Thoralf Skolem

Thoralf Skolem
Nacido	( 23 de mayo de 1887 )23 de mayo de 1887 Sandsvær , Noruega
Fallecido	23 de marzo de 1963 (23 de marzo de 1963)(75 años) Oslo , Noruega
Nacionalidad	noruego
Alma máter	Universidad de Oslo
Conocido por	Teorema de Skolem-Noether Teorema de Löwenheim-Skolem
Carrera científica
Campos	Matemático
Instituciones	Universidad de Oslo Chr. Instituto Michelsen
Asesor de doctorado	Axel Thue
Estudiantes de doctorado	Mineral de Øystein

Thoralf Albert Skolem ( noruego: [ˈtûːrɑɫf ˈskûːlɛm] ; 23 de mayo de 1887 - 23 de marzo de 1963) fue un matemático noruego que trabajó en lógica matemática y teoría de conjuntos .

Aunque el padre de Skolem era maestro de escuela primaria, la mayor parte de su familia eran agricultores. Skolem asistió a la escuela secundaria en Kristiania (más tarde rebautizada como Oslo ), aprobando los exámenes de ingreso a la universidad en 1905. Luego ingresó en la Det Kongelige Frederiks Universitet para estudiar matemáticas, y también tomó cursos de física , química , zoología y botánica .

En 1909, comenzó a trabajar como asistente del físico Kristian Birkeland , conocido por bombardear esferas magnetizadas con electrones y obtener efectos similares a las auroras ; por lo tanto, las primeras publicaciones de Skolem fueron artículos de física escritos conjuntamente con Birkeland. En 1913, Skolem aprobó los exámenes estatales con distinción y completó una disertación titulada Investigaciones sobre el álgebra de la lógica . También viajó con Birkeland a Sudán para observar la luz zodiacal . Pasó el semestre de invierno de 1915 en la Universidad de Göttingen , en ese momento el principal centro de investigación en lógica matemática , metamatemáticas y álgebra abstracta , campos en los que Skolem finalmente destacó. En 1916 fue nombrado investigador asociado en la Det Kongelige Frederiks Universitet. En 1918 se convirtió en docente de matemáticas y fue elegido miembro de la Academia Noruega de Ciencias y Letras .

Skolem no se matriculó formalmente al principio como candidato a doctor, pues creía que el doctorado no era necesario en Noruega. Más tarde cambió de opinión y presentó una tesis en 1926, titulada Algunos teoremas sobre soluciones integrales de ciertas ecuaciones e inecuaciones algebraicas . Su director de tesis teórico fue Axel Thue , a pesar de que Thue había fallecido en 1922.

En 1927 se casó con Edith Wilhelmine Hasvold.

Skolem continuó enseñando en la Det kongelige Frederiks Universitet (rebautizada como Universidad de Oslo en 1939) hasta 1930, cuando se convirtió en investigador asociado en el Instituto Chr. Michelsen en Bergen . Este puesto de alto nivel le permitió a Skolem realizar investigaciones sin tener que realizar tareas administrativas ni docentes. Sin embargo, el puesto también requería que residiera en Bergen , una ciudad que entonces carecía de universidad y, por lo tanto, no tenía biblioteca de investigación, por lo que no podía mantenerse al día con la literatura matemática. En 1938, regresó a Oslo para asumir la cátedra de matemáticas en la universidad. Allí enseñó los cursos de posgrado en álgebra y teoría de números, y solo ocasionalmente sobre lógica matemática. El estudiante de doctorado de Skolem, Øystein Ore, siguió una carrera en los EE. UU.

Skolem fue presidente de la Sociedad Matemática Noruega y editor de la Norsk Matematisk Tidsskrift ("La revista matemática noruega") durante muchos años. También fue el editor fundador de Mathematica Scandinavica .

Tras su jubilación en 1957, realizó varios viajes a Estados Unidos, donde impartió conferencias y clases en universidades de ese país. Se mantuvo intelectualmente activo hasta su repentina e inesperada muerte.

Para más información sobre la vida académica de Skolem, véase Fenstad (1970).

Skolem publicó alrededor de 180 artículos sobre ecuaciones diofánticas , teoría de grupos , teoría de redes y, sobre todo, teoría de conjuntos y lógica matemática . Publicó principalmente en revistas noruegas con circulación internacional limitada, por lo que sus resultados fueron redescubiertos ocasionalmente por otros. Un ejemplo es el teorema de Skolem-Noether , que caracteriza los automorfismos de álgebras simples. Skolem publicó una prueba en 1927, pero Emmy Noether lo redescubrió de forma independiente unos años después.

Skolem fue uno de los primeros en escribir sobre redes . En 1912, fue el primero en describir una red distributiva libre generada por n elementos. En 1919, demostró que toda red implicativa (ahora también llamada red de Skolem) es distributiva y, como recíproco parcial, que toda red distributiva finita es implicativa. Después de que otros redescubrieran estos resultados, Skolem publicó en 1936 un artículo en alemán, "Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'", en el que analizaba su trabajo anterior en teoría de redes.

Skolem fue un teórico de modelos pionero . En 1920, simplificó en gran medida la demostración de un teorema que Leopold Löwenheim demostró por primera vez en 1915, lo que dio como resultado el teorema de Löwenheim-Skolem , que establece que si una teoría de primer orden contable tiene un modelo infinito, entonces tiene un modelo contable. Su demostración de 1920 empleó el axioma de elección , pero más tarde (1922 y 1928) dio demostraciones utilizando el lema de König en lugar de ese axioma. Es notable que Skolem, como Löwenheim, escribió sobre lógica matemática y teoría de conjuntos empleando la notación de sus compañeros pioneros teóricos de modelos Charles Sanders Peirce y Ernst Schröder , incluyendo Π, Σ como cuantificadores de vinculación de variables, en contraste con las notaciones de Peano , Principia Mathematica y Principles of Mathematical Logic . Skolem (1934) fue pionero en la construcción de modelos no estándar de aritmética y teoría de conjuntos.

Skolem (1922) refinó los axiomas de Zermelo para la teoría de conjuntos al reemplazar la vaga noción de Zermelo de una propiedad "definida" por cualquier propiedad que pueda codificarse en la lógica de primer orden . El axioma resultante ahora es parte de los axiomas estándar de la teoría de conjuntos. Skolem también señaló que una consecuencia del teorema de Löwenheim-Skolem es lo que ahora se conoce como la paradoja de Skolem : si los axiomas de Zermelo son consistentes, entonces deben ser satisfacibles dentro de un dominio numerable, incluso aunque prueben la existencia de conjuntos incontables.

La completitud de la lógica de primer orden es un corolario de los resultados que Skolem demostró a principios de la década de 1920 y que se discutieron en Skolem (1928), pero no se dio cuenta de este hecho, tal vez porque los matemáticos y los lógicos no se dieron cuenta plenamente de la completitud como un problema metamatemático fundamental hasta que la primera edición de 1928 de los Principios de lógica matemática de Hilbert y Ackermann la articuló claramente. En cualquier caso, Kurt Gödel demostró por primera vez esta completitud en 1930.

Skolem desconfiaba del infinito completo y fue uno de los fundadores del finitismo en matemáticas. Skolem (1923) expone su aritmética recursiva primitiva , una contribución muy temprana a la teoría de funciones computables , como un medio para evitar las llamadas paradojas del infinito. Aquí desarrolló la aritmética de los números naturales definiendo primero objetos por recursión primitiva , y luego ideando otro sistema para probar propiedades de los objetos definidos por el primer sistema. Estos dos sistemas le permitieron definir números primos y proponer una cantidad considerable de teoría de números. Si el primero de estos sistemas puede considerarse como un lenguaje de programación para definir objetos, y el segundo como una lógica de programación para probar propiedades sobre los objetos, Skolem puede ser visto como un pionero involuntario de la informática teórica.

En 1929, Presburger demostró que la aritmética de Peano sin multiplicación era consistente , completa y decidible . Al año siguiente, Skolem demostró que lo mismo era cierto para la aritmética de Peano sin adición, un sistema llamado aritmética de Skolem en su honor. El famoso resultado de Gödel de 1931 es que la aritmética de Peano en sí misma (con adición y multiplicación) es incompletable y, por lo tanto, indecidible a posteriori .

Hao Wang elogió el trabajo de Skolem de la siguiente manera:

Skolem tiende a tratar los problemas generales con ejemplos concretos. A menudo parecía presentar las pruebas en el mismo orden en que las descubrió, lo que da como resultado una informalidad fresca y cierta falta de concreción. Muchos de sus artículos parecen informes de progreso, pero sus ideas suelen ser muy elocuentes y potencialmente susceptibles de amplia aplicación. Era un "espíritu libre": no pertenecía a ninguna escuela, no fundó una escuela propia, no solía hacer un uso intensivo de los resultados conocidos... era un gran innovador y la mayoría de sus artículos pueden ser leídos y comprendidos por personas sin un gran conocimiento especializado. Parece muy probable que si fuera joven hoy, la lógica... no le hubiera atraído. (Skolem 1970: 17-18)

Para más información sobre los logros de Skolem, véase Hao Wang (1970).

• Leopoldo Löwenheim
• Teoría de modelos
• Aritmética de Skolem
• Forma normal de Skolem
• La paradoja de Skolem
• Problema de Skolem
• Secuencia de Skolem
• Teorema de Skolem-Mahler-Lech

• Skolem, Thoralf (1934). "Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschließlich Zahlenvariablen" (PDF) . Fundamenta Mathematicae (en alemán). 23 (1): 150-161. doi : 10.4064/fm-23-1-150-161 .
• Skolem, TA, 1970. Selected works in logic (Obras seleccionadas en lógica) , Fenstad, JE , ed. Oslo: Scandinavian University Books. Contiene 22 artículos en alemán, 26 en inglés, 2 en francés, 1 traducción al inglés de un artículo publicado originalmente en noruego y una bibliografía completa.
• Skolem, Thoralf (23 de abril de 2018). Zach, Richard (ed.). "Documentos de Skolem de 1920, 1923". richardzach.org . Consultado el 4 de enero de 2024 .

• Jean van Heijenoort , 1967. De Frege a Gödel: un libro de referencia sobre lógica matemática, 1879-1931 . Harvard Univ. Press.
  • 1920. "Investigaciones lógico-combinatorias sobre la satisfacibilidad o demostrabilidad de proposiciones matemáticas: una prueba simplificada de un teorema de Löwenheim", 252–263.
  • 1922. "Algunas observaciones sobre la teoría de conjuntos axiomatizados", 290-301.
  • 1923. "Los fundamentos de la aritmética elemental", 302-33.
  • 1928. "Sobre la lógica matemática", 508–524.

• Brady, Geraldine, 2000. De Peirce a Skolem . Holanda Septentrional.
• Fenstad, Jens Erik, 1970, "Thoralf Albert Skolem in Memoriam" en Skolem (1970: 9-16).
• Hao Wang, 1970, "Un estudio del trabajo de Skolem en lógica" en Skolem (1970: 17–52).

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Thoralf Skolem", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
• Thoralf Skolem en el Proyecto de Genealogía Matemática
• Fenstad, Jens Erik, 1996, "Thoralf Albert Skolem 1887-1963: A Biographical Sketch", Nordic Journal of Philosophical Logic 1 : 99-106.