Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

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En teoría de conjuntos , la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , llamada así por los matemáticos Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel , es un sistema axiomático que se propuso a principios del siglo XX con el fin de formular una teoría de conjuntos libre de paradojas como la paradoja de Russell . Hoy en día, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, con el históricamente controvertido axioma de elección (AC) incluido, es la forma estándar de la teoría de conjuntos axiomáticos y como tal es la base más común de las matemáticas . La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección incluido se abrevia ZFC , donde C significa "elección", ^[1] y ZF se refiere a los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección excluido.

De manera informal, ^[2] la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel pretende formalizar una única noción primitiva, la de un conjunto bien fundado hereditario , de modo que todas las entidades en el universo del discurso sean tales conjuntos. Por lo tanto, los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel se refieren solo a conjuntos puros e impiden que sus modelos contengan urelementos (elementos de conjuntos que no son conjuntos en sí mismos). Además, las clases propias (colecciones de objetos matemáticos definidos por una propiedad compartida por sus miembros donde las colecciones son demasiado grandes para ser conjuntos) solo pueden tratarse indirectamente. Específicamente, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel no permite la existencia de un conjunto universal (un conjunto que contiene todos los conjuntos) ni la comprensión sin restricciones , evitando así la paradoja de Russell. La teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) es una extensión conservadora comúnmente utilizada de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que permite el tratamiento explícito de las clases propias.

Existen muchas formulaciones equivalentes de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. La mayoría de los axiomas establecen la existencia de conjuntos particulares definidos a partir de otros conjuntos. Por ejemplo, el axioma de emparejamiento dice que dados dos conjuntos cualesquiera y hay un nuevo conjunto que contiene exactamente y . Otros axiomas describen propiedades de pertenencia a un conjunto. Un objetivo de los axiomas es que cada axioma sea verdadero si se interpreta como una afirmación sobre la colección de todos los conjuntos en el universo de von Neumann (también conocido como la jerarquía acumulativa).${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización \{a,b\}}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$

La metamatemática de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ha sido ampliamente estudiada. Resultados clave en esta área establecieron la independencia lógica del axioma de elección respecto de los axiomas restantes de Zermelo-Fraenkel y de la hipótesis del continuo respecto de ZFC. La consistencia de una teoría como ZFC no puede probarse dentro de la teoría misma, como lo demuestra el segundo teorema de incompletitud de Gödel .

El estudio moderno de la teoría de conjuntos fue iniciado por Georg Cantor y Richard Dedekind en la década de 1870. Sin embargo, el descubrimiento de paradojas en la teoría de conjuntos ingenua , como la paradoja de Russell , condujo al deseo de una forma más rigurosa de teoría de conjuntos que estuviera libre de estas paradojas.

En 1908, Ernst Zermelo propuso la primera teoría axiomática de conjuntos , la teoría de conjuntos de Zermelo . Sin embargo, como señaló por primera vez Abraham Fraenkel en una carta de 1921 a Zermelo, esta teoría era incapaz de probar la existencia de ciertos conjuntos y números cardinales cuya existencia era dada por sentada por la mayoría de los teóricos de conjuntos de la época, en particular el número cardinal y el conjunto donde es cualquier conjunto infinito y es la operación de conjunto potencia . ^[3] Además, uno de los axiomas de Zermelo invocaba un concepto, el de una propiedad "definida", cuyo significado operacional no estaba claro. En 1922, Fraenkel y Thoralf Skolem propusieron de forma independiente operacionalizar una propiedad "definida" como una que pudiera formularse como una fórmula bien formada en una lógica de primer orden cuyas fórmulas atómicas se limitaban a la pertenencia y la identidad de conjuntos. También propusieron de forma independiente reemplazar el esquema axiomático de especificación por el esquema axiomático de reemplazo . Si añadimos este esquema, así como el axioma de regularidad (propuesto por primera vez por John von Neumann ), ^[4] a la teoría de conjuntos de Zermelo obtenemos la teoría denotada por ZF . Si añadimos a ZF el axioma de elección (AC) o un enunciado equivalente a este obtenemos ZFC .${\displaystyle \aleph _{\omega }}$${\displaystyle \{Z_{0},{\mathcal {P}}(Z_{0}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0})),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(Z_{0}))),...\},}$${\estilo de visualización Z_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Formalmente, ZFC es una teoría de un orden en lógica de primer orden . El símbolo de igualdad puede tratarse como un símbolo lógico primitivo o como una abreviatura de alto nivel para tener exactamente los mismos elementos. El primer enfoque es el más común. La firma tiene un solo símbolo de predicado, generalmente denotado como , que es un símbolo de predicado de aridad 2 (un símbolo de relación binaria). Este símbolo simboliza una relación de pertenencia a un conjunto . Por ejemplo, la fórmula significa que es un elemento del conjunto (también se lee como es un miembro de ).${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle a\in b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Existen diferentes formas de formular el lenguaje formal. Algunos autores pueden elegir un conjunto diferente de conectivos o cuantificadores. Por ejemplo, el conectivo lógico NAND por sí solo puede codificar los otros conectivos, una propiedad conocida como completitud funcional . En esta sección se intenta lograr un equilibrio entre la simplicidad y la intuición.

El alfabeto del idioma consta de:

• Una cantidad infinitamente contable de variables utilizadas para representar conjuntos
• Los conectivos lógicos , ,${\displaystyle \lnot }$${\displaystyle \land }$${\displaystyle \lor }$
• Los símbolos cuantificadores ,${\displaystyle \forall }$${\displaystyle \exists }$
• El símbolo de igualdad${\displaystyle =}$
• El símbolo de membresía del conjunto${\displaystyle \in }$
• Corchetes ( )

Con este alfabeto, las reglas recursivas para formar fórmulas bien formadas (fbf) son las siguientes:

• Sean y metavariables para cualquier variable. Estas son las dos formas de construir fórmulas atómicas (las fórmulas de función de trabajo más simples):${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=y}$

${\displaystyle x\in y}$

• Sean y metavariables para cualquier función de fórmula formal, y una metavariable para cualquier variable. Estas son construcciones válidas de función de fórmula formal:${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lnot \phi }$

${\displaystyle (\phi \land \psi )}$

${\displaystyle (\phi \lor \psi )}$

${\displaystyle \forall x\phi }$

${\displaystyle \exists x\phi }$

Una fórmula bien formada puede considerarse como un árbol sintáctico. Los nodos hoja son siempre fórmulas atómicas. Los nodos y tienen exactamente dos nodos secundarios, mientras que los nodos , y tienen exactamente uno. Hay infinitas fórmulas bien formadas, sin embargo, cada fórmula bien formada tiene un número finito de nodos.${\displaystyle \land }$${\displaystyle \lor }$${\displaystyle \lnot }$${\displaystyle \forall x}$${\displaystyle \exists x}$

Existen muchas formulaciones equivalentes de los axiomas de ZFC. ^[5] El siguiente conjunto de axiomas en particular es de Kunen (1980). Los axiomas que aparecen en orden a continuación se expresan en una mezcla de lógica de primer orden y abreviaturas de alto nivel.

Los axiomas 1 a 8 forman ZF, mientras que el axioma 9 convierte a ZF en ZFC. Siguiendo a Kunen (1980), utilizamos el teorema de buen orden equivalente en lugar del axioma de elección para el axioma 9.

Todas las formulaciones de ZFC implican que existe al menos un conjunto. Kunen incluye un axioma que afirma directamente la existencia de un conjunto, aunque señala que lo hace sólo "para enfatizar". ^[6] Su omisión aquí puede justificarse de dos maneras. Primero, en la semántica estándar de la lógica de primer orden en la que se formaliza típicamente ZFC, el dominio del discurso debe ser no vacío. Por lo tanto, es un teorema lógico de la lógica de primer orden que algo existe, generalmente expresado como la afirmación de que algo es idéntico a sí mismo, . En consecuencia, es un teorema de toda teoría de primer orden que algo existe. Sin embargo, como se señaló anteriormente, debido a que en la semántica prevista de ZFC, solo hay conjuntos, la interpretación de este teorema lógico en el contexto de ZFC es que existe algún conjunto . Por lo tanto, no hay necesidad de un axioma separado que afirme que existe un conjunto. En segundo lugar, sin embargo, incluso si ZFC se formula en la llamada lógica libre , en la que no se puede demostrar a partir de la lógica sola que algo existe, el axioma de infinito afirma que existe un conjunto infinito . Esto implica que existe un conjunto y, por lo tanto, una vez más, es superfluo incluir un axioma que afirme eso.${\displaystyle \exists x(x=x)}$

Dos conjuntos son iguales (son el mismo conjunto) si tienen los mismos elementos.

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].}$

El inverso de este axioma se desprende de la propiedad de sustitución de la igualdad . La ZFC se construye en lógica de primer orden. Algunas formulaciones de lógica de primer orden incluyen la identidad; otras no. Si la variedad de lógica de primer orden en la que está construyendo la teoría de conjuntos no incluye la igualdad " ", puede definirse como una abreviatura de la siguiente fórmula: ^[7]${\displaystyle =}$${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall w[x\in w\Leftrightarrow y\in w].}$

En este caso, el axioma de extensionalidad puede reformularse como

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall w(x\in w\Leftrightarrow y\in w)],}$

que dice que si y tienen los mismos elementos, entonces pertenecen a los mismos conjuntos. ^[8]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Todo conjunto no vacío contiene un miembro tal que y son conjuntos disjuntos .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].}$^[9]

o en notación moderna:${\displaystyle \forall x\,(x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y(y\in x\land y\cap x=\varnothing )).}$

Esto (junto con los axiomas de emparejamiento y unión) implica, por ejemplo, que ningún conjunto es un elemento de sí mismo y que cada conjunto tiene un rango ordinal .

Los subconjuntos se construyen comúnmente utilizando la notación de construcción de conjuntos . Por ejemplo, los números enteros pares se pueden construir como el subconjunto de los números enteros que satisfacen el predicado de congruencia módulo :${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle x\equiv 0{\pmod {2}}}$

${\displaystyle \{x\in \mathbb {Z} :x\equiv 0{\pmod {2}}\}.}$

En general, el subconjunto de un conjunto que obedece una fórmula con una variable libre puede escribirse como:${\displaystyle z}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \{x\in z:\varphi (x)\}.}$

El esquema axiomático de especificación establece que este subconjunto siempre existe (es un esquema axiomático porque hay un axioma para cada ). Formalmente, sea cualquier fórmula en el lenguaje de ZFC con todas las variables libres entre ( no es libre en ). Entonces:${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \forall z\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \varphi (x,w_{1},w_{2},...,w_{n},z))].}$

Téngase en cuenta que el esquema axiomático de especificación sólo puede construir subconjuntos y no permite la construcción de entidades de la forma más general:

${\displaystyle \{x:\varphi (x)\}.}$

Esta restricción es necesaria para evitar la paradoja de Russell (sea entonces ) y sus variantes que acompañan a la teoría ingenua de conjuntos con comprensión irrestricta (ya que bajo esta restricción sólo se refiere a conjuntos dentro de que no se pertenecen a sí mismos, y no ha sido establecido, aunque es el caso, por lo que se encuentra en una posición separada de la cual no puede referirse a ni comprenderse a sí mismo; por lo tanto, en cierto sentido, este esquema axiomático está diciendo que para construir un sobre la base de una fórmula , es necesario restringir previamente los conjuntos que se consideran dentro de un conjunto que queda fuera por lo que no puede referirse a sí mismo; o, en otras palabras, los conjuntos no deben referirse a sí mismos).${\displaystyle y=\{x:x\notin x\}}$${\displaystyle y\in y\Leftrightarrow y\notin y}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$${\displaystyle y\in z}$${\displaystyle y\subseteq z}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

En algunas otras axiomatizaciones de ZF, este axioma es redundante porque se sigue del esquema axiomático de reemplazo y del axioma del conjunto vacío .

Por otra parte, el esquema axiomático de especificación se puede utilizar para demostrar la existencia del conjunto vacío , denotado , una vez que se sabe que existe al menos un conjunto. Una forma de hacerlo es utilizar una propiedad que ningún conjunto tiene. Por ejemplo, si es cualquier conjunto existente, el conjunto vacío se puede construir como${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle w}$

${\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\}.}$

Por lo tanto, el axioma del conjunto vacío está implícito en los nueve axiomas presentados aquí. El axioma de extensionalidad implica que el conjunto vacío es único (no depende de ). Es común hacer una extensión definicional que agrega el símbolo " " al lenguaje de ZFC.${\displaystyle w}$${\displaystyle \varnothing }$

Si y son conjuntos, entonces existe un conjunto que contiene y como elementos, por ejemplo si x = {1,2} e y = {2,3} entonces z será {{1,2},{2,3}}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).}$

El esquema axiomático de especificación debe utilizarse para reducir esto a un conjunto con exactamente estos dos elementos. El axioma de emparejamiento es parte de Z, pero es redundante en ZF porque se sigue del esquema axiomático de reemplazo si se nos da un conjunto con al menos dos elementos. La existencia de un conjunto con al menos dos elementos está asegurada por el axioma de infinito o por el esquema axiomático de especificación ^{[ dudoso – discutir ]} y el axioma del conjunto potencia aplicado dos veces a cualquier conjunto.

La unión sobre los elementos de un conjunto existe. Por ejemplo, la unión sobre los elementos del conjunto es${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\}\}}$${\displaystyle \{1,2,3\}.}$

El axioma de unión establece que para cualquier conjunto de conjuntos , existe un conjunto que contiene cada elemento que es miembro de algún miembro de :${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].}$

Aunque esta fórmula no afirma directamente la existencia de , el conjunto se puede construir a partir de lo anterior utilizando el esquema axiomático de especificación:${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}=\{x\in A:\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\}.}$

El esquema axiomático de reemplazo afirma que la imagen de un conjunto bajo cualquier función definible también caerá dentro de un conjunto.

Formalmente, sea cualquier fórmula en el lenguaje de ZFC cuyas variables libres estén entre tal que en particular no sea libre en . Entonces:${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x,y,A,w_{1},\dotsc ,w_{n},}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \forall A\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\varphi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \varphi ){\bigr )}{\bigr ]}.}$

(El cuantificador existencial único denota la existencia de exactamente un elemento tal que sigue a una afirmación dada.)${\displaystyle \exists !}$

En otras palabras, si la relación representa una función definible , representa su dominio y es un conjunto para cada , entonces el rango de es un subconjunto de algún conjunto . La forma que se indica aquí, en la que puede ser mayor que lo estrictamente necesario, a veces se denomina esquema axiomático de colección .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\in A,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

Sea abreviado donde es un conjunto. (Podemos ver que es un conjunto válido aplicando el axioma de emparejamiento con de modo que el conjunto z es ). Entonces existe un conjunto X tal que el conjunto vacío , definido axiomáticamente, es un miembro de X y, siempre que un conjunto y es un miembro de X entonces es también un miembro de X .${\displaystyle S(w)}$${\displaystyle w\cup \{w\},}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \{w\}}$${\displaystyle x=y=w}$${\displaystyle \{w\}}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle S(y)}$

${\displaystyle \exists X\left[\exists e(\forall z\,\neg (z\in e)\land e\in X)\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}$

o en notación moderna:${\displaystyle \exists X\left[\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}$

En términos más coloquiales, existe un conjunto X que tiene infinitos miembros. (Sin embargo, debe establecerse que estos miembros son todos diferentes porque si dos elementos son iguales, la secuencia se repetirá en un ciclo finito de conjuntos. El axioma de regularidad evita que esto suceda). El conjunto mínimo X que satisface el axioma de infinito es el ordinal de von Neumann ω, que también puede considerarse como el conjunto de números naturales. ${\displaystyle \mathbb {N} .}$

Por definición, un conjunto es un subconjunto de un conjunto si y solo si cada elemento de es también un elemento de :${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle (z\subseteq x)\Leftrightarrow (\forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)).}$

El axioma del conjunto potencia establece que para cualquier conjunto , existe un conjunto que contiene cada subconjunto de :${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \forall x\exists y\forall z(z\subseteq x\Rightarrow z\in y).}$

El esquema axiomático de especificación se utiliza entonces para definir el conjunto potencia como el subconjunto de tal que contiene los subconjuntos de exactamente:${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)=\{z\in y:z\subseteq x\}.}$

Los axiomas 1 a 8 definen la ley de la fuerza. A menudo se encuentran formas alternativas de estos axiomas, algunas de las cuales se enumeran en Jech (2003). Algunas axiomatizaciones de la ley de la fuerza incluyen un axioma que afirma que el conjunto vacío existe . Los axiomas de emparejamiento, unión, reemplazo y conjunto potencia suelen enunciarse de modo que los miembros del conjunto cuya existencia se afirma sean precisamente aquellos conjuntos que el axioma afirma que deben contener.${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Se agrega el siguiente axioma para convertir ZF en ZFC:

El último axioma, conocido comúnmente como axioma de elección , se presenta aquí como una propiedad sobre los buenos órdenes , como en Kunen (1980). Para cualquier conjunto , existe una relación binaria que bien ordena . Esto significa que es un orden lineal en tal que cada subconjunto no vacío de tiene un elemento menor bajo el orden .${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X).}$

Dados los axiomas 1  a  8 , muchas afirmaciones son demostrablemente equivalentes al axioma 9. La más común de ellas es la siguiente. Sea un conjunto cuyos miembros no son todos vacíos. Entonces existe una función de a la unión de los miembros de , llamada " función de elección ", tal que para todo uno tiene . Una tercera versión del axioma, también equivalente, es el lema de Zorn .${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\in X}$${\displaystyle f(Y)\in Y}$

Dado que la existencia de una función de elección cuando es un conjunto finito se demuestra fácilmente a partir de los axiomas 1 a 8 , AC solo importa para ciertos conjuntos infinitos . AC se caracteriza como no constructiva porque afirma la existencia de una función de elección pero no dice nada sobre cómo se debe "construir" esta función de elección.${\displaystyle X}$

Una motivación para los axiomas de ZFC es la jerarquía acumulativa de conjuntos introducida por John von Neumann . ^[10] En este punto de vista, el universo de la teoría de conjuntos se construye en etapas, con una etapa para cada número ordinal . En la etapa 0, todavía no hay conjuntos. En cada etapa siguiente, se agrega un conjunto al universo si todos sus elementos se han agregado en etapas anteriores. Por lo tanto, el conjunto vacío se agrega en la etapa 1, y el conjunto que contiene el conjunto vacío se agrega en la etapa 2. ^[11] La colección de todos los conjuntos que se obtienen de esta manera, a lo largo de todas las etapas, se conoce como V. Los conjuntos en V se pueden organizar en una jerarquía asignando a cada conjunto la primera etapa en la que ese conjunto se agregó a V.

Es demostrable que un conjunto está en V si y sólo si el conjunto es puro y bien fundado . Y V satisface todos los axiomas de ZFC si la clase de ordinales tiene propiedades de reflexión apropiadas. Por ejemplo, supongamos que un conjunto x se añade en la etapa α, lo que significa que cada elemento de x se añadió en una etapa anterior a α. Entonces, cada subconjunto de x también se añade en (o antes de) la etapa α, porque todos los elementos de cualquier subconjunto de x también se añadieron antes de la etapa α. Esto significa que cualquier subconjunto de x que el axioma de separación pueda construir se añade en (o antes de) la etapa α, y que el conjunto potencia de x se añadirá en la siguiente etapa después de α. ^[12]

La imagen del universo de conjuntos estratificados en la jerarquía acumulativa es característica de la ZFC y de las teorías de conjuntos axiomáticas relacionadas, como la teoría de conjuntos de Von Neumann–Bernays–Gödel (a menudo llamada NBG) y la teoría de conjuntos de Morse–Kelley . La jerarquía acumulativa no es compatible con otras teorías de conjuntos, como la de New Foundations .

Es posible cambiar la definición de V de modo que en cada etapa, en lugar de añadir todos los subconjuntos de la unión de las etapas anteriores, sólo se añadan subconjuntos si son definibles en un cierto sentido. Esto da como resultado una jerarquía más "estrecha", que da como resultado el universo construible L , que también satisface todos los axiomas de ZFC, incluido el axioma de elección. Es independiente de los axiomas de ZFC si V  =  L . Aunque la estructura de L es más regular y se comporta mejor que la de  V , pocos matemáticos argumentan que  V =  L debería añadirse a ZFC como un " axioma de constructibilidad " adicional.

Las clases propias (colecciones de objetos matemáticos definidos por una propiedad compartida por sus miembros que son demasiado grandes para ser conjuntos) solo se pueden tratar indirectamente en ZF (y, por lo tanto, en ZFC). Una alternativa a las clases propias sin salirse de ZF y ZFC es la construcción notacional de clases virtuales introducida por Quine (1969), donde la construcción completa y ∈ { x | F x } se define simplemente como F y . ^[13] Esto proporciona una notación simple para clases que pueden contener conjuntos pero que no necesitan ser conjuntos, sin comprometerse con la ontología de clases (porque la notación se puede convertir sintácticamente a una que solo use conjuntos). El enfoque de Quine se basó en el enfoque anterior de Bernays & Fraenkel (1958). Las clases virtuales también se usan en Levy (2002), Takeuti & Zaring (1982) y en la implementación de ZFC en Metamath .

Los esquemas axiomáticos de reemplazo y separación contienen cada uno un número infinito de instancias. Montague (1961) incluyó un resultado que demostró por primera vez en su tesis doctoral de 1957: si la ZFC es consistente, es imposible axiomatizar la ZFC utilizando solo un número finito de axiomas. Por otro lado, la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) puede axiomatizarse finitamente. La ontología de NBG incluye clases propias así como conjuntos; un conjunto es cualquier clase que pueda ser miembro de otra clase. NBG y ZFC son teorías de conjuntos equivalentes en el sentido de que cualquier teorema que no mencione clases y que sea demostrable en una teoría puede demostrarse en la otra.

El segundo teorema de incompletitud de Gödel dice que un sistema recursivamente axiomatizable que puede interpretar la aritmética de Robinson puede probar su propia consistencia solo si es inconsistente. Además, la aritmética de Robinson puede interpretarse en la teoría general de conjuntos , un pequeño fragmento de ZFC. Por lo tanto, la consistencia de ZFC no puede probarse dentro de ZFC en sí (a menos que sea realmente inconsistente). Por lo tanto, en la medida en que ZFC se identifica con las matemáticas ordinarias, la consistencia de ZFC no puede demostrarse en las matemáticas ordinarias. La consistencia de ZFC se sigue de la existencia de un cardinal débilmente inaccesible , que es indemostrable en ZFC si ZFC es consistente. Sin embargo, se considera improbable que ZFC albergue una contradicción insospechada; se cree ampliamente que si ZFC fuera inconsistente, ese hecho ya se habría descubierto. Una cosa es segura: ZFC es inmune a las paradojas clásicas de la teoría de conjuntos ingenua : la paradoja de Russell , la paradoja de Burali-Forti y la paradoja de Cantor .

Abian y LaMacchia (1978) estudiaron una subteoría de ZFC que consiste en los axiomas de extensionalidad, unión, conjunto potencia, reemplazo y elección. Usando modelos , probaron que esta subteoría es consistente, y probaron que cada uno de los axiomas de extensionalidad, reemplazo y conjunto potencia es independiente de los cuatro axiomas restantes de esta subteoría. Si esta subteoría se aumenta con el axioma de infinito, cada uno de los axiomas de unión, elección e infinito es independiente de los cinco axiomas restantes. Debido a que hay modelos no bien fundados que satisfacen cada axioma de ZFC excepto el axioma de regularidad, ese axioma es independiente de los otros axiomas de ZFC.

Si es consistente, ZFC no puede probar la existencia de los cardinales inaccesibles que requiere la teoría de categorías . Son posibles conjuntos enormes de esta naturaleza si ZF se amplía con el axioma de Tarski . ^[14] Suponiendo que el axioma convierte los axiomas de infinito , conjunto de potencias y elección ( 7-9 anteriores ) en teoremas  . 

Muchas afirmaciones importantes son independientes de ZFC . La independencia se demuestra habitualmente forzando , con lo que se demuestra que todo modelo transitivo numerable de ZFC (a veces aumentado con axiomas cardinales grandes ) se puede expandir para satisfacer la afirmación en cuestión. Luego se demuestra que una expansión diferente satisface la negación de la afirmación. Una prueba de independencia por forzamiento demuestra automáticamente la independencia de las afirmaciones aritméticas, otras afirmaciones concretas y axiomas cardinales grandes. Se puede demostrar que algunas afirmaciones independientes de ZFC se cumplen en modelos internos particulares , como en el universo construible . Sin embargo, algunas afirmaciones que son verdaderas sobre los conjuntos construibles no son consistentes con los axiomas cardinales grandes hipotéticos.

La forzamiento demuestra que las siguientes afirmaciones son independientes de ZFC:

• Axioma de constructibilidad (V=L) (que tampoco es un axioma de ZFC)
• Hipótesis del continuo
• Principio del diamante
• Axioma de Martin (que no es un axioma de ZFC)
• Hipótesis de Suslin

Observaciones:

• La consistencia de V=L se puede demostrar mediante modelos internos , pero no mediante forzamiento: cada modelo de ZF se puede recortar para convertirse en un modelo de ZFC + V=L.
• El principio del diamante implica la hipótesis del continuo y la negación de la hipótesis de Suslin.
• El axioma de Martin más la negación de la hipótesis del continuo implica la hipótesis de Suslin.
• El universo construible satisface la hipótesis del continuo generalizado , el principio del diamante, el axioma de Martin y la hipótesis de Kurepa.
• El fracaso de la hipótesis de Kurepa es equiconsistente con la existencia de un cardinal fuertemente inaccesible .

También se puede utilizar una variación del método de forzar para demostrar la consistencia y la imposibilidad de demostrar el axioma de elección , es decir, que el axioma de elección es independiente de ZF. La consistencia de la elección se puede verificar (relativamente) fácilmente demostrando que el modelo interno L satisface la elección. (Por tanto, todo modelo de ZF contiene un submodelo de ZFC, de modo que Con(ZF) implica Con(ZFC).) Dado que el forzar preserva la elección, no podemos producir directamente un modelo que contradiga la elección a partir de un modelo que satisfaga la elección. Sin embargo, podemos utilizar el forzar para crear un modelo que contenga un submodelo adecuado, es decir, uno que satisfaga ZF pero no C.

Otro método para demostrar resultados de independencia, que no se debe a la fuerza, se basa en el segundo teorema de incompletitud de Gödel. Este enfoque emplea el enunciado cuya independencia se está examinando para demostrar la existencia de un modelo de conjunto de ZFC, en cuyo caso Con(ZFC) es verdadero. Dado que ZFC satisface las condiciones del segundo teorema de Gödel, la consistencia de ZFC es indemostrable en ZFC (siempre que ZFC sea, de hecho, consistente). Por lo tanto, no se puede demostrar ningún enunciado que permita tal prueba en ZFC. Este método puede demostrar que la existencia de cardinales grandes no es demostrable en ZFC, pero no puede demostrar que asumir tales cardinales, dado ZFC, esté libre de contradicciones.

El proyecto de unificar a los teóricos de conjuntos en torno a axiomas adicionales para resolver la hipótesis del continuo u otras ambigüedades metamatemáticas se conoce a veces como "el programa de Gödel". ^[15] Los matemáticos debaten actualmente qué axiomas son los más plausibles o "evidentes por sí mismos", qué axiomas son los más útiles en diversos dominios y hasta qué punto la utilidad debe ser compensada con la plausibilidad; algunos teóricos de conjuntos del " multiverso " argumentan que la utilidad debería ser el único criterio último en cuanto a qué axiomas adoptar habitualmente. Una escuela de pensamiento se inclina por expandir el concepto "iterativo" de un conjunto para producir un universo de teoría de conjuntos con una estructura interesante y compleja pero razonablemente manejable mediante la adopción de axiomas forzados; otra escuela aboga por un universo más ordenado y menos desordenado, tal vez centrado en un modelo interno "central". ^[16]

ZFC ha sido criticado tanto por ser excesivamente fuerte como por ser excesivamente débil, así como por su fracaso en capturar objetos como las clases propias y el conjunto universal .

Muchos teoremas matemáticos pueden demostrarse en sistemas mucho más débiles que ZFC, como la aritmética de Peano y la aritmética de segundo orden (tal como se explora en el programa de matemáticas inversas ). Saunders Mac Lane y Solomon Feferman han señalado este punto. Algunas de las "matemáticas convencionales" (matemáticas no conectadas directamente con la teoría axiomática de conjuntos) están más allá de la aritmética de Peano y la aritmética de segundo orden, pero aún así, todas esas matemáticas pueden llevarse a cabo en ZC ( teoría de conjuntos de Zermelo con elección), otra teoría más débil que ZFC. Gran parte del poder de ZFC, incluido el axioma de regularidad y el esquema axiomático de reemplazo, se incluye principalmente para facilitar el estudio de la teoría de conjuntos en sí.

Por otra parte, entre las teorías de conjuntos axiomáticos , ZFC es comparativamente débil. A diferencia de New Foundations , ZFC no admite la existencia de un conjunto universal. Por lo tanto, el universo de conjuntos bajo ZFC no está cerrado bajo las operaciones elementales del álgebra de conjuntos . A diferencia de la teoría de conjuntos de von Neumann–Bernays–Gödel (NBG) y la teoría de conjuntos de Morse–Kelley (MK), ZFC no admite la existencia de clases propias . Una debilidad comparativa adicional de ZFC es que el axioma de elección incluido en ZFC es más débil que el axioma de elección global incluido en NBG y MK.

Existen numerosas afirmaciones matemáticas independientes de ZFC . Estas incluyen la hipótesis del continuo , el problema de Whitehead y la conjetura del espacio normal de Moore . Algunas de estas conjeturas son demostrables con la adición de axiomas como el axioma de Martin o los axiomas de grandes cardinales a ZFC. Algunas otras se deciden en ZF+AD donde AD es el axioma de determinación , una suposición fuerte incompatible con la elección. Un atractivo de los axiomas de grandes cardinales es que permiten que muchos resultados de ZF+AD se establezcan en ZFC adjuntos por algún axioma de gran cardinal. El sistema Mizar y la metamatemática han adoptado la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck , una extensión de ZFC, de modo que se pueden formalizar las pruebas que involucran universos de Grothendieck (encontrados en la teoría de categorías y la geometría algebraica).

• Fundamentos de las matemáticas
• Modelo interno
• Axioma cardinal mayor

Teorías de conjuntos axiomáticos relacionadas :

• Teoría de conjuntos de Morse-Kelley
• Teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel
• Teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck
• Teoría de conjuntos constructivos
• Teoría de conjuntos internos

• Axiomas de la teoría de conjuntos - Lección 02 - Frederic Schuller en YouTube
• "ZFC", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Artículos de Joan Bagaria en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford :
  • Bagaria, Joan (31 de enero de 2023). "Teoría de conjuntos". En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
  • — (31 de enero de 2023). «Axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel». En — (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Versión metamath de los axiomas de ZFC: una axiomatización concisa y no redundante. La lógica de primer orden de fondo se define especialmente para facilitar la verificación de las pruebas por parte de la máquina.
  • Una derivación en Metamath de una versión del esquema de separación a partir de una versión del esquema de reemplazo.
• Weisstein, Eric W. "Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel". MathWorld .