Cronología del bordismo

Esta es una cronología del bordismo , una teoría topológica basada en el concepto de frontera de una variedad . Para el contexto, véase cronología de variedades . Jean Dieudonné escribió que el cobordismo regresa al intento de 1895 de definir la teoría de la homología utilizando solo variedades (suaves). [1]

Teoremas integrales

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Finales del siglo XVIIGottfried Wilhelm Leibniz y otrosEl teorema fundamental del cálculo es el resultado básico del cálculo integral en una dimensión y un "teorema integral" primordial. La antiderivada de una función se puede utilizar para evaluar una integral definida en un intervalo como una combinación con signo de la antiderivada en los puntos finales. Un corolario es que si la derivada de una función es cero, la función es constante.
Década de 1760José Luis LagrangeIntroduce una transformación de una integral de superficie a una integral de volumen . En ese momento no se definieron integrales de superficie generales y se utilizó la superficie de un cuboide en un problema sobre propagación del sonido . [2]
1889Vito VolterraVersión del teorema de Stokes en n dimensiones, utilizando antisimetría. [3]
1899Henri PoincaréEn Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste , introduce una versión del teorema de Stokes en n dimensiones utilizando lo que es esencialmente notación de forma diferencial. [4]
1899Elie CartanDefinición del álgebra exterior de formas diferenciales en el espacio euclidiano . [4]
Hacia 1900Folclore matemáticoLa situación a finales del siglo XIX es que se dispone de una forma geométrica del teorema fundamental del cálculo, si todo fuera lo suficientemente fluido cuando se requiere rigor y en un espacio euclidiano de n dimensiones.

El resultado correspondiente a la igualación de la derivada a cero es aplicarla a formas cerradas , y como tal es "folclore matemático". Es de la naturaleza de una observación que existen teoremas integrales para subvariedades vinculadas por cobordismo . El análogo del teorema sobre la derivada cero sería para subvariedades y que forman conjuntamente el límite de una variedad N , y una forma definida en N con . Entonces las integrales y de sobre el son iguales. La suma con signo vista en el caso de un límite de dimensión 0 refleja la necesidad de utilizar orientaciones en las variedades, para definir integrales. METRO 1 Estilo de visualización M_{1} METRO 2 Estilo de visualización M_{2} ω {\estilo de visualización \omega} d ω = 0 {\displaystyle d\omega = 0} I 1 {\estilo de visualización I_{1}} I 2 {\estilo de visualización I_{2}} ω {\estilo de visualización \omega} METRO yo Estilo de visualización M_ {j}}

1931–2Departamento de Bomberos de HodgeEl cálculo vectorial de dimensiones bajas tiene un lugar en el cálculo tensorial general , en todas las dimensiones, utilizando formas diferenciales y el operador de estrella de Hodge . El adjunto codiferencial de la derivada exterior es la forma general del operador de divergencia. Las formas cerradas son duales a las formas de divergencia 0. [5]

Cohomología

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Década de 1920Élie Cartan y Hermann WeylTopología de los grupos de Lie .
1931Georges de RhamTeorema de De Rham : para una variedad diferencial compacta, el complejo en cadena de formas diferenciales calcula los grupos de homología reales. [6]
1935–1940Esfuerzo grupalEl concepto de cohomología surge en la topología algebraica , contravariante y dual de la homología . En el contexto de De Rham, la cohomología proporciona clases de integrandos equivalentes, que difieren en formas cerradas ; la homología clasifica las regiones de integración, hasta los límites. La cohomología de De Rham se convierte en una herramienta básica para las variedades suaves .
1942Lev PontryaginPontryagin, que publicó íntegramente su obra en 1947, fundó una nueva teoría del cobordismo , con el resultado de que una variedad cerrada que es un límite tiene números de Stiefel-Whitney que se desvanecen . A partir del corolario del teorema de Stokes, las clases de cobordismo de subvariedades son invariantes para la integración de formas diferenciales cerradas ; la introducción de invariantes algebraicos abre la posibilidad de realizar cálculos con la relación de equivalencia como algo intrínseco. [7]
Década de 1940Teorías de haces de fibras con grupo estructural G ; de espacios de clasificación BG ; de clases características como la clase Stiefel-Whitney y la clase Pontryagin .
1945Samuel Eilenberg y Norman SteenrodAxiomas de Eilenberg-Steenrod para caracterizar la teoría de homología y la cohomología, en una clase de espacios.
1946Norman SteenrodEl problema de Steenrod . Enunciado como el problema 25 en una lista compilada por Eilenberg en 1946, pregunta, dada una clase de homología integral en grado n de un complejo simplicial , ¿es la imagen por una aplicación continua de la clase fundamental de una variedad orientada de dimensión n ? La pregunta anterior pide que se caractericen las clases de homología esférica. La pregunta siguiente pide un criterio de topología algebraica para que una variedad orientable sea un límite. [8]
1958Frank AdamsSecuencia espectral de Adams para calcular, potencialmente, grupos de homotopía estables a partir de grupos de cohomología.

Teoría de la homotopía

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1954René ThomDefinición formal de cobordismo de variedades orientadas, como una relación de equivalencia. [9] Thom calculó, como un anillo bajo unión disjunta y producto cartesiano , el anillo de cobordismo de variedades no orientadas suaves; e introdujo el anillo de variedades orientadas suaves. [10] es un álgebra polinómica sobre el cuerpo con dos elementos, con un solo generador en cada grado, excepto los grados uno menos que una potencia de 2. [1] norte ∗ {\displaystyle {\mathfrak {N}}_{*}} Ohmio ∗ {\displaystyle \Omega _{*}} norte ∗ {\displaystyle {\mathfrak {N}}_{*}}
1954René ThomEn notación moderna, Thom contribuyó al problema de Steenrod, por medio de un homomorfismo , el homomorfismo de Thom. [11] La construcción del espacio de Thom M redujo la teoría al estudio de aplicaciones en cohomología . [12] Φ : Ohmio ∗ S Oh ( incógnita ) → yo ∗ ( incógnita , O ) {\displaystyle \Phi \colon \Omega _{\ast }^{\mathrm {SO} }(X)\to H_{\ast }(X,\mathbb {Z} )} yo ∗ ( METRO S Oh ( a ) ) → yo ∗ ( incógnita ) {\displaystyle H^{\ast}(\mathrm {MSO} (k))\to H^{\ast}(X)}
1955Michel LazardAnillo universal de Lazard , anillo de definición de la ley formal universal del grupo en una dimensión.
1960Michael AtiyahDefinición de grupos de cobordismo y grupos de bordismo de un espacio X . [13]
1969Daniel QuillenLa ley de grupo formal asociada al cobordismo complejo es universal. [14]

Notas

  1. ^ de Dieudonné, Jean (2009). Una historia de la topología algebraica y diferencial, 1900-1960. Springer . p. 289. ISBN 978-0-8176-4907-4.
  2. ^ Harman, Peter Michael (1985). Wranglers and Physicists: Estudios sobre la física de Cambridge en el siglo XIX. Manchester University Press . pág. 113. ISBN 978-0-7190-1756-8.
  3. ^ Zeidler, Eberhard (2011). Teoría cuántica de campos III: teoría de gauge: un puente entre matemáticos y físicos. Springer Science & Business Media. pág. 782. ISBN 978-3-642-22421-8.
  4. ^ ab Victor J. Katz, The History of Stokes' Theorem , Mathematics Magazine Vol. 52, No. 3 (mayo de 1979), pp. 146-156, en p. 154. Publicado por: Taylor & Francis, Ltd. en nombre de la Mathematical Association of America JSTOR  2690275
  5. ^ Atiyah, Michael (1988). Obras completas: Obras completas de Michael Atiyah: Volumen 1: Documentos tempranos; Documentos generales. Clarendon Press. pág. 239. ISBN 978-0-19-853275-0.
  6. ^ "Teorema de De Rham", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  7. ^ Canadian Mathematical Bulletin. Sociedad Matemática Canadiense. 1971. p. 289. Consultado el 6 de julio de 2018 .
  8. ^ Samuel Eilenberg , Sobre los problemas de la topología , Annals of Mathematics Second Series, vol. 50, n.º 2 (abril de 1949), págs. 247-260, en la pág. 257. Publicado por: Departamento de Matemáticas, Universidad de Princeton JSTOR  1969448
  9. ^ Dieudonné, Jean (1977). Panorama des mathématiques pures (en francés). Bordas. pag. 14.ISBN​ 978-2-04-010012-4.
  10. ^ Cappell, Sylvain E. ; Wall, Charles Terence Clegg ; Ranicki, Andrew ; Rosenberg, Jonathan (2000). Encuestas sobre teoría de la cirugía: artículos dedicados a la CTC Wall. Princeton University Press . p. 4. ISBN 978-0-691-04938-0.
  11. ^ "Problema de Steenrod - Atlas múltiple". www.map.mpim-bonn.mpg.de .
  12. ^ Rudyak, Yu. B. (2001) [1994], "Problema de Steenrod", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
  13. ^ Anosov, DV (2001) [1994], "Bordismo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
  14. ^ Rudyak, Yu. B. (2001) [1994], "Cobordismo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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