Variedad compleja

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En geometría diferencial y geometría compleja , una variedad compleja es una variedad con una estructura compleja , es decir, un atlas de mapas del disco unitario abierto ^[1] en el espacio de coordenadas complejo , tal que los mapas de transición son holomorfos .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

El término "variedad compleja" se utiliza de diversas formas para significar una variedad compleja en el sentido anterior (que puede especificarse como una variedad compleja integrable ) o una variedad casi compleja .

Dado que las funciones holomorfas son mucho más rígidas que las funciones suaves , las teorías de variedades suaves y complejas tienen matices muy diferentes: las variedades complejas compactas están mucho más cerca de las variedades algebraicas que de las variedades diferenciables.

Por ejemplo, el teorema de incrustación de Whitney nos dice que cada variedad n -dimensional suave puede incrustarse como una subvariedad suave de R ^{2 n} , mientras que es "raro" que una variedad compleja tenga una incrustación holomorfa en C ⁿ . Consideremos, por ejemplo, cualquier variedad compleja conexa compacta M : cualquier función holomorfa en ella es constante por el principio de módulo máximo . Ahora bien, si tuviéramos una incrustación holomorfa de M en C ⁿ , entonces las funciones de coordenadas de C ⁿ se restringirían a funciones holomorfas no constantes en M , contradiciendo la compacidad, excepto en el caso de que M sea solo un punto. Las variedades complejas que pueden incrustarse en C ⁿ se denominan variedades de Stein y forman una clase muy especial de variedades que incluyen, por ejemplo, variedades algebraicas afines complejas suaves.

La clasificación de las variedades complejas es mucho más sutil que la de las variedades diferenciables. Por ejemplo, mientras que en dimensiones distintas de cuatro, una variedad topológica dada tiene como máximo un número finito de estructuras lisas , una variedad topológica que soporta una estructura compleja puede soportar, y a menudo lo hace, un número incontable de estructuras complejas. Las superficies de Riemann , variedades bidimensionales dotadas de una estructura compleja, que se clasifican topológicamente por el género , son un ejemplo importante de este fenómeno. El conjunto de estructuras complejas sobre una superficie orientable dada, equivalencia biholomórfica módulo, forma en sí mismo una variedad algebraica compleja llamada espacio de módulos , cuya estructura sigue siendo un área de investigación activa.

Dado que los mapas de transición entre cartas son biholomórficos, las variedades complejas son, en particular, suaves y canónicamente orientadas (no solo orientables : un mapa biholomórfico a (un subconjunto de) C ⁿ da una orientación, ya que los mapas biholomórficos preservan la orientación).

• Superficies de Riemann .
• Variedades de Calabi-Yau .
• El producto cartesiano de dos variedades complejas.
• La imagen inversa de cualquier valor no crítico de un mapa holomórfico.

Las variedades algebraicas complejas suaves son variedades complejas, que incluyen:

• Espacios vectoriales complejos.
• Espacios proyectivos complejos , ^[2] P ⁿ ( C ).
• Grassmannianos complejos .
• Grupos de Lie complejos como GL( n , C ) o Sp( n , C ).

Las variedades complejas unidimensionales simplemente conexas son isomorfas a:

• Δ, el disco unitario en C
• C , el plano complejo
• Ĉ , la esfera de Riemann

Nótese que hay inclusiones entre estos como Δ ⊆ C ⊆ Ĉ , pero que no hay mapas holomorfos no constantes en la otra dirección, por el teorema de Liouville .

Los siguientes espacios son diferentes a las variedades complejas, lo que demuestra el carácter geométrico más rígido de las variedades complejas (en comparación con las variedades suaves):

• espacio complejo${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• El disco unitario o bola abierta

${\displaystyle \left\{z\in \mathbb {C} ^{n}:\|z\|<1\right\}.}$

• El polidisco

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\puntos ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}:\vert z_{j}\vert <1\ \forall j=1,\puntos ,n\right\}.}$

Una estructura casi compleja en una variedad 2n real es una estructura GL( n , C )-estructura (en el sentido de G-estructuras ) – es decir, el fibrado tangente está equipado con una estructura compleja lineal .

Concretamente, se trata de un endomorfismo del fibrado tangente cuyo cuadrado es − I ; este endomorfismo es análogo a la multiplicación por el número imaginario i , y se denota J (para evitar confusiones con la matriz identidad I ). Una variedad casi compleja es necesariamente par-dimensional.

Una estructura casi compleja es más débil que una estructura compleja: cualquier variedad compleja tiene una estructura casi compleja, pero no toda estructura casi compleja proviene de una estructura compleja. Nótese que toda variedad real de dimensión par tiene una estructura casi compleja definida localmente a partir de la tabla de coordenadas local. La pregunta es si esta estructura casi compleja se puede definir globalmente. Una estructura casi compleja que proviene de una estructura compleja se llama integrable , y cuando uno desea especificar una estructura compleja en oposición a una estructura casi compleja, se dice una estructura compleja integrable . Para las estructuras complejas integrables, el llamado tensor de Nijenhuis se anula. Este tensor se define en pares de campos vectoriales, X , Y por

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY]\ .}$

Por ejemplo, la esfera de 6 dimensiones S ⁶ tiene una estructura casi compleja natural que surge del hecho de que es el complemento ortogonal de i en la esfera unitaria de los octoniones , pero esta no es una estructura compleja. (La cuestión de si tiene una estructura compleja se conoce como el problema de Hopf, en honor a Heinz Hopf . ^[3] ) Usando una estructura casi compleja podemos dar sentido a los mapas holomorfos y preguntar sobre la existencia de coordenadas holomorfas en la variedad. La existencia de coordenadas holomorfas es equivalente a decir que la variedad es compleja (que es lo que dice la definición del gráfico).

Tensorizando el fibrado tangente con los números complejos obtenemos el fibrado tangente complejizado , en el que la multiplicación por números complejos tiene sentido (incluso si empezamos con una variedad real). Los valores propios de una estructura casi compleja son ± i y los espacios propios forman subfibrados denotados por T ^0,1 M y T ^1,0 M . El teorema de Newlander-Nirenberg muestra que una estructura casi compleja es en realidad una estructura compleja precisamente cuando estos subfibrados son involutivos , es decir, cerrados bajo el corchete de Lie de los campos vectoriales, y una estructura casi compleja de este tipo se llama integrable .

Se puede definir un análogo de una métrica de Riemann para variedades complejas, llamada métrica hermítica . Al igual que una métrica de Riemann, una métrica hermítica consiste en un producto interno positivo definido que varía suavemente en el fibrado tangente, que es hermítico con respecto a la estructura compleja en el espacio tangente en cada punto. Como en el caso de Riemann, tales métricas siempre existen en abundancia en cualquier variedad compleja. Si la parte antisimétrica de tal métrica es simpléctica , es decir, cerrada y no degenerada, entonces la métrica se llama Kähler . Las estructuras de Kähler son mucho más difíciles de conseguir y son mucho más rígidas.

Ejemplos de variedades de Kähler incluyen variedades proyectivas suaves y, de manera más general, cualquier subvariedad compleja de una variedad de Kähler. Las variedades de Hopf son ejemplos de variedades complejas que no son de Kähler. Para construir una, tome un espacio vectorial complejo menos el origen y considere la acción del grupo de números enteros en este espacio mediante la multiplicación por exp( n ). El cociente es una variedad compleja cuyo primer número de Betti es uno, por lo que, según la teoría de Hodge , no puede ser de Kähler.

Una variedad de Calabi–Yau puede definirse como una variedad compacta de Kähler plana de Ricci o, equivalentemente, una cuya primera clase de Chern se desvanece.

• Dimensión compleja
• Variedad analítica compleja
• Variedad cuaterniónica
• Variedad real-compleja

• Kodaira, Kunihiko (17 de noviembre de 2004). Variedades complejas y deformación de estructuras complejas. Clásicos de las matemáticas. Springer. ISBN 3-540-22614-1.