Forzar (matemáticas)

En la disciplina matemática de la teoría de conjuntos , el forzamiento es una técnica para demostrar resultados de consistencia e independencia . Intuitivamente, el forzamiento puede considerarse como una técnica para expandir el universo teórico de conjuntos a un universo más grande mediante la introducción de un nuevo objeto "genérico" .${\estilo de visualización V}$${\displaystyle V[G]}$${\estilo de visualización G}$

El forzamiento fue utilizado por primera vez por Paul Cohen en 1963, para demostrar la independencia del axioma de elección y la hipótesis del continuo de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Ha sido considerablemente reelaborado y simplificado en los años siguientes, y desde entonces ha servido como una técnica poderosa, tanto en la teoría de conjuntos como en áreas de lógica matemática como la teoría de la recursión . La teoría descriptiva de conjuntos utiliza las nociones de forzamiento tanto de la teoría de la recursión como de la teoría de conjuntos. El forzamiento también se ha utilizado en la teoría de modelos , pero es común en la teoría de modelos definir la genericidad directamente sin mencionar el forzamiento.

El forzamiento se utiliza habitualmente para construir un universo expandido que satisface alguna propiedad deseada. Por ejemplo, el universo expandido podría contener muchos números reales nuevos (al menos de ellos), identificados con subconjuntos del conjunto de números naturales, que no existían en el universo anterior y, por lo tanto, violar la hipótesis del continuo .$estilo de visualización {\aleph _{2}}$${\displaystyle \mathbb {N}}$

Para justificar intuitivamente tal expansión, es mejor pensar en el "viejo universo" como un modelo de la teoría de conjuntos, que es en sí misma un conjunto en el "universo real" . Por el teorema de Löwenheim-Skolem , se puede elegir como un modelo "básico" que es externamente contable , lo que garantiza que habrá muchos subconjuntos (en ) de que no están en . Específicamente, hay un ordinal que "juega el papel del cardinal " en , pero que en realidad es contable en . Trabajando en , debería ser fácil encontrar un subconjunto distinto de por cada elemento de . (Para simplificar, esta familia de subconjuntos se puede caracterizar con un solo subconjunto ).${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización V}$${\displaystyle \mathbb {N}}$${\estilo de visualización M}$ $estilo de visualización {\displaystyle \aleph_{2}^{M}}$ $estilo de visualización {\aleph _{2}}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización V}$${\displaystyle \mathbb {N}}$$estilo de visualización {\displaystyle \aleph_{2}^{M}}$${\displaystyle X\subseteq \aleph _{2}^{M}\times \mathbb {N} }$

Sin embargo, en cierto sentido, puede ser deseable "construir el modelo expandido dentro de ". Esto ayudaría a garantizar que "se asemeja" en ciertos aspectos, como ser el mismo que (de manera más general, que no se produzca un colapso cardinal ), y permitiría un control fino sobre las propiedades de . Más precisamente, a cada miembro de se le debe dar un nombre (no único) en . El nombre puede pensarse como una expresión en términos de , al igual que en una extensión de campo simple cada elemento de puede expresarse en términos de . Un componente principal del forzamiento es manipular esos nombres dentro de , por lo que a veces puede ayudar pensar directamente en como "el universo", sabiendo que la teoría del forzamiento garantiza que corresponderá a un modelo real.${\estilo de visualización M[X]}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M[X]}$${\estilo de visualización M}$$estilo de visualización {\displaystyle \aleph_{2}^{M[X]}}$$estilo de visualización {\displaystyle \aleph_{2}^{M}}$${\estilo de visualización M[X]}$${\estilo de visualización M[X]}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle L=K(\theta )}$${\estilo de visualización L}$${\estilo de visualización \theta}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M[X]}$

Un punto sutil de forzamiento es que, si se toma como un "subconjunto faltante" arbitrario de algún conjunto en , entonces el "dentro " construido puede no ser ni siquiera un modelo. Esto se debe a que puede codificar información "especial" sobre que es invisible dentro (por ejemplo, la contabilidad de ), y así probar la existencia de conjuntos que son "demasiado complejos para describirlos". ^{[1] [2]}${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M[X]}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M}$

El forzamiento evita tales problemas al requerir que el conjunto recién introducido sea un conjunto genérico relativo a . ^[1] Algunas afirmaciones están "obligadas" a cumplirse para cualquier genérico : por ejemplo, un genérico está "obligado" a ser infinito. Además, cualquier propiedad (descriptible en ) de un conjunto genérico está "obligada" a cumplirse bajo alguna condición de forzamiento . El concepto de "forzamiento" se puede definir dentro de , y da suficiente poder de razonamiento para demostrar que es de hecho un modelo que satisface las propiedades deseadas.${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M[X]}$

La técnica original de Cohen, ahora llamada forzamiento ramificado , es ligeramente diferente del forzamiento no ramificado que se expone aquí. El forzamiento también es equivalente al método de los modelos con valores booleanos , que algunos consideran conceptualmente más natural e intuitivo, pero que suele ser mucho más difícil de aplicar. ^[3]

Para que el enfoque anterior funcione sin problemas, debe haber de hecho un modelo transitivo estándar en , de modo que la pertenencia y otras nociones elementales se puedan manejar intuitivamente tanto en como . Se puede obtener un modelo transitivo estándar a partir de cualquier modelo estándar a través del lema de colapso de Mostowski , pero la existencia de cualquier modelo estándar de (o cualquier variante del mismo) es en sí misma una suposición más fuerte que la consistencia de .${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización V}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Para evitar este problema, una técnica estándar es dejar que sea un modelo transitivo estándar de un subconjunto finito arbitrario de (cualquier axiomatización de tiene al menos un esquema axiomático y, por lo tanto, un número infinito de axiomas), cuya existencia está garantizada por el principio de reflexión . Como el objetivo de un argumento forzado es demostrar resultados de consistencia , esto es suficiente ya que cualquier inconsistencia en una teoría debe manifestarse con una derivación de una longitud finita y, por lo tanto, involucrar solo un número finito de axiomas.${\estilo de visualización M}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Cada condición de forzamiento puede considerarse como una pieza finita de información sobre el objeto adjunto al modelo. Hay muchas formas diferentes de proporcionar información sobre un objeto, lo que da lugar a diferentes nociones de forzamiento . Un enfoque general para formalizar las nociones de forzamiento es considerar las condiciones de forzamiento como objetos abstractos con una estructura de conjunto parcial .${\estilo de visualización X}$

Un conjunto parcial forzado es una terna ordenada, , donde es un preorden en , y es el elemento más grande. Los miembros de son las condiciones forzadas (o simplemente las condiciones ). La relación de orden significa que " es más fuerte que ". (Intuitivamente, la condición "más pequeña" proporciona "más" información, al igual que el intervalo más pequeño proporciona más información sobre el número π que el intervalo ). Además, el preorden debe ser sin átomos , lo que significa que debe satisfacer la condición de división :${\displaystyle (\mathbb {P},\leq,\mathbf {1})}$${\estilo de visualización \leq}$${\displaystyle \mathbb {P}}$${\displaystyle \mathbf {1}}$${\displaystyle \mathbb {P}}$${\displaystyle p\leq q}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización q}$${\displaystyle [3.1415926,3.1415927]}$${\estilo de visualización [3.1,3.2]}$${\estilo de visualización \leq}$

• Para cada , existen tales que , sin que exista tal que .${\displaystyle p\in \mathbb {P}}$${\displaystyle q,r\in \mathbb {P} }$${\displaystyle q,r\leq p}$${\displaystyle s\in \mathbb {P}}$${\displaystyle s\leq q,r}$

En otras palabras, debe ser posible reforzar cualquier condición de forzamiento en al menos dos direcciones incompatibles. Intuitivamente, esto se debe a que es solo una pieza finita de información, mientras que se necesita una pieza infinita de información para determinar .${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización X}$

Existen varias convenciones en uso. Algunos autores requieren que también sea antisimétrica , de modo que la relación sea de orden parcial . Algunos usan el término orden parcial de todos modos, lo que entra en conflicto con la terminología estándar, mientras que otros usan el término preorden . Se puede prescindir del elemento más grande. También se usa el orden inverso, sobre todo por parte de Saharon Shelah y sus coautores.${\estilo de visualización \leq}$

Sea cualquier conjunto infinito (como ), y sea el objeto genérico en cuestión un nuevo subconjunto . En la formulación original de Cohen de forzamiento, cada condición de forzamiento es un conjunto finito de oraciones, ya sea de la forma o , que son autoconsistentes (es decir, y para el mismo valor de no aparecen en la misma condición). Esta noción de forzamiento se suele llamar forzamiento de Cohen .${\estilo de visualización S}$${\displaystyle \mathbb {N}}$${\displaystyle X\subseteq S}$${\displaystyle a\en X}$${\displaystyle a\notin X}$${\displaystyle a\en X}$ ${\displaystyle a\notin X}$${\estilo de visualización a}$

El conjunto parcial de forzamiento para el forzamiento de Cohen se puede escribir formalmente como , las funciones parciales finitas de a bajo inclusión inversa . El forzamiento de Cohen satisface la condición de división porque dada cualquier condición , siempre se puede encontrar un elemento no mencionado en , y agregar la oración o a para obtener dos nuevas condiciones de forzamiento, incompatibles entre sí.${\displaystyle (\operatorname {Fin} (S,2),\supseteq ,0)}$${\estilo de visualización S}$${\displaystyle 2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle a\en S}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle a\en X}$${\displaystyle a\notin X}$${\estilo de visualización p}$

Otro ejemplo instructivo de un conjunto parcial forzado es , donde y es la colección de subconjuntos de Borel de que tienen una medida de Lebesgue distinta de cero . El objeto genérico asociado con este conjunto parcial forzado es un número real aleatorio . Se puede demostrar que cae en cada subconjunto de Borel de con medida 1, siempre que el subconjunto de Borel esté "descrito" en el universo original no expandido (esto se puede formalizar con el concepto de códigos de Borel ). Cada condición forzada se puede considerar como un evento aleatorio con probabilidad igual a su medida. Debido a la intuición fácil que puede proporcionar este ejemplo, a veces se utiliza un lenguaje probabilístico con otros conjuntos parciales forzados divergentes.${\displaystyle (\operatorname {Bor} (I),\subseteq ,I)}$${\displaystyle I=[0,1]}$${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r\en [0,1]}$${\estilo de visualización r}$${\estilo de visualización [0,1]}$

Aunque cada condición de forzamiento individual no puede determinar completamente el objeto genérico , el conjunto de todas las condiciones de forzamiento verdaderas sí determina . De hecho, sin pérdida de generalidad, se considera comúnmente que es el objeto genérico adjunto a , por lo que el modelo expandido se denomina . Por lo general, es bastante fácil demostrar que el objeto deseado originalmente está de hecho en el modelo .${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P}}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle M[G]}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle M[G]}$

Según esta convención, el concepto de "objeto genérico" se puede describir de forma general. En concreto, el conjunto debería ser un filtro genérico en relación con . La condición de " filtro " significa que tiene sentido que sea un conjunto de todas las condiciones de forzamiento verdaderas:${\estilo de visualización G}$${\displaystyle \mathbb {P}}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización G}$

• ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} ;}$
• ${\displaystyle \mathbf {1} \in G;}$
• Si , entonces${\displaystyle p\geq q\in G}$${\displaystyle p\in G;}$
• Si , entonces existe un tal que${\displaystyle p,q\in G}$${\displaystyle r\in G}$${\displaystyle r\leq p,q.}$

Ser "genérico relativo a " significa:${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$

• Si es un subconjunto "denso" de (es decir, para cada , existe un tal que ), entonces .${\displaystyle D\in M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle q\in D}$${\displaystyle q\leq p}$${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$

Dado que es un modelo contable, la existencia de un filtro genérico se deduce del lema de Rasiowa-Sikorski . De hecho, algo más es cierto: dada una condición , se puede encontrar un filtro genérico tal que . Debido a la condición de división en , si es un filtro, entonces es denso. Si , entonces porque es un modelo de . Por esta razón, un filtro genérico nunca está en .${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle p\in G}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G}$${\displaystyle G\in M}$${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G\in M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle M}$

Asociado a un conjunto de objetos forzados está la clase de -nombres . Un -nombre es un conjunto de la forma${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A\subseteq \{(u,p)\mid u~{\text{is a}}~\mathbb {P} {\text{-name and}}~p\in \mathbb {P} \}.}$

Dado cualquier filtro en , el mapa de interpretación o valoración de -names viene dado por${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \operatorname {val} (u,G)=\{\operatorname {val} (v,G)\mid \exists p\in G:~(v,p)\in u\}.}$

Los -nombres son, de hecho, una expansión del universo . Dado , se define como el -nombre${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle {\check {x}}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle {\check {x}}=\{({\check {y}},\mathbf {1} )\mid y\in x\}.}$

Dado que , se deduce que . En cierto sentido, es un "nombre para " que no depende de la elección específica de .${\displaystyle \mathbf {1} \in G}$${\displaystyle \operatorname {val} ({\check {x}},G)=x}$${\displaystyle {\check {x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$

Esto también permite definir un "nombre para " sin hacer referencia explícita a :${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\underline {G}}=\{({\check {p}},p)\mid p\in \mathbb {P} \}}$

de modo que .${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {G}},G)=\{\operatorname {val} ({\check {p}},G)\mid p\in G\}=G}$

Los conceptos de -nombres, interpretaciones y pueden definirse mediante recursión transfinita . Con el conjunto vacío, el ordinal sucesor de ordinal , el operador de conjunto potencia y un ordinal límite , se define la siguiente jerarquía:${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle {\check {x}}}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \alpha +1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Name} (\varnothing )&=\varnothing ,\\\operatorname {Name} (\alpha +1)&={\mathcal {P}}(\operatorname {Name} (\alpha )\times \mathbb {P} ),\\\operatorname {Name} (\lambda )&=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )\mid \alpha <\lambda \}.\end{aligned}}}$

Entonces la clase de -nombres se define como${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}=\bigcup \{\operatorname {Name} (\alpha )~|~\alpha ~{\text{is an ordinal}}\}.}$

El mapa de interpretación y el mapa pueden definirse de manera similar con una construcción jerárquica.${\displaystyle x\mapsto {\check {x}}}$

Dado un filtro genérico , se procede de la siguiente manera. La subclase de -names en se denota . Sea${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{(\mathbb {P} )}}$

${\displaystyle M[G]=\left\{\operatorname {val} (u,G)~{\Big |}~u\in M^{(\mathbb {P} )}\right\}.}$

Para reducir el estudio de la teoría de conjuntos de al de , se trabaja con el "lenguaje forzado", que está construido como la lógica ordinaria de primer orden , con la pertenencia como la relación binaria y todos los -nombres como constantes.${\displaystyle M[G]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

Defina (que debe leerse como " fuerzas en el modelo con poset "), donde es una condición, es una fórmula en el lenguaje de forzamiento y las son -nombres, lo que significa que si es un filtro genérico que contiene , entonces . El caso especial a menudo se escribe como " " o simplemente " ". Tales afirmaciones son verdaderas en , sin importar lo que sea.${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$${\displaystyle \mathbf {1} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\displaystyle \mathbb {P} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\displaystyle M[G]}$${\displaystyle G}$

Lo importante es que esta definición externa de la relación de forzamiento es equivalente a una definición interna dentro de , definida por inducción transfinita (específicamente -inducción ) sobre los -nombres en instancias de y , y luego por inducción ordinaria sobre la complejidad de fórmulas. Esto tiene el efecto de que todas las propiedades de son realmente propiedades de , y la verificación de en se vuelve sencilla. Esto generalmente se resume como las siguientes tres propiedades clave:${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \in }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle u\in v}$${\displaystyle u=v}$${\displaystyle M[G]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle M[G]}$

• Verdad : si y sólo si es forzada por , es decir, para alguna condición , tenemos .${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatorname {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatorname {val} (u_{n},G))}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle p\in G}$${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$
• Definibilidad : La declaración " " es definible en .${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$${\displaystyle M}$
• Coherencia : .${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})\land q\leq p\implies q\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$

Hay muchas formas diferentes pero equivalentes de definir la relación de forzamiento en . ^[4] Una forma de simplificar la definición es definir primero una relación de forzamiento modificada que sea estrictamente más fuerte que . La relación modificada todavía satisface las tres propiedades clave del forzamiento, pero y no son necesariamente equivalentes incluso si las fórmulas de primer orden y son equivalentes. La relación de forzamiento no modificada puede entonces definirse como De hecho, el concepto original de Cohen de forzamiento es esencialmente en lugar de . ^[3]${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi }$${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi '}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi '}$$${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi \iff p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\neg \neg \varphi .}$$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$

La relación de forzamiento modificada se puede definir recursivamente de la siguiente manera:${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$

1. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}u\in v}$medio${\displaystyle (\exists (w,q)\in v)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w=u).}$
2. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}u\neq v}$medio${\displaystyle (\exists (w,q)\in v)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w\notin u)\vee (\exists (w,q)\in u)(q\geq p\wedge p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}w\notin v).}$
3. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\neg \varphi }$medio${\displaystyle \neg (\exists q\leq p)(q\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi ).}$
4. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}(\varphi \vee \psi )}$medio${\displaystyle (p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi )\vee (p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\psi ).}$
5. ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\exists x\,\varphi (x)}$medio${\displaystyle (\exists u\in M^{(\mathbb {P} )})(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}\varphi (u)).}$

Otros símbolos del lenguaje forzado se pueden definir en términos de estos símbolos: por ejemplo, means , means , etc. Los casos 1 y 2 dependen entre sí y del caso 3, pero la recursión siempre se refiere a -nombres con rangos menores , por lo que la inducción transfinita permite que la definición se lleve a cabo.${\displaystyle u=v}$${\displaystyle \neg (u\neq v)}$${\displaystyle \forall x\,\varphi (x)}$${\displaystyle \neg \exists x\,\neg \varphi (x)}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

Por construcción, (y por lo tanto ) satisface automáticamente Definibilidad . La prueba que también satisface Verdad y Coherencia es inspeccionar inductivamente cada uno de los cinco casos anteriores. Los casos 4 y 5 son triviales (gracias a la elección de y como símbolos elementales ^[5] ), los casos 1 y 2 se basan únicamente en el supuesto de que es un filtro, y solo el caso 3 requiere ser un filtro genérico . ^[3]${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }^{*}}$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Formalmente, una definición interna de la relación de forzamiento (como la presentada anteriormente) es en realidad una transformación de una fórmula arbitraria en otra fórmula donde y son variables adicionales. El modelo no aparece explícitamente en la transformación (nótese que dentro de , simplemente significa " es un -nombre"), y de hecho uno puede tomar esta transformación como una definición "sintáctica" de la relación de forzamiento en el universo de todos los conjuntos independientemente de cualquier modelo transitivo contable. Sin embargo, si uno quiere forzar sobre algún modelo transitivo contable , entonces la última fórmula debe interpretarse bajo (es decir, con todos los cuantificadores que abarcan solo ), en cuyo caso es equivalente a la definición "semántica" externa de descrita en la parte superior de esta sección:${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\dots ,u_{n})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle u\in M^{(\mathbb {P} )}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }}$

Para cualquier fórmula existe un teorema de la teoría (por ejemplo, conjunción de un número finito de axiomas) tal que para cualquier modelo transitivo contable tal que y cualquier orden parcial sin átomos y cualquier filtro -genérico sobre${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M\models T}$${\displaystyle \mathbb {P} \in M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$ $${\displaystyle (\forall a_{1},\ldots ,a_{n}\in M^{\mathbb {P} })(\forall p\in \mathbb {P} )(p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (a_{1},\dots ,a_{n})\,\Leftrightarrow \,M\models p\Vdash _{\mathbb {P} }\varphi (a_{1},\dots ,a_{n})).}$$

Éste es el sentido en el que la relación de fuerza es de hecho "definible en ".${\displaystyle M}$

La discusión anterior se puede resumir mediante el resultado de consistencia fundamental de que, dado un conjunto parcial forzado , podemos suponer la existencia de un filtro genérico , que no pertenece al universo , de modo que es nuevamente un universo de teoría de conjuntos que modela . Además, todas las verdades en pueden reducirse a verdades en que involucran la relación forzada.${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle V}$

Ambos estilos, ya sea en relación con un modelo transitivo contable o con el universo entero , se utilizan con frecuencia. Menos común es el enfoque que utiliza la definición "interna" de forzamiento, en el que no se hace mención de modelos de conjuntos o clases. Este era el método original de Cohen y, en una elaboración, se convierte en el método de análisis de valor booleano.${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle V}$

El conjunto parcial forzado no trivial más simple es , las funciones parciales finitas de a bajo inclusión inversa . Es decir, una condición es esencialmente dos subconjuntos finitos disjuntos y de , que se deben considerar como las partes "sí" y "no" de , sin información proporcionada sobre valores fuera del dominio de . " es más fuerte que " significa que , en otras palabras, las partes "sí" y "no" de son superconjuntos de las partes "sí" y "no" de , y en ese sentido, brindan más información.${\displaystyle (\operatorname {Fin} (\omega ,2),\supseteq ,0)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle 2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {p^{-1}}[1]}$${\displaystyle {p^{-1}}[0]}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q\supseteq p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$

Sea un filtro genérico para este conjunto parcial. Si y están ambos en , entonces es una condición porque es un filtro. Esto significa que es una función parcial bien definida de a porque dos condiciones cualesquiera en coinciden en su dominio común.${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p\cup q}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g=\bigcup G}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle 2}$${\displaystyle G}$

De hecho, es una función total. Dado , sea . Entonces es denso. (Dado cualquier , si no está en el dominio de , adjunte un valor para —el resultado está en ). Una condición tiene en su dominio, y como , encontramos que está definido.${\displaystyle g}$${\displaystyle n\in \omega }$${\displaystyle D_{n}=\{p\mid p(n)~{\text{is defined}}\}}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle p\in G\cap D_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p\subseteq g}$${\displaystyle g(n)}$

Sea , el conjunto de todos los miembros "sí" de las condiciones genéricas. Es posible darle un nombre directamente. Sea${\displaystyle X={g^{-1}}[1]}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\underline {X}}=\left\{\left({\check {n}},p\right)\mid p(n)=1\right\}.}$

Ahora supongamos que en . Afirmamos que . Sea${\displaystyle \operatorname {val} ({\underline {X}},G)=X.}$${\displaystyle A\subseteq \omega }$${\displaystyle V}$${\displaystyle X\neq A}$

${\displaystyle D_{A}=\{p\mid (\exists n)(n\in \operatorname {Dom} (p)\land (p(n)=1\iff n\notin A))\}.}$

Entonces es denso. (Dado cualquier , encuentre que no está en su dominio, y adjunte un valor para contrario al estado de " ".) Entonces cualquier testigo . Para resumir, es un "nuevo" subconjunto de , necesariamente infinito.${\displaystyle D_{A}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\in A}$${\displaystyle p\in G\cap D_{A}}$${\displaystyle X\neq A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega }$

Reemplazando con , es decir, consideremos en cambio funciones parciales finitas cuyas entradas son de la forma , con y , y cuyas salidas son o , se obtienen nuevos subconjuntos de . Todos son distintos, por un argumento de densidad: Dado , sea${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega \times \omega _{2}}$${\displaystyle (n,\alpha )}$${\displaystyle n<\omega }$${\displaystyle \alpha <\omega _{2}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \alpha <\beta <\omega _{2}}$

${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }=\{p\mid (\exists n)(p(n,\alpha )\neq p(n,\beta ))\},}$

entonces cada uno es denso, y una condición genérica en él prueba que el nuevo conjunto α está en desacuerdo en algún punto con el nuevo conjunto th.${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }}$${\displaystyle \beta }$

Esto no es todavía la falsación de la hipótesis del continuo. Hay que probar que no se han introducido nuevos mapas que se asignen a , o a . Por ejemplo, si se considera en cambio , funciones parciales finitas de a , el primer ordinal incontable , se obtiene en una biyección de a . En otras palabras, ha colapsado , y en la extensión forzada, es un ordinal contable.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\omega _{1})}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$

El último paso para demostrar la independencia de la hipótesis del continuo es, entonces, demostrar que el forzamiento de Cohen no colapsa los cardinales. Para ello, una propiedad combinatoria suficiente es que todas las anticadenas del conjunto parcial forzado sean contables.

Una anticadena (fuerte) de es un subconjunto tal que si y , entonces y son incompatibles (escrito ), lo que significa que no hay ningún en tal que y . En el ejemplo sobre conjuntos de Borel, incompatibilidad significa que tiene medida cero. En el ejemplo sobre funciones parciales finitas, incompatibilidad significa que no es una función, en otras palabras, y asigna valores diferentes a alguna entrada del dominio.${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle p,q\in A}$${\displaystyle p\neq q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p\perp q}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle r\leq p}$${\displaystyle r\leq q}$${\displaystyle p\cap q}$${\displaystyle p\cup q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle \mathbb {P} }$satisface la condición de cadena contable (ccc) si y solo si cada anticadena en es contable. (El nombre, que obviamente es inapropiado, es un remanente de una terminología más antigua. Algunos matemáticos escriben "cac" para "condición de anticadena contable").${\displaystyle \mathbb {P} }$

Es fácil ver que satisface la ccc porque las medidas suman como máximo . Además, satisface la ccc, pero la prueba es más difícil.${\displaystyle \operatorname {Bor} (I)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$

Dada una subfamilia incontable , redúzcala a una subfamilia incontable de conjuntos de tamaño , para algunos . Si para una cantidad incontable de , redúzcala a una subfamilia incontable y repita, obteniendo un conjunto finito y una familia incontable de condiciones incompatibles de tamaño tales que cada uno está en para, como máximo, una cantidad contable de . Ahora, elija un , y elija entre cualquiera que no sea uno de los miembros contables que tienen un miembro de dominio en común con . Entonces y son compatibles, por lo que no es una anticadena. En otras palabras, las -anticadenas son contables. ^[6]${\displaystyle W\subseteq \operatorname {Fin} (E,2)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n<\omega }$${\displaystyle p(e_{1})=b_{1}}$${\displaystyle p\in W_{0}}$${\displaystyle W_{1}}$${\displaystyle \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$${\displaystyle W_{k}}$${\displaystyle n-k}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \operatorname {Dom} (p)}$${\displaystyle p\in W_{k}}$${\displaystyle p\in W_{k}}$${\displaystyle W_{k}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$${\displaystyle q\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (E,2)}$

La importancia de las anticadenas en el forzamiento es que, para la mayoría de los propósitos, los conjuntos densos y las anticadenas máximas son equivalentes. Una anticadena máxima es aquella que no se puede extender a una anticadena mayor. Esto significa que cada elemento es compatible con algún miembro de . La existencia de una anticadena máxima se deduce del Lema de Zorn . Dada una anticadena máxima , sea${\displaystyle A}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle D=\left\{p\in \mathbb {P} \mid (\exists q\in A)(p\leq q)\right\}.}$

Entonces es denso, y si y solo si . A la inversa, dado un conjunto denso , el lema de Zorn muestra que existe una anticadena máxima , y entonces si y solo si .${\displaystyle D}$${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$${\displaystyle D}$${\displaystyle A\subseteq D}$${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$

Supongamos que satisface la ccc Dado , con una función en , se puede aproximar dentro de la siguiente manera. Sea un nombre para (por la definición de ) y sea una condición que obliga a ser una función de a . Defina una función , por${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle x,y\in V}$${\displaystyle f:x\to y}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle u}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F:x\to {\mathcal {P}}(y)}$

${\displaystyle F(a){\stackrel {\text{df}}{=}}\left\{b\left|(\exists q\in \mathbb {P} )\left[(q\leq p)\land \left(q\Vdash ~u\left({\check {a}}\right)={\check {b}}\right)\right]\right\}.\right.}$

Por la definibilidad de la fuerza, esta definición tiene sentido dentro de . Por la coherencia de la fuerza, un diferente proviene de un incompatible . Por ccc, es contable.${\displaystyle V}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle F(a)}$

En resumen, es desconocido en ya que depende de , pero no es muy desconocido para un forzamiento ccc. Se puede identificar un conjunto contable de suposiciones para cuál es el valor de en cualquier entrada, independientemente de .${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle f}$${\displaystyle G}$

Esto tiene la siguiente consecuencia muy importante. Si en , es una sobreyección de un ordinal infinito a otro, entonces hay una sobreyección en , y en consecuencia, una sobreyección en . En particular, los cardinales no pueden colapsar. La conclusión es que en .${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle f:\alpha \to \beta }$${\displaystyle g:\omega \times \alpha \to \beta }$${\displaystyle V}$${\displaystyle h:\alpha \to \beta }$${\displaystyle V}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{2}}$${\displaystyle V[G]}$

El valor exacto del continuo en el modelo de Cohen anterior, y variantes como para los cardinales en general, fue calculado por Robert M. Solovay , quien también descubrió cómo violar (la hipótesis del continuo generalizado ), solo para los cardinales regulares , un número finito de veces. Por ejemplo, en el modelo de Cohen anterior, si se cumple en , entonces se cumple en .${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \kappa ,2)}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$${\displaystyle {\mathsf {CH}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$${\displaystyle V[G]}$

William B. Easton desarrolló la versión de clase adecuada para violar la regla de los cardinales regulares, mostrando básicamente que las restricciones conocidas (monotonía, teorema de Cantor y teorema de König ) eran las únicas restricciones demostrables (véase teorema de Easton ).${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

El trabajo de Easton fue notable porque implicó forzar con una clase apropiada de condiciones. En general, el método de forzar con una clase apropiada de condiciones no logra dar un modelo de . Por ejemplo, forzar con , donde es la clase apropiada de todos los ordinales, hace que el continuo sea una clase apropiada. Por otro lado, forzar con introduce una enumeración contable de los ordinales. En ambos casos, el resultado no es visiblemente un modelo de .${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega \times \mathbf {On} ,2)}$${\displaystyle \mathbf {On} }$${\displaystyle \operatorname {Fin} (\omega ,\mathbf {On} )}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

En un momento dado, se pensó que un forzamiento más sofisticado también permitiría una variación arbitraria en las potencias de los cardinales singulares . Sin embargo, esto ha resultado ser un problema difícil, sutil e incluso sorprendente, con varias restricciones más demostrables en y con los modelos de forzamiento dependiendo de la consistencia de varias propiedades de cardinales grandes . Quedan muchos problemas abiertos.${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

El forzamiento aleatorio puede definirse como forzar sobre el conjunto de todos los subconjuntos compactos de medida positiva ordenados por relación (el conjunto más pequeño en el contexto de inclusión es el conjunto más pequeño en el ordenamiento y representa una condición con más información). Hay dos tipos de conjuntos densos importantes:${\displaystyle P}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \subseteq }$

1. Para cualquier entero positivo el conjunto es denso, donde es el diámetro del conjunto .${\displaystyle n}$$${\displaystyle D_{n}=\left\{p\in P:\operatorname {diam} (p)<{\frac {1}{n}}\right\}}$$${\displaystyle \operatorname {diam} (p)}$${\displaystyle p}$
2. Para cualquier subconjunto de Borel de medida 1, el conjunto es denso.${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$$${\displaystyle D_{B}=\{p\in P:p\subseteq B\}}$$

Para cualquier filtro y para cualquier número finito de elementos existe tal que se cumple . En el caso de este orden, esto significa que cualquier filtro es un conjunto de conjuntos compactos con propiedad de intersección finita. Por esta razón, la intersección de todos los elementos de cualquier filtro no es vacía. Si es un filtro que interseca el conjunto denso para cualquier entero positivo , entonces el filtro contiene condiciones de diámetro positivo arbitrariamente pequeño. Por lo tanto, la intersección de todas las condiciones de tiene diámetro 0. Pero los únicos conjuntos no vacíos de diámetro 0 son singletons. Por lo tanto, hay exactamente un número real tal que .${\displaystyle G}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in G}$${\displaystyle q\in G}$${\displaystyle q\leq p_{1},\ldots ,p_{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r_{G}}$${\displaystyle r_{G}\in \bigcap G}$

Sea cualquier conjunto de Borel de medida 1. Si interseca , entonces .${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D_{B}}$${\displaystyle r_{G}\in B}$

Sin embargo, un filtro genérico sobre un modelo transitivo contable no está en . El real definido por es demostrablemente no un elemento de . El problema es que si , entonces " es compacto", pero desde el punto de vista de algún universo más grande , puede ser no compacto y la intersección de todas las condiciones del filtro genérico es en realidad vacía. Por esta razón, consideramos el conjunto de cierres topológicos de condiciones de G (es decir, ). Debido a y la propiedad de intersección finita de , el conjunto también tiene la propiedad de intersección finita. Los elementos del conjunto son conjuntos cerrados acotados como cierres de conjuntos acotados. ^{[ aclaración necesaria ]} Por lo tanto, es un conjunto de conjuntos compactos ^{[ aclaración necesaria ]} con la propiedad de intersección finita y, por lo tanto, tiene intersección no vacía. Dado que y el modelo fundamental hereda una métrica del universo , el conjunto tiene elementos de diámetro arbitrariamente pequeño. Finalmente, hay exactamente un real que pertenece a todos los miembros del conjunto . El filtro genérico se puede reconstruir a partir de como .${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle r_{G}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p\in P}$${\displaystyle V\models }$${\displaystyle p}$${\displaystyle U\supset V}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C=\{{\bar {p}}:p\in G\}}$${\displaystyle {\bar {p}}=p\cup \{\inf(p)\}\cup \{\sup(p)\}}$${\displaystyle {\bar {p}}\supseteq p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \operatorname {diam} ({\bar {p}})=\operatorname {diam} (p)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r_{G}}$${\displaystyle G=\{p\in P:r_{G}\in {\bar {p}}\}}$

Si es el nombre de , ^{[ aclaración necesaria ]} y para contiene " es el conjunto de Borel de medida 1", entonces contiene${\displaystyle a}$${\displaystyle r_{G}}$${\displaystyle B\in V}$${\displaystyle V\models }$${\displaystyle B}$

${\displaystyle V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in {\check {B}}\right)}$

Para algunos . Hay un nombre tal que para cualquier filtro genérico se cumple${\displaystyle p\in G}$${\displaystyle a}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \operatorname {val} (a,G)\in \bigcup _{p\in G}{\bar {p}}.}$

Entonces

${\displaystyle V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in {\check {B}}\right)}$

válido para cualquier condición .${\displaystyle p}$

Todo conjunto de Borel puede construirse, de manera no unívoca, a partir de intervalos con extremos racionales y aplicando las operaciones de complemento y uniones contables, un número contable de veces. El registro de dicha construcción se denomina código de Borel . Dado un conjunto de Borel en , se recupera un código de Borel y luego se aplica la misma secuencia de construcción en , obteniendo un conjunto de Borel . Se puede demostrar que se obtiene el mismo conjunto independientemente de la construcción de , y que se conservan las propiedades básicas. Por ejemplo, si , entonces . Si tiene medida cero, entonces tiene medida cero. Esta aplicación es inyectiva.${\displaystyle B}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle B^{*}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B\subseteq C}$${\displaystyle B^{*}\subseteq C^{*}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B^{*}}$${\displaystyle B\mapsto B^{*}}$

Para cualquier conjunto tal que y " es un conjunto de Borel de medida 1" se cumple .${\displaystyle B\subseteq [0,1]}$${\displaystyle B\in V}$${\displaystyle V\models }$${\displaystyle B}$${\displaystyle r\in B^{*}}$

Esto significa que es una "secuencia aleatoria infinita de 0 y 1" desde el punto de vista de , lo que significa que satisface todas las pruebas estadísticas del modelo base .${\displaystyle r}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

Entonces, dado un número real aleatorio, se puede demostrar que${\displaystyle r}$

${\displaystyle G=\left\{B~({\text{in }}V)\mid r\in B^{*}~({\text{in }}V[G])\right\}.}$

Debido a la interdefinibilidad mutua entre y , generalmente se escribe para .${\displaystyle r}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V[r]}$${\displaystyle V[G]}$

Dana Scott proporcionó una interpretación diferente de los números reales en . Los números racionales en tienen nombres que corresponden a una cantidad contable de valores racionales distintos asignados a una anticadena máxima de conjuntos de Borel; en otras palabras, una determinada función de valor racional en . Los números reales en corresponden entonces a cortes de Dedekind de tales funciones, es decir, funciones mensurables .${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle V[G]}$${\displaystyle I=[0,1]}$${\displaystyle V[G]}$

Quizás de forma más clara, el método se puede explicar en términos de modelos con valores booleanos. En estos, a cualquier enunciado se le asigna un valor de verdad de alguna álgebra booleana completa sin átomos , en lugar de solo un valor verdadero/falso. Luego se elige un ultrafiltro en esta álgebra booleana, que asigna valores verdaderos/falsos a los enunciados de nuestra teoría. El punto es que la teoría resultante tiene un modelo que contiene este ultrafiltro, que puede entenderse como un nuevo modelo obtenido al extender el antiguo con este ultrafiltro. Al elegir un modelo con valores booleanos de una manera apropiada, podemos obtener un modelo que tenga la propiedad deseada. En él, solo los enunciados que deben ser verdaderos (están "obligados" a ser verdaderos) serán verdaderos, en cierto sentido (ya que tiene esta propiedad de extensión/minimidad).

Al forzar, generalmente buscamos demostrar que alguna oración es consistente con (u opcionalmente alguna extensión de ). Una forma de interpretar el argumento es asumir que es consistente y luego demostrar que combinado con la nueva oración también es consistente.${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Cada "condición" es una pieza finita de información; la idea es que solo las piezas finitas son relevantes para la consistencia, ya que, por el teorema de compacidad , una teoría es satisfacible si y solo si cada subconjunto finito de sus axiomas es satisfacible. Entonces podemos elegir un conjunto infinito de condiciones consistentes para extender nuestro modelo. Por lo tanto, asumiendo la consistencia de , demostramos la consistencia de extendida por este conjunto infinito.${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Por el segundo teorema de incompletitud de Gödel , no se puede probar la consistencia de ninguna teoría formal suficientemente fuerte, como , utilizando solo los axiomas de la teoría misma, a menos que la teoría sea inconsistente. En consecuencia, los matemáticos no intentan probar la consistencia de utilizando solo los axiomas de , o probar que es consistente para cualquier hipótesis utilizando solo . Por esta razón, el objetivo de una prueba de consistencia es probar la consistencia de relativa a la consistencia de . Tales problemas se conocen como problemas de consistencia relativa , uno de los cuales prueba${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$