Cobordismo

En matemáticas , el cobordismo es una relación de equivalencia fundamental en la clase de variedades compactas de la misma dimensión, establecida a partir del concepto de borde (del francés bord , que da cobordismo ) de una variedad. Dos variedades de la misma dimensión son cobordantes si su unión disjunta es el borde de una variedad compacta de una dimensión superior.

El límite de una variedad ( n  + 1)-dimensional W es una variedad n -dimensional ∂ W que es cerrada, es decir, con límite vacío. En general, una variedad cerrada no necesita ser un límite: la teoría del cobordismo es el estudio de la diferencia entre todas las variedades cerradas y aquellas que son límites. La teoría fue desarrollada originalmente por René Thom para variedades suaves (es decir, diferenciables), pero ahora también hay versiones para variedades lineales por partes y topológicas .

Un cobordismo entre variedades M y N es una variedad compacta W cuyo límite es la unión disjunta de M y N , .${\displaystyle \parcial W=M\sqcup N}$

Los cobordismos se estudian tanto por la relación de equivalencia que generan, como por su propio derecho. El cobordismo es una relación de equivalencia mucho más burda que el difeomorfismo o el homeomorfismo de variedades, y es significativamente más fácil de estudiar y calcular. No es posible clasificar variedades hasta el difeomorfismo o el homeomorfismo en dimensiones ≥ 4 –porque el problema verbal para grupos no se puede resolver– pero es posible clasificar variedades hasta el cobordismo. Los cobordismos son objetos centrales de estudio en topología geométrica y topología algebraica . En topología geométrica, los cobordismos están íntimamente conectados con la teoría de Morse , y los h -cobordismos son fundamentales en el estudio de variedades de alta dimensión, a saber, la teoría de la cirugía . En topología algebraica, las teorías de cobordismos son teorías fundamentales de cohomología extraordinaria , y las categorías de cobordismos son los dominios de las teorías topológicas cuánticas de campos .

En términos generales, una variedad n -dimensional M es un espacio topológico localmente (es decir, cerca de cada punto) homeomorfo a un subconjunto abierto del espacio euclidiano. Una variedad con borde es similar, excepto que se permite que un punto de M tenga un vecindario que sea homeomorfo a un subconjunto abierto del semiespacio. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{n}\geqslant 0\}.}$

Los puntos sin vecindad homeomorfos a un subconjunto abierto del espacio euclidiano son los puntos límite de ; el límite de se denota por . Finalmente, una variedad cerrada es, por definición, una variedad compacta sin límite ( .)${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle \parcial M}$${\displaystyle \partial M=\emptyset }$

Un cobordismo -dimensional es un quíntuple que consiste en una variedad diferenciable compacta -dimensional con borde, ; variedades cerradas , ; e incrustaciones , con imágenes disjuntas tales que${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle (W;M,N,i,j)}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i\colon M\hookrightarrow \partial W}$${\displaystyle j\colon N\hookrightarrow \partial W}$

${\displaystyle \partial W=i(M)\sqcup j(N)~.}$

La terminología suele abreviarse como . ^[1] M y N se denominan cobordantes si existe tal cobordismo. Todas las variedades cobordantes a una variedad dada fija M forman la clase de cobordismo de  M .${\displaystyle (W;M,N)}$

Toda variedad cerrada M es el límite de la variedad no compacta M  × [0, 1); por esta razón, requerimos que W sea compacta en la definición de cobordismo. Sin embargo, nótese que no se requiere que W sea conexo; como consecuencia, si M  = ∂ W ₁ y N  = ∂ W ₂ , entonces M y N son cobordantes.

El ejemplo más simple de un cobordismo es el intervalo unitario I = [0, 1] . Es un cobordismo unidimensional entre las variedades de dimensión 0 {0}, {1}. De manera más general, para cualquier variedad cerrada M , ( M × I ; M × {0} , M × {1} ) es un cobordismo de M × {0} a M × {1} .

Si M está formado por un círculo y N por dos círculos, M y N juntos forman el límite de un pantalón W (véase la figura de la derecha). Por tanto, el pantalón es un cobordismo entre M y N. Un cobordismo más simple entre M y N se da mediante la unión disjunta de tres discos.

El par de pantalones es un ejemplo de un cobordismo más general: para dos variedades n -dimensionales M , M ′, la unión disjunta es cobordante a la suma conexa El ejemplo anterior es un caso particular, ya que la suma conexa es isomorfa a La suma conexa se obtiene a partir de la unión disjunta mediante cirugía sobre una incrustación de en , y el cobordismo es la traza de la cirugía.${\displaystyle M\sqcup M'}$ ${\displaystyle M\mathbin {\#} M'.}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\mathbin {\#} \mathbb {S} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}.}$${\displaystyle M\mathbin {\#} M'}$${\displaystyle M\sqcup M'}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{n}}$${\displaystyle M\sqcup M'}$

Una n -variedad M se llama nula-cobordante si hay un cobordismo entre M y la variedad vacía; en otras palabras, si M es el límite entero de alguna ( n  + 1)-variedad. Por ejemplo, el círculo es nula-cobordante ya que limita un disco. De manera más general, una n -esfera es nula-cobordante ya que limita un ( n  + 1)-disco. Además, cada superficie orientable es nula-cobordante, porque es el límite de un handlebody . Por otro lado, el espacio proyectivo real 2 n -dimensional es una variedad cerrada (compacta) que no es el límite de una variedad, como se explica a continuación. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2n}(\mathbb {R} )}$

El problema general del bordismo es calcular las clases de cobordismo de variedades sujetas a diversas condiciones.

Los cobordismos nulos con estructura adicional se denominan rellenos . Algunos autores utilizan bordismo y cobordismo indistintamente; otros los distinguen. Cuando se desea distinguir el estudio de las clases de cobordismos del estudio de los cobordismos como objetos por derecho propio, se denomina a la cuestión de equivalencia bordismo de variedades y al estudio de los cobordismos como objetos cobordismos de variedades . ^{[ cita requerida ]}

El término bordismo proviene del francés bord , que significa límite. Por lo tanto, el bordismo es el estudio de los límites. El cobordismo significa "unido conjuntamente", por lo que M y N son cobordantes si unen conjuntamente una variedad; es decir, si su unión disjunta es un límite. Además, los grupos de cobordismo forman una teoría de cohomología extraordinaria , de ahí el término co-.

La anterior es la forma más básica de la definición. También se la conoce como bordismo no orientado. En muchas situaciones, las variedades en cuestión están orientadas o tienen alguna otra estructura adicional denominada G-estructura . Esto da lugar al "cobordismo orientado" y al "cobordismo con G-estructura", respectivamente. En condiciones técnicas favorables, estos forman un anillo graduado llamado anillo de cobordismo , con graduación por dimensión, adición por unión disjunta y multiplicación por producto cartesiano . Los grupos de cobordismo son los grupos de coeficientes de una teoría de homología generalizada.${\displaystyle \Omega _{*}^{G}}$${\displaystyle \Omega _{*}^{G}}$

Cuando hay una estructura adicional, la noción de cobordismo debe formularse con más precisión: una G -estructura en W se restringe a una G -estructura en M y N. Los ejemplos básicos son G = O para cobordismo no orientado, G = SO para cobordismo orientado y G = U para cobordismo complejo que utiliza variedades establemente complejas . Muchos más están detallados por Robert E. Stong . ^[2]

De manera similar, una herramienta estándar en la teoría de la cirugía es la cirugía en mapas normales : dicho proceso cambia un mapa normal a otro mapa normal dentro de la misma clase de bordismo .

En lugar de considerar una estructura adicional, también es posible tener en cuenta varias nociones de variedad, especialmente variedades lineales por partes (PL) y variedades topológicas . Esto da lugar a grupos de bordismo , que son más difíciles de calcular que las variantes diferenciables. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \Omega _{*}^{PL}(X),\Omega _{*}^{TOP}(X)}$

Recordemos que en general, si X , Y son variedades con borde, entonces el borde de la variedad producto es ∂( X × Y ) = (∂ X × Y ) ∪ ( X × ∂ Y ) .

Ahora, dada una variedad M de dimensión n = p + q y una incrustación, se define la variedad n${\displaystyle \varphi :\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\subset M,}$

${\displaystyle N:=(M-\operatorname {int~im} \varphi )\cup _{\varphi |_{\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}}}\left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right)}$

Se obtiene mediante cirugía , cortando el interior y pegándolo a lo largo de su límite.${\displaystyle \mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}}$${\displaystyle \mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}}$

${\displaystyle \partial \left(\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\right)=\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}=\partial \left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right).}$

La huella de la cirugía

${\displaystyle W:=(M\times I)\cup _{\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\times \{1\}}\left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {D} ^{q}\right)}$

define un cobordismo elemental ( W ; M , N ). Nótese que M se obtiene a partir de N mediante cirugía en Esto se llama revertir la cirugía .${\displaystyle \mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\subset N.}$

Todo cobordismo es una unión de cobordismos elementales, según el trabajo de Marston Morse , René Thom y John Milnor .

Según la definición anterior, una cirugía en el círculo consiste en cortar una copia de y pegarla . Las imágenes de la Fig. 1 muestran que el resultado de hacer esto es (i) otra vez, o (ii) dos copias de${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{0}.}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$

Para la cirugía de las 2-esferas, hay más posibilidades, ya que podemos empezar cortando una o${\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}.}$

Supóngase que f es una función Morse en una variedad de dimensión ( n  + 1) y supóngase que c es un valor crítico con exactamente un punto crítico en su preimagen. Si el índice de este punto crítico es p  + 1, entonces el conjunto de niveles N  := f ⁻¹ ( c  + ε) se obtiene a partir de M  := f ⁻¹ ( c  − ε) mediante una p -cirugía. La imagen inversa W  := f ⁻¹ ([ c  − ε, c  + ε]) define un cobordismo ( W ; M , N ) que puede identificarse con la traza de esta cirugía.

Dado un cobordismo ( W ; M , N ) existe una función suave f  : W → [0, 1] tal que f ⁻¹ (0) = M , f ⁻¹ (1) = N . Por posición general, se puede suponer que f es Morse y tal que todos los puntos críticos ocurren en el interior de W . En este contexto f se llama una función Morse en un cobordismo. El cobordismo ( W ; M , N ) es una unión de las trazas de una secuencia de cirugías en M , una para cada punto crítico de f . La variedad W se obtiene de M × [0, 1] adjuntando un controlador para cada punto crítico de f .

El teorema de Morse/Smale establece que para una función de Morse en un cobordismo, las líneas de flujo de f ′ dan lugar a una presentación de asa de la tripleta ( W ; M , N ). Por el contrario, dada una descomposición de asa de un cobordismo, proviene de una función de Morse adecuada. En un entorno adecuadamente normalizado, este proceso da una correspondencia entre las descomposiciones de asa y las funciones de Morse en un cobordismo.

El cobordismo tiene sus raíces en el intento (fallido) de Henri Poincaré en 1895 de definir la homología en términos puramente de variedades (Dieudonné 1989, p. 289). Poincaré definió simultáneamente la homología y el cobordismo, que no son lo mismo, en general. Véase el cobordismo como una teoría extraordinaria de cohomología para la relación entre el bordismo y la homología.

El bordismo fue introducido explícitamente por Lev Pontryagin en el trabajo geométrico sobre variedades. Se hizo conocido cuando René Thom demostró que los grupos de cobordismo podían calcularse mediante la teoría de homotopía , a través de la construcción del complejo de Thom . La teoría del cobordismo se convirtió en parte del aparato de la teoría de cohomología extraordinaria , junto con la teoría K. Desempeñó un papel importante, históricamente hablando, en los desarrollos en topología en la década de 1950 y principios de la de 1960, en particular en el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y en las primeras demostraciones del teorema del índice de Atiyah-Singer .

En la década de 1980, la categoría con variedades compactas como objetos y cobordismos entre estas como morfismos jugó un papel básico en los axiomas de Atiyah-Segal para la teoría cuántica de campos topológicos , que es una parte importante de la topología cuántica .

Los cobordismos son objetos de estudio por derecho propio, aparte de las clases de cobordismos. Los cobordismos forman una categoría cuyos objetos son variedades cerradas y cuyos morfismos son cobordismos. En términos generales, la composición se da pegando los cobordismos de extremo a extremo: la composición de ( W ; M , N ) y ( W  ′; N , P ) se define pegando el extremo derecho del primero al extremo izquierdo del segundo, dando como resultado ( W  ′ ∪ _N W ; M , P ). Un cobordismo es una especie de cospan : ^[3] M → W ← N . La categoría es una categoría compacta de daga .

Una teoría cuántica de campos topológica es un funtor monoidal de una categoría de cobordismos a una categoría de espacios vectoriales . Es decir, es un funtor cuyo valor en una unión disjunta de variedades es equivalente al producto tensorial de sus valores en cada una de las variedades constituyentes.

En dimensiones bajas, la cuestión del bordismo es relativamente trivial, pero la categoría del cobordismo no lo es. Por ejemplo, el disco que delimita el círculo corresponde a una operación nularia (0-aria), mientras que el cilindro corresponde a una operación 1-aria y el par de pantalones a una operación binaria.

El conjunto de clases de cobordismo de variedades n -dimensionales no orientadas y cerradas se denota habitualmente por (en lugar de la forma más sistemática ); es un grupo abeliano con la unión disjunta como operación. Más específicamente, si [ M ] y [ N ] denotan las clases de cobordismo de las variedades M y N respectivamente, definimos ; esta es una operación bien definida que se convierte en un grupo abeliano. El elemento identidad de este grupo es la clase que consiste en todas las n -variedades cerradas que son fronteras. Además, tenemos para cada M ya que . Por lo tanto, es un espacio vectorial sobre , el cuerpo con dos elementos . El producto cartesiano de variedades define una multiplicación de modo que${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$${\displaystyle \Omega _{n}^{\text{O}}}$${\displaystyle [M]+[N]=[M\sqcup N]}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$${\displaystyle [\emptyset ]}$${\displaystyle [M]+[M]=[\emptyset ]}$${\displaystyle M\sqcup M=\partial (M\times [0,1])}$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$${\displaystyle [M][N]=[M\times N],}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{*}=\bigoplus _{n\geqslant 0}{\mathfrak {N}}_{n}}$

es un álgebra graduada , con la calificación dada por la dimensión.

La clase de cobordismo de una variedad n -dimensional cerrada no orientada M está determinada por los números característicos de Stiefel-Whitney de M , que dependen de la clase de isomorfismo estable del fibrado tangente . Por lo tanto, si M tiene un fibrado tangente trivial estable entonces . En 1954 René Thom demostró${\displaystyle [M]\in {\mathfrak {N}}_{n}}$${\displaystyle [M]=0\in {\mathfrak {N}}_{n}}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{*}=\mathbb {F} _{2}\left[x_{i}|i\geqslant 1,i\neq 2^{j}-1\right]}$

el álgebra polinómica con un generador en cada dimensión . Por lo tanto, dos variedades n -dimensionales cerradas y no orientadas M , N son cobordantes, si y solo si para cada colección de k -tuplas de números enteros tales que los números de Stiefel-Whitney son iguales${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i\neq 2^{j}-1}$${\displaystyle [M]=[N]\in {\mathfrak {N}}_{n},}$${\displaystyle \left(i_{1},\cdots ,i_{k}\right)}$${\displaystyle i\geqslant 1,i\neq 2^{j}-1}$${\displaystyle i_{1}+\cdots +i_{k}=n}$

${\displaystyle \left\langle w_{i_{1}}(M)\cdots w_{i_{k}}(M),[M]\right\rangle =\left\langle w_{i_{1}}(N)\cdots w_{i_{k}}(N),[N]\right\rangle \in \mathbb {F} _{2}}$

con la i- ésima clase de Stiefel-Whitney y la clase fundamental de coeficientes .${\displaystyle w_{i}(M)\in H^{i}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)}$${\displaystyle [M]\in H_{n}\left(M;\mathbb {F} _{2}\right)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

Para i incluso es posible elegir , la clase de cobordismo del espacio proyectivo real i -dimensional .${\displaystyle x_{i}=\left[\mathbb {P} ^{i}(\mathbb {R} )\right]}$

Los grupos de cobordismo no orientado de baja dimensión son

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{0}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{1}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{2}&=\mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{3}&=0,\\{\mathfrak {N}}_{4}&=\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /2,\\{\mathfrak {N}}_{5}&=\mathbb {Z} /2.\end{aligned}}}$

Esto muestra, por ejemplo, que cada variedad cerrada tridimensional es el límite de una variedad cuatridimensional (con límite).

La característica de Euler módulo 2 de una variedad no orientada M es un invariante de cobordismo no orientado. Esto se deduce de la ecuación${\displaystyle \chi (M)\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \chi _{\partial W}=\left(1-(-1)^{\dim W}\right)\chi _{W}}$

para cualquier variedad compacta con límite .${\displaystyle W}$

Por lo tanto, es un homomorfismo de grupo bien definido. Por ejemplo, para cualquier${\displaystyle \chi :{\mathfrak {N}}_{i}\to \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle i_{1},\cdots ,i_{k}\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \chi \left(\mathbb {P} ^{2i_{1}}(\mathbb {R} )\times \cdots \times \mathbb {P} ^{2i_{k}}(\mathbb {R} )\right)=1.}$

En particular, un producto de espacios proyectivos reales no es nulo-cobordante. La función característica de Euler mod 2 es sobreyectiva para todos y un isomorfismo de grupo para${\displaystyle \chi :{\mathfrak {N}}_{2i}\to \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle i=1.}$

Además, debido a , estos homomorfismos de grupo se ensamblan en un homomorfismo de álgebras graduadas:${\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\chi (N)}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathfrak {N}}\to \mathbb {F} _{2}[x]\\[][M]\mapsto \chi (M)x^{\dim(M)}\end{cases}}}$

El cobordismo también puede definirse para variedades que tienen una estructura adicional, en particular una orientación. Esto se formaliza de manera general utilizando la noción de X -estructura (o G-estructura ). ^[4] Muy brevemente, el fibrado normal ν de una inmersión de M en un espacio euclidiano de dimensión suficientemente alta da lugar a una función de M en el Grassmanniano , que a su vez es un subespacio del espacio de clasificación del grupo ortogonal : ν: M → Gr ( n , n  +  k ) → BO ( k ). Dada una colección de espacios y mapas X _k → X _{k +1} con mapas X _k → BO ( k ) (compatible con las inclusiones BO ( k ) → BO ( k +1), una X -estructura es una elevación de ν a un mapa . Considerando solo variedades y cobordismos con X -estructura se da lugar a una noción más general de cobordismo. En particular, X _k puede darse por BG ( k ), donde G ( k ) → O ( k ) es algún homomorfismo de grupo. Esto se conoce como una G-estructura . Los ejemplos incluyen G = O , el grupo ortogonal, que devuelve el cobordismo no orientado, pero también el subgrupo SO( k ) , que da lugar al cobordismo orientado , el grupo de espín , el grupo unitario U ( k ) , y el grupo trivial, que da lugar al cobordismo enmarcado.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}}$${\displaystyle {\tilde {\nu }}:M\to X_{k}}$

Los grupos de cobordismo resultantes se definen entonces de forma análoga al caso no orientado y se denotan por .${\displaystyle \Omega _{*}^{G}}$

El cobordismo orientado es el de las variedades con una estructura SO. De manera equivalente, todas las variedades necesitan estar orientadas y los cobordismos ( W , M , N ) (también denominados cobordismos orientados para mayor claridad) son tales que el límite (con las orientaciones inducidas) es , donde − N denota N con la orientación invertida. Por ejemplo, el límite del cilindro M  ×  I es : ambos extremos tienen orientaciones opuestas. También es la definición correcta en el sentido de la teoría de cohomología extraordinaria .${\displaystyle M\sqcup (-N)}$${\displaystyle M\sqcup (-M)}$

A diferencia del grupo de cobordismo no orientado, donde cada elemento es de dos torsiones, 2 M no es en general un límite orientado, es decir, 2[ M ] ≠ 0 cuando se considera en${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}.}$

Los grupos de cobordismo orientado se dan módulo torsión por

${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q} =\mathbb {Q} \left[y_{4i}\mid i\geqslant 1\right],}$

El álgebra polinómica generada por las clases de cobordismo orientado

${\displaystyle y_{4i}=\left[\mathbb {P} ^{2i}(\mathbb {C} )\right]\in \Omega _{4i}^{\text{SO}}}$

de los espacios proyectivos complejos (Thom, 1952). El grupo de cobordismo orientado está determinado por los números característicos de Stiefel–Whitney y Pontrjagin (Wall, 1960). Dos variedades orientadas son cobordantes orientadas si y solo si sus números de Stiefel–Whitney y Pontrjagin son iguales.${\displaystyle \Omega _{*}^{\text{SO}}}$

Los grupos de cobordismo orientados de baja dimensión son:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{0}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} ,\\\Omega _{1}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{2}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{3}^{\text{SO}}&=0,\\\Omega _{4}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} ,\\\Omega _{5}^{\text{SO}}&=\mathbb {Z} _{2}.\end{aligned}}}$

La firma de una variedad orientada de 4 i -dimensional M se define como la firma de la forma de intersección en y se denota por Es un invariante de cobordismo orientado, que se expresa en términos de los números de Pontrjagin mediante el teorema de la firma de Hirzebruch .${\displaystyle H^{2i}(M)\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \sigma (M).}$

Por ejemplo, para cualquier i ₁ , ..., i _k ≥ 1

${\displaystyle \sigma \left(\mathbb {P} ^{2i_{1}}(\mathbb {C} )\times \cdots \times \mathbb {P} ^{2i_{k}}(\mathbb {C} )\right)=1.}$

El mapa de firmas es sobreyectivo para todo i ≥ 1, y un isomorfismo para i = 1.${\displaystyle \sigma :\Omega _{4i}^{\text{SO}}\to \mathbb {Z} }$

Toda teoría de fibrados vectoriales (real, compleja, etc.) tiene una teoría de cohomología extraordinaria llamada K-teoría . De manera similar, toda teoría de cobordismo Ω ^G tiene una teoría de cohomología extraordinaria , con grupos de homología ("bordismo") y grupos de cohomología ("cobordismo") para cualquier espacio X. Los grupos de homología generalizados son covariantes en X , y los grupos de cohomología generalizados son contravariantes en X. Los grupos de cobordismo definidos anteriormente son, desde este punto de vista, los grupos de homología de un punto: . Entonces es el grupo de clases de pares de bordismo ( M , f ) con M una variedad n -dimensional cerrada M (con estructura G) y f  : M → X una función. Dichos pares ( M , f ), ( N , g ) son bordantes si existe un G-cobordismo ( W ; M , N ) con una función h :  W → X , que se restringe a f en M , y a g en N.${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)}$${\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)}$${\displaystyle \Omega _{*}^{G}(X)}$${\displaystyle \Omega _{G}^{*}(X)}$${\displaystyle \Omega _{n}^{G}=\Omega _{n}^{G}({\text{pt}})}$${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)}$

Una variedad n -dimensional M tiene una clase de homología fundamental [ M ] ∈ H _n ( M ) (con coeficientes en en general, y en en el caso orientado), definiendo una transformación natural${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\begin{cases}\Omega _{n}^{G}(X)\to H_{n}(X)\\(M,f)\mapsto f_{*}[M]\end{cases}}}$

lo cual está lejos de ser un isomorfismo en general.

Las teorías de bordismo y cobordismo de un espacio satisfacen los axiomas de Eilenberg-Steenrod, aparte del axioma de dimensión. Esto no significa que los grupos se puedan calcular de manera efectiva una vez que se conoce la teoría de cobordismo de un punto y la homología del espacio X , aunque la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch proporciona un punto de partida para los cálculos. El cálculo solo es fácil si la teoría de cobordismo particular se reduce a un producto de las teorías de homología ordinarias, en cuyo caso los grupos de bordismo son los grupos de homología ordinarios.${\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)}$

${\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)=\sum _{p+q=n}H_{p}(X;\Omega _{q}^{G}({\text{pt}})).}$

Esto es cierto para el cobordismo no orientado. Otras teorías de cobordismo no se reducen a la homología ordinaria de esta manera, en particular el cobordismo enmarcado , el cobordismo orientado y el cobordismo complejo . La última teoría nombrada en particular es muy utilizada por los topólogos algebraicos como una herramienta computacional (por ejemplo, para los grupos de homotopía de esferas ). ^[5]

Las teorías de cobordismo se representan mediante espectros de Thom MG : dado un grupo G , el espectro de Thom se compone de los espacios de Thom MG _n de los fibrados vectoriales estándar sobre los espacios de clasificación BG _n . Nótese que incluso para grupos similares, los espectros de Thom pueden ser muy diferentes: MSO y MO son muy diferentes, lo que refleja la diferencia entre cobordismo orientado y no orientado.

Desde el punto de vista de los espectros, el cobordismo no orientado es un producto de los espectros de Eilenberg–MacLane – MO = H ( π _∗ ( MO )) – mientras que el cobordismo orientado es un producto de los espectros de Eilenberg–MacLane racionalmente, y en 2, pero no en primos impares: el espectro del cobordismo orientado MSO es bastante más complicado que MO .

En 1959, CTC Wall demostró que dos variedades son cobordantes si y sólo si sus números de Pontrjagin y números de Stiefel son los mismos. ^[6]

• h -cobordismo
• Concordancia de enlaces
• Lista de teorías de cohomología
• Relleno simpléctico
• Hipótesis del cobordismo
• Anillo de cobordismo
• Cronología del bordismo

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• Anosov, Dmitri V.; Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "bordismo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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• Madsen, Ib ; Milgram, R. James (1979). Los espacios de clasificación para la cirugía y el cobordismo de variedades . Princeton, Nueva Jersey : Princeton University Press . ISBN 978-0-691-08226-4.
• Milnor, Juan (1962). "Un estudio de la teoría del cobordismo". L'Enseignement Mathématique . 8 : 16-23. ISSN  0013-8584.
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• Yuli B. Rudyak , Sobre espectros de Thom, orientabilidad y (co)bordismo , Springer (2008).
• Robert E. Stong , Notas sobre la teoría del cobordismo , Princeton Univ. Press (1968).
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• El bordismo en el Atlas Múltiple.
• B-Bordismo en el Atlas Múltiple.