Ley de fuerza de Ampère

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v t e

En magnetostática , la fuerza de atracción o repulsión entre dos cables que transportan corriente (ver la primera figura a continuación) se suele denominar ley de fuerza de Ampère . El origen físico de esta fuerza es que cada cable genera un campo magnético , siguiendo la ley de Biot-Savart , y el otro cable experimenta una fuerza magnética como consecuencia, siguiendo la ley de fuerza de Lorentz .

El ejemplo más conocido y más simple de la ley de fuerza de Ampère, que sustentaba (antes del 20 de mayo de 2019 ^[1] ) la definición del amperio , la unidad SI de corriente eléctrica, establece que la fuerza magnética por unidad de longitud entre dos conductores rectos paralelos es

$${\displaystyle {\frac {F_{m}}{L}}=2k_{\rm {A}}{\frac {I_{1}I_{2}}{r}},}$$

donde es la constante de fuerza magnética de la ley de Biot-Savart , es la fuerza total sobre cada cable por unidad de longitud del más corto (el más largo se aproxima como infinitamente largo en relación con el más corto), es la distancia entre los dos cables, y , son las corrientes continuas transportadas por los cables.${\displaystyle k_{\rm {A}}}$${\displaystyle F_{m}/L}$${\displaystyle r}$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$

Esta es una buena aproximación si un cable es lo suficientemente más largo que el otro, de modo que se puede aproximar como infinitamente largo, y si la distancia entre los cables es pequeña en comparación con sus longitudes (de modo que se cumple la aproximación de un cable infinito), pero grande en comparación con sus diámetros (de modo que también se pueden aproximar como líneas infinitamente delgadas). El valor de depende del sistema de unidades elegido, y el valor de decide qué tan grande será la unidad de corriente.${\displaystyle k_{\rm {A}}}$${\displaystyle k_{\rm {A}}}$

En el sistema SI , ^{[2] [3]} con la constante magnética , en unidades SI$${\displaystyle k_{\rm {A}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}}$$${\displaystyle \mu _{0}}$

La formulación general de la fuerza magnética para geometrías arbitrarias se basa en integrales de línea iteradas y combina la ley de Biot-Savart y la fuerza de Lorentz en una ecuación como se muestra a continuación. ^{[4] [5] [6]}

$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times \ (I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \times \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{|r|^{2}}},}$$

dónde

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{12}}$es la fuerza magnética total que siente el cable 1 debido al cable 2 (normalmente medida en newtons ),
• ${\displaystyle I_{1}}$y son las corrientes que recorren los cables 1 y 2, respectivamente (normalmente medidas en amperios ),${\displaystyle I_{2}}$
• La integración de doble línea suma la fuerza sobre cada elemento del cable 1 debido al campo magnético de cada elemento del cable 2,
• ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}}$y son vectores infinitesimales asociados con el cable 1 y el cable 2 respectivamente (generalmente medidos en metros ); consulte la integral de línea para obtener una definición detallada,${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}}$
• El vector es el vector unitario que apunta desde el elemento diferencial en el cable 2 hacia el elemento diferencial en el cable 1, y |r| es la distancia que separa estos elementos,${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{21}}$
• La multiplicación × es un producto vectorial ,
• El signo de es relativo a la orientación (por ejemplo, si apunta en la dirección de la corriente convencional , entonces ).${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{n}}$${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}}$${\displaystyle I_{1}>0}$

Para determinar la fuerza entre cables en un medio material, la constante magnética se reemplaza por la permeabilidad real del medio.

Para el caso de dos cables cerrados separados, la ley se puede reescribir de la siguiente manera equivalente expandiendo el producto triple vectorial y aplicando el teorema de Stokes: ^[7]$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {(I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\cdot } \ I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2})\ {\hat {\mathbf {r} }}_{21}}{|r|^{2}}}.}$$

De esta forma, es inmediatamente obvio que la fuerza sobre el cable 1 debido al cable 2 es igual y opuesta a la fuerza sobre el cable 2 debido al cable 1, de acuerdo con la tercera ley del movimiento de Newton .

La forma de la ley de fuerza de Ampère que se da comúnmente fue derivada por James Clerk Maxwell en 1873 y es una de varias expresiones consistentes con los experimentos originales de André-Marie Ampère y Carl Friedrich Gauss . El componente x de la fuerza entre dos corrientes lineales I e I ' , como se muestra en el diagrama adyacente, fue dado por Ampère en 1825 y Gauss en 1833 de la siguiente manera: ^[8]

$${\displaystyle dF_{x}=kII'ds'\int ds{\frac {\cos(xds)\cos(rds')-\cos(rx)\cos(dsds')}{r^{2}}}.}$$

Después de Ampère, varios científicos, entre ellos Wilhelm Weber , Rudolf Clausius , Maxwell, Bernhard Riemann , Hermann Grassmann ^[9] y Walther Ritz , desarrollaron esta expresión para encontrar una expresión fundamental de la fuerza. A través de la diferenciación, se puede demostrar que:

$${\displaystyle {\frac {\cos(x\,ds)\cos(r\,ds')}{r^{2}}}=-\cos(rx){\frac {(\cos \varepsilon -3\cos \phi \cos \phi ')}{r^{2}}}.}$$

y también la identidad:$${\displaystyle {\frac {\cos(rx)\cos(ds\,ds')}{r^{2}}}={\frac {\cos(rx)\cos \varepsilon }{r^{2}}}.}$$

Con estas expresiones la ley de fuerza de Ampère se puede expresar como:$${\displaystyle dF_{x}=kII'ds'\int ds'\cos(rx){\frac {2\cos \varepsilon -3\cos \phi \cos \phi '}{r^{2}}}.}$$

Utilizando las identidades: y$${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial s}}=\cos \phi ,{\frac {\partial r}{\partial s'}}=-\cos \phi '.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}={\frac {-\cos \varepsilon +\cos \phi \cos \phi '}{r}}.}$$

Los resultados de Ampère se pueden expresar en la forma:$${\displaystyle d^{2}F={\frac {kII'dsds'}{r^{2}}}\left({\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}-2r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}\right).}$$

Como Maxwell observó, a esta expresión se pueden añadir términos que sean derivados de una función Q ( r ) y que, al integrarse, se cancelen entre sí. De este modo, Maxwell dio "la forma más general consistente con los hechos experimentales" para la fuerza sobre ds que surge de la acción de ds ': ^[10]$${\displaystyle d^{2}F_{x}=kII'dsds'{\frac {1}{r^{2}}}\left[\left(\left({\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}-2r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}\right)+r{\frac {\partial ^{2}Q}{\partial s\partial s'}}\right)\cos(rx)+{\frac {\partial Q}{\partial s'}}\cos(x\,ds)-{\frac {\partial Q}{\partial s}}\cos(x\,ds')\right].}$$

Q es una función de r , según Maxwell, que "no puede determinarse, sin suposiciones de algún tipo, a partir de experimentos en los que la corriente activa forma un circuito cerrado". Tomando la función Q ( r ) como de la forma:$${\displaystyle Q=-{\frac {(1+k)}{2r}}}$$

Obtenemos la expresión general para la fuerza ejercida sobre ds por ds :$${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{2r^{2}}}\left[\left(3-k\right){\hat {\mathbf {r} }}_{1}\left(d\mathbf {s} \,d\mathbf {s} '\right)-3\left(1-k\right){\hat {\mathbf {r} }}_{1}\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} \right)\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} '\right)-\left(1+k\right)d\mathbf {s} \left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} '\right)-\left(1+k\right)d\mathbf {s} '\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} \right)\right].}$$

Integrando alrededor de s ' se elimina k y se obtiene la expresión original dada por Ampère y Gauss. Por lo tanto, en lo que respecta a los experimentos originales de Ampère, el valor de k no tiene importancia. Ampère tomó k = −1; Gauss tomó k = +1, al igual que Grassmann y Clausius, aunque Clausius omitió el componente S. En las teorías de electrones no etéreos, Weber tomó k = −1 y Riemann tomó k = +1. Ritz dejó k indeterminado en su teoría. Si tomamos k = −1, obtenemos la expresión de Ampère:$${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{r^{3}}}\left[2\mathbf {r} (d\mathbf {s} \,d\mathbf {s'} )-3\mathbf {r} (\mathbf {r} d\mathbf {s} )(\mathbf {r} d\mathbf {s'} )\right]}$$

Si tomamos k=+1, obtenemos$${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{r^{3}}}\left[\mathbf {r} \left(d\mathbf {s} \,d\mathbf {s'} \right)-d\mathbf {s} \left(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} '\right)-d\mathbf {s} '\left(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} \right)\right]}$$

Utilizando la identidad vectorial para el producto cruzado triple, podemos expresar este resultado como$${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} ={\frac {kII'}{r^{3}}}\left[\left(d\mathbf {s} \times d\mathbf {s'} \times \mathbf {r} \right)+d\mathbf {s} '(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} )\right]}$$

Cuando se integra alrededor de ds ' el segundo término es cero, y por lo tanto encontramos la forma de la ley de fuerza de Ampère dada por Maxwell:$${\displaystyle \mathbf {F} =kII'\iint {\frac {d\mathbf {s} \times (d\mathbf {s} '\times \mathbf {r} )}{|r|^{3}}}}$$

Comience con la fórmula general: Suponga que el cable 2 está a lo largo del eje x, y el cable 1 está en y = D, z = 0, paralelo al eje x. Sea la coordenada x del elemento diferencial del cable 1 y el cable 2, respectivamente. En otras palabras, el elemento diferencial del cable 1 está en y el elemento diferencial del cable 2 está en . Por propiedades de las integrales de línea, y . También, y Por lo tanto, la integral es Evaluación del producto vectorial: A continuación, integramos de a : Si el cable 1 también es infinito, la integral diverge, porque la fuerza de atracción total entre dos cables infinitos paralelos es infinita. De hecho, lo que realmente queremos saber es la fuerza de atracción por unidad de longitud del cable 1. Por lo tanto, suponga que el cable 1 tiene una longitud grande pero finita . Entonces el vector de fuerza sentido por el cable 1 es: Como se esperaba, la fuerza que siente el cable es proporcional a su longitud. La fuerza por unidad de longitud es: La dirección de la fuerza va a lo largo del eje y, lo que representa que el cable 1 se ve atraído hacia el cable 2 si las corrientes son paralelas, como se esperaba. La magnitud de la fuerza por unidad de longitud concuerda con la expresión que se muestra arriba.$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times \ (I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \times \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{|r|^{2}}},}$$${\displaystyle x_{1},x_{2}}$${\displaystyle (x_{1},D,0)}$${\displaystyle (x_{2},0,0)}$${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}=(dx_{1},0,0)}$${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}=(dx_{2},0,0)}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{21}={\frac {1}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}}}}(x_{1}-x_{2},D,0)}$$$${\displaystyle |r|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}}}}$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {(dx_{1},0,0)\ \times \ \left[(dx_{2},0,0)\ \times \ (x_{1}-x_{2},D,0)\right]}{|(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}|^{3/2}}}.}$$$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}dx_{1}dx_{2}{\frac {(0,-D,0)}{|(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}|^{3/2}}}.}$$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}{\frac {2}{D}}(0,-1,0)\int _{L_{1}}dx_{1}.}$$${\displaystyle L_{1}}$$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}{\frac {2}{D}}(0,-1,0)L_{1}.}$$$${\displaystyle {\frac {\mathbf {F} _{12}}{L_{1}}}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{2\pi D}}(0,-1,0).}$$${\displaystyle {\frac {F_{m}}{L}}}$

Ordenado cronológicamente:

• Derivación original de Ampère de 1823:
  • Assis, André Koch Torres; Chaib, JPM C; Ampère, André-Marie (2015). La electrodinámica de Ampère: análisis del significado y evolución de la fuerza de Ampère entre elementos de corriente, junto con una traducción completa de su obra maestra: Teoría de los fenómenos electrodinámicos, deducida únicamente de la experiencia (PDF) . Montreal: Apeiron. ISBN 978-1-987980-03-5.
• Derivación de Maxwell de 1873:
  • Tratado de electricidad y magnetismo, vol. 2, parte 4, cap. 2 (§§502–527)
• Derivación de Pierre Duhem de 1892:
  • Duhem, Pierre Maurice Marie (9 de septiembre de 2018). Ley de fuerza de Ampère: una introducción moderna. Alan Aversa (trad.). doi :10.13140/RG.2.2.31100.03206/1 . Consultado el 3 de julio de 2019 .(EPUB)
    • traducción de: Leçons sur l'électricité et le magnétisme vol. 3, apéndice del libro 14, págs. 309-332 (en francés)
• Derivación de Alfred O'Rahilly de 1938:
  • Teoría electromagnética: un examen crítico de los fundamentos vol. 1, págs. 102-104 (cf. también las páginas siguientes)

• Amperio
• Constante magnética
• Fuerza de Lorentz
• Ley circuital de Ampère
• Espacio libre

• Ley de fuerza de Ampère Incluye gráfico animado de los vectores de fuerza.