\,}$$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\sqrt {k/m}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle t=0}$

Una razón por la que el oscilador armónico es un ejemplo conceptualmente importante es que es una buena aproximación para muchos sistemas cerca de un equilibrio mecánico estable. ^{[nota 10]} Por ejemplo, un péndulo tiene un equilibrio estable en la posición vertical: si está inmóvil allí, permanecerá allí, y si se lo empuja ligeramente, oscilará hacia adelante y hacia atrás. Despreciando la resistencia del aire y la fricción en el pivote, la fuerza sobre el péndulo es la gravedad, y la segunda ley de Newton se convierte en donde es la longitud del péndulo y es su ángulo con la vertical. Cuando el ángulo es pequeño, el seno de es casi igual a (ver serie de Taylor ), y por lo tanto esta expresión se simplifica a la ecuación para un oscilador armónico simple con frecuencia .$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{L}}\sin \theta ,}$$${\displaystyle L}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \omega ={\sqrt {g/L}}}$

Un oscilador armónico puede amortiguarse, a menudo por fricción o arrastre viscoso, en cuyo caso la energía se filtra del oscilador y la amplitud de las oscilaciones disminuye con el tiempo. Además, un oscilador armónico puede ser impulsado por una fuerza aplicada, lo que puede provocar el fenómeno de resonancia . ^[46]

La física newtoniana considera que la materia no se crea ni se destruye, aunque puede reorganizarse. Puede darse el caso de que un objeto de interés gane o pierda masa porque se le añade o se le quita materia. En tal situación, las leyes de Newton se pueden aplicar a las piezas individuales de materia, haciendo un seguimiento de qué piezas pertenecen al objeto de interés a lo largo del tiempo. Por ejemplo, si un cohete de masa , que se mueve a una velocidad , expulsa materia a una velocidad relativa al cohete, entonces, donde es la fuerza externa neta (por ejemplo, la atracción gravitatoria de un planeta). ^{[23] : 139}${\displaystyle M(t)}$${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$${\displaystyle \mathbf {u} }$$${\displaystyle \mathbf {F} =M{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}-\mathbf {u} {\frac {dM}{dt}}\,}$$${\displaystyle \mathbf {F} }$

Los físicos desarrollaron el concepto de energía después de la época de Newton, pero se ha convertido en una parte inseparable de lo que se considera física "newtoniana". La energía se puede clasificar en términos generales en cinética , debido al movimiento de un cuerpo, y potencial , debido a la posición de un cuerpo en relación con otros. La energía térmica , la energía transportada por el flujo de calor, es un tipo de energía cinética no asociada con el movimiento macroscópico de los objetos, sino con los movimientos de los átomos y moléculas de los que están hechos. Según el teorema de trabajo-energía , cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo mientras ese cuerpo se mueve a lo largo de la línea de la fuerza, la fuerza realiza trabajo sobre el cuerpo, y la cantidad de trabajo realizado es igual al cambio en la energía cinética del cuerpo. ^{[nota 11]} En muchos casos de interés, el trabajo neto realizado por una fuerza cuando un cuerpo se mueve en un bucle cerrado (comenzando en un punto, moviéndose a lo largo de una trayectoria y regresando al punto inicial) es cero. Si este es el caso, entonces la fuerza puede escribirse en términos del gradiente de una función llamada potencial escalar : ^{[42] : 303} Esto es cierto para muchas fuerzas, incluida la de la gravedad, pero no para la fricción; de hecho, casi cualquier problema en un libro de texto de mecánica que no involucre fricción puede expresarse de esta manera. ^{[45] : 19} El hecho de que la fuerza pueda escribirse de esta manera puede entenderse a partir de la conservación de la energía . Sin fricción para disipar la energía de un cuerpo en calor, la energía del cuerpo intercambiará entre formas potenciales y cinéticas (no térmicas) mientras que la cantidad total permanece constante. Cualquier ganancia de energía cinética, que ocurre cuando la fuerza neta sobre el cuerpo lo acelera a una velocidad mayor, debe ir acompañada de una pérdida de energía potencial. Entonces, la fuerza neta sobre el cuerpo está determinada por la manera en que disminuye la energía potencial.$${\displaystyle \mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } U\,.}$$

Un cuerpo rígido es un objeto cuyo tamaño es demasiado grande como para ignorarlo y que mantiene la misma forma a lo largo del tiempo. En la mecánica newtoniana, el movimiento de un cuerpo rígido suele entenderse dividiéndolo en movimiento del centro de masa del cuerpo y movimiento alrededor del centro de masa.

Los aspectos significativos del movimiento de un cuerpo extenso pueden entenderse imaginando la masa de ese cuerpo concentrada en un único punto, conocido como el centro de masa. La ubicación del centro de masa de un cuerpo depende de cómo se distribuye el material de ese cuerpo. Para una colección de objetos puntuales con masas en posiciones , el centro de masa está ubicado en donde es la masa total del conjunto. En ausencia de una fuerza externa neta, el centro de masa se mueve a una velocidad constante en línea recta. Esto se aplica, por ejemplo, a una colisión entre dos cuerpos. ^[49] Si la fuerza externa total no es cero, entonces el centro de masa cambia de velocidad como si fuera un cuerpo puntual de masa . Esto se deduce del hecho de que las fuerzas internas dentro del conjunto, las fuerzas que los objetos ejercen entre sí, ocurren en pares equilibrados por la tercera ley de Newton. En un sistema de dos cuerpos con uno mucho más masivo que el otro, el centro de masa coincidirá aproximadamente con la ubicación del cuerpo más masivo. ^{[18] : 22–24}${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{N}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N}}$$${\displaystyle \mathbf {R} =\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}\mathbf {r} _{i}}{M}},}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Cuando las leyes de Newton se aplican a cuerpos extensos en rotación, conducen a nuevas magnitudes que son análogas a las invocadas en las leyes originales. El análogo de la masa es el momento de inercia , la contraparte del momento es el momento angular y la contraparte de la fuerza es el torque .

El momento angular se calcula con respecto a un punto de referencia. ^[50] Si el vector de desplazamiento desde un punto de referencia a un cuerpo es y el cuerpo tiene momento , entonces el momento angular del cuerpo con respecto a ese punto es, utilizando el producto vectorial , Tomando la derivada temporal del momento angular se obtiene El primer término se desvanece porque y apuntan en la misma dirección. El término restante es el torque, Cuando el torque es cero, el momento angular es constante, al igual que cuando la fuerza es cero, el momento es constante. ^{[18] : 14–15} El torque puede desvanecerse incluso cuando la fuerza no es cero, si el cuerpo está ubicado en el punto de referencia ( ) o si la fuerza y ​​el vector de desplazamiento se dirigen a lo largo de la misma línea.${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .}$$$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle m\mathbf {v} }$$${\displaystyle \mathbf {\tau } =\mathbf {r} \times \mathbf {F} .}$$${\displaystyle \mathbf {r} =0}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$

El momento angular de un conjunto de masas puntuales, y por tanto de un cuerpo extenso, se obtiene sumando las contribuciones de cada uno de los puntos. Esto proporciona un medio para caracterizar la rotación de un cuerpo sobre un eje, sumando los momentos angulares de sus partes individuales. El resultado depende del eje elegido, la forma del cuerpo y la velocidad de rotación. ^{[18] : 28}

La ley de gravitación universal de Newton establece que cualquier cuerpo atrae a cualquier otro cuerpo a lo largo de la línea recta que los une. El tamaño de la fuerza de atracción es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Encontrar la forma de las órbitas que producirá una ley de fuerza del cuadrado inverso se conoce como el problema de Kepler . El problema de Kepler se puede resolver de múltiples formas, incluida la demostración de que el vector de Laplace-Runge-Lenz es constante, ^[51] o aplicando una transformación de dualidad a un oscilador armónico bidimensional. ^[52] Independientemente de cómo se resuelva, el resultado es que las órbitas serán secciones cónicas , es decir, elipses (incluidos los círculos), parábolas o hipérbolas . La excentricidad de la órbita, y por lo tanto el tipo de sección cónica, está determinada por la energía y el momento angular del cuerpo en órbita. Los planetas no tienen suficiente energía para escapar del Sol, por lo que sus órbitas son elipses, en una buena aproximación; debido a que los planetas se atraen entre sí, las órbitas reales no son exactamente secciones cónicas.

Si se añade una tercera masa, el problema de Kepler se convierte en el problema de los tres cuerpos, que en general no tiene una solución exacta en forma cerrada . Es decir, no hay forma de partir de las ecuaciones diferenciales implicadas por las leyes de Newton y, después de una secuencia finita de operaciones matemáticas estándar, obtener ecuaciones que expresen los movimientos de los tres cuerpos a lo largo del tiempo. ^{[53] [54]} Se pueden aplicar métodos numéricos para obtener resultados útiles, aunque aproximados, para el problema de los tres cuerpos. ^[55] Las posiciones y velocidades de los cuerpos se pueden almacenar en variables dentro de la memoria de una computadora; las leyes de Newton se utilizan para calcular cómo cambiarán las velocidades en un corto intervalo de tiempo, y conociendo las velocidades, se pueden calcular los cambios de posición durante ese intervalo de tiempo. Este proceso se repite para calcular, aproximadamente, las trayectorias de los cuerpos. En términos generales, cuanto más corto sea el intervalo de tiempo, más precisa será la aproximación. ^[56]

Las leyes de movimiento de Newton permiten la posibilidad del caos . ^{[57] [58]} Es decir, cualitativamente hablando, los sistemas físicos que obedecen las leyes de Newton pueden exhibir una dependencia sensible de sus condiciones iniciales: un ligero cambio en la posición o velocidad de una parte de un sistema puede llevar a que todo el sistema se comporte de una manera radicalmente diferente en un corto período de tiempo. Ejemplos notables incluyen el problema de los tres cuerpos, el péndulo doble , el billar dinámico y el problema de Fermi–Pasta–Ulam–Tsingou .

Las leyes de Newton se pueden aplicar a los fluidos al considerar un fluido como compuesto de partes infinitesimales, cada una de las cuales ejerce fuerzas sobre las piezas vecinas. La ecuación del momento de Euler es una expresión de la segunda ley de Newton adaptada a la dinámica de fluidos. ^{[59] [60]} Un fluido se describe mediante un campo de velocidad, es decir, una función que asigna un vector de velocidad a cada punto en el espacio y el tiempo. Un objeto pequeño que es transportado por el flujo de fluido puede cambiar de velocidad por dos razones: primero, porque el campo de velocidad en su posición está cambiando con el tiempo, y segundo, porque se mueve a una nueva ubicación donde el campo de velocidad tiene un valor diferente. En consecuencia, cuando la segunda ley de Newton se aplica a una porción infinitesimal de fluido, la aceleración tiene dos términos, una combinación conocida como derivada total o material . La masa de una porción infinitesimal depende de la densidad del fluido , y hay una fuerza neta sobre ella si la presión del fluido varía de un lado a otro. En consecuencia, se convierte en donde es la densidad, es la presión y representa una influencia externa como una atracción gravitatoria. La incorporación del efecto de la viscosidad convierte la ecuación de Euler en una ecuación de Navier-Stokes : donde es la viscosidad cinemática . ^[59]${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {F} /m}$$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\mathbf {f} ,}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {f} }$$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {\nabla } P+\nu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} ,}$$${\displaystyle \nu }$

Es matemáticamente posible que un conjunto de masas puntuales, que se mueven de acuerdo con las leyes de Newton, lancen algunas de ellas tan fuerte que salgan volando hacia el infinito en un tiempo finito. ^[61] Este comportamiento no físico, conocido como "singularidad de no colisión", ^[54] depende de que las masas sean puntuales y capaces de aproximarse entre sí a una distancia arbitraria, así como de la falta de un límite de velocidad relativista en la física newtoniana. ^[62]

Aún no se sabe si las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes muestran un comportamiento análogo al de las soluciones inicialmente suaves que "explotan" en un tiempo finito. La cuestión de la existencia y suavidad de las soluciones de Navier-Stokes es uno de los problemas del Premio del Milenio . ^[63]

La mecánica clásica se puede formular matemáticamente de múltiples formas diferentes, además de la descripción "newtoniana" (que, por supuesto, incorpora contribuciones de otros tanto antes como después de Newton). El contenido físico de estas diferentes formulaciones es el mismo que el newtoniano, pero proporcionan diferentes perspectivas y facilitan diferentes tipos de cálculos. Por ejemplo, la mecánica lagrangiana ayuda a hacer evidente la conexión entre simetrías y leyes de conservación, y es útil al calcular el movimiento de cuerpos restringidos, como una masa restringida para moverse a lo largo de una pista curva o en la superficie de una esfera. ^{[18] : 48} La mecánica hamiltoniana es conveniente para la física estadística , ^{[64] [65] : 57} conduce a una mayor comprensión de la simetría, ^{[18] : 251} y puede desarrollarse en técnicas sofisticadas para la teoría de perturbaciones . ^{[18] : 284} Debido a la amplitud de estos temas, la discusión aquí se limitará a tratamientos concisos de cómo reformulan las leyes de movimiento de Newton.

La mecánica lagrangiana difiere de la formulación newtoniana al considerar trayectorias completas a la vez en lugar de predecir el movimiento de un cuerpo en un solo instante. ^{[18] : 109} Es tradicional en la mecánica lagrangiana denotar la posición con y la velocidad con . El ejemplo más simple es una partícula puntual masiva, cuyo lagrangiano se puede escribir como la diferencia entre sus energías cinética y potencial: donde la energía cinética es y la energía potencial es alguna función de la posición, . El camino físico que tomará la partícula entre un punto inicial y un punto final es el camino para el cual la integral del lagrangiano es "estacionaria". Es decir, el camino físico tiene la propiedad de que pequeñas perturbaciones del mismo, en una primera aproximación, no cambiarán la integral del lagrangiano. El cálculo de variaciones proporciona las herramientas matemáticas para encontrar este camino. ^{[42] : 485} La aplicación del cálculo de variaciones a la tarea de encontrar la trayectoria da como resultado la ecuación de Euler-Lagrange para la partícula. La evaluación de las derivadas parciales del lagrangiano da como resultado que es una reformulación de la segunda ley de Newton. El lado izquierdo es la derivada temporal del momento, y el lado derecho es la fuerza, representada en términos de la energía potencial. ^{[9] : 737}${\displaystyle q}$${\displaystyle {\dot {q}}}$$${\displaystyle L(q,{\dot {q}})=T-V,}$$$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}}$$${\displaystyle V(q)}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle q_{f}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q}}.}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(m{\dot {q}})=-{\frac {dV}{dq}},}$$

Landau y Lifshitz sostienen que la formulación lagrangiana hace que el contenido conceptual de la mecánica clásica sea más claro que si se parte de las leyes de Newton. ^[26] La mecánica lagrangiana proporciona un marco conveniente para probar el teorema de Noether , que relaciona las simetrías y las leyes de conservación. ^[66] La conservación del momento se puede derivar aplicando el teorema de Noether a un lagrangiano para un sistema de múltiples partículas, y por lo tanto, la tercera ley de Newton es un teorema en lugar de una suposición. ^{[18] : 124}

En la mecánica hamiltoniana , la dinámica de un sistema se representa mediante una función llamada hamiltoniano, que en muchos casos de interés es igual a la energía total del sistema. ^{[9] : 742} El hamiltoniano es una función de las posiciones y los momentos de todos los cuerpos que forman el sistema, y ​​también puede depender explícitamente del tiempo. Las derivadas temporales de las variables posición y momento se dan mediante derivadas parciales del hamiltoniano, a través de las ecuaciones de Hamilton . ^{[18] : 203} El ejemplo más simple es una masa puntual obligada a moverse en línea recta, bajo el efecto de un potencial. Escribiendo para la coordenada de posición y para el momento del cuerpo, el hamiltoniano es En este ejemplo, las ecuaciones de Hamilton son y Evaluando estas derivadas parciales, la primera ecuación se convierte en que reproduce la afirmación familiar de que el momento de un cuerpo es el producto de su masa y velocidad. La derivada temporal del momento es que, al identificar la derivada negativa del potencial con la fuerza, es simplemente la segunda ley de Newton una vez más. ^{[57] [9] : 742}${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q).}$$$${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}}$$$${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}.}$$$${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {p}{m}},}$$$${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {dV}{dq}},}$$

Al igual que en la formulación lagrangiana, en la mecánica hamiltoniana la conservación del momento se puede derivar utilizando el teorema de Noether, lo que hace que la tercera ley de Newton sea una idea que se deduce en lugar de asumirse. ^{[18] : 251}

Entre las propuestas para reformar el currículo introductorio de física estándar hay una que enseña el concepto de energía antes que el de fuerza, esencialmente "mecánica hamiltoniana introductoria". ^{[67] [68]}

La ecuación de Hamilton-Jacobi proporciona otra formulación de la mecánica clásica, una que la hace matemáticamente análoga a la óptica ondulatoria . ^{[18] : 284  [69]} Esta formulación también utiliza funciones hamiltonianas, pero de una manera diferente a la formulación descrita anteriormente. Las trayectorias tomadas por cuerpos o conjuntos de cuerpos se deducen de una función de posiciones y tiempo . El hamiltoniano se incorpora a la ecuación de Hamilton-Jacobi, una ecuación diferencial para . Los cuerpos se mueven a lo largo del tiempo de tal manera que sus trayectorias son perpendiculares a las superficies de constante , de manera análoga a cómo un rayo de luz se propaga en la dirección perpendicular a su frente de onda. Esto es más simple de expresar para el caso de una sola masa puntual, en la que es una función , y la masa puntual se mueve en la dirección a lo largo de la cual cambia más abruptamente. En otras palabras, el momento de la masa puntual es el gradiente de : La ecuación de Hamilton-Jacobi para una masa puntual es La relación con las leyes de Newton se puede ver al considerar una masa puntual que se mueve en un potencial independiente del tiempo , en cuyo caso la ecuación de Hamilton-Jacobi se convierte en Tomando el gradiente de ambos lados, esto se convierte en Intercambiando el orden de las derivadas parciales en el lado izquierdo y usando las reglas de potencia y cadena en el primer término en el lado derecho, Reuniendo los términos que dependen del gradiente de , Esta es otra reexpresión de la segunda ley de Newton. ^[70] La expresión entre paréntesis es una derivada total o material como se mencionó anteriormente, ^[71] en la que el primer término indica cómo la función que se está diferenciando cambia con el tiempo en una ubicación fija, y el segundo término captura cómo una partícula en movimiento verá diferentes valores de esa función a medida que viaja de un lugar a otro:${\displaystyle S(\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\ldots ,t)}$${\displaystyle \mathbf {q} _{i}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S.}$$$${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {\nabla } S,t\right).}$$${\displaystyle V(\mathbf {q} )}$$${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+V(\mathbf {q} ).}$$$${\displaystyle -\mathbf {\nabla } {\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } S\right)^{2}+\mathbf {\nabla } V.}$$$${\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {\nabla } S={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\mathbf {\nabla } S+\mathbf {\nabla } V.}$$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]\mathbf {\nabla } S=-\mathbf {\nabla } V.}$$$${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {\nabla } S\cdot \mathbf {\nabla } \right)\right]=\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \mathbf {\nabla } \right]={\frac {d}{dt}}.}$$

En física estadística , la teoría cinética de los gases aplica las leyes de movimiento de Newton a grandes cantidades (normalmente del orden del número de Avogadro ) de partículas. La teoría cinética puede explicar, por ejemplo, la presión que ejerce un gas sobre el recipiente que lo contiene como el agregado de muchos impactos de átomos, cada uno de los cuales imparte una pequeña cantidad de momento. ^{[65] : 62}

La ecuación de Langevin es un caso especial de la segunda ley de Newton, adaptada para el caso de describir un objeto pequeño bombardeado estocásticamente por otros aún más pequeños. ^{[72] : 235} Puede escribirse donde es un coeficiente de arrastre y es una fuerza que varía aleatoriamente de un instante a otro, representando el efecto neto de las colisiones con las partículas circundantes. Esto se utiliza para modelar el movimiento browniano . ^[73]$${\displaystyle m\mathbf {a} =-\gamma \mathbf {v} +\mathbf {\xi } \,}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \mathbf {\xi } }$

Las tres leyes de Newton se pueden aplicar a fenómenos que involucran electricidad y magnetismo , aunque existen sutilezas y salvedades.

La ley de Coulomb para la fuerza eléctrica entre dos cuerpos estacionarios cargados eléctricamente tiene una forma matemática muy similar a la ley de gravitación universal de Newton: la fuerza es proporcional al producto de las cargas, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y dirigida a lo largo de la línea recta que las une. La fuerza de Coulomb que una carga ejerce sobre otra carga es igual en magnitud a la fuerza que ejerce sobre , y apunta en la dirección exactamente opuesta. La ley de Coulomb es, por tanto, coherente con la tercera ley de Newton. ^[74]${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle q_{2}}$${\displaystyle q_{1}}$

El electromagnetismo considera que las fuerzas son producidas por campos que actúan sobre cargas. La ley de fuerza de Lorentz proporciona una expresión para la fuerza sobre un cuerpo cargado que se puede introducir en la segunda ley de Newton para calcular su aceleración. ^{[75] : 85} Según la ley de fuerza de Lorentz, un cuerpo cargado en un campo eléctrico experimenta una fuerza en la dirección de ese campo, una fuerza proporcional a su carga y a la intensidad del campo eléctrico. Además, un cuerpo cargado en movimiento en un campo magnético experimenta una fuerza que también es proporcional a su carga, en una dirección perpendicular tanto al campo como a la dirección de movimiento del cuerpo. Utilizando el producto vectorial ,${\displaystyle q}$$${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

Si el campo eléctrico se desvanece ( ), entonces la fuerza será perpendicular al movimiento de la carga, tal como en el caso del movimiento circular uniforme estudiado anteriormente, y la carga girará (o más generalmente se moverá en una hélice ) alrededor de las líneas del campo magnético en la frecuencia del ciclotrón . ^{[72] : 222} La espectrometría de masas funciona aplicando campos eléctricos y/o magnéticos a cargas en movimiento y midiendo la aceleración resultante, que por la ley de fuerza de Lorentz produce la relación masa-carga . ^[76]${\displaystyle \mathbf {E} =0}$ ${\displaystyle \omega =qB/m}$

Los conjuntos de cuerpos cargados no siempre obedecen la tercera ley de Newton: puede haber un cambio en el momento de un cuerpo sin un cambio compensatorio en el momento de otro. La discrepancia se explica por el momento transportado por el propio campo electromagnético. El momento por unidad de volumen del campo electromagnético es proporcional al vector de Poynting . ^{[77] : 184  [78]}

Existe un sutil conflicto conceptual entre el electromagnetismo y la primera ley de Newton: la teoría del electromagnetismo de Maxwell predice que las ondas electromagnéticas viajarán a través del espacio vacío a una velocidad constante y definida. Por lo tanto, algunos observadores inerciales parecen tener un estatus privilegiado sobre los demás, a saber, aquellos que miden la velocidad de la luz y encuentran que es el valor predicho por las ecuaciones de Maxwell. En otras palabras, la luz proporciona un estándar absoluto para la velocidad, pero el principio de inercia sostiene que no debería haber tal estándar. Esta tensión se resuelve en la teoría de la relatividad especial, que revisa las nociones de espacio y tiempo de tal manera que todos los observadores inerciales estarán de acuerdo sobre la velocidad de la luz en el vacío. ^{[nota 12]}

En la relatividad especial, la regla que Wilczek llamó "Ley Cero de Newton" se rompe: la masa de un objeto compuesto no es simplemente la suma de las masas de las piezas individuales. ^{[81] : 33} La primera ley de Newton, el movimiento inercial, sigue siendo válida. Una forma de la segunda ley de Newton, que la fuerza es la tasa de cambio del momento, también se cumple, al igual que la conservación del momento. Sin embargo, la definición de momento se modifica. Entre las consecuencias de esto está el hecho de que cuanto más rápido se mueve un cuerpo, más difícil es acelerarlo y, por lo tanto, sin importar cuánta fuerza se aplique, un cuerpo no puede acelerarse hasta la velocidad de la luz. Dependiendo del problema en cuestión, el momento en la relatividad especial se puede representar como un vector tridimensional, , donde es la masa en reposo del cuerpo y es el factor de Lorentz , que depende de la velocidad del cuerpo. Alternativamente, el momento y la fuerza se pueden representar como cuatro vectores . ^{[82] : 107}${\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} }$${\displaystyle m}$${\displaystyle \gamma }$

La tercera ley de Newton debe modificarse en la relatividad especial. La tercera ley se refiere a las fuerzas entre dos cuerpos en el mismo momento en el tiempo, y una característica clave de la relatividad especial es que la simultaneidad es relativa. Los eventos que ocurren al mismo tiempo en relación con un observador pueden ocurrir en diferentes momentos en relación con otro. Por lo tanto, en el marco de referencia de un observador dado, la acción y la reacción pueden no ser exactamente opuestas, y el momento total de los cuerpos que interactúan puede no conservarse. La conservación del momento se restaura al incluir el momento almacenado en el campo que describe la interacción de los cuerpos. ^{[83] [84]}

La mecánica newtoniana es una buena aproximación a la relatividad especial cuando las velocidades involucradas son pequeñas comparadas con las de la luz. ^{[85] : 131}

La relatividad general es una teoría de la gravedad que va más allá de la de Newton. En la relatividad general, la fuerza gravitacional de la mecánica newtoniana se reimagina como la curvatura del espacio-tiempo . Una trayectoria curva como una órbita, atribuida a una fuerza gravitacional en la mecánica newtoniana, no es el resultado de una fuerza que desvía un cuerpo de una trayectoria recta ideal, sino más bien el intento del cuerpo de caer libremente a través de un fondo que está curvado por la presencia de otras masas. Una observación de John Archibald Wheeler que se ha vuelto proverbial entre los físicos resume la teoría: "El espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse; la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse". ^{[86] [87]} El propio Wheeler pensó en esta relación recíproca como una forma moderna y generalizada de la tercera ley de Newton. ^[86] La relación entre la distribución de la materia y la curvatura del espacio-tiempo está dada por las ecuaciones de campo de Einstein , que requieren cálculo tensorial para expresarse. ^{[81] : 43  [88]}

La teoría de la gravedad newtoniana es una buena aproximación a las predicciones de la relatividad general cuando los efectos gravitacionales son débiles y los objetos se mueven lentamente en comparación con la velocidad de la luz. ^{[79] : 327  [89]}

La mecánica cuántica es una teoría de la física desarrollada originalmente para comprender los fenómenos microscópicos: el comportamiento a escala de moléculas, átomos o partículas subatómicas. En términos generales y vagos, cuanto más pequeño es un sistema, más requerirá un modelo matemático adecuado para comprender los efectos cuánticos. La base conceptual de la física cuántica es muy diferente de la física clásica . En lugar de pensar en cantidades como la posición, el momento y la energía como propiedades que tiene un objeto , se considera qué resultado podría aparecer cuando se realiza una medición de un tipo elegido. La mecánica cuántica permite al físico calcular la probabilidad de que una medición elegida produzca un resultado particular. ^{[90] [91]} El valor esperado para una medición es el promedio de los posibles resultados que podría producir, ponderados por sus probabilidades de ocurrencia. ^[92]

El teorema de Ehrenfest proporciona una conexión entre los valores esperados cuánticos y la segunda ley de Newton, una conexión que es necesariamente inexacta, ya que la física cuántica es fundamentalmente diferente de la clásica. En la física cuántica, la posición y el momento se representan mediante entidades matemáticas conocidas como operadores hermíticos , y la regla de Born se utiliza para calcular los valores esperados de una medición de posición o una medición de momento. Estos valores esperados generalmente cambiarán con el tiempo; es decir, dependiendo del momento en el que (por ejemplo) se realice una medición de posición, variarán las probabilidades de sus diferentes resultados posibles. El teorema de Ehrenfest dice, a grandes rasgos, que las ecuaciones que describen cómo estos valores esperados cambian con el tiempo tienen una forma que recuerda a la segunda ley de Newton. Sin embargo, cuanto más pronunciados sean los efectos cuánticos en una situación dada, más difícil será derivar conclusiones significativas de esta semejanza. ^{[nota 13]}

Los conceptos invocados en las leyes de Newton sobre el movimiento (masa, velocidad, momento, fuerza) tienen predecesores en trabajos anteriores, y el contenido de la física newtoniana se desarrolló aún más después de la época de Newton. Newton combinó el conocimiento de los movimientos celestes con el estudio de los acontecimientos en la Tierra y demostró que una teoría de la mecánica podía abarcar ambos. ^{[nota 14]}

El tema de la física se remonta a menudo a Aristóteles , pero la historia de los conceptos involucrados está oscurecida por múltiples factores. No es fácil establecer una correspondencia exacta entre los conceptos aristotélicos y los modernos: Aristóteles no distinguió claramente lo que llamaríamos velocidad y fuerza, utilizó el mismo término para densidad y viscosidad , y concibió el movimiento como siempre a través de un medio, en lugar de a través del espacio. Además, algunos conceptos a menudo denominados "aristotélicos" podrían atribuirse mejor a sus seguidores y comentaristas. ^[97] Estos comentaristas encontraron que la física aristotélica tenía dificultades para explicar el movimiento de proyectiles. ^{[nota 15]} Aristóteles dividió el movimiento en dos tipos: "natural" y "violento". El movimiento "natural" de la materia sólida terrestre era caer hacia abajo, mientras que un movimiento "violento" podía empujar un cuerpo hacia los lados. Además, en la física aristotélica, un movimiento "violento" requiere una causa inmediata; Si se separara de la causa de su movimiento "violento", un cuerpo volvería a su comportamiento "natural". Sin embargo, una jabalina continúa moviéndose después de salir de la mano del lanzador. Aristóteles concluyó que el aire alrededor de la jabalina debe estar dotado de la capacidad de mover la jabalina hacia adelante.

Juan Filópono , un pensador griego bizantino activo durante el siglo VI, encontró esto absurdo: el mismo medio, el aire, era de alguna manera responsable tanto de sostener el movimiento como de impedirlo. Si la idea de Aristóteles fuera cierta, dijo Filópono, los ejércitos lanzarían armas soplando sobre ellas con fuelles. Filópono argumentó que poner un cuerpo en movimiento impartía una cualidad, el ímpetu , que estaría contenida dentro del propio cuerpo. Mientras se mantuviera su ímpetu, el cuerpo continuaría moviéndose. ^{[99] : 47} En los siglos siguientes, versiones de la teoría del ímpetu fueron propuestas por individuos como Nur ad-Din al-Bitruji , Avicena , Abu'l-Barakāt al-Baghdādī , Juan Buridan y Alberto de Sajonia . En retrospectiva, la idea del ímpetu puede verse como un precursor del concepto moderno de momento. ^{[nota 16]} La intuición de que los objetos se mueven según algún tipo de impulso persiste en muchos estudiantes de física introductoria. ^[101]

El filósofo francés René Descartes introdujo el concepto de inercia a través de sus "leyes de la naturaleza" en El mundo ( Traité du monde et de la lumière ), escrito entre 1629 y 1633. Sin embargo, El mundo proponía una visión heliocéntrica del mundo, y en 1633 esta visión había dado lugar a un gran conflicto entre Galileo Galilei y la Inquisición católica romana . Descartes conocía esta controversia y no quería involucrarse. El mundo no se publicó hasta 1664, diez años después de su muerte. ^[102]

El concepto moderno de inercia se atribuye a Galileo. Basándose en sus experimentos, Galileo concluyó que el comportamiento "natural" de un cuerpo en movimiento era seguir moviéndose, hasta que algo más interfiriera en él. En Dos nuevas ciencias (1638), Galileo escribió: ^{[103] [104]}

Imaginemos cualquier partícula proyectada a lo largo de un plano horizontal sin fricción; entonces sabemos, por lo que se ha explicado más detalladamente en las páginas anteriores, que esta partícula se moverá a lo largo de ese mismo plano con un movimiento uniforme y perpetuo, siempre que el plano no tenga límites.

Galileo reconoció que en el movimiento de proyectiles, la gravedad de la Tierra afecta el movimiento vertical pero no el horizontal. ^[105] Sin embargo, la idea de inercia de Galileo no era exactamente la que se codificaría en la primera ley de Newton. Galileo pensaba que un cuerpo que se mueve una gran distancia inercialmente seguiría la curva de la Tierra. Esta idea fue corregida por Isaac Beeckman , Descartes y Pierre Gassendi , quienes reconocieron que el movimiento inercial debería ser un movimiento en línea recta. ^[106] Descartes publicó sus leyes de la naturaleza (leyes del movimiento) con esta corrección en Principios de filosofía ( Principia Philosophiae ) en 1644, con la parte heliocéntrica atenuada. ^{[107] [102]}

Primera Ley de la Naturaleza: Cada cosa abandonada a sí misma continúa en el mismo estado; así, cualquier cuerpo en movimiento continúa moviéndose hasta que algo lo detenga.

Segunda Ley de la Naturaleza: Todo cuerpo que se mueve a su aire se mueve en línea recta; por lo tanto, cualquier cuerpo que se mueva en un círculo siempre tiende a alejarse del centro del círculo.

Según el filósofo estadounidense Richard J. Blackwell , el científico holandés Christiaan Huygens había elaborado su propia versión concisa de la ley en 1656. ^[108] No se publicó hasta 1703, ocho años después de su muerte, en el párrafo inicial de De Motu Corporum ex Percussione .

Hipótesis I: Todo cuerpo ya en movimiento continuará moviéndose perpetuamente con la misma velocidad y en línea recta a menos que se lo impidan.

Según Huygens, esta ley ya era conocida por Galileo y Descartes entre otros. ^[108]

Christiaan Huygens, en su Horologium Oscillatorium (1673), planteó la hipótesis de que «por la acción de la gravedad, cualesquiera sean sus fuentes, sucede que los cuerpos se mueven mediante un movimiento compuesto tanto de un movimiento uniforme en una dirección u otra como de un movimiento descendente debido a la gravedad». La segunda ley de Newton generalizó esta hipótesis de la gravedad a todas las fuerzas. ^[109]

Una característica importante de la física newtoniana es que las fuerzas pueden actuar a distancia sin necesidad de contacto físico. ^{[nota 17]} Por ejemplo, el Sol y la Tierra se atraen gravitacionalmente, a pesar de estar separados por millones de kilómetros. Esto contrasta con la idea, defendida por Descartes entre otros, de que la gravedad del Sol mantenía a los planetas en órbita haciéndolos girar en un vórtice de materia transparente, el éter . ^[116] Newton consideró explicaciones etéreas de la fuerza, pero finalmente las rechazó. ^[114] El estudio del magnetismo por William Gilbert y otros creó un precedente para pensar en fuerzas inmateriales , ^[114] e incapaz de encontrar una explicación cuantitativamente satisfactoria de su ley de la gravedad en términos de un modelo etéreo, Newton finalmente declaró: " No finjo ninguna hipótesis ": independientemente de si se pudiera encontrar o no un modelo como los vórtices de Descartes como base de las teorías del movimiento y la gravedad de los Principia , el primer fundamento para juzgarlos deben ser las predicciones acertadas que hicieron. ^[117] Y, de hecho, desde la época de Newton todos los intentos de crear un modelo de este tipo han fracasado .

Johannes Kepler sugirió que las atracciones gravitacionales eran recíprocas —que, por ejemplo, la Luna atrae a la Tierra mientras que la Tierra atrae a la Luna— pero no argumentó que tales pares fueran iguales y opuestos. ^[118] En sus Principios de filosofía (1644), Descartes introdujo la idea de que durante una colisión entre cuerpos, una "cantidad de movimiento" permanece inalterada. Descartes definió esta cantidad de manera un tanto imprecisa al sumar los productos de la velocidad y el "tamaño" de cada cuerpo, donde el "tamaño" para él incorporaba tanto el volumen como el área de superficie. ^[119] Además, Descartes pensaba en el universo como un plenum , es decir, lleno de materia, por lo que todo movimiento requería que un cuerpo desplazara un medio a medida que se movía.

Durante la década de 1650, Huygens estudió las colisiones entre esferas duras y dedujo un principio que ahora se identifica como la conservación del momento. ^{[120] [121]} Christopher Wren deduciría más tarde las mismas reglas para las colisiones elásticas que Huygens, y John Wallis aplicaría la conservación del momento para estudiar las colisiones inelásticas . Newton citó el trabajo de Huygens, Wren y Wallis para apoyar la validez de su tercera ley. ^[122]

Newton llegó a su conjunto de tres leyes de manera incremental. En un manuscrito de 1684 escrito a Huygens , enumeró cuatro leyes: el principio de inercia, el cambio de movimiento por la fuerza, una declaración sobre el movimiento relativo que hoy se llamaría invariancia galileana y la regla de que las interacciones entre cuerpos no cambian el movimiento de su centro de masa. En un manuscrito posterior, Newton agregó una ley de acción y reacción, al tiempo que decía que esta ley y la ley sobre el centro de masa se implicaban entre sí. Newton probablemente se decidió por la presentación en los Principia, con tres leyes primarias y luego otras declaraciones reducidas a corolarios, durante 1685. ^[123]

Newton expresó su segunda ley diciendo que la fuerza sobre un cuerpo es proporcional a su cambio de movimiento, o momento. Cuando escribió los Principia, ya había desarrollado el cálculo (al que llamó " la ciencia de las fluxiones "), pero en los Principia no hizo un uso explícito de él, tal vez porque creía que los argumentos geométricos en la tradición de Euclides eran más rigurosos. ^{[125] : 15  [126]} En consecuencia, los Principia no expresan la aceleración como la segunda derivada de la posición, y por lo tanto no dan la segunda ley como . Esta forma de la segunda ley fue escrita (para el caso especial de fuerza constante) al menos ya en 1716, por Jakob Hermann ; Leonhard Euler la emplearía como premisa básica en la década de 1740. ^[127] Euler fue pionero en el estudio de los cuerpos rígidos ^[128] y estableció la teoría básica de la dinámica de fluidos. ^[129] El Traité de mécanique céleste (1798-1825) de cinco volúmenes de Pierre-Simon Laplace abandonó la geometría y desarrolló la mecánica puramente a través de expresiones algebraicas, al tiempo que resolvía cuestiones que los Principia habían dejado abiertas, como una teoría completa de las mareas . ^[130]${\displaystyle F=ma}$

El concepto de energía se convirtió en una parte clave de la mecánica newtoniana en el período posterior a Newton. La solución de Huygens para la colisión de esferas duras mostró que, en ese caso, no solo se conserva el momento, sino también la energía cinética (o, más bien, una cantidad que, en retrospectiva, podemos identificar como la mitad de la energía cinética total). La cuestión de qué se conserva durante todos los demás procesos, como las colisiones inelásticas y el movimiento ralentizado por la fricción, no se resolvió hasta el siglo XIX. Los debates sobre este tema se superpusieron con las disputas filosóficas entre las visiones metafísicas de Newton y Leibniz, y a veces se usaban variantes del término "fuerza" para denotar lo que llamaríamos tipos de energía. Por ejemplo, en 1742, Émilie du Châtelet escribió: "La fuerza muerta consiste en una simple tendencia al movimiento: tal es la de un resorte listo para relajarse; la fuerza viva es la que tiene un cuerpo cuando está en movimiento real". En la terminología moderna, "fuerza muerta" y "fuerza viva" corresponden a la energía potencial y la energía cinética respectivamente. ^[131] La conservación de la energía no se estableció como un principio universal hasta que se entendió que la energía del trabajo mecánico puede disiparse en calor. ^{[132] [133]} Con el concepto de energía dado una base sólida, las leyes de Newton podrían entonces derivarse dentro de formulaciones de la mecánica clásica que ponen la energía en primer lugar, como en las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas descritas anteriormente.

Las presentaciones modernas de las leyes de Newton utilizan las matemáticas de los vectores, un tema que no se desarrolló hasta finales del siglo XIX y principios del XX. El álgebra vectorial, iniciada por Josiah Willard Gibbs y Oliver Heaviside , surgió del sistema anterior de cuaterniones inventado por William Rowan Hamilton y lo sustituyó en gran medida . ^{[134] [135]}

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