Indeterminismo

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El indeterminismo es la idea de que los eventos (o ciertos eventos, o eventos de ciertos tipos) no son causados , o no son causados ​​de manera determinista .

Es lo opuesto del determinismo y está relacionado con el azar . Es muy relevante para el problema filosófico del libre albedrío , particularmente en la forma del libertarismo metafísico . En la ciencia , más específicamente en la teoría cuántica en física , el indeterminismo es la creencia de que ningún evento es seguro y que todo el resultado de cualquier cosa es probabilístico . El principio de incertidumbre de Heisenberg y la " regla de Born ", propuesta por Max Born , son a menudo puntos de partida en apoyo de la naturaleza indeterminista del universo. ^[1] El indeterminismo también es afirmado por Sir Arthur Eddington y Murray Gell-Mann . El indeterminismo ha sido promovido por el ensayo del biólogo francés Jacques Monod " Chance and Necessity ". El físico-químico Ilya Prigogine defendió el indeterminismo en sistemas complejos .

Los indeterministas no tienen por qué negar que existen causas. En cambio, pueden sostener que las únicas causas que existen son aquellas que no limitan el futuro a un único curso; por ejemplo, pueden sostener que sólo existen causas necesarias y no suficientes. La distinción entre causas necesarias y suficientes funciona de la siguiente manera:

Si x es una causa necesaria de y , entonces la presencia de y implica que x definitivamente la precedió. Sin embargo, la presencia de x no implica que y ocurrirá.

Si x es una causa suficiente de y , entonces la presencia de y implica que x puede haberla precedido. (Sin embargo, otra causa z puede causar alternativamente y . Por lo tanto, la presencia de y no implica la presencia de x , ni de z , ni de ningún otro sospechoso).

Es posible que todo tenga una causa necesaria , incluso cuando se mantiene el indeterminismo y el futuro está abierto, porque una condición necesaria no conduce a un único efecto inevitable. La causalidad indeterminista (o probabilística) es una posibilidad propuesta, de modo que "todo tiene una causa" no es una afirmación clara del indeterminismo.

Interpretar la causalidad como una relación determinista significa que si A causa B , entonces A siempre debe ser seguido por B. En este sentido, sin embargo, la guerra no siempre causa muertes (ver Guerra cibernética ), ni un momento singular de fumar siempre causa cáncer . Como resultado, muchos recurren a una noción de causalidad probabilística . De manera informal, A causa probabilísticamente B si la ocurrencia de A aumenta la probabilidad de B. Esto a veces se interpreta para reflejar el conocimiento imperfecto de un sistema determinista, pero otras veces se interpreta para significar que el sistema causal en estudio tiene una naturaleza inherentemente indeterminista. ( La probabilidad de propensión es una idea análoga, según la cual las probabilidades tienen una existencia objetiva y no son solo limitaciones en el conocimiento de un sujeto). ^[2]

Se puede demostrar que las realizaciones de cualquier distribución de probabilidad distinta de la uniforme son matemáticamente iguales a la aplicación de una función (determinista) (es decir, una función de distribución inversa ) sobre una variable aleatoria que siga a esta última (es decir, una "absolutamente aleatoria" ^[3] ); las probabilidades están contenidas en el elemento determinista. Una forma sencilla de demostrarlo sería disparar al azar dentro de un cuadrado y luego (deterministamente) interpretar un subcuadrado relativamente grande como el resultado más probable.

Generalmente se hace una distinción entre el indeterminismo y la mera incapacidad de medir las variables (límites de precisión). Esto es especialmente cierto en el caso del indeterminismo físico (tal como lo proponen diversas interpretaciones de la mecánica cuántica ). Sin embargo, algunos filósofos han sostenido que el indeterminismo y la imprevisibilidad son sinónimos. ^[4]

La mención más antigua del concepto de azar proviene del primer filósofo del atomismo , Leucipo , quien dijo:

"El cosmos, entonces, se convirtió en una especie de forma esférica: los átomos fueron sometidos a un movimiento casual e impredecible, rápido e incesante". ^[5]

Aristóteles describió cuatro posibles causas (material, eficiente, formal y final). La palabra que Aristóteles utilizó para estas causas fue αἰτίαι ( aitiai , como en etiología ), que se traduce como causas en el sentido de los múltiples factores responsables de un evento. Aristóteles no se adhirió a la idea simplista de que "cada evento tiene una (única) causa" que vendría después.

En su Física y metafísica , Aristóteles afirmó que había accidentes (συμβεβηκός, sumbebekos ) causados ​​únicamente por el azar (τύχη, tukhe ). Señaló que él y los primeros físicos no encontraban lugar para el azar entre sus causas.

Hemos visto hasta qué punto Aristóteles se distancia de cualquier concepción que haga del azar un factor crucial en la explicación general de las cosas. Y lo hace sobre bases conceptuales: los acontecimientos fortuitos, piensa, son por definición inusuales y carecen de ciertas características explicativas: como tales, forman la clase complementaria de aquellas cosas a las que se les puede dar una explicación natural completa. ^[6]

—  RJ Hankinson, "Causas" en Blackwell Companion to Aristotle

Aristóteles opuso su casualidad a la necesidad:

Tampoco hay ninguna causa definida para un accidente, sino sólo casualidad (τυχόν), es decir, una causa indefinida (ἀόριστον). ^[7]

Es evidente que hay principios y causas que son generables y destructibles aparte de los procesos mismos de generación y destrucción; pues si esto no es así, todo será por necesidad, es decir, si necesariamente debe haber alguna causa, que no sea accidental, de lo que se genera y se destruye. ¿Será esto así o no? Sí, si esto sucede; en caso contrario, no. ^[8]

El filósofo Sexto Empírico describió la posición pirronista sobre las causas de la siguiente manera:

...mostramos que la existencia de causas es plausible, y si también son plausibles aquellas que prueban que es incorrecto afirmar la existencia de una causa, y si no hay manera de dar preferencia a ninguna de estas sobre otras –ya que no tenemos ningún signo, criterio o prueba acordados, como se ha señalado anteriormente– entonces, si nos atenemos a las afirmaciones de los dogmáticos , es necesario suspender también el juicio sobre la existencia de causas, diciendo que no son más existentes que inexistentes ^[9]

Epicuro argumentó que, a medida que los átomos se movían a través del vacío, había ocasiones en las que se "desviaban" ( clinamen ) de sus caminos determinados de otro modo, iniciando así nuevas cadenas causales. Epicuro argumentó que estos desvíos nos permitirían ser más responsables de nuestras acciones, algo imposible si cada acción fuera causada de manera determinista. Para el epicureísmo , las intervenciones ocasionales de dioses arbitrarios serían preferibles al determinismo estricto.

En 1729 el Testamento de Jean Meslier afirma:

“La materia, en virtud de su propia fuerza activa, se mueve y actúa de manera ciega”. ^[10]

Poco después Julien Offroy de la Mettrie en su L'Homme Machine. (1748, anónimo) escribió:

“¿Quizá la causa de la existencia del hombre se encuentra en la existencia misma? ¿Quizá es arrojado por casualidad a algún punto de esta superficie terrestre sin ningún cómo ni por qué ?”

En su Anti-Sénèque [ Traité de la vie heureuse, par Sénèque, avec un Discours du traducteur sur le même sujet , 1750] leemos:

“Entonces, la casualidad nos ha lanzado a la vida”. ^[11]

En el siglo XIX, el filósofo francés Antoine-Augustin Cournot teorizó el azar de una manera nueva, como una serie de causas no lineales. En su Ensayo sobre los fundamentos de nuestros conocimientos (1851) escribió :

"No es por su rareza que la casualidad es actual. Al contrario, es por casualidad que se producen muchas otras posibles." ^[12]

El tiquismo ( griego : τύχη "casualidad") es una tesis propuesta por el filósofo estadounidense Charles Sanders Peirce en la década de 1890. ^[13] Sostiene que el azar absoluto , también llamado espontaneidad, es un factor real que opera en el universo. Puede considerarse tanto el opuesto directo del dictamen frecuentemente citado de Albert Einstein de que: " Dios no juega a los dados con el universo" como una anticipación filosófica temprana del principio de incertidumbre de Werner Heisenberg .

Peirce, por supuesto, no afirma que no exista ninguna ley en el universo. Por el contrario, sostiene que un mundo absolutamente aleatorio sería una contradicción y, por lo tanto, imposible. La falta total de orden es en sí misma una especie de orden. La posición que defiende es, más bien, que en el universo existen tanto regularidades como irregularidades.

Karl Popper comenta ^[14] que la teoría de Peirce recibió poca atención contemporánea y que otros filósofos no adoptaron el indeterminismo hasta el surgimiento de la mecánica cuántica.

En 1931, Arthur Holly Compton defendió la idea de la libertad humana basada en la indeterminación cuántica e inventó la noción de amplificación de eventos cuánticos microscópicos para introducir el azar en el mundo macroscópico. En su mecanismo un tanto extraño, imaginó cartuchos de dinamita unidos a su amplificador, anticipándose así a la paradoja del gato de Schrödinger . ^[15]

En reacción a las críticas de que sus ideas convertían al azar en la causa directa de nuestras acciones, Compton aclaró la naturaleza de dos etapas de su idea en un artículo de Atlantic Monthly en 1955. Primero hay una gama de posibles eventos aleatorios, luego se agrega un factor determinante en el acto de elección .

Un conjunto de condiciones físicas conocidas no es suficiente para especificar con precisión lo que será un acontecimiento futuro. Esas condiciones, en la medida en que se las puede conocer, definen en cambio una serie de acontecimientos posibles entre los cuales se producirá algún acontecimiento particular. Cuando uno ejerce la libertad, mediante su acto de elección está añadiendo un factor que no proporcionan las condiciones físicas y, por tanto, está determinando por sí mismo lo que ocurrirá. Que lo haga así es algo que sólo sabe la propia persona. Desde fuera, uno puede ver en su acto sólo el funcionamiento de la ley física. Es el conocimiento interior de que, de hecho, está haciendo lo que se propone hacer lo que le dice al propio actor que es libre. ^[16]

Compton dio la bienvenida al surgimiento del indeterminismo en la ciencia del siglo XX y escribió:

En mi propio pensamiento sobre este tema vital me encuentro en un estado mental mucho más satisfecho del que podría haber estado en cualquier etapa anterior de la ciencia. Si se supusiera que los enunciados de las leyes de la física eran correctos, habría que suponer (como hicieron la mayoría de los filósofos) que el sentimiento de libertad es ilusorio, o si se considerara que la libre elección es efectiva, que las leyes de la física... [no eran] fiables. El dilema ha sido incómodo. ^[17]

Junto con Arthur Eddington en Gran Bretaña, Compton fue uno de esos raros físicos distinguidos en el mundo de habla inglesa de finales de la década de 1920 y durante toda la década de 1930 que defendieron la "liberación del libre albedrío" con la ayuda del principio de indeterminación de Heisenberg, pero sus esfuerzos habían sido recibidos no solo con críticas físicas y filosóficas sino, principalmente, con feroces campañas políticas e ideológicas. ^[18]

En su ensayo De nubes y relojes , incluido en su libro Conocimiento objetivo , Popper contrastó las "nubes", su metáfora para los sistemas indeterministas, con los "relojes", es decir, los deterministas. Se puso del lado del indeterminismo, escribiendo

Creo que Peirce tenía razón al afirmar que todos los relojes son nubes en un grado considerable, incluso los más precisos. Esta, creo, es la inversión más importante de la errónea visión determinista de que todas las nubes son relojes ^[19].

Popper también fue un promotor de la probabilidad de propensión .

Kane es uno de los filósofos contemporáneos más importantes en materia de libre albedrío . ^{[20] [21]} Defendiendo lo que se denomina en los círculos filosóficos " libertad libertaria ", Kane sostiene que "(1) la existencia de posibilidades alternativas (o el poder del agente para hacer lo contrario) es una condición necesaria para actuar libremente, y (2) el determinismo no es compatible con las posibilidades alternativas (impide el poder de hacer lo contrario)". ^[22] Es importante señalar que el quid de la posición de Kane no se basa en una defensa de las posibilidades alternativas (PA), sino en la noción de lo que Kane denomina responsabilidad última (UR). Por lo tanto, la PA es un criterio necesario pero insuficiente para el libre albedrío. Es necesario que haya alternativas reales ( metafísicamente ) para nuestras acciones, pero eso no es suficiente; nuestras acciones podrían ser aleatorias sin estar bajo nuestro control. El control se encuentra en la "responsabilidad última".

Lo que permite la responsabilidad última de la creación en el cuadro de Kane son lo que él llama "acciones autoformadoras" o AAF, esos momentos de indecisión durante los cuales las personas experimentan voluntades conflictivas. Estas AAF son las acciones voluntarias indeterminadas que detienen la regresión o las abstenciones en las historias de vida de los agentes que se requieren para la UR. La UR no requiere que cada acto realizado por nuestra propia voluntad sea indeterminado y, por lo tanto, que, para cada acto o elección, podríamos haber hecho de otra manera; solo requiere que algunas de nuestras elecciones y acciones sean indeterminadas (y, por lo tanto, que podríamos haber hecho de otra manera), es decir, AAF. Estas forman nuestro carácter o naturaleza; informan nuestras futuras elecciones, razones y motivaciones en la acción. Si una persona ha tenido la oportunidad de tomar una decisión formadora del carácter (AAF), es responsable de las acciones que son resultado de su carácter.

Mark Balaguer, en su libro El libre albedrío como un problema científico abierto ^[23], sostiene un argumento similar al de Kane. Cree que, conceptualmente, el libre albedrío requiere indeterminismo, y la cuestión de si el cerebro se comporta de manera indeterminista está abierta a más investigaciones empíricas . También ha escrito sobre este tema "Una versión científicamente reputada del libre albedrío libertario indeterminista" ^[24] .

Parte de una serie sobre estadísticas
Teoría de la probabilidad
Probabilidad Axiomas Determinismo Sistema Indeterminismo Aleatoriedad
Espacio de probabilidad Espacio muestral Evento Eventos colectivamente exhaustivos Evento elemental Exclusividad mutua Resultado Semifallo Experimento El proceso de Bernoulli Distribución de probabilidad Distribución de Bernoulli Distribución binomial Distribución exponencial Distribución normal Distribución de Pareto Distribución de Poisson Medida de probabilidad Variable aleatoria Proceso de Bernoulli Continuo o discreto Valor esperado Diferencia Cadena de Markov Valor observado Paseo aleatorio Proceso estocástico
Evento complementario Probabilidad conjunta Probabilidad marginal Probabilidad condicional
Independencia Independencia condicional Ley de probabilidad total Ley de los grandes números Teorema de Bayes Desigualdad de Boole
Diagrama de Venn Diagrama de árbol
en a mi

En teoría de la probabilidad , un proceso estocástico , o a veces un proceso aleatorio, es la contraparte de un proceso determinista (o sistema determinista ). En lugar de tratar con una única realidad posible de cómo el proceso podría evolucionar con el tiempo (como es el caso, por ejemplo, para las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria ), en un proceso estocástico o aleatorio hay cierta indeterminación en su evolución futura descrita por distribuciones de probabilidad. Esto significa que incluso si se conoce la condición inicial (o punto de partida), hay muchas posibilidades de que el proceso siga, pero algunos caminos pueden ser más probables y otros menos.

La idea de que la física newtoniana demostraba el determinismo causal fue muy influyente en el período moderno temprano. “Así, el determinismo físico [...] se convirtió en la fe dominante entre los hombres ilustrados; y todo aquel que no abrazara esta nueva fe era considerado oscurantista y reaccionario”. ^[25] Sin embargo: “El propio Newton puede contarse entre los pocos disidentes, pues consideraba que el sistema solar era imperfecto y, en consecuencia, propenso a perecer”. ^[26]

El caos clásico no suele considerarse un ejemplo de indeterminismo, ya que puede ocurrir en sistemas deterministas como el problema de los tres cuerpos .

John Earman ha sostenido que la mayoría de las teorías físicas son indeterministas. ^{[27] [28]} Por ejemplo, la física newtoniana admite soluciones en las que las partículas se aceleran continuamente, dirigiéndose hacia el infinito. Cuando se produzca la reversibilidad de las leyes en cuestión, las partículas también podrían dirigirse hacia el interior, sin que ningún estado preexistente las impulse. Earman llama a esas partículas hipotéticas "invasores del espacio".

John D. Norton ha sugerido otro escenario indeterminista, conocido como Cúpula de Norton , donde una partícula está situada inicialmente en el vértice exacto de una cúpula. ^[29]

El espacio-tiempo ramificado es una teoría que une el indeterminismo y la teoría especial de la relatividad . La idea fue originada por Nuel Belnap . ^[30] Las ecuaciones de la relatividad general admiten soluciones tanto indeterministas como deterministas.

Ludwig Boltzmann fue uno de los fundadores de la mecánica estadística y de la teoría atómica moderna de la materia . Se le recuerda por su descubrimiento de que la segunda ley de la termodinámica es una ley estadística que se deriva del desorden . También especuló que el universo ordenado es solo una pequeña burbuja en un mar más grande de caos. El cerebro de Boltzmann es una idea similar.

La evolución darwiniana se apoya más en el elemento aleatorio de la mutación en comparación con la teoría evolutiva anterior de Herbert Spencer . Sin embargo, la cuestión de si la evolución requiere un indeterminismo ontológico genuino es objeto de debate ^[31]

En el ensayo Azar y necesidad (1970), Jacques Monod rechazó el papel de la causalidad final en biología , argumentando en cambio que una mezcla de causalidad eficiente y "azar puro" conduce a la teleonomía , o mera intencionalidad aparente .

El genetista teórico japonés de poblaciones Motoo Kimura destaca el papel del indeterminismo en la evolución. Según la teoría neutral de la evolución molecular : "a nivel molecular, la mayor parte del cambio evolutivo se debe a la deriva aleatoria de mutantes genéticos que son equivalentes frente a la selección". ^[32]

En su libro de 1997, El fin de la certeza , Prigogine sostiene que el determinismo ya no es una creencia científica viable. "Cuanto más sabemos sobre nuestro universo, más difícil se vuelve creer en el determinismo". Esto supone un gran cambio con respecto al enfoque de Newton , Einstein y Schrödinger , quienes expresaron sus teorías en términos de ecuaciones deterministas. Según Prigogine, el determinismo pierde su poder explicativo frente a la irreversibilidad y la inestabilidad . ^[33]

Prigogine rastrea la disputa sobre el determinismo hasta Darwin , cuyo intento de explicar la variabilidad individual de acuerdo con las poblaciones en evolución inspiró a Ludwig Boltzmann a explicar el comportamiento de los gases en términos de poblaciones de partículas en lugar de partículas individuales. ^[34] Esto condujo al campo de la mecánica estadística y a la comprensión de que los gases experimentan procesos irreversibles. En la física determinista, todos los procesos son reversibles en el tiempo, lo que significa que pueden proceder hacia atrás y hacia adelante a través del tiempo. Como explica Prigogine, el determinismo es fundamentalmente una negación de la flecha del tiempo . Sin la flecha del tiempo, ya no hay un momento privilegiado conocido como el "presente", que sigue a un "pasado" determinado y precede a un "futuro" indeterminado. Todo el tiempo simplemente está dado, con el futuro tan determinado o indeterminado como el pasado. Con la irreversibilidad, la flecha del tiempo se reintroduce en la física. Prigogine señala numerosos ejemplos de irreversibilidad, entre ellos la difusión , la desintegración radiactiva , la radiación solar , el clima y el surgimiento y evolución de la vida . Al igual que los sistemas climáticos, los organismos son sistemas inestables que existen lejos del equilibrio termodinámico . La inestabilidad se resiste a la explicación determinista estándar. En cambio, debido a la sensibilidad a las condiciones iniciales, los sistemas inestables solo pueden explicarse estadísticamente, es decir, en términos de probabilidad .

Prigogine afirma que la física newtoniana ha sido "ampliada" tres veces: primero con el uso de la función de onda en la mecánica cuántica , luego con la introducción del espacio-tiempo en la relatividad general y finalmente con el reconocimiento del indeterminismo en el estudio de sistemas inestables.

En un tiempo, en las ciencias físicas se asumió que si el comportamiento observado en un sistema no se puede predecir, el problema se debe a la falta de información precisa, de modo que una investigación suficientemente detallada eventualmente resultaría en una teoría determinista ("Si supieras exactamente todas las fuerzas que actúan sobre los dados, serías capaz de predecir qué número sale").

Sin embargo, la llegada de la mecánica cuántica eliminó la base de ese enfoque, con la afirmación de que (al menos según la interpretación de Copenhague ) los constituyentes más básicos de la materia a veces se comportan de manera indeterminista . Esto proviene del colapso de la función de onda , en el que el estado de un sistema tras la medición no se puede predecir en general. La mecánica cuántica solo predice las probabilidades de los posibles resultados, que están dadas por la regla de Born . El comportamiento no determinista en el colapso de la función de onda no es solo una característica de la interpretación de Copenhague, con su dependencia del observador , sino también del colapso objetivo y otras teorías .

Los oponentes del indeterminismo cuántico sugirieron que el determinismo podría ser restaurado formulando una nueva teoría en la que información adicional, las llamadas variables ocultas , ^[35] permitirían determinar resultados definidos. Por ejemplo, en 1935, Einstein, Podolsky y Rosen escribieron un artículo titulado " ¿Puede considerarse completa la descripción mecánico-cuántica de la realidad física? " argumentando que tal teoría era de hecho necesaria para preservar el principio de localidad . En 1964, John S. Bell pudo definir una prueba teórica para estas teorías de variables ocultas locales, que fue reformulada como una prueba experimental viable a través del trabajo de Clauser, Horne, Shimony y Holt . El resultado negativo de las pruebas de la década de 1980 de Alain Aspect descartó tales teorías, siempre que se mantuvieran ciertas suposiciones sobre el experimento. Por lo tanto, cualquier interpretación de la mecánica cuántica , incluidas las reformulaciones deterministas, debe rechazar la localidad o rechazar la definitividad contrafáctica por completo. La teoría de David Bohm es el principal ejemplo de una teoría cuántica determinista no local.

Se dice que la interpretación de los múltiples mundos es determinista, pero los resultados experimentales aún no se pueden predecir: los experimentadores no saben en qué "mundo" terminarán. Técnicamente, falta precisión contrafáctica .

Una consecuencia notable del indeterminismo cuántico es el principio de incertidumbre de Heisenberg , que impide la medición simultánea y precisa de todas las propiedades de una partícula.

Las fluctuaciones primordiales son variaciones de densidad en el universo primitivo que se consideran las semillas de toda estructura en el universo. Actualmente, la explicación más aceptada para su origen está en el contexto de la inflación cósmica . Según el paradigma inflacionario, el crecimiento exponencial del factor de escala durante la inflación provocó que las fluctuaciones cuánticas del campo inflatón se extendieran a escalas macroscópicas y, al salir del horizonte , se "congelaran". En las etapas posteriores de dominio de la radiación y la materia, estas fluctuaciones volvieron a entrar en el horizonte y, por lo tanto, establecieron las condiciones iniciales para la formación de la estructura .

Neurocientíficos como Björn Brembs y Christof Koch creen que los procesos termodinámicamente estocásticos en el cerebro son la base del libre albedrío , y que incluso organismos muy simples como las moscas tienen una forma de libre albedrío. ^[36] Algunos filósofos como Robert Kane proponen ideas similares.

A pesar de reconocer que el indeterminismo es un prerrequisito necesario de muy bajo nivel, Björn Brembs dice que ni siquiera está cerca de ser suficiente para abordar cuestiones como la moralidad y la responsabilidad. ^[36]

En contra de Einstein y otros que defendían el determinismo , el indeterminismo —tal como lo defendió el astrónomo inglés Sir Arthur Eddington— dice que un objeto físico tiene un componente ontológicamente indeterminado que no se debe a las limitaciones epistemológicas de la comprensión de los físicos. El principio de incertidumbre , entonces, no se debería necesariamente a variables ocultas sino a un indeterminismo en la naturaleza misma. ^[37]

El determinismo y el indeterminismo se analizan en Causalidad y azar en la física moderna , de David Bohm . Él especula que, dado que el determinismo puede surgir del indeterminismo subyacente (a través de la ley de los grandes números ), ^[38] y que el indeterminismo puede surgir del determinismo (por ejemplo, del caos clásico ), el universo podría concebirse como si tuviera capas alternas de causalidad y caos. ^[39]

• Lejeunne, Denis. 2012. El uso radical del azar en el arte del siglo XX , Rodopi. Ámsterdam
• James, William. El dilema del determinismo. Kessinger Publications, 2012.
• Narain, Vir, et al. “Determinismo, libre albedrío y responsabilidad moral”. TheHumanist.com, 21 de octubre de 2014, thehumanist.com/magazine/november-december-2014/philosophically-speaking/determinism-free-will-and-moral-responsibility.

Russell, Bertrand. “Elementos de ética”. Ensayos filosóficos, 1910.

• Teorías incompatibilistas (no deterministas) del libre albedrío de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford
• El indeterminismo desde el punto de vista del profesor de filosofía
• Determinismo causal en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford
• Norton, JD La causalidad como ciencia popular