Paquete de vectores

En matemáticas , un fibrado vectorial es una construcción topológica que hace precisa la idea de una familia de espacios vectoriales parametrizados por otro espacio (por ejemplo podría ser un espacio topológico , una variedad , o una variedad algebraica ): a cada punto del espacio asociamos (o "adjuntamos") un espacio vectorial de tal manera que estos espacios vectoriales encajen entre sí para formar otro espacio del mismo tipo (por ejemplo un espacio topológico, una variedad, o una variedad algebraica), que entonces se llama fibrado vectorial sobre .${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización V(x)}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$

El ejemplo más simple es el caso en que la familia de espacios vectoriales es constante, es decir, hay un espacio vectorial fijo tal que para todo en : en este caso hay una copia de para cada en y estas copias encajan entre sí para formar el fibrado vectorial sobre . Se dice que tales fibrados vectoriales son triviales . Una clase de ejemplos más complicada (y prototípica) son los fibrados tangentes de variedades suaves (o diferenciables) : a cada punto de dicha variedad le adjuntamos el espacio tangente a la variedad en ese punto. Los fibrados tangentes no son, en general, fibrados triviales. Por ejemplo, el fibrado tangente de la esfera no es trivial por el teorema de la bola peluda . En general, se dice que una variedad es paralelizable si, y solo si, su fibrado tangente es trivial.${\estilo de visualización V}$${\displaystyle V(x)=V}$ ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle X\veces V}$${\estilo de visualización X}$

Casi siempre se requiere que los fibrados vectoriales sean localmente triviales , lo que significa que son ejemplos de fibrados de fibras . Además, normalmente se requiere que los espacios vectoriales estén sobre los números reales o complejos , en cuyo caso se dice que el fibrado vectorial es un fibrado vectorial real o complejo (respectivamente). Los fibrados vectoriales complejos pueden considerarse fibrados vectoriales reales con estructura adicional. A continuación, nos centraremos en los fibrados vectoriales reales en la categoría de espacios topológicos .

Un haz vectorial real consta de:

1. espacios topológicos ( espacio base ) y ( espacio total )${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización E}$
2. una sobreyección continua ( proyección de haz ) ${\displaystyle \pi :E\to X}$
3. para cada en , la estructura de un espacio vectorial real de dimensión finita en la fibra${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$

donde se satisface la siguiente condición de compatibilidad: para cada punto en , existe un entorno abierto de , un número natural y un homeomorfismo${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$${\estilo de visualización p}$ ${\estilo de visualización k}$

${\displaystyle \varphi \colon U\times \mathbb {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(U)}$

de modo que para todo en ,${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización U}$

• ${\displaystyle (\pi \circ \varphi )(x,v)=x}$para todos los vectores en , y${\estilo de visualización v}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$
• El mapa es un isomorfismo lineal entre los espacios vectoriales y .${\displaystyle v\mapsto \varphi (x,v)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$

El entorno abierto junto con el homeomorfismo se denomina trivialización local del fibrado vectorial. La trivialización local muestra que localmente la función "se parece" a la proyección de sobre .${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización \varphi}$${\estilo de visualización \pi}$${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{k}}$${\estilo de visualización U}$

Cada fibra es un espacio vectorial real de dimensión finita y, por lo tanto, tiene una dimensión . Las trivializaciones locales muestran que la función es constante localmente , y, por lo tanto, es constante en cada componente conexo de . Si es igual a una constante en todos los , entonces se denomina rango del fibrado vectorial y se dice que es un fibrado vectorial de rango . A menudo, la definición de un fibrado vectorial incluye que el rango está bien definido, de modo que es constante. Los fibrados vectoriales de rango 1 se denominan fibrados lineales , mientras que los de rango 2 se denominan, con menos frecuencia, fibrados planos.${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$ $estilo de visualización k_{x}}$ ${\displaystyle x\to k_{x}}$${\estilo de visualización X}$$estilo de visualización k_{x}}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización E}$${\estilo de visualización k}$$estilo de visualización k_{x}}$

El producto cartesiano , dotado de la proyección , se denomina fibrado trivial de rango sobre .${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}\to X}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización X}$

Dado un fibrado vectorial de rango , y un par de vecindades y sobre las cuales el fibrado se trivializa mediante${\displaystyle E\to X}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{U}\colon U\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(U) ,\\\varphi _{V}\dos puntos V\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(V)\end{aligned}} }$

La función compuesta

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}\colon (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}\to (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}}$

está bien definido en la superposición y satisface

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}(x,v)=\left(x,g_{UV}(x)v\right)}$

para alguna función con valor${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (k).}$

Éstas se denominan funciones de transición (o transformaciones de coordenadas ) del fibrado vectorial.

El conjunto de funciones de transición forma un cociclo de Čech en el sentido de que

${\displaystyle g_{UU}(x)=I,\quad g_{UV}(x)g_{VW}(x)g_{WU}(x)=I}$

para todo aquello sobre lo que el haz trivializa la satisfacción de . Por lo tanto, los datos definen un haz de fibras ; los datos adicionales de especifican un grupo de estructura en el que la acción sobre la fibra es la acción estándar de .${\displaystyle U,V,W}$${\displaystyle U\cap V\cap W\neq \emptyset }$${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$${\displaystyle g_{UV}}$${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$

Por el contrario, dado un fibrado con un cociclo que actúa de la manera estándar sobre la fibra , se asocia un fibrado vectorial. Este es un ejemplo del teorema de construcción de fibrados para fibrados vectoriales y puede tomarse como una definición alternativa de fibrado vectorial.${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

Un método simple para construir fibrados vectoriales es tomar subfibrados de otros fibrados vectoriales. Dado un fibrado vectorial sobre un espacio topológico, un subfibrado es simplemente un subespacio para el cual la restricción de a da también la estructura de un fibrado vectorial. En este caso, la fibra es un subespacio vectorial para cada .${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle F\subset E}$ ${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}:F\to X}$${\displaystyle F_{x}\subset E_{x}}$${\displaystyle x\in X}$

Un subfibrado de un fibrado trivial no tiene por qué ser trivial y, de hecho, todo fibrado vectorial real sobre un espacio compacto puede considerarse como un subfibrado de un fibrado trivial de rango suficientemente alto. Por ejemplo, la banda de Möbius , un fibrado lineal no trivial sobre el círculo, puede considerarse como un subfibrado del fibrado trivial de rango 2 sobre el círculo.

Un morfismo del fibrado vectorial π ₁ : E ₁ → X ₁ al fibrado vectorial π ₂ : E ₂ → X ₂ está dado por un par de aplicaciones continuas f : E ₁ → E ₂ y g : X ₁ → X ₂ tales que

g  ∘  π ₁ = π ₂  ∘  f

para cada x en X ₁ , la función π ₁ ⁻¹ ({ x }) → π ₂ ⁻¹ ({ g ( x )}) inducida por f es una función lineal entre espacios vectoriales.

Nótese que g está determinada por f (porque π ₁ es sobreyectiva), y entonces se dice que f cubre g .

La clase de todos los fibrados vectoriales junto con los morfismos de fibrado forman una categoría . Restringiendo a fibrados vectoriales para los cuales los espacios son variedades (y las proyecciones de fibrado son aplicaciones suaves) y morfismos de fibrado suaves obtenemos la categoría de fibrados vectoriales suaves. Los morfismos de fibrado vectoriales son un caso especial de la noción de una aplicación de fibrado entre fibrados de fibras , y a veces se denominan homomorfismos de fibrado (vectorial) .

Un homomorfismo de fibrado de E ₁ a E ₂ con un inverso que también es un homomorfismo de fibrado (de E ₂ a E ₁ ) se llama isomorfismo de fibrado (vectorial) , y entonces se dice que E ₁ y E ₂ son fibrados vectoriales isomorfos . Un isomorfismo de un fibrado vectorial (de rango k ) E sobre X con el fibrado trivial (de rango k sobre X ) se llama trivialización de E , y entonces se dice que E es trivial (o trivializable ). La definición de fibrado vectorial muestra que cualquier fibrado vectorial es localmente trivial .

También podemos considerar la categoría de todos los fibrados vectoriales sobre un espacio base fijo X . Como morfismos de esta categoría tomamos aquellos morfismos de fibrados vectoriales cuya función en el espacio base es la función identidad en X . Es decir, morfismos de fibrado para los cuales conmuta el siguiente diagrama :

(Nótese que esta categoría no es abeliana ; el núcleo de un morfismo de fibrados vectoriales en general no es un fibrado vectorial en ningún sentido natural).

Un morfismo de fibrado vectorial entre fibrados vectoriales π ₁ : E ₁ → X ₁ y π ₂ : E ₂ → X ₂ que cubre una función g desde X ₁ hasta X ₂ también puede verse como un morfismo de fibrado vectorial sobre X ₁ desde E ₁ hasta el fibrado de retroceso g * E ₂ .

Dado un fibrado vectorial π : E → X y un subconjunto abierto U de X , podemos considerar secciones de π en U , es decir, funciones continuas s : U → E donde la compuesta π  ∘  s es tal que ( π ∘ s )( u ) = u para todo u en U . Esencialmente, una sección asigna a cada punto de U un vector del espacio vectorial adjunto, de manera continua. A modo de ejemplo, las secciones del fibrado tangente de una variedad diferencial no son otra cosa que campos vectoriales en esa variedad.

Sea F ( U ) el conjunto de todas las secciones de U . F ( U ) siempre contiene al menos un elemento, a saber, la sección cero : la función s que asigna cada elemento x de U al elemento cero del espacio vectorial π ⁻¹ ({ x }). Con la adición puntual y la multiplicación escalar de secciones, F ( U ) se convierte en un espacio vectorial real. La colección de estos espacios vectoriales es un haz de espacios vectoriales en X .

Si s es un elemento de F ( U ) y α: U → R es una función continua, entonces α s (multiplicación escalar puntual) está en F ( U ). Vemos que F ( U ) es un módulo sobre el anillo de funciones continuas de valor real en U . Además, si O _X denota el haz de estructura de funciones continuas de valor real en X , entonces F se convierte en un haz de O _X -módulos.

No todos los haces de módulos O _X surgen de esta manera a partir de un fibrado vectorial: sólo los localmente libres lo hacen. (La razón: localmente estamos buscando secciones de una proyección U × R ^k → U ; estas son precisamente las funciones continuas U → R ^k , y tal función es una k - tupla de funciones continuas U → R .)

Más aún: la categoría de fibrados vectoriales reales en X es equivalente a la categoría de haces localmente libres y finitamente generados de O _X -módulos.

Así, podemos pensar en la categoría de fibrados vectoriales reales en X como si estuviera dentro de la categoría de haces de O _X -módulos ; esta última categoría es abeliana, por lo que aquí es donde podemos calcular núcleos y conúcleos de morfismos de fibrados vectoriales.

Un fibrado vectorial de rango n es trivial si y sólo si tiene n secciones globales linealmente independientes .

La mayoría de las operaciones en espacios vectoriales se pueden extender a fibrados vectoriales realizando la operación de espacio vectorial por fibra .

Por ejemplo, si E es un fibrado vectorial sobre X , entonces existe un fibrado E* sobre X , llamado fibrado dual , cuya fibra en x ∈ X es el espacio vectorial dual ( E _x )*. Formalmente E* puede definirse como el conjunto de pares ( x , φ), donde x ∈ X y φ ∈ ( E _x )*. El fibrado dual es localmente trivial porque el espacio dual de la inversa de una trivialización local de E es una trivialización local de E* : el punto clave aquí es que la operación de tomar el espacio vectorial dual es functorial .

Existen muchas operaciones funcionales que pueden realizarse sobre pares de espacios vectoriales (sobre el mismo cuerpo), y estas se extienden directamente a pares de fibrados vectoriales E , F sobre X (sobre el cuerpo dado). A continuación se presentan algunos ejemplos.

• La suma de Whitney (llamada así por Hassler Whitney ) o fibrado de suma directa de E y F es un fibrado vectorial E ⊕ F sobre X cuya fibra sobre x es la suma directa E _x ⊕ F _x de los espacios vectoriales E _x y F _x .
• El producto tensorial fibrado E ⊗ F se define de manera similar, utilizando el producto tensorial de espacios vectoriales por fibra.
• El fibrado de Hom Hom( E , F ) es un fibrado vectorial cuya fibra en x es el espacio de aplicaciones lineales de E _x a F _x (que a menudo se denota Hom( E _x , F _x ) o L ( E _x , F _x )). El fibrado de Hom se llama así (y es útil) porque hay una biyección entre homomorfismos de fibrados vectoriales de E a F sobre X y secciones de Hom( E , F ) sobre X .
• Basándonos en el ejemplo anterior, dada una sección s de un fibrado de endomorfismo Hom( E , E ) y una función f : X → R , se puede construir un fibrado propio tomando la fibra sobre un punto x ∈ X como el f ( x )- espacio propio de la función lineal s ( x ): E _x → E _x . Aunque esta construcción es natural, a menos que se tenga cuidado, el objeto resultante no tendrá trivializaciones locales. Consideremos el caso de s siendo la sección cero y f teniendo ceros aislados. La fibra sobre estos ceros en el "fibrado propio" resultante será isomorfa a la fibra sobre ellos en E , mientras que en cualquier otro lugar la fibra es el espacio vectorial trivial de dimensión 0.
• El fibrado vectorial dual E* es el fibrado Hom Hom( E , R × X ) de homomorfismos de fibrados de E y el fibrado trivial R × X . Existe un isomorfismo de fibrado vectorial canónico Hom( E , F ) = E* ⊗ F .

Cada una de estas operaciones es un ejemplo particular de una característica general de los fibrados: que muchas operaciones que pueden realizarse sobre la categoría de espacios vectoriales también pueden realizarse sobre la categoría de fibrados vectoriales de manera funcional . Esto se precisa en el lenguaje de los funtores suaves . Una operación de naturaleza diferente es la construcción de fibrados de pullback . Dado un fibrado vectorial E → Y y una función continua f : X → Y se puede "retraer" E a un fibrado vectorial f*E sobre X . La fibra sobre un punto x ∈ X es esencialmente solo la fibra sobre f ( x ) ∈ Y . Por lo tanto, la suma de Whitney E ⊕ F puede definirse como el fibrado de pullback de la función diagonal de X a X × X donde el fibrado sobre X × X es E  ×  F .

Observación : Sea X un espacio compacto . Cualquier fibrado vectorial E sobre X es un sumando directo de un fibrado trivial; es decir, existe un fibrado E ' tal que E ⊕ E ' es trivial. Esto falla si X no es compacto: por ejemplo, el fibrado lineal tautológico sobre el espacio proyectivo real infinito no tiene esta propiedad. ^[1]

A los fibrados vectoriales se les suele dar más estructura. Por ejemplo, los fibrados vectoriales pueden estar equipados con una métrica de fibrado vectorial . Por lo general, se requiere que esta métrica sea definida positiva , en cuyo caso cada fibra de E se convierte en un espacio euclidiano . Un fibrado vectorial con una estructura compleja corresponde a un fibrado vectorial complejo , que también puede obtenerse reemplazando espacios vectoriales reales en la definición por espacios complejos y requiriendo que todas las aplicaciones sean complejas-lineales en las fibras. De manera más general, uno puede entender típicamente la estructura adicional impuesta a un fibrado vectorial en términos de la reducción resultante del grupo de estructura de un fibrado . También pueden usarse fibrados vectoriales sobre campos topológicos más generales.

Si en lugar de un espacio vectorial de dimensión finita, se toma la fibra F como un espacio de Banach , se obtiene un fibrado de Banach ^{. [2]} Específicamente, se debe exigir que las trivializaciones locales sean isomorfismos del espacio de Banach (en lugar de simplemente isomorfismos lineales) en cada una de las fibras y que, además, las transiciones

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (F)}$

son aplicaciones continuas de variedades de Banach . En la teoría correspondiente para fibrados C ^p , se requiere que todas las aplicaciones sean C ^p .

Los fibrados vectoriales son fibrados especiales , aquellos cuyas fibras son espacios vectoriales y cuyo cociclo respeta la estructura del espacio vectorial. Se pueden construir fibrados más generales en los que la fibra puede tener otras estructuras; por ejemplo, los fibrados esféricos están fibrados por esferas.

Un fibrado vectorial ( E , p , M ) es liso , si E y M son variedades lisas , p: E → M es una función lisa, y las trivializaciones locales son difeomorfismos . Dependiendo del grado requerido de suavidad , existen diferentes nociones correspondientes de fibrados C ^p , fibrados C ^∞ infinitamente diferenciables y fibrados C ^ω analíticos reales . En esta sección nos concentraremos en los fibrados C ^∞ . El ejemplo más importante de un fibrado vectorial C ^{∞ es el} fibrado tangente ( TM , π _TM , M ) de una variedad C ^∞ M .

Un fibrado vectorial suave se puede caracterizar por el hecho de que admite funciones de transición como las descritas anteriormente, que son funciones suaves en superposiciones de gráficos trivializantes U y V . Es decir, un fibrado vectorial E es suave si admite un recubrimiento por conjuntos abiertos trivializantes de modo que para cualesquiera dos conjuntos U y V , la función de transición

${\displaystyle g_{UV}:U\cap V\to \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$

es una función suave en el grupo de matrices GL(k, R ), que es un grupo de Lie .

De manera similar, si las funciones de transición son:

• C ^r entonces el fibrado vectorial es un fibrado vectorial C ^r ,
• analítica real entonces el fibrado vectorial es un fibrado vectorial analítico real (esto requiere que el grupo matricial tenga una estructura analítica real),
• holomorfo entonces el fibrado vectorial es un fibrado vectorial holomorfo (esto requiere que el grupo de matrices sea un grupo de Lie complejo ),
• funciones algebraicas entonces el fibrado vectorial es un fibrado vectorial algebraico (esto requiere que el grupo de matrices sea un grupo algebraico ).

Los fibrados vectoriales C ^{∞ (} E , p , M ) tienen una propiedad muy importante que no comparten los fibrados C ^{∞ más generales. Es decir, el espacio tangente} T _v ( E _x ) en cualquier v ∈ E _x puede identificarse naturalmente con la propia fibra E _x . Esta identificación se obtiene a través de la elevación vertical vl _v : E _x → T _v ( E _x ), definida como

${\displaystyle \operatorname {vl} _{v}w[f]:=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}f(v+tw),\quad f\in C^{\infty }(E_{x}).}$

La elevación vertical también puede verse como un isomorfismo natural de fibrado vectorial C ^∞ p*E → VE , donde ( p*E , p*p , E ) es el fibrado de retroceso de ( E , p , M ) sobre E a través de p : E → M , y VE  := Ker( p _* ) ⊂ TE es el fibrado tangente vertical , un subfibrado vectorial natural del fibrado tangente ( TE , π _TE , E ) del espacio total E .

El espacio total E de cualquier fibrado vectorial liso lleva un campo vectorial natural V _v  := vl _v v , conocido como el campo vectorial canónico . Más formalmente, V es una sección lisa de ( TE , π _TE , E ), y también puede definirse como el generador infinitesimal de la acción del grupo de Lie dada por la multiplicación escalar por fibras. El campo vectorial canónico V caracteriza completamente la estructura del fibrado vectorial liso de la siguiente manera. Como preparación, observe que cuando X es un campo vectorial liso en una variedad lisa M y x ∈ M tal que X _x = 0, la aplicación lineal${\displaystyle (t,v)\mapsto e^{tv}}$

${\displaystyle C_{x}(X):T_{x}M\to T_{x}M;\quad C_{x}(X)Y=(\nabla _{Y}X)_{x}}$

no depende de la elección de la derivada covariante lineal ∇ en M . El campo vectorial canónico V en E satisface los axiomas

1. El flujo ( t , v ) → Φ ^t _V ( v ) de V está definido globalmente.
2. Para cada v ∈ V hay un límite único _t→∞ Φ ^t _V ( v ) ∈ V .
3. C _v ( V )∘ C _v ( V ) = C _v ( V ) siempre que V _v = 0.
4. El conjunto cero de V es una subvariedad suave de E cuya codimensión es igual al rango de C _v ( V ).

Por el contrario, si E es cualquier variedad suave y V es un campo vectorial suave en E que satisface 1–4, entonces existe una estructura de fibrado vectorial única en E cuyo campo vectorial canónico es V.

Para cualquier fibrado vectorial suave ( E , p , M ) el espacio total TE de su fibrado tangente ( TE , π _TE , E ) tiene una estructura de fibrado vectorial secundaria natural ( TE , p _* , TM ), donde p _* es el avance de la proyección canónica p : E → M . Las operaciones de fibrado vectorial en esta estructura de fibrado vectorial secundaria son los avance + _* : T ( E × E ) → TE y λ _* : TE → TE de la adición original +: E × E → E y la multiplicación escalar λ: E → E .

El grupo de teoría K, K ( X ) , de un espacio topológico compacto de Hausdorff se define como el grupo abeliano generado por clases de isomorfismo [ E ] de fibrados vectoriales complejos módulo la relación que, siempre que tengamos una secuencia exacta entonces en teoría K topológica . La teoría KO es una versión de esta construcción que considera fibrados vectoriales reales. También se puede definir la teoría K con soportes compactos , así como grupos de teoría K superiores.$${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0,}$$$${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$$

El famoso teorema de periodicidad de Raoul Bott afirma que la teoría K de cualquier espacio X es isomorfa a la de S ² X , la doble suspensión de X .

En geometría algebraica , se consideran los grupos de teoría K que consisten en haces coherentes en un esquema X , así como los grupos de teoría K de fibrados vectoriales en el esquema con la relación de equivalencia anterior . Las dos construcciones son las mismas siempre que el esquema subyacente sea suave .

• Grassmanniano : espacios clasificatorios para fibrados vectoriales, entre los que se encuentran los espacios proyectivos para fibrados lineales.
• Clase característica
• Principio de división
• Paquete estable

• Conexión : noción necesaria para diferenciar secciones de haces vectoriales.
• Teoría de calibre : el estudio general de las conexiones en fibrados vectoriales y fibrados principales y sus relaciones con la física.

• Paquete vectorial algebraico
• Grupo Picard
• Paquete de vectores holomórficos

• "Hacer vectorial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• ¿Por qué es útil estudiar los fibrados vectoriales? en MathOverflow
• ¿Por qué es útil clasificar los fibrados vectoriales de un espacio?