Deformación (mecánica)

Cepa
Otros nombres	Tensor de deformación
Unidad SI	1
Otras unidades	%
En unidades base del SI	hombre/hombre
Comportamiento bajo transformación de coordenadas	tensor
Dimensión	${\estilo de visualización 1}$

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En mecánica , la deformación se define como una deformación relativa , en comparación con una configuración de posición de referencia . Se pueden hacer diferentes elecciones equivalentes para la expresión de un campo de deformaciones dependiendo de si se define con respecto a la configuración inicial o final del cuerpo y de si se considera el tensor métrico o su dual.

La deformación tiene una dimensión de una relación de longitud , con unidades básicas del SI de metro por metro (m/m). Por lo tanto, las deformaciones son adimensionales y generalmente se expresan como una fracción decimal o un porcentaje . También se utiliza la notación de partes por , por ejemplo, partes por millón o partes por mil millones (a veces llamadas "microdeformaciones" y "nanodeformaciones", respectivamente), que corresponden a μm /m y nm /m.

La deformación puede formularse como la derivada espacial del desplazamiento : donde I es el tensor identidad . El desplazamiento de un cuerpo puede expresarse en la forma x = F ( X ) , donde X es la posición de referencia de los puntos materiales del cuerpo; el desplazamiento tiene unidades de longitud y no distingue entre movimientos de cuerpo rígido (traslaciones y rotaciones) y deformaciones (cambios de forma y tamaño) del cuerpo. La derivada espacial de una traslación uniforme es cero, por lo que las deformaciones miden cuánto difiere localmente un desplazamiento dado de un movimiento de cuerpo rígido. ^[1]$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}'-{\boldsymbol {I}},}$$

Una deformación es, en general, una cantidad tensorial . Se puede obtener una comprensión física de las deformaciones observando que una deformación dada se puede descomponer en componentes normales y de cizallamiento. La cantidad de estiramiento o compresión a lo largo de los elementos lineales o fibras del material es la deformación normal , y la cantidad de distorsión asociada con el deslizamiento de capas planas una sobre otra es la deformación de cizallamiento , dentro de un cuerpo que se deforma. ^[2] Esto podría aplicarse mediante elongación, acortamiento o cambios de volumen, o distorsión angular. ^[3]

El estado de deformación en un punto material de un cuerpo continuo se define como la totalidad de todos los cambios de longitud de las líneas o fibras materiales, la deformación normal , que pasan por ese punto y también la totalidad de todos los cambios de ángulo entre pares de líneas inicialmente perpendiculares entre sí, la deformación cortante , que irradian desde este punto. Sin embargo, es suficiente conocer los componentes normal y cortante de la deformación en un conjunto de tres direcciones mutuamente perpendiculares.

Si hay un aumento en la longitud de la línea de material, la deformación normal se denomina deformación de tracción ; de lo contrario, si hay una reducción o compresión en la longitud de la línea de material, se denomina deformación de compresión .

Dependiendo de la cantidad de deformación o deformación local, el análisis de la deformación se subdivide en tres teorías de deformación:

• La teoría de deformaciones finitas , también llamada teoría de deformaciones grandes o teoría de deformaciones grandes , se ocupa de deformaciones en las que tanto las rotaciones como las deformaciones son arbitrariamente grandes. En este caso, las configuraciones no deformadas y deformadas del continuo son significativamente diferentes y se debe hacer una distinción clara entre ellas. Este es el caso habitual de los elastómeros , los materiales que se deforman plásticamente y otros fluidos y tejidos blandos biológicos .
• Teoría de la deformación infinitesimal , también llamada teoría de pequeñas deformaciones , teoría de pequeños desplazamientos o teoría de gradientes de desplazamientos pequeños , en la que tanto las deformaciones como las rotaciones son pequeñas. En este caso, las configuraciones no deformadas y deformadas del cuerpo pueden suponerse idénticas. La teoría de la deformación infinitesimal se utiliza en el análisis de deformaciones de materiales que presentan un comportamiento elástico , como los materiales que se encuentran en aplicaciones de ingeniería mecánica y civil, por ejemplo, el hormigón y el acero.
• Teoría de grandes desplazamientos o grandes rotaciones , que supone pequeñas deformaciones pero grandes rotaciones y desplazamientos.

En cada una de estas teorías la deformación se define entonces de manera diferente. La deformación de ingeniería es la definición más común aplicada a los materiales utilizados en ingeniería mecánica y estructural, que están sujetos a deformaciones muy pequeñas. Por otro lado, para algunos materiales, por ejemplo, elastómeros y polímeros, sujetos a grandes deformaciones, la definición de ingeniería de deformación no es aplicable, por ejemplo, deformaciones de ingeniería típicas mayores del 1%; ^[4] por lo tanto se requieren otras definiciones más complejas de deformación, como estiramiento , deformación logarítmica , deformación de Green y deformación de Almansi .

La deformación ingenieril , también conocida como deformación de Cauchy , se expresa como la relación entre la deformación total y la dimensión inicial del cuerpo material sobre el que se aplican las fuerzas. En el caso de un elemento lineal o fibra de material cargado axialmente, su elongación da lugar a una deformación normal ingenieril o deformación extensional ingenieril e , que es igual a la elongación relativa o al cambio de longitud Δ L por unidad de la longitud original L del elemento lineal o fibras (en metros por metro). La deformación normal es positiva si las fibras del material se estiran y negativa si se comprimen. Por lo tanto, tenemos , donde e es la deformación normal ingenieril , L es la longitud original de la fibra y l es la longitud final de la fibra.$${\displaystyle e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}}$$

La deformación cortante verdadera se define como el cambio en el ángulo (en radianes) entre dos elementos de línea de material inicialmente perpendiculares entre sí en la configuración inicial o no deformada. La deformación cortante de ingeniería se define como la tangente de ese ángulo y es igual a la longitud de la deformación en su valor máximo dividida por la longitud perpendicular en el plano de aplicación de la fuerza, lo que a veces facilita su cálculo.

La relación de estiramiento o relación de extensión (símbolo λ) es una medida alternativa relacionada con la deformación extensional o normal de un elemento de línea diferencial cargado axialmente. Se define como la relación entre la longitud final l y la longitud inicial L de la línea de material.$${\displaystyle \lambda ={\frac {l}{L}}}$$

La relación de extensión λ está relacionada con la deformación de ingeniería e mediante Esta ecuación implica que cuando la deformación normal es cero, de modo que no hay deformación, la relación de estiramiento es igual a la unidad.$${\displaystyle e=\lambda -1}$$

El coeficiente de estiramiento se utiliza en el análisis de materiales que presentan grandes deformaciones, como los elastómeros , que pueden soportar coeficientes de estiramiento de 3 o 4 antes de fallar. Por otro lado, los materiales de ingeniería tradicionales, como el hormigón o el acero, fallan con coeficientes de estiramiento mucho más bajos.

La deformación logarítmica ε , también llamada deformación verdadera o deformación de Hencky . ^[5] Considerando una deformación incremental (Ludwik) la deformación logarítmica se obtiene integrando esta deformación incremental: donde e es la deformación de ingeniería. La deformación logarítmica proporciona la medida correcta de la deformación final cuando la deformación tiene lugar en una serie de incrementos, teniendo en cuenta la influencia de la trayectoria de la deformación. ^[2]$${\displaystyle \delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \end{aligned}}}$$

La cepa Verde se define como:$${\displaystyle \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}$$

La cepa Euler-Almansi se define como$${\displaystyle \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$$

El tensor de deformación (infinitesimal) (símbolo ) se define en el Sistema Internacional de Cantidades (ISQ), más específicamente en ISO 80000-4 (Mecánica), como una "cantidad tensorial que representa la deformación de la materia causada por el estrés. El tensor de deformación es simétrico y tiene tres componentes de deformación lineal y tres de deformación cortante (cartesiana)". ^[6] ISO 80000-4 define además la deformación lineal como el "cociente del cambio en la longitud de un objeto y su longitud" y la deformación cortante como el "cociente del desplazamiento paralelo de dos superficies de una capa y el espesor de la capa". ^[6] Por lo tanto, las deformaciones se clasifican como normales o cortantes . Una deformación normal es perpendicular a la cara de un elemento, y una deformación cortante es paralela a ella. Estas definiciones son consistentes con las de tensión normal y tensión cortante .${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

El tensor de deformación puede entonces expresarse en términos de componentes normales y de corte como:$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yx}&\varepsilon _{yy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$

Consideremos un elemento material bidimensional, infinitesimal y rectangular con dimensiones dx × dy , que, después de la deformación, toma la forma de un rombo . La deformación se describe mediante el campo de desplazamiento u . De la geometría de la figura adyacente tenemos y Para gradientes de desplazamiento muy pequeños, los cuadrados de la derivada de y son despreciables y tenemos$${\displaystyle \mathrm {length} (AB)=dx}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle u_{y}}$${\displaystyle u_{x}}$$${\displaystyle \mathrm {length} (ab)\approx dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)=dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

En un material isótropo que obedece la ley de Hooke , una tensión normal provocará una deformación normal. Las deformaciones normales producen dilataciones .

La deformación normal en la dirección x del elemento rectangular se define por De manera similar, la deformación normal en las direcciones y y z se convierte en$${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$$${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

La deformación cortante de ingeniería ( _γxy ) se define como el cambio de ángulo entre las líneas AC y AB . Por lo tanto,$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

A partir de la geometría de la figura, tenemos Para gradientes de desplazamiento pequeños tenemos Para rotaciones pequeñas, es decir α y β son ≪ 1 tenemos tan α ≈ α , tan β ≈ β . Por lo tanto, así Al intercambiar x e y y u _x y u _y , se puede demostrar que γ _xy = γ _yx .$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1}$$$${\displaystyle \alpha \approx {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$$${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$

De manera similar, para los planos yz y xz , tenemos$${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$

Un campo de deformaciones asociado a un desplazamiento se define, en cualquier punto, por el cambio de longitud de los vectores tangentes que representan las velocidades de curvas parametrizadas arbitrariamente que pasan por ese punto. Un resultado geométrico básico, debido a Fréchet , von Neumann y Jordan , establece que, si las longitudes de los vectores tangentes cumplen los axiomas de una norma y la ley del paralelogramo , entonces la longitud de un vector es la raíz cuadrada del valor de la forma cuadrática asociada, por la fórmula de polarización , con una función bilineal definida positiva llamada tensor métrico .

• Medidas de estrés
• Tasa de deformación
• Tensor de deformación