Paradoja de Burali-Forti

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En la teoría de conjuntos , un campo de las matemáticas , la paradoja de Burali-Forti demuestra que construir "el conjunto de todos los números ordinales " conduce a una contradicción y, por lo tanto, muestra una antinomia en un sistema que permite su construcción. Recibe su nombre de Cesare Burali-Forti , quien, en 1897, publicó un artículo que demostraba un teorema que, sin que él lo supiera, contradecía un resultado previamente demostrado por Georg Cantor . Bertrand Russell posteriormente advirtió la contradicción y, cuando la publicó en su libro de 1903 Principles of Mathematics , afirmó que se lo había sugerido el artículo de Burali-Forti, con el resultado de que pasó a conocerse con el nombre de Burali-Forti.

Lo demostraremos por contradicción.

1. Sea Ω un conjunto formado por todos los números ordinales.
2. Ω es transitivo porque para cada elemento x de Ω (que es un número ordinal y puede ser cualquier número ordinal) y cada elemento y de x (es decir, bajo la definición de ordinales de Von Neumann , para cada número ordinal y < x ), tenemos que y es un elemento de Ω porque cualquier número ordinal contiene solo números ordinales, por la definición de esta construcción ordinal.
3. Ω está bien ordenado por la relación de pertenencia porque todos sus elementos también están bien ordenados por esta relación.
4. Entonces, por los pasos 2 y 3, tenemos que Ω es una clase ordinal y también, por el paso 1, un número ordinal, porque todas las clases ordinales que son conjuntos también son números ordinales.
5. Esto implica que Ω es un elemento de Ω .
6. Según la definición de los ordinales de von Neumann, Ω < Ω es lo mismo que Ω sea un elemento de Ω . Esta última afirmación se demuestra en el paso 5.
7. Pero ninguna clase ordinal es menor que ella misma, incluyendo Ω debido al paso 4 ( Ω es una clase ordinal), es decir, Ω ≮ Ω .

Hemos deducido dos proposiciones contradictorias ( Ω < Ω y Ω ≮ Ω ) a partir de la condición de conjunto de Ω y, por lo tanto, hemos refutado que Ω sea un conjunto.

La versión de la paradoja anterior es anacrónica, porque presupone la definición de los ordinales debida a John von Neumann , bajo la cual cada ordinal es el conjunto de todos los ordinales precedentes, lo cual no se conocía en el momento en que Burali-Forti formuló la paradoja. He aquí una explicación con menos presuposiciones: supongamos que asociamos con cada buen ordenamiento un objeto llamado su tipo de orden de una manera no especificada (los tipos de orden son los números ordinales). Los tipos de orden (números ordinales) están ellos mismos bien ordenados de una manera natural, y este buen ordenamiento debe tener un tipo de orden . Se muestra fácilmente en la teoría de conjuntos ingenua (y sigue siendo cierto en ZFC pero no en New Foundations ) que el tipo de orden de todos los números ordinales menores que a fijo es él mismo. Por lo tanto, el tipo de orden de todos los números ordinales menores que es él mismo. Pero esto significa que , siendo el tipo de orden de un segmento inicial propio de los ordinales, es estrictamente menor que el tipo de orden de todos los ordinales, pero este último es él mismo por definición. Esto es una contradicción.${\estilo de visualización \Omega}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \Omega}$${\estilo de visualización \Omega}$${\estilo de visualización \Omega}$${\estilo de visualización \Omega}$

Si utilizamos la definición de von Neumann, según la cual cada ordinal se identifica como el conjunto de todos los ordinales precedentes, la paradoja es inevitable: la proposición ofensiva de que el tipo de orden de todos los números ordinales menores que a fijo es en sí mismo debe ser verdadera. La colección de ordinales de von Neumann, como la colección en la paradoja de Russell , no puede ser un conjunto en ninguna teoría de conjuntos con lógica clásica. Pero la colección de tipos de orden en New Foundations (definidos como clases de equivalencia de buenos ordenamientos bajo semejanza) es en realidad un conjunto, y la paradoja se evita porque el tipo de orden de los ordinales menores que resulta no ser .${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \Omega}$${\estilo de visualización \Omega}$

Los axiomas modernos para la teoría formal de conjuntos como ZF y ZFC evitan esta antinomia al no permitir la construcción de conjuntos usando términos como "todos los conjuntos con la propiedad "${\estilo de visualización P}$ , como es posible en la teoría ingenua de conjuntos y como es posible con los axiomas de Gottlob Frege - específicamente la Ley Básica V - en los "Grundgesetze der Arithmetik". El sistema de Quine, Nuevos Fundamentos (NF), usa una solución diferente . Rosser (1942) demostró que en la versión original del sistema de Quine, "Lógica Matemática" (ML), una extensión de Nuevos Fundamentos, es posible derivar la paradoja de Burali-Forti, mostrando que este sistema era contradictorio. La revisión de Quine de ML después del descubrimiento de Rosser no sufre de este defecto, y de hecho fue posteriormente probada equiconsistente con NF por Hao Wang .

• Infinito absoluto

• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : "Paradojas y lógica contemporánea", por Andrea Cantini.