Indeterminación cuántica

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Mecánica cuántica
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Schrödinger equation
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Equations Dirac Klein–Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
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La indeterminación cuántica es la aparente incompletitud necesaria en la descripción de un sistema físico , que se ha convertido en una de las características de la descripción estándar de la física cuántica . Antes de la física cuántica, se pensaba que

La indeterminación cuántica se puede caracterizar cuantitativamente mediante una distribución de probabilidad en el conjunto de resultados de las mediciones de un observable . La distribución está determinada únicamente por el estado del sistema y, además, la mecánica cuántica proporciona una receta para calcular esta distribución de probabilidad.

La indeterminación en la medición no fue una innovación de la mecánica cuántica, ya que los experimentadores habían establecido desde el principio que los errores en la medición pueden llevar a resultados indeterminados. Hacia la segunda mitad del siglo XVIII, los errores de medición ya se entendían bien y se sabía que podían reducirse con mejores equipos o explicarse mediante modelos estadísticos de error. Sin embargo, en la mecánica cuántica, la indeterminación es de naturaleza mucho más fundamental y no tiene nada que ver con errores o perturbaciones.

Una explicación adecuada de la indeterminación cuántica requiere una teoría de la medición. Se han propuesto muchas teorías desde el comienzo de la mecánica cuántica y la medición cuántica continúa siendo un área de investigación activa tanto en la física teórica como en la experimental. ^[1] Posiblemente el primer intento sistemático de una teoría matemática fue desarrollado por John von Neumann . Los tipos de mediciones que investigó ahora se denominan mediciones proyectivas. Esa teoría se basó a su vez en la teoría de medidas con valores de proyección para operadores autoadjuntos que se había desarrollado recientemente (por von Neumann e independientemente por Marshall Stone ) y la formulación del espacio de Hilbert de la mecánica cuántica (atribuida por von Neumann a Paul Dirac ).

En esta formulación, el estado de un sistema físico corresponde a un vector de longitud 1 en un espacio de Hilbert H sobre los números complejos . Un observable se representa mediante un operador autoadjunto (es decir, hermítico ) A en H . Si H es de dimensión finita , por el teorema espectral , A tiene una base ortonormal de vectores propios . Si el sistema está en el estado ψ , entonces inmediatamente después de la medición el sistema ocupará un estado que es un vector propio e de A y el valor observado λ será el valor propio correspondiente de la ecuación Ae = λe . De esto se desprende inmediatamente que la medición en general será no determinista. Además, la mecánica cuántica proporciona una receta para calcular una distribución de probabilidad Pr sobre los resultados posibles dado que el estado inicial del sistema es ψ . La probabilidad es donde E ( λ ) es la proyección sobre el espacio de vectores propios de A con valor propio λ .$${\displaystyle \operatorname {Pr} (\lambda )=\langle \operatorname {E} (\lambda )\psi \mid \psi \rangle }$$

En este ejemplo, consideramos una partícula de espín 1/2 (como un electrón) en la que solo consideramos el grado de libertad del espín. El espacio de Hilbert correspondiente es el espacio de Hilbert complejo bidimensional C ² , donde cada estado cuántico corresponde a un vector unitario en C ² (único hasta la fase). En este caso, el espacio de estados se puede representar geométricamente como la superficie de una esfera, como se muestra en la figura de la derecha.

Las matrices de espín de Pauli son autoadjuntas y corresponden a mediciones de espín a lo largo de los 3 ejes de coordenadas.$${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$

Todas las matrices de Pauli tienen los valores propios +1, −1.

• Para σ ₁ , estos valores propios corresponden a los vectores propios$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1),{\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,-1)}$$
• Para σ ₃ , corresponden a los vectores propios$${\displaystyle (1,0),(0,1)}$$

Así, en el estado σ ₁ tiene el valor determinado +1, mientras que la medición de σ ₃ puede producir +1 o −1, cada uno con una probabilidad de 1/2. De hecho, no existe ningún estado en el que la medición tanto de σ ₁ como de σ ₃ tengan valores determinados.$${\displaystyle \psi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1,1),}$$

Hay varias preguntas que pueden hacerse sobre la afirmación de indeterminación anterior.

1. ¿Puede interpretarse la aparente indeterminación como determinista, pero dependiente de magnitudes no modeladas en la teoría actual, que por lo tanto sería incompleta? Más precisamente, ¿existen variables ocultas que podrían explicar la indeterminación estadística de una manera completamente clásica?
2. ¿Puede entenderse la indeterminación como una perturbación del sistema que se está midiendo?

Von Neumann formuló la pregunta 1) y argumentó por qué la respuesta tenía que ser no, si uno aceptaba el formalismo que estaba proponiendo. Sin embargo, según Bell, la prueba formal de von Neumann no justificaba su conclusión informal. ^[2] Una respuesta negativa definitiva pero parcial a 1) ha sido establecida experimentalmente: debido a que se violan las desigualdades de Bell , ninguna de esas variables ocultas puede ser local (ver experimentos de prueba de Bell ).

La respuesta a 2) depende de cómo se entienda la perturbación, en particular porque la medición implica perturbación (sin embargo, tenga en cuenta que este es el efecto del observador , que es distinto del principio de incertidumbre). Aún así, en la interpretación más natural, la respuesta también es no. Para ver esto, considere dos secuencias de mediciones: (A) que mide exclusivamente σ ₁ y (B) que mide solo σ ₃ de un sistema de espín en el estado ψ . Los resultados de la medición de (A) son todos +1, mientras que la distribución estadística de las mediciones (B) todavía está dividida entre +1, −1 con igual probabilidad.

La indeterminación cuántica también se puede ilustrar en términos de una partícula con un momento medido de forma definitiva para la cual debe haber un límite fundamental a la precisión con la que se puede especificar su ubicación. Este principio de incertidumbre cuántica se puede expresar en términos de otras variables; por ejemplo, una partícula con una energía medida de forma definitiva tiene un límite fundamental a la precisión con la que se puede especificar cuánto tiempo tendrá esa energía. La magnitud involucrada en la incertidumbre cuántica es del orden de la constante de Planck (6,626 070 15 × 10 ⁻³⁴  J⋅Hz ⁻¹ ‍ [ ^3] ).

La indeterminación cuántica es la afirmación de que el estado de un sistema no determina una colección única de valores para todas sus propiedades mensurables. En efecto, según el teorema de Kochen-Specker , en el formalismo mecánico cuántico es imposible que, para un estado cuántico dado, cada una de estas propiedades mensurables ( observables ) tenga un valor determinado (afilado). Los valores de un observable se obtendrán de forma no determinista de acuerdo con una distribución de probabilidad que está determinada de forma única por el estado del sistema. Nótese que el estado se destruye con la medición, por lo que cuando nos referimos a una colección de valores, cada valor medido en esta colección debe obtenerse utilizando un estado recién preparado.

Esta indeterminación podría considerarse como una especie de incompletitud esencial en nuestra descripción de un sistema físico. Sin embargo, hay que tener en cuenta que la indeterminación indicada anteriormente solo se aplica a los valores de las mediciones, no al estado cuántico. Por ejemplo, en el ejemplo de espín 1/2 analizado anteriormente, el sistema puede prepararse en el estado ψ utilizando la medición de σ ₁ como filtro que retiene solo aquellas partículas tales que σ ₁ produce +1. Según los (así llamados) postulados de von Neumann, inmediatamente después de la medición, el sistema está con seguridad en el estado ψ .

Sin embargo, Albert Einstein creía que el estado cuántico no puede ser una descripción completa de un sistema físico y, como suele pensarse, nunca llegó a comprender la mecánica cuántica. De hecho, Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen demostraron que, si la mecánica cuántica es correcta, la visión clásica de cómo funciona el mundo real (al menos después de la relatividad especial) ya no es sostenible. Esta visión incluía las dos ideas siguientes:

1. Una propiedad medible de un sistema físico cuyo valor puede predecirse con certeza es en realidad un elemento de la realidad (local) (esta fue la terminología utilizada por EPR ).
2. Los efectos de las acciones locales tienen una velocidad de propagación finita.

Este fracaso de la visión clásica fue una de las conclusiones del experimento mental EPR en el que dos observadores ubicados a distancia , ahora comúnmente conocidos como Alice y Bob , realizan mediciones independientes del espín de un par de electrones, preparados en una fuente en un estado especial llamado estado singlete de espín . Una conclusión de EPR, utilizando el aparato formal de la teoría cuántica, fue que una vez que Alice midió el espín en la dirección x , la medición de Bob en la dirección x se determinó con certeza, mientras que inmediatamente antes de la medición de Alice, el resultado de Bob solo se determinó estadísticamente. De esto se sigue que el valor del espín en la dirección x no es un elemento de la realidad o que el efecto de la medición de Alice tiene una velocidad de propagación infinita.

Hemos descrito la indeterminación para un sistema cuántico que se encuentra en estado puro . Los estados mixtos son un tipo más general de estado obtenido mediante una mezcla estadística de estados puros. Para los estados mixtos, la "receta cuántica" para determinar la distribución de probabilidad de una medición se determina de la siguiente manera:

Sea A un observable de un sistema mecánico cuántico. A está dado por un operador autoadjunto densamente definido en H . La medida espectral de A es una medida con valor de proyección definida por la condición

${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(U)=\int _{U}\lambda \,d\operatorname {E} (\lambda ),}$

para cada subconjunto de Borel U de R . Dado un estado mixto S , introducimos la distribución de A bajo S de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {D} _{A}(U)=\operatorname {Tr} (\operatorname {E} _{A}(U)S).}$

Esta es una medida de probabilidad definida en los subconjuntos de Borel de R que es la distribución de probabilidad obtenida al medir A en S.

La indeterminación cuántica suele entenderse como información (o falta de ella) cuya existencia inferimos, que se produce en sistemas cuánticos individuales, antes de la medición. La aleatoriedad cuántica es la manifestación estadística de esa indeterminación, que se puede observar en los resultados de experimentos repetidos muchas veces. Sin embargo, la relación entre la indeterminación cuántica y la aleatoriedad es sutil y puede considerarse de otra manera. ^[4]

En física clásica , los experimentos de azar, como el lanzamiento de una moneda o de un dado, son deterministas, en el sentido de que un conocimiento perfecto de las condiciones iniciales haría que los resultados fueran perfectamente predecibles. La "aleatoriedad" surge de la ignorancia de la información física en el lanzamiento inicial. En contraste diametralmente, en el caso de la física cuántica , los teoremas de Kochen y Specker, ^[5] las desigualdades de John Bell, ^[6] y la evidencia experimental de Alain Aspect , ^{[7] [8]} indican que la aleatoriedad cuántica no surge de ninguna información física de ese tipo .

En 2008, Tomasz Paterek et al. proporcionaron una explicación en la información matemática . Demostraron que la aleatoriedad cuántica es, exclusivamente, el resultado de experimentos de medición cuyos ajustes de entrada introducen independencia lógica en los sistemas cuánticos. ^{[9] [10]}

La independencia lógica es un fenómeno muy conocido en la lógica matemática . Se refiere a la nula conectividad lógica que existe entre proposiciones matemáticas (en el mismo lenguaje) que no se prueban ni se refutan entre sí. ^[11]

En el trabajo de Paterek et al., los investigadores demuestran un vínculo que conecta la aleatoriedad cuántica y la independencia lógica en un sistema formal de proposiciones booleanas. En experimentos que miden la polarización de fotones, Paterek et al. demuestran estadísticas que correlacionan resultados predecibles con proposiciones matemáticas lógicamente dependientes, y resultados aleatorios con proposiciones que son lógicamente independientes. ^{[12] [13]}

En 2020, Steve Faulkner informó sobre el trabajo que siguió los hallazgos de Tomasz Paterek et al., mostrando qué significa la independencia lógica en las proposiciones booleanas de Paterek, en el dominio de la mecánica de matrices propiamente dicha. Demostró cómo la indefinición de la indeterminación surge en operadores de densidad evolucionados que representan estados mixtos, donde los procesos de medición encuentran una "historia perdida" irreversible y la intrusión de ambigüedad. ^[14]

• A. Aspect, La prueba de desigualdad de Bell: más ideal que nunca , Nature 398 189 (1999). [2]
• G. Bergmann, The Logic of Quanta , American Journal of Physics, 1947. Reimpreso en Readings in the Philosophy of Science, Ed. H. Feigl y M. Brodbeck, Appleton-Century-Crofts, 1953. Analiza la medición, la precisión y el determinismo.
• JS Bell, Sobre la paradoja de Einstein-Poldolsky-Rosen , Física 1 195 (1964).
• A. Einstein, B. Podolsky y N. Rosen, ¿Puede considerarse completa la descripción cuántica de la realidad física? Phys. Rev. 47 777 (1935). [3] Archivado el 8 de febrero de 2006 en Wayback Machine.
• G. Mackey, Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , WA Benjamin, 1963 (reimpresión de bolsillo de Dover 2004).
• J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , Princeton University Press, 1955. Reimpreso en formato de bolsillo. Publicado originalmente en alemán en 1932.
• R. Omnès, Comprensión de la mecánica cuántica , Princeton University Press, 1999.

• Conceptos erróneos comunes sobre la mecánica cuántica Véase especialmente la parte III "Conceptos erróneos sobre la medición".