Leyes del movimiento de Euler

Parte de una serie sobre
Mecánica clásica
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$ Segunda ley del movimiento
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En mecánica clásica , las leyes de movimiento de Euler son ecuaciones de movimiento que extienden las leyes de movimiento de Newton para partículas puntuales al movimiento de cuerpos rígidos . ^[1] Fueron formuladas por Leonhard Euler unos 50 años después de que Isaac Newton formulara sus leyes.

La primera ley de Euler establece que la tasa de cambio del momento lineal p de un cuerpo rígido es igual a la resultante de todas las fuerzas externas F _ext que actúan sobre el cuerpo: ^[2]

${\displaystyle F_{\text{ext}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}.}$

Las fuerzas internas entre las partículas que forman un cuerpo no contribuyen a cambiar el momento del cuerpo ya que existe una fuerza igual y opuesta que no produce ningún efecto neto. ^[3]

El momento lineal de un cuerpo rígido es el producto de la masa del cuerpo por la velocidad de su centro de masa v _cm . ^{[1] [4] [5]}

La segunda ley de Euler establece que la tasa de cambio del momento angular L alrededor de un punto que está fijo en un marco de referencia inercial (a menudo el centro de masa del cuerpo), es igual a la suma de los momentos externos de fuerza ( torsores ) que actúan sobre ese cuerpo M alrededor de ese punto: ^{[1] [4] [5]}

${\displaystyle \mathbf {M} ={d\mathbf {L} \over dt}.}$

Tenga en cuenta que la fórmula anterior se cumple solo si tanto M como L se calculan con respecto a un marco inercial fijo o un marco paralelo al marco inercial pero fijo en el centro de masa. Para cuerpos rígidos que se trasladan y rotan en solo dos dimensiones, esto se puede expresar como: ^[6]

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} _{\rm {cm}}\times \mathbf {a} _{\rm {cm}}m+I{\boldsymbol {\alpha }},}$

dónde:

• r _cm es el vector de posición del centro de masa del cuerpo con respecto al punto sobre el cual se suman los momentos,
• a _cm es la aceleración lineal del centro de masa del cuerpo,
• m es la masa del cuerpo,
• α es la aceleración angular del cuerpo, y
• I es el momento de inercia del cuerpo alrededor de su centro de masa.

Véase también las ecuaciones de Euler (dinámica de cuerpos rígidos) .

La distribución de las fuerzas internas en un cuerpo deformable no es necesariamente igual en todo su perímetro, es decir, las tensiones varían de un punto a otro. Esta variación de las fuerzas internas en todo el cuerpo está regida por la segunda ley de Newton del movimiento de conservación del momento lineal y del momento angular , que para su uso más simple se aplican a una partícula de masa pero se extienden en mecánica de medios continuos a un cuerpo de masa distribuida de forma continua. Para los cuerpos continuos, estas leyes se denominan leyes de Euler del movimiento . ^[7]

La fuerza corporal total aplicada a un cuerpo continuo con masa m , densidad de masa ρ y volumen V , es la integral de volumen integrada sobre el volumen del cuerpo:

${\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV}$

donde b es la fuerza que actúa sobre el cuerpo por unidad de masa ( dimensiones de aceleración, engañosamente llamada "fuerza del cuerpo"), y dm = ρ dV es un elemento de masa infinitesimal del cuerpo.

Las fuerzas del cuerpo y las fuerzas de contacto que actúan sobre el cuerpo dan lugar a momentos correspondientes ( torques ) de esas fuerzas con respecto a un punto determinado. Por lo tanto, el torque total aplicado M respecto al origen viene dado por

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}}$

donde M _B y M _C indican respectivamente los momentos provocados por las fuerzas del cuerpo y de contacto.

Por lo tanto, la suma de todas las fuerzas y pares aplicados (con respecto al origen del sistema de coordenadas) que actúan sobre el cuerpo se puede dar como la suma de una integral de volumen y superficie :

${\displaystyle \mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{V}\mathbf {a} \rho \,dV=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV}$

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.}$

donde t = t ( n ) se denomina tracción superficial , integrada sobre la superficie del cuerpo, a su vez n denota un vector unitario normal y dirigido hacia afuera a la superficie S .

Sea el sistema de coordenadas ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) un marco de referencia inercial , r el vector de posición de una partícula puntual en el cuerpo continuo con respecto al origen del sistema de coordenadas, y v = ⁠dr​/es⁠ sea el vector de velocidad de ese punto.

El primer axioma o ley de Euler (ley de equilibrio del momento lineal o equilibrio de fuerzas) establece que en un marco inercial la tasa temporal de cambio del momento lineal p de una porción arbitraria de un cuerpo continuo es igual a la fuerza total aplicada F que actúa sobre esa porción, y se expresa como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}&=\mathbf {F} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}}$

El segundo axioma o ley de Euler (ley de equilibrio del momento angular o equilibrio de pares) establece que en un marco inercial la tasa temporal de cambio del momento angular L de una porción arbitraria de un cuerpo continuo es igual al par total aplicado M que actúa sobre esa porción, y se expresa como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&=\mathbf {M} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV.\end{aligned}}}$

donde es la velocidad, el volumen y las derivadas de p y L son derivadas materiales .${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle V}$

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