Modelo interno

En la teoría de conjuntos , una rama de la lógica matemática , un modelo interno ^[1] para una teoría T es una subestructura de un modelo M de una teoría de conjuntos que es a la vez un modelo para T y contiene todos los ordinales de M.

Sea L  = ⟨∈⟩ el lenguaje de la teoría de conjuntos. Sea S una teoría de conjuntos particular, por ejemplo los axiomas de ZFC y sea T (posiblemente lo mismo que S ) también una teoría en L.

Si M es un modelo para S, y N es una L -estructura tal que

1. N es una subestructura de M, es decir, la interpretación ∈ _N de ∈ en N es ∈ _M  ∩  N ²
2. N es un modelo de T
3. El dominio de N es una clase transitiva de M
4. N contiene todos los ordinales en M

entonces decimos que N es un modelo interno de T (en M ). ^[2] Usualmente T será igual a (o subsumirá) S , de modo que N es un modelo para S 'dentro' del modelo M de S .

Si sólo se cumplen las condiciones 1 y 2, N se denomina modelo estándar de T (en M ), un submodelo estándar de T (si S  =  T y) N es un conjunto en M . Un modelo N de T en M se denomina transitivo cuando es estándar y se cumple la condición 3. Si no se supone el axioma de fundamento (es decir, no está en S ), a estos tres conceptos se les da la condición adicional de que N esté bien fundado . Por lo tanto, los modelos internos son transitivos, los modelos transitivos son estándar y los modelos estándar están bien fundados.

La suposición de que existe un submodelo estándar de ZFC (en un universo dado) es más fuerte que la suposición de que existe un modelo. De hecho, si hay un submodelo estándar, entonces hay un submodelo estándar más pequeño llamado modelo mínimo contenido en todos los submodelos estándar. El submodelo mínimo no contiene ningún submodelo estándar (ya que es mínimo) pero (asumiendo la consistencia de ZFC) contiene algún modelo de ZFC por el teorema de completitud de Gödel . Este modelo no está necesariamente bien fundado de lo contrario su colapso de Mostowski sería un submodelo estándar. (No está bien fundado como una relación en el universo, aunque satisface el axioma de fundamento, por lo que está "internamente" bien fundado. Estar bien fundado no es una propiedad absoluta. ^[3] ) En particular, en el submodelo mínimo hay un modelo de ZFC pero no hay un submodelo estándar de ZFC.

Generalmente, cuando se habla de modelos internos de una teoría, la teoría que se está discutiendo es ZFC o alguna extensión de ZFC (como ZFC + "existe un cardinal medible "). Cuando no se menciona ninguna teoría, generalmente se asume que el modelo en discusión es un modelo interno de ZFC. Sin embargo, no es raro hablar también de modelos internos de subteorías de ZFC (como ZF o KP ).

Kurt Gödel demostró que cualquier modelo de ZF tiene un modelo interno mínimo de ZF, el universo construible , que también es un modelo interno de ZFC +  GCH .

Existe una rama de la teoría de conjuntos llamada teoría de modelos internos que estudia las formas de construir modelos mínimos internos de teorías que extienden ZF. La teoría de modelos internos ha llevado al descubrimiento de la fuerza de consistencia exacta de muchas propiedades importantes de la teoría de conjuntos.

• Modelos transitivos contables y filtros genéricos