Axioma de emparejamiento

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En la teoría de conjuntos axiomáticos y en las ramas de la lógica , las matemáticas y la informática que la utilizan, el axioma de emparejamiento es uno de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . Fue introducido por Zermelo (1908) como un caso especial de su axioma de conjuntos elementales .

En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma se lee:

${\displaystyle \para todo A\,\para todo B\,\existe C\,\para todo D\,[D\en C\iff (D=A\lo D=B)]}$

En palabras:

Dado cualquier objeto A y cualquier objeto B , existe un conjunto C tal que, dado cualquier objeto D , D es miembro de C si y sólo si D es igual a A o D es igual a B.

Como se señaló, lo que dice el axioma es que, dados dos objetos A y B , podemos encontrar un conjunto C cuyos miembros son exactamente A y B.

Podemos utilizar el axioma de extensionalidad para demostrar que este conjunto C es único. Llamamos al conjunto C al par de A y B y lo denotamos { A , B }. Por lo tanto, la esencia del axioma es:

Cualquier par de objetos tiene un par.

El conjunto { A , A } se abrevia { A }, y se denomina singleton que contiene a A . Nótese que un singleton es un caso especial de par. Ser capaz de construir un singleton es necesario, por ejemplo, para demostrar la no existencia de las cadenas infinitamente descendentes a partir del Axioma de regularidad .${\displaystyle x=\{x\}}$

El axioma de emparejamiento también permite la definición de pares ordenados . Para cualquier objeto y , el par ordenado se define de la siguiente manera:${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$

${\displaystyle (a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}.\,}$

Nótese que esta definición satisface la condición

${\displaystyle (a,b)=(c,d)\iff a=c\ly b=d.}$

Las n -tuplas ordenadas se pueden definir recursivamente de la siguiente manera:

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})=((a_{1},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}).\!}$

El axioma de emparejamiento se considera generalmente indiscutible y aparece, o un equivalente, en casi todas las axiomatizaciones de la teoría de conjuntos. Sin embargo, en la formulación estándar de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el axioma de emparejamiento se deduce del esquema axiomático de reemplazo aplicado a cualquier conjunto dado con dos o más elementos, y por lo tanto a veces se omite. La existencia de un conjunto de este tipo con dos elementos, como { {}, { {} } }, se puede deducir ya sea del axioma de conjunto vacío y del axioma de conjunto potencia o del axioma de infinito .

En ausencia de algunos de los axiomas ZFC más fuertes, el axioma de emparejamiento aún puede, sin pérdida, introducirse en formas más débiles.

En presencia de formas estándar del esquema axiomático de separación podemos sustituir el axioma de emparejamiento por su versión más débil:

${\displaystyle \forall A\forall B\exists C\forall D((D=A\lor D=B)\Rightarrow D\in C)}$.

Este axioma débil de emparejamiento implica que cualesquiera objetos dados y son miembros de algún conjunto . Utilizando el esquema axiomático de separación podemos construir el conjunto cuyos miembros son exactamente y .${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$

Otro axioma que implica el axioma de emparejamiento en presencia del axioma de conjunto vacío es el axioma de adjunción.

${\displaystyle \para todo A\,\para todo B\,\existe C\,\para todo D\,[D\en C\iff (D\en A\lo D=B)]}$.

Se diferencia del estándar por el uso de en lugar de . Usando {} para A y x para B, obtenemos { x } para C. Luego usamos { x } para A e y para B , obteniendo { x,y } para C. Se puede continuar de esta manera para construir cualquier conjunto finito. Y esto podría usarse para generar todos los conjuntos finitos hereditarios sin usar el axioma de unión .${\displaystyle D\en A}$${\displaystyle D=A}$

Junto con el axioma de conjunto vacío y el axioma de unión , el axioma de emparejamiento puede generalizarse al siguiente esquema:

${\displaystyle \paratodos A_{1}\,\ldots \,\paratodos A_{n}\,\existe C\,\paratodos D\,[D\en C\iff (D=A_{1}\lor \cdots \lor D=A_{n})]}$

eso es:

Dado cualquier número finito de objetos A ₁ a A _n , existe un conjunto C cuyos miembros son precisamente A ₁ a A _n .

Este conjunto C es nuevamente único por el axioma de extensionalidad , y se denota { A ₁ ,..., A _n }.

Por supuesto, no podemos referirnos rigurosamente a un número finito de objetos sin tener ya en nuestras manos un conjunto (finito) al que pertenecen los objetos en cuestión. Por lo tanto, no se trata de un enunciado único, sino de un esquema , con un enunciado separado para cada número natural n .

• El caso n = 1 es el axioma de emparejamiento con A = A ₁ y B = A ₁ .
• El caso n = 2 es el axioma de emparejamiento con A = A ₁ y B = A ₂ .
• Los casos n > 2 se pueden demostrar utilizando el axioma de emparejamiento y el axioma de unión múltiples veces.

Por ejemplo, para demostrar el caso n = 3, se utiliza el axioma de emparejamiento tres veces, para producir el par { A ₁ , A ₂ }, el singleton { A ₃ }, y luego el par {{ A ₁ , A ₂ },{ A ₃ }}. El axioma de unión produce entonces el resultado deseado, { A ₁ , A ₂ , A ₃ }. Podemos extender este esquema para incluir n = 0 si interpretamos ese caso como el axioma del conjunto vacío .

Por lo tanto, se puede utilizar este como un esquema axiomático en lugar de los axiomas de conjunto vacío y emparejamiento. Sin embargo, normalmente se utilizan los axiomas de conjunto vacío y emparejamiento por separado y luego se demuestra esto como un esquema de teorema . Tenga en cuenta que adoptar esto como un esquema axiomático no reemplazará al axioma de unión , que aún es necesario para otras situaciones.

• Paul Halmos , Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag).
• Jech, Thomas, 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Springer. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Kunen, Kenneth, 1980. Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 
• Zermelo, Ernst (1908), "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I", Mathematische Annalen , 65 (2): 261–281, doi :10.1007/bf01449999, S2CID  120085563Traducción al inglés: Heijenoort, Jean van (1967), "Investigaciones sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos", From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Source Books in the History of the Sciences, Harvard Univ. Press, pp. 199–215, ISBN 978-0-674-32449-7.