Teoría (lógica matemática)

En lógica matemática , una teoría (también llamada teoría formal ) es un conjunto de oraciones en un lenguaje formal . En la mayoría de los casos, un sistema deductivo se entiende primero a partir del contexto, después de lo cual un elemento de una teoría cerrada deductivamente se denomina teorema de la teoría. En muchos sistemas deductivos suele haber un subconjunto que se denomina "el conjunto de axiomas " de la teoría , en cuyo caso el sistema deductivo también se denomina " sistema axiomático ". Por definición, cada axioma es automáticamente un teorema. Una teoría de primer orden es un conjunto de oraciones de primer orden (teoremas) obtenidas recursivamente mediante las reglas de inferencia del sistema aplicadas al conjunto de axiomas.${\displaystyle \phi \en T}$${\estilo de visualización T}$${\displaystyle \Sigma \subseteq T}$${\displaystyle T}$

Al definir teorías con fines fundacionales, se debe tener especial cuidado, ya que el lenguaje normal de la teoría de conjuntos puede no ser apropiado.

La construcción de una teoría comienza especificando una clase conceptual no vacía definida , cuyos elementos se denominan enunciados . Estos enunciados iniciales suelen denominarse elementos primitivos o enunciados elementales de la teoría, para distinguirlos de otros enunciados que puedan derivarse de ellos.${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Una teoría es una clase conceptual que consta de algunos de estos enunciados elementales. Los enunciados elementales que pertenecen a se denominan teoremas elementales de y se dice que son verdaderos . De esta manera, una teoría puede verse como una forma de designar un subconjunto de que solo contienen enunciados que son verdaderos.${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Esta forma general de designar una teoría estipula que la verdad de cualquiera de sus enunciados elementales no se conoce sin referencia a . Por lo tanto, el mismo enunciado elemental puede ser verdadero con respecto a una teoría pero falso con respecto a otra. Esto recuerda el caso del lenguaje ordinario donde enunciados como "Él es una persona honesta" no pueden juzgarse verdaderos o falsos sin interpretar quién es "él" y, en ese sentido, qué es una "persona honesta" según esta teoría. ^[1]${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Una teoría es una subteoría de una teoría si es un subconjunto de . Si es un subconjunto de entonces se denomina extensión o superteoría de${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Se dice que una teoría es una teoría deductiva si es una clase inductiva , lo que quiere decir que su contenido se basa en algún sistema deductivo formal y que algunos de sus enunciados elementales se toman como axiomas . En una teoría deductiva, cualquier oración que sea una consecuencia lógica de uno o más de los axiomas es también una oración de esa teoría. ^[1] Más formalmente, si es una relación de consecuencia al estilo de Tarski , entonces es cerrada bajo (y por lo tanto cada uno de sus teoremas es una consecuencia lógica de sus axiomas) si y solo si, para todas las oraciones en el lenguaje de la teoría , si , entonces ; o, equivalentemente, si es un subconjunto finito de (posiblemente el conjunto de axiomas de en el caso de teorías finitamente axiomatizables) y , entonces , y por lo tanto .${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}\vdash \phi }$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}'}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}'\vdash \phi }$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}'}$${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}}$

Una teoría sintácticamente consistente es una teoría a partir de la cual no se puede demostrar cada oración en el lenguaje subyacente (con respecto a algún sistema deductivo , lo cual suele quedar claro a partir del contexto). En un sistema deductivo (como la lógica de primer orden) que satisface el principio de explosión , esto es equivalente a exigir que no exista ninguna oración φ tal que tanto φ como su negación puedan demostrarse a partir de la teoría.

Una teoría satisfacible es una teoría que tiene un modelo . Esto significa que hay una estructura M que satisface cada oración de la teoría. Cualquier teoría satisfacible es sintácticamente consistente, porque la estructura que satisface la teoría satisfará exactamente uno de φ y la negación de φ, para cada oración φ.

Una teoría consistente se define a veces como una teoría sintácticamente consistente y a veces como una teoría satisfacible. Para la lógica de primer orden , el caso más importante, se deduce del teorema de completitud que los dos significados coinciden. ^[2] En otras lógicas, como la lógica de segundo orden , hay teorías sintácticamente consistentes que no son satisfacibles, como las teorías ω-inconsistentes .

Una teoría consistente completa (o simplemente una teoría completa ) es una teoría consistente tal que para cada oración φ en su lenguaje, o bien φ es demostrable a partir de o {φ} es inconsistente. Para las teorías cerradas bajo consecuencia lógica, esto significa que para cada oración φ, o bien φ o su negación está contenido en la teoría. ^[3] Una teoría incompleta es una teoría consistente que no es completa.${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \cup }$

(ver también la teoría ω-consistente para una noción más fuerte de consistencia).

Una interpretación de una teoría es la relación entre una teoría y un tema en cuestión cuando existe una correspondencia de varios a uno entre ciertos enunciados elementales de la teoría y ciertos enunciados relacionados con el tema en cuestión. Si cada enunciado elemental de la teoría tiene un correspondiente, se denomina interpretación completa ; de lo contrario, se denomina interpretación parcial . ^[4]

Cada estructura tiene varias teorías asociadas. La teoría completa de una estructura A es el conjunto de todas las oraciones de primer orden sobre la signatura de A que son satisfechas por A . Se denota por Th( A ). De manera más general, la teoría de K , una clase de σ-estructuras, es el conjunto de todas las σ-oraciones de primer orden que son satisfechas por todas las estructuras en K , y se denota por Th( K ). Claramente Th( A ) = Th({ A }). Estas nociones también se pueden definir con respecto a otras lógicas.

Para cada σ-estructura A , hay varias teorías asociadas en una firma más grande σ' que extiende σ agregando un nuevo símbolo constante para cada elemento del dominio de A . (Si los nuevos símbolos constantes se identifican con los elementos de A que representan, σ' puede tomarse como σ A .) La cardinalidad de σ' es, por lo tanto, la mayor de las cardinalidades de σ y de A . ^{[ se necesita más explicación ]}${\displaystyle \cup }$

El diagrama de A consiste en todas las oraciones σ' atómicas o atómicas negadas que son satisfechas por A y se denota por diag _A . El diagrama positivo de A es el conjunto de todas las oraciones σ' atómicas que A satisface. Se denota por diag ⁺ _A . El diagrama elemental de A es el conjunto eldiag _A de todas las oraciones σ' de primer orden que son satisfechas por A o, equivalentemente, la teoría completa (de primer orden) de la expansión natural de A a la signatura σ'.

Una teoría de primer orden es un conjunto de oraciones en un lenguaje formal de primer orden .${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

Existen muchos sistemas de derivación ("prueba") formales para la lógica de primer orden. Entre ellos se incluyen los sistemas deductivos de estilo Hilbert , la deducción natural , el cálculo secuencial , el método de tablas y la resolución .

Una fórmula A es una consecuencia sintáctica de una teoría de primer orden si existe una derivación de A utilizando únicamente fórmulas en como axiomas no lógicos. Una fórmula A de este tipo también se denomina teorema de . La notación " " indica que A es un teorema de .${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}\vdash A}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$

Una interpretación de una teoría de primer orden proporciona una semántica para las fórmulas de la teoría. Se dice que una interpretación satisface una fórmula si la fórmula es verdadera según la interpretación. Un modelo de una teoría de primer orden es una interpretación en la que se satisface cada fórmula de .${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$

Una teoría de primer orden es una teoría de primer orden con identidad si incluye el símbolo de relación de identidad "=" y los esquemas de axiomas de reflexividad y sustitución para este símbolo.${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$

• Teorema de compacidad
• Conjunto consistente
• Teorema de deducción
• Teorema de enumeración
• Lema de Lindenbaum
• Teorema de Löwenheim-Skolem

Una forma de especificar una teoría es definir un conjunto de axiomas en un lenguaje particular. La teoría puede incluir solo esos axiomas, o sus consecuencias lógicas o demostrables, según se desee. Las teorías obtenidas de esta manera incluyen la ZFC y la aritmética de Peano .

Una segunda forma de especificar una teoría es comenzar con una estructura y dejar que la teoría sea el conjunto de oraciones que son satisfechas por la estructura. Este es un método para producir teorías completas a través de la ruta semántica, con ejemplos que incluyen el conjunto de oraciones verdaderas bajo la estructura ( N , +, ×, 0, 1, =), donde N es el conjunto de números naturales, y el conjunto de oraciones verdaderas bajo la estructura ( R , +, ×, 0, 1, =), donde R es el conjunto de números reales. La primera de estas, llamada teoría de la aritmética verdadera , no puede escribirse como el conjunto de consecuencias lógicas de ningún conjunto enumerable de axiomas. Tarski demostró que la teoría de ( R , +, ×, 0, 1, =) es decidible ; es la teoría de cuerpos reales cerrados (ver Decidibilidad de teorías de primer orden de los números reales para más información).

• Sistema axiomático
• Interpretabilidad
• Lista de teorías de primer orden
• Teoría matemática

• Hodges, Wilfrid (1997). Una teoría de modelos más breve . Cambridge University Press . ISBN 0-521-58713-1.