Paradojas de la teoría de conjuntos

Este artículo contiene un análisis de las paradojas de la teoría de conjuntos . Como ocurre con la mayoría de las paradojas matemáticas , suelen revelar resultados matemáticos sorprendentes y contraintuitivos, en lugar de contradicciones lógicas reales dentro de la teoría axiomática de conjuntos moderna .

La teoría de conjuntos, tal como la concibió Georg Cantor, presupone la existencia de conjuntos infinitos. Como esta suposición no puede probarse a partir de los primeros principios, se ha introducido en la teoría axiomática de conjuntos mediante el axioma de infinito , que afirma la existencia del conjunto N de números naturales. Todo conjunto infinito que pueda enumerarse mediante números naturales tiene el mismo tamaño (cardinalidad) que N , y se dice que es contable. Ejemplos de conjuntos infinitos contables son los números naturales, los números pares, los números primos y también todos los números racionales , es decir, las fracciones. Estos conjuntos tienen en común el número cardinal | N | = (aleph-cero), un número mayor que todo número natural.$estilo de visualización {\aleph _{0}}$

Los números cardinales se pueden definir de la siguiente manera. Definamos que dos conjuntos tienen el mismo tamaño por: existe una biyección entre los dos conjuntos (una correspondencia biunívoca entre los elementos). Entonces, un número cardinal es, por definición, una clase que consiste en todos los conjuntos del mismo tamaño. Tener el mismo tamaño es una relación de equivalencia y los números cardinales son las clases de equivalencia .

Además de la cardinalidad, que describe el tamaño de un conjunto, los conjuntos ordenados también forman parte de la teoría de conjuntos. El axioma de elección garantiza que todo conjunto puede estar bien ordenado , lo que significa que se puede imponer un orden total a sus elementos de modo que todo subconjunto no vacío tenga un primer elemento con respecto a ese orden. El orden de un conjunto bien ordenado se describe mediante un número ordinal . Por ejemplo, 3 es el número ordinal del conjunto {0, 1, 2} con el orden habitual 0 < 1 < 2; y ω es el número ordinal del conjunto de todos los números naturales ordenados de la forma habitual. Si descuidamos el orden, nos quedamos con el número cardinal | N | = |ω| =  .$estilo de visualización {\aleph _{0}}$

Los números ordinales se pueden definir con el mismo método que se utiliza para los números cardinales. Defina dos conjuntos bien ordenados como si tuvieran el mismo tipo de orden mediante lo siguiente: existe una biyección entre los dos conjuntos respecto del orden: los elementos más pequeños se asignan a elementos más pequeños. Entonces, un número ordinal es, por definición, una clase que consiste en todos los conjuntos bien ordenados del mismo tipo de orden. Tener el mismo tipo de orden es una relación de equivalencia en la clase de conjuntos bien ordenados, y los números ordinales son las clases de equivalencia.

Dos conjuntos del mismo tipo de orden tienen la misma cardinalidad. Lo inverso no es cierto en general para los conjuntos infinitos: es posible imponer diferentes ordenaciones correctas al conjunto de números naturales que dan lugar a diferentes números ordinales.

Existe un orden natural de los ordinales, que es en sí mismo un buen orden. Dado cualquier ordinal α, se puede considerar el conjunto de todos los ordinales menores que α. Este conjunto resulta tener el número ordinal α. Esta observación se utiliza para una forma diferente de introducir los ordinales, en la que un ordinal se equipara con el conjunto de todos los ordinales menores. Esta forma de número ordinal es, por tanto, un representante canónico de la forma anterior de clase de equivalencia.

Al formar todos los subconjuntos de un conjunto S (todas las posibles elecciones de sus elementos), obtenemos el conjunto potencia P ( S ). Georg Cantor demostró que el conjunto potencia es siempre mayor que el conjunto, es decir, | P ( S )| > | S |. Un caso especial del teorema de Cantor demuestra que el conjunto de todos los números reales R no puede enumerarse mediante números naturales. R es incontable: | R | > | N |.

En lugar de basarse en descripciones ambiguas como "aquello que no se puede ampliar" o "que aumenta sin límite", la teoría de conjuntos proporciona definiciones para el término conjunto infinito para dar un significado inequívoco a frases como "el conjunto de todos los números naturales es infinito". Al igual que para los conjuntos finitos , la teoría proporciona definiciones adicionales que nos permiten comparar consistentemente dos conjuntos infinitos en cuanto a si un conjunto es "más grande que", "más pequeño que" o "del mismo tamaño que" el otro. Pero no todas las intuiciones con respecto al tamaño de los conjuntos finitos se aplican al tamaño de los conjuntos infinitos, lo que conduce a varios resultados aparentemente paradójicos con respecto a la enumeración, el tamaño, la medida y el orden.

Antes de que se introdujera la teoría de conjuntos, la noción del tamaño de un conjunto había sido problemática. Galileo Galilei y Bernard Bolzano , entre otros, la habían analizado . ¿Existen tantos números naturales como cuadrados de números naturales cuando se miden por el método de enumeración?

• La respuesta es sí, porque para cada número natural n existe un número cuadrado n ² , y viceversa.
• La respuesta es no, porque los cuadrados son un subconjunto propio de los naturales: todo cuadrado es un número natural pero hay números naturales, como el 2, que no son cuadrados de números naturales.

Si se define la noción de tamaño de un conjunto en función de su cardinalidad , se puede resolver el problema. Puesto que existe una biyección entre los dos conjuntos implicados, esto se desprende directamente de la definición de la cardinalidad de un conjunto.

Consulte la paradoja del Grand Hotel de Hilbert para obtener más información sobre las paradojas de enumeración.

"Lo veo pero no lo creo", escribió Cantor a Richard Dedekind después de demostrar que el conjunto de puntos de un cuadrado tiene la misma cardinalidad que la de los puntos de una sola arista del cuadrado: la cardinalidad del continuo .

Esto demuestra que el "tamaño" de los conjuntos, tal como se define únicamente por la cardinalidad, no es la única forma útil de comparar conjuntos. La teoría de la medida proporciona una teoría del tamaño más matizada que se ajusta a nuestra intuición de que la longitud y el área son medidas de tamaño incompatibles.

La evidencia sugiere fuertemente que Cantor estaba bastante confiado en el resultado mismo y que su comentario a Dedekind se refiere más bien a sus entonces todavía persistentes preocupaciones sobre la validez de su prueba del mismo. ^[1] Sin embargo, la observación de Cantor también serviría muy bien para expresar la sorpresa que tantos matemáticos después de él han experimentado al encontrarse por primera vez con un resultado que es tan contra-intuitivo.

En 1904 Ernst Zermelo demostró mediante el axioma de elección (que se introdujo por este motivo) que todo conjunto puede estar bien ordenado. En 1963 Paul J. Cohen demostró que en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección no es posible demostrar la existencia de un buen orden de los números reales.

Sin embargo, la capacidad de ordenar correctamente cualquier conjunto permite realizar ciertas construcciones que se han denominado paradójicas. Un ejemplo es la paradoja de Banach-Tarski , un teorema que se considera ampliamente no intuitivo. Establece que es posible descomponer una bola de un radio fijo en un número finito de piezas y luego mover y volver a ensamblar esas piezas mediante traslaciones y rotaciones ordinarias (sin escala) para obtener dos copias de la copia original. La construcción de estas piezas requiere el axioma de elección; las piezas no son regiones simples de la bola, sino subconjuntos complicados .

En la teoría de conjuntos, no se considera que un conjunto infinito se crea mediante algún proceso matemático como "agregar un elemento" y luego repetirlo "un número infinito de veces". En cambio, se dice que ya existe un conjunto infinito particular (como el conjunto de todos los números naturales ), "por decreto", como una suposición o un axioma. Dado este conjunto infinito, se demuestra que también existen otros conjuntos infinitos, como una consecuencia lógica. Pero sigue siendo una cuestión filosófica natural contemplar alguna acción física que realmente se complete después de un número infinito de pasos discretos; y la interpretación de esta cuestión utilizando la teoría de conjuntos da lugar a las paradojas de la supertarea.

Tristram Shandy , el héroe de una novela de Laurence Sterne , escribe su autobiografía con tanta consciencia que le lleva un año relatar los acontecimientos de un día. Si es mortal, nunca podría terminar; pero si viviera eternamente, entonces ninguna parte de su diario quedaría sin escribir, pues a cada día de su vida correspondería un año dedicado a la descripción de ese día.

Una versión aumentada de este tipo de paradoja desplaza el fin infinitamente remoto a un tiempo finito. Llene un enorme depósito con bolas enumeradas con los números 1 a 10 y retire la bola número 1. Luego agregue las bolas enumeradas con los números 11 a 20 y retire la bola número 2. Continúe agregando bolas enumeradas con los números 10 n - 9 a 10 n y retire la bola número n para todos los números naturales n = 3, 4, 5, .... Deje que la primera transacción dure media hora, que la segunda transacción dure un cuarto de hora, y así sucesivamente, de modo que todas las transacciones terminen después de una hora. Obviamente, el conjunto de bolas en el depósito aumenta sin límite. Sin embargo, después de una hora, el depósito está vacío porque para cada bola se conoce el momento de extracción.

La paradoja se acentúa aún más por la importancia de la secuencia de extracción. Si las bolas no se extraen en la secuencia 1, 2, 3, ... sino en la secuencia 1, 11, 21, ... después de una hora una cantidad infinita de bolas llenan el depósito, aunque se haya movido la misma cantidad de material que antes.

A pesar de su utilidad para resolver cuestiones relativas a los conjuntos infinitos, la teoría ingenua de conjuntos tiene algunos defectos fatales. En particular, es presa de paradojas lógicas como las expuestas por la paradoja de Russell . El descubrimiento de estas paradojas reveló que no todos los conjuntos que pueden describirse en el lenguaje de la teoría ingenua de conjuntos pueden realmente decirse que existen sin crear una contradicción. El siglo XX vio una resolución de estas paradojas en el desarrollo de las diversas axiomatizaciones de las teorías de conjuntos como ZFC y NBG de uso común en la actualidad. Sin embargo, la brecha entre el lenguaje muy formalizado y simbólico de estas teorías y nuestro uso informal típico del lenguaje matemático da lugar a varias situaciones paradójicas, así como a la cuestión filosófica de exactamente de qué se proponen hablar estos sistemas formales .

En 1897, el matemático italiano Cesare Burali-Forti descubrió que no existe un conjunto que contenga todos los números ordinales. Como cada número ordinal está definido por un conjunto de números ordinales más pequeños, el conjunto bien ordenado Ω de todos los números ordinales (si existe) se ajusta a la definición y es en sí mismo un ordinal. Por otro lado, ningún número ordinal puede contenerse a sí mismo, por lo que Ω no puede ser un ordinal. Por lo tanto, el conjunto de todos los números ordinales no puede existir.

A finales del siglo XIX, Cantor se dio cuenta de la inexistencia del conjunto de todos los números cardinales y del conjunto de todos los números ordinales. En cartas a David Hilbert y Richard Dedekind escribió sobre los conjuntos inconsistentes, cuyos elementos no pueden considerarse como si estuvieran todos juntos, y utilizó este resultado para demostrar que todo conjunto consistente tiene un número cardinal.

Después de todo esto, la versión de la paradoja del "conjunto de todos los conjuntos" concebida por Bertrand Russell en 1903 condujo a una grave crisis en la teoría de conjuntos. Russell reconoció que la afirmación x = x es verdadera para todo conjunto, y por tanto el conjunto de todos los conjuntos se define por { x | x = x }. En 1906 construyó varios conjuntos paradójicos, el más famoso de los cuales es el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. El propio Russell explicó esta idea abstracta mediante algunas imágenes muy concretas. Un ejemplo, conocido como la paradoja del barbero , establece: El barbero que afeita a todos y sólo a los hombres que no se afeitan a sí mismos tiene que afeitarse a sí mismo sólo si no se afeita a sí mismo.

Existen estrechas similitudes entre la paradoja de Russell en la teoría de conjuntos y la paradoja de Grelling-Nelson , que demuestra una paradoja en el lenguaje natural.

En 1905, el matemático húngaro Julius König publicó una paradoja basada en el hecho de que sólo hay un número contable de definiciones finitas. Si imaginamos los números reales como un conjunto bien ordenado, aquellos números reales que pueden definirse finitamente forman un subconjunto. Por lo tanto, en este buen orden debería haber un primer número real que no sea finitamente definible. Esto es paradójico, porque este número real acaba de ser definido finitamente por la última oración. Esto conduce a una contradicción en la teoría de conjuntos ingenua .

Esta paradoja se evita en la teoría axiomática de conjuntos. Aunque es posible representar una proposición sobre un conjunto como un conjunto, mediante un sistema de códigos conocidos como números de Gödel , no existe una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos que se cumpla exactamente cuando es un código para una proposición finita sobre un conjunto, es un conjunto y se cumple para . Este resultado se conoce como el teorema de indefinibilidad de Tarski ; se aplica a una amplia clase de sistemas formales que incluyen todas las axiomatizaciones de la teoría de conjuntos que se estudian comúnmente.${\displaystyle \varphi(a,x)}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización x}$

En el mismo año, el matemático francés Jules Richard utilizó una variante del método diagonal de Cantor para obtener otra contradicción en la teoría de conjuntos ingenua. Considérese el conjunto A de todas las aglomeraciones finitas de palabras. El conjunto E de todas las definiciones finitas de números reales es un subconjunto de A . Como A es contable, también lo es E . Sea p el n º decimal del n º número real definido por el conjunto E ; formamos un número N que tiene cero como parte integral y p + 1 como n º decimal si p no es igual a 8 o 9, y unidad si p es igual a 8 o 9. Este número N no está definido por el conjunto E porque difiere de cualquier número real finitamente definido, es decir, del n º número por el n º dígito. Pero N ha sido definido por un número finito de palabras en este párrafo. Por lo tanto, debería estar en el conjunto E . Eso es una contradicción.

Al igual que la paradoja de König, esta paradoja no puede formalizarse en la teoría de conjuntos axiomáticos porque requiere la capacidad de determinar si una descripción se aplica a un conjunto particular (o, equivalentemente, determinar si una fórmula es en realidad la definición de un solo conjunto).

Basándose en el trabajo del matemático alemán Leopold Löwenheim (1915), el lógico noruego Thoralf Skolem demostró en 1922 que toda teoría consistente de cálculo de predicados de primer orden , como la teoría de conjuntos, tiene como máximo un modelo numerable . Sin embargo, el teorema de Cantor demuestra que hay conjuntos incontables. La raíz de esta aparente paradoja es que la numerabilidad o no numerabilidad de un conjunto no siempre es absoluta , sino que puede depender del modelo en el que se mide la cardinalidad. Es posible que un conjunto sea incontable en un modelo de teoría de conjuntos pero numerable en un modelo más grande (porque las biyecciones que establecen la numerabilidad están en el modelo más grande pero no en el más pequeño).

• Prueba de imposibilidad
• Paradoja de las bayas

• G. Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , E. Zermelo (Ed.), Olms, Hildesheim 1966.
• H. Meschkowski, W. Nilson: Georg Cantor - Briefe , Springer, Berlín 1991.
• A. Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre , Springer, Berlín 1923.
• AA Fraenkel, A. Levy: Teoría de conjuntos abstractos , Holanda Septentrional, Amsterdam 1976.
• F. Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre , Chelsea, Nueva York 1965.
• B. Russell: Los principios de las matemáticas I , Cambridge 1903.
• B. Russell: Sobre algunas dificultades en la teoría de números transfinitos y tipos de orden , Proc. London Math. Soc. (2) 4 (1907) 29-53.
• PJ Cohen: Teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo , Benjamin, Nueva York 1966.
• S. Wagon: La paradoja de Banach-Tarski , Cambridge University Press, Cambridge 1985.
• AN Whitehead , B. Russell: Principia Mathematica I , Cambridge Univ. Press, Cambridge 1910, pág. 64.
• E. Zermelo: Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung , Math. Ana. 65 (1908) pág. 107-128.

• Principios matemáticos
• Paradojas de definibilidad por Timothy Gowers
• "La paradoja de Russell". Enciclopedia de filosofía en Internet .
• "Paradoja Russell-Myhill". Enciclopedia de Filosofía en Internet .