Conjunto infinito
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En teoría de conjuntos , un conjunto infinito es un conjunto que no es un conjunto finito . Los conjuntos infinitos pueden ser contables o incontables . [1]
Propiedades
El conjunto de los números naturales (cuya existencia postula el axioma de infinito ) es infinito. [1] Es el único conjunto que los axiomas exigen directamente que sea infinito. La existencia de cualquier otro conjunto infinito puede demostrarse en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), pero solo mostrando que se sigue de la existencia de los números naturales.
Un conjunto es infinito si y sólo si para cada número natural, el conjunto tiene un subconjunto cuya cardinalidad es ese número natural. [2]
Si se cumple el axioma de elección , entonces un conjunto es infinito si y sólo si incluye un subconjunto infinito contable.
Si un conjunto de conjuntos es infinito o contiene un elemento infinito, entonces su unión es infinita. El conjunto potencia de un conjunto infinito es infinito. [3] Cualquier superconjunto de un conjunto infinito es infinito. Si un conjunto infinito se divide en un número finito de subconjuntos, entonces al menos uno de ellos debe ser infinito. Cualquier conjunto que pueda ser mapeado sobre un conjunto infinito es infinito. El producto cartesiano de un conjunto infinito y un conjunto no vacío es infinito. El producto cartesiano de un número infinito de conjuntos, cada uno de los cuales contiene al menos dos elementos, es vacío o infinito; si se cumple el axioma de elección, entonces es infinito.
Si un conjunto infinito es un conjunto bien ordenado , entonces debe tener un subconjunto no vacío y no trivial que no tenga ningún elemento mayor.
En ZF, un conjunto es infinito si y solo si el conjunto potencia de su conjunto potencia es un conjunto infinito de Dedekind , que tiene un subconjunto propio equinumeroso a sí mismo. [4] Si el axioma de elección también es verdadero, entonces los conjuntos infinitos son precisamente los conjuntos infinitos de Dedekind.
Si un conjunto infinito es un conjunto bien ordenable , entonces tiene muchos buenos ordenamientos que no son isomorfos.
Historia
Las ideas importantes discutidas por David Burton en su libro Historia de las matemáticas: una introducción incluyen cómo definir "elementos" o partes de un conjunto, cómo definir elementos únicos en el conjunto y cómo demostrar el infinito. [5] Burton también analiza pruebas para diferentes tipos de infinito, incluidos los conjuntos contables e incontables. [5] Los temas utilizados al comparar conjuntos infinitos y finitos incluyen conjuntos ordenados , cardinalidad, equivalencia, planos de coordenadas , conjuntos universales , mapeo, subconjuntos, continuidad y trascendencia . [5] Las ideas de conjuntos de Cantor fueron influenciadas por la trigonometría y los números irracionales. Otras ideas clave en la teoría de conjuntos infinitos mencionadas por Burton, Paula, Narli y Rodger incluyen números reales como π , números enteros y el número de Euler . [5] [6] [7]
Tanto Burton como Rogers utilizan conjuntos finitos para empezar a explicar conjuntos infinitos utilizando conceptos de prueba como la aplicación, la prueba por inducción o la prueba por contradicción. [5] [7] Los árboles matemáticos también se pueden utilizar para comprender los conjuntos infinitos. [8] Burton también analiza las pruebas de conjuntos infinitos que incluyen ideas como las uniones y los subconjuntos. [5]
En el capítulo 12 de La historia de las matemáticas: una introducción , Burton destaca cómo matemáticos como Zermelo , Dedekind , Galileo , Kronecker , Cantor y Bolzano investigaron e influyeron en la teoría de conjuntos infinitos. Muchos de estos matemáticos debatieron sobre el infinito o contribuyeron a las ideas de conjuntos infinitos. Las posibles influencias históricas, como la historia de Prusia en el siglo XIX, dieron como resultado un aumento del conocimiento matemático académico, incluida la teoría de conjuntos infinitos de Cantor. [5]
Una posible aplicación de la teoría de conjuntos infinitos es la genética y la biología. [9]
Ejemplos
Conjuntos infinitos contables
El conjunto de todos los números enteros , {..., −1, 0, 1, 2, ...} es un conjunto numerablemente infinito. El conjunto de todos los números enteros pares también es un conjunto numerablemente infinito, incluso si es un subconjunto propio de los números enteros. [3]
El conjunto de todos los números racionales es un conjunto infinito numerable ya que existe una biyección al conjunto de los números enteros. [3]
Conjuntos infinitos incontables
El conjunto de todos los números reales es un conjunto infinito incontable. El conjunto de todos los números irracionales es también un conjunto infinito incontable. [3]
Véase también
Referencias
- ^ ab Bagaria, Joan (2019), "Set Theory", en Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de otoño de 2019), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 30 de noviembre de 2019
- ^ Boolos, George (1998). Lógica, lógica y lógica (edición ilustrada). Harvard University Press. pág. 262. ISBN 978-0-674-53766-8.
- ^ abcd Caldwell, Chris. "El glosario de primos: infinito". primes.utm.edu . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
- ^ Boolos, George (1994), "Las ventajas del trabajo honesto sobre el robo", Matemáticas y mente (Amherst, MA, 1991) , Logic Comput. Philos., Oxford Univ. Press, Nueva York, págs. 27-44, MR 1373892. Véanse en particular las páginas 32-33.
- ^ abcdefg Burton, David (2007). La historia de las matemáticas: una introducción (6ª ed.). Boston: McGraw Hill. págs. 666–689. ISBN 9780073051895.
- ^ Pala, Ozan; Narli, Serkan (15 de diciembre de 2020). "El papel del conocimiento formal en la formación de la imagen de prueba: un estudio de caso en el contexto de conjuntos infinitos". Revista Turca de Educación en Computación y Matemáticas (TURCOMAT) . 11 (3): 584–618. doi : 10.16949/turkbilmat.702540 . S2CID : 225253469.
- ^ ab Rodgers, Nancy (2000). Aprendiendo a razonar: una introducción a la lógica, los conjuntos y las relaciones . Nueva York: Wiley. ISBN 978-1-118-16570-6.OCLC 757394919 .
- ^ Gollin, J. Pascal; Kneip, Jakob (1 de abril de 2021). "Representaciones de conjuntos de árboles infinitos". Orden . 38 (1): 79–96. arXiv : 1908.10327 . doi : 10.1007/s11083-020-09529-0 . ISSN 1572-9273. S2CID 201646182.
- ^ Shelah, Saharon; Strüngmann, Lutz (1 de junio de 2021). "Combinatoria infinita en biología matemática". Biosystems . 204 : 104392. doi : 10.1016/j.biosystems.2021.104392 . ISSN 0303-2647. PMID 33731280. S2CID 232298447.
Enlaces externos
- Un curso intensivo sobre las matemáticas de los conjuntos infinitos
