h-cobordismo

En topología geométrica y topología diferencial , un cobordismo ( n  + 1)-dimensional W entre variedades n -dimensionales M y N es un h -cobordismo (la h representa equivalencia de homotopía ) si las aplicaciones de inclusión

${\displaystyle M\hookrightarrow W\quad {\mbox{y}}\quad N\hookrightarrow W}$

son equivalencias de homotopía.

El teorema del h -cobordismo proporciona condiciones suficientes para que un h -cobordismo sea trivial, es decir, que sea C -isomorfo al cilindro M × [0, 1]. Aquí C se refiere a cualquiera de las categorías de variedades suaves , lineales por partes o topológicas .

El teorema fue demostrado por primera vez por Stephen Smale , por lo que recibió la Medalla Fields , y es un resultado fundamental en la teoría de variedades de alta dimensión. Para empezar, demuestra casi inmediatamente la conjetura generalizada de Poincaré .

Antes de que Smale demostrara este teorema, los matemáticos se quedaron atascados al intentar comprender las variedades de dimensión 3 o 4, y asumieron que los casos de dimensiones superiores eran aún más difíciles. El teorema del h -cobordismo mostró que las variedades (simplemente conexas) de dimensión al menos 5 son mucho más fáciles que las de dimensión 3 o 4. La demostración del teorema depende del " truco de Whitney " de Hassler Whitney , que desenreda geométricamente esferas homológicamente desenredadas de dimensión complementaria en una variedad de dimensión >4. Una razón informal por la que las variedades de dimensión 3 o 4 son inusualmente difíciles es que el truco no funciona en dimensiones inferiores, que no tienen espacio para el entrelazamiento.

Sea n al menos 5 y sea W un h -cobordismo compacto de dimensión ( n  + 1) entre M y N en la categoría C = Diff , PL o Top tal que W , M y N están simplemente conexos . Entonces W es C -isomorfo a M × [0, 1]. El isomorfismo puede elegirse como la identidad en M × {0}.

Esto significa que la equivalencia de homotopía entre M y N (o entre M × [0, 1], W y N × [0, 1]) es homotópica a un C -isomorfismo.

Para n = 4, el teorema de h -cobordismo es falso. Esto se puede ver ya que Wall demostró ^[1] que las 4-variedades topológicas cerradas, orientadas y simplemente conexas con formas de intersección equivalentes son h -cobordantes. Sin embargo, si la forma de intersección es impar, hay 4-variedades no homeomorfas con la misma forma de intersección (que se distingue por la clase Kirby-Siebenmann ). Por ejemplo, CP ² y un plano proyectivo falso con el mismo tipo de homotopía no son homeomorfos, pero ambos tienen la forma de intersección de (1).

Para n = 3, el teorema de h -cobordismo para variedades suaves no ha sido demostrado y, debido a la conjetura de Poincaré tridimensional , es equivalente a la difícil pregunta abierta de si la 4-esfera tiene estructuras suaves no estándar .

Para n = 2, el teorema del h -cobordismo es equivalente a la conjetura de Poincaré enunciada por Poincaré en 1904 (uno de los Problemas del Milenio ^[2] ) y fue demostrada por Grigori Perelman en una serie de tres artículos en 2002 y 2003, ^{[3] [4] [5]} donde sigue el programa de Richard S. Hamilton usando el flujo de Ricci .

Para n = 1, el teorema del h -cobordismo es vacuamente verdadero, ya que no existe ninguna variedad unidimensional cerrada simplemente conexa.

Para n = 0, el teorema del h -cobordismo es trivialmente verdadero: el intervalo es el único cobordismo conexo entre 0-variedades conexas.

Una función Morse induce una descomposición en asas de W , es decir, si hay un único punto crítico de índice k en , entonces el cobordismo ascendente se obtiene de mediante la adición de un asa k . El objetivo de la prueba es encontrar una descomposición en asas sin asas en absoluto de modo que la integración del campo de vectores de gradiente distinto de cero de f proporcione el difeomorfismo deseado al cobordismo trivial.${\displaystyle f:W\to [a,b]}$${\displaystyle f^{-1}([c,c'])}$$Estilo de visualización Wc'$$Estilo de visualización Wc$

Esto se consigue mediante una serie de técnicas.

1) Reordenamiento del mango

Primero, queremos reorganizar todos los mangos por orden de modo que los mangos de orden inferior se adhieran primero. La pregunta es entonces, ¿cuándo podemos deslizar un mango i fuera de un mango j ? Esto se puede hacer mediante una isotopía radial siempre que la esfera de unión i y la esfera de cinturón j no se intersequen. Por lo tanto, queremos que sea equivalente a .${\displaystyle (i-1)+(nj)\leq \dim \partial W-1=n-1}$${\displaystyle i\leq j}$

Luego definimos el complejo de cadena de manijas dejando que sea el grupo abeliano libre en las k -manejadoras y definiendo enviando una k -manejadora a , donde es el número de intersección de la esfera de unión de las k y la esfera de cinturón ( k  − 1).${\displaystyle (C_{*},\parcial _{*})}$$Estilo de visualización C_ {k}}$${\displaystyle \parcial _{k}:C_{k}\to C_{k-1}}$$estilo de visualización h_{\alpha}^{k}}$${\displaystyle \sum _{\beta }\langle h_{\alpha }^{k}\mid h_{\beta }^{k-1}\rangle h_{\beta }^{k-1}}$${\displaystyle \langle h_{\alpha }^{k}\mid h_{\beta }^{k-1}\rangle }$

2) Gestionar cancelación

A continuación, queremos "cancelar" los controladores. La idea es que adjuntar un controlador k podría crear un agujero que se puede rellenar adjuntando un controlador ( k  + 1) . Esto implicaría que y por lo tanto la entrada en la matriz de sería . Sin embargo, ¿cuándo es suficiente esta condición? Es decir, ¿cuándo podemos cancelar geométricamente los controladores si esta condición es verdadera? La respuesta está en analizar cuidadosamente cuándo la variedad permanece simplemente conectada después de eliminar las esferas adjuntas y de cinturón en cuestión, y encontrar un disco incrustado utilizando el truco de Whitney . Este análisis conduce al requisito de que n debe ser al menos 5. Además, durante la prueba se requiere que el cobordismo no tenga controladores 0, 1, n o ( n  + 1) , lo que se obtiene mediante la siguiente técnica.$estilo de visualización h_{\alpha}^{k}}$${\displaystyle h_{\beta }^{k+1}}$${\displaystyle \partial_{k+1}h_{\beta}^{k+1}=\pm h_{\alpha}^{k}}$${\displaystyle (\alpha,\beta)}$${\displaystyle \parcial _{k+1}}$${\displaystyle \pm 1}$

3) Manejar el comercio

La idea del intercambio de asas es crear un par cancelador de asas ( k  + 1) y ( k  + 2) de modo que una asa k dada se cancele con la asa ( k  + 1) dejando atrás la asa ( k  + 2). Para hacer esto, considere el núcleo de la asa k que es un elemento en . Este grupo es trivial ya que W es un h -cobordismo. Por lo tanto, hay un disco que podemos engordar a un par cancelador como queramos, siempre que podamos incrustar este disco en el límite de W . Esta incrustación existe si . Como estamos asumiendo que n es al menos 5, esto significa que k es 0 o 1. Finalmente, al considerar el negativo de la función Morse dada, − f , podemos dar vuelta la descomposición de las asas y también eliminar las asas n y ( n  + 1) como queramos.$estilo de visualización {\pi _{k}(W,M)}$${\displaystyle D^{k+1}}$${\displaystyle \dim \partial W-1=n-1\geq 2(k+1)}$

4) Manejar deslizante

Por último, queremos asegurarnos de que realizar operaciones de fila y columna en corresponde a una operación geométrica. De hecho, no es difícil demostrar (la mejor manera de hacerlo es dibujando una imagen) que deslizar un controlador k sobre otro controlador k reemplaza por en la base de .${\displaystyle \parcial _{k}}$$estilo de visualización h_{\alpha}^{k}}$${\displaystyle h_{\beta }^{k}}$$estilo de visualización h_{\alpha}^{k}}$${\displaystyle h_{\alpha}^{k}\pm h_{\beta}^{k}}$$Estilo de visualización C_ {k}}$

La prueba del teorema se deduce ahora de lo siguiente: el complejo de cadena de asas es exacto ya que . Por lo tanto , dado que son libres. Entonces , que es una matriz entera, se restringe a un morfismo invertible que, por lo tanto, se puede diagonalizar mediante operaciones de fila elementales (deslizamiento de asas) y debe tener solo en la diagonal porque es invertible. Por lo tanto, todas las asas se emparejan con una única asa canceladora, lo que produce una descomposición sin asas.${\displaystyle H_{*}(W,M;\mathbb {Z} )=0}$${\displaystyle C_{k}\cong \operatorname {coker} \partial _{k+1}\oplus \operatorname {im} \partial _{k+1}}$$Estilo de visualización C_ {k}}$${\displaystyle \parcial _{k}}$${\displaystyle \pm 1}$

Si se descarta la suposición de que M y N están simplemente conectados, los h -cobordismos no necesitan ser cilindros; la obstrucción es exactamente la torsión de Whitehead τ ( W , M ) de la inclusión .${\displaystyle M\hookrightarrow W}$

Precisamente, el teorema del s -cobordismo (la s significa equivalencia de homotopía simple ), demostrado independientemente por Barry Mazur , John Stallings y Dennis Barden , establece (supuestos como los anteriores pero donde M y N no necesitan estar simplemente conectados):

Un h -cobordismo es un cilindro si y solo si la torsión de Whitehead τ ( W , M ) se desvanece.

La torsión se desvanece si y sólo si la inclusión no es sólo una equivalencia de homotopía, sino una equivalencia de homotopía simple .${\displaystyle M\hookrightarrow W}$

Obsérvese que no es necesario suponer que la otra inclusión también es una equivalencia de homotopía simple (eso se desprende del teorema).${\displaystyle N\hookrightarrow W}$

Categóricamente, los h -cobordismos forman un grupoide .

Entonces, una declaración más fina del teorema del s -cobordismo es que las clases de isomorfismo de este grupoide (hasta el C -isomorfismo de los h -cobordismos) son torsores para los respectivos ^[6] grupos de Whitehead Wh(π), donde${\displaystyle \pi \cong \pi _{1}(M)\cong \pi _{1}(W)\cong \pi _{1}(N).}$

• Semi -s -cobordismo

• Freedman, Michael H ; Quinn, Frank (1990). Topología de 4-variedades . Princeton Mathematical Series. Vol. 39. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08577-3.(Esto cumple el teorema para 4-variedades topológicas).
• Milnor, John , Lectures on the h-cobordism theorem , notas de L. Siebenmann y J. Sondow, Princeton University Press , Princeton, NJ, 1965. v+116 pp. Esto proporciona la prueba para variedades suaves.
• Rourke, Colin Patrick; Sanderson, Brian Joseph, Introducción a la topología lineal por partes , Springer Study Edition, Springer-Verlag , Berlín-Nueva York, 1982. ISBN 3-540-11102-6 . Esto demuestra el teorema para variedades PL. 
• S. Smale, "Sobre la estructura de las variedades", Amer. J. Math., 84 (1962), págs. 387-399
• Rudyak, Yu.B. (2001) [1994], "h-cobordismo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press