El universo de Grothendieck

En matemáticas , un universo de Grothendieck es un conjunto U con las siguientes propiedades:

1. Si x es un elemento de U y si y es un elemento de x , entonces y también es un elemento de U. ( U es un conjunto transitivo ).
2. Si x e y son ambos elementos de U , entonces es un elemento de U .${\estilo de visualización \{x,y\}}$
3. Si x es un elemento de U , entonces P ( x ), el conjunto potencia de x , también es un elemento de U .
4. Si es una familia de elementos de U , y si I es un elemento de U , entonces la unión es un elemento de U .${\displaystyle \{x_{\alpha }\}_{\alpha \en I}}$${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}x_{\alpha }}$

Un universo de Grothendieck tiene como objetivo proporcionar un conjunto en el que se puedan realizar todas las operaciones matemáticas. (De hecho, los innumerables universos de Grothendieck proporcionan modelos de teoría de conjuntos con la relación ∈ natural, la operación natural de conjuntos potenciados, etc.). Los elementos de un universo de Grothendieck a veces se denominan conjuntos pequeños . La idea de los universos se debe a Alexander Grothendieck , quien los utilizó como una forma de evitar las clases propias en la geometría algebraica .

La existencia de un universo Grothendieck no trivial va más allá de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ; en particular, implicaría la existencia de cardinales fuertemente inaccesibles . La teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck es un tratamiento axiomático de la teoría de conjuntos, utilizada en algunos sistemas de prueba automática, en los que cada conjunto pertenece a un universo Grothendieck. El concepto de un universo Grothendieck también puede definirse en un topos . ^[1]

A modo de ejemplo demostraremos una proposición fácil.

Proposición . Si y , entonces .${\displaystyle x\en U}$${\displaystyle y\subseteq x}$${\displaystyle y\en U}$

Prueba. porque . debido a que , entonces .${\displaystyle y\en P(x)}$${\displaystyle y\subseteq x}$${\displaystyle P(x)\en U}$${\displaystyle x\en U}$${\displaystyle y\en U}$

Es igualmente fácil demostrar que cualquier universo de Grothendieck U contiene:

• Todos los singletons de cada uno de sus elementos,
• Todos los productos de todas las familias de elementos de U indexados por un elemento de U ,
• Todas las uniones disjuntas de todas las familias de elementos de U indexadas por un elemento de U ,
• Todas las intersecciones de todas las familias de elementos de U indexadas por un elemento de U ,
• Todas las funciones entre dos elementos cualesquiera de U , y
• Todos los subconjuntos de U cuyo cardinal es un elemento de U .

En particular, del último axioma se sigue que si U no es vacío, debe contener todos sus subconjuntos finitos y un subconjunto de cada cardinalidad finita. También se puede demostrar inmediatamente a partir de las definiciones que la intersección de cualquier clase de universos es un universo.

Hay dos ejemplos sencillos de universos de Grothendieck:

• El conjunto vacío, y
• El conjunto de todos los conjuntos hereditariamente finitos .${\displaystyle V_{\omega}}$

Otros ejemplos son más difíciles de construir. En términos generales, esto se debe a que los universos de Grothendieck son equivalentes a cardinales fuertemente inaccesibles . Más formalmente, los dos axiomas siguientes son equivalentes:

(U) Para cada conjunto x , existe un universo de Grothendieck U tal que x ∈ U .

(C) Para cada cardinal κ, hay un cardinal λ fuertemente inaccesible que es estrictamente mayor que κ.

Para demostrar este hecho, introducimos la función c ( U ). Definimos:

${\displaystyle \mathbf {c}(U)=\sup _{x\in U}|x|}$

donde por | x | queremos decir la cardinalidad de x . Entonces, para cualquier universo U , c ( U ) es cero o fuertemente inaccesible. Suponiendo que no es cero, es un cardinal límite fuerte porque el conjunto potencia de cualquier elemento de U es un elemento de U y cada elemento de U es un subconjunto de U . Para ver que es regular, supongamos que c _λ es una colección de cardinales indexados por I , donde la cardinalidad de I y de cada c _λ es menor que c ( U ). Entonces, por la definición de c ( U ), I y cada c _λ pueden reemplazarse por un elemento de U . La unión de elementos de U indexados por un elemento de U es un elemento de U , por lo que la suma de c _λ tiene la cardinalidad de un elemento de U , por lo tanto es menor que c ( U ). Invocando el axioma de fundamento, de que ningún conjunto está contenido en sí mismo, se puede demostrar que c ( U ) es igual a | U |; cuando no se supone el axioma de fundamento, hay contraejemplos (podemos tomar por ejemplo U como el conjunto de todos los conjuntos finitos de conjuntos finitos, etc. de los conjuntos x _α donde el índice α es cualquier número real, y x _α = { x _α } para cada α . Entonces U tiene la cardinalidad del continuo, pero todos sus miembros tienen cardinalidad finita y por lo tanto  ; ver el artículo de Bourbaki para más detalles).${\displaystyle \mathbf {c}(U)=\aleph _{0}}$

Sea κ un cardinal fuertemente inaccesible. Digamos que un conjunto S es estrictamente de tipo κ si para cualquier secuencia s _n ∈ ... ∈ s ₀ ∈ S , | s _n | < κ . ( S en sí corresponde a la secuencia vacía). Entonces el conjunto u ( κ ) de todos los conjuntos estrictamente de tipo κ es un universo de Grothendieck de cardinalidad κ . La prueba de este hecho es larga, por lo que para más detalles, nos remitimos nuevamente al artículo de Bourbaki, que figura en las referencias.

Para demostrar que el axioma de cardinal grande (C) implica el axioma de universo (U), elijamos un conjunto x . Sea x ₀ = x , y para cada n , sea la unión de los elementos de x _n . Sea y = . Por (C), existe un cardinal fuertemente inaccesible κ tal que |y| < κ . Sea u ( κ ) el universo del párrafo anterior. x es estrictamente de tipo κ, por lo que x ∈ u ( κ ) . Para demostrar que el axioma de universo (U) implica el axioma de cardinal grande (C), elijamos un cardinal κ . κ es un conjunto, por lo que es un elemento de un universo de Grothendieck U . La cardinalidad de U es fuertemente inaccesible y estrictamente mayor que la de κ .${\displaystyle x_{n+1}=\bigcup x_{n}}$$Estilo de visualización grande: {\displaystyle \bigcup _{n}x_{n}}$

De hecho, cualquier universo de Grothendieck tiene la forma u ( κ ) para algún κ . Esto da otra forma de equivalencia entre los universos de Grothendieck y los cardinales fuertemente inaccesibles:

Para cualquier universo de Grothendieck U , | U | es cero, , o un cardinal fuertemente inaccesible. Y si κ es cero, , o un cardinal fuertemente inaccesible, entonces hay un universo de Grothendieck ⁠ ⁠ . Además, u (| U |) = U , y | u ( κ )| = κ .$estilo de visualización {\aleph _{0}}$$estilo de visualización {\aleph _{0}}$${\displaystyle u(\kappa )}$

Dado que la existencia de cardinales fuertemente inaccesibles no puede probarse a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), la existencia de universos distintos del conjunto vacío tampoco puede probarse a partir de ZFC. Sin embargo, los cardinales fuertemente inaccesibles están en el extremo inferior de la lista de cardinales grandes ; por lo tanto, la mayoría de las teorías de conjuntos que utilizan cardinales grandes (como "ZFC más hay un cardenal medible ", "ZFC más hay infinitos cardinales de Woodin ") probarán que existen los universos de Grothendieck.${\displaystyle V_{\omega}}$

• Universo construible
• Universo (matemáticas)
• El universo de von Neumann

• Bourbaki, Nicolás (1972). "Universo". En Michael Artín ; Alejandro Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – vol. 1 (Apuntes de clase de matemáticas 269 ) (en francés). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . págs. 185-217. Archivado desde el original el 9 de agosto de 2016 . Consultado el 6 de diciembre de 2010 .