Clase Stiefel-Whitney

En matemáticas , en particular en topología algebraica y geometría diferencial , las clases de Stiefel–Whitney son un conjunto de invariantes topológicos de un fibrado vectorial real que describen las obstrucciones para construir conjuntos independientes en todas partes de secciones del fibrado vectorial. Las clases de Stiefel–Whitney están indexadas de 0 a n , donde n es el rango del fibrado vectorial. Si la clase de Stiefel–Whitney de índice i es distinta de cero, entonces no pueden existir en todas partes secciones linealmente independientes del fibrado vectorial. Una n- ésima clase de Stiefel–Whitney distinta de cero indica que cada sección del fibrado debe anularse en algún punto. Una primera clase de Stiefel–Whitney distinta de cero indica que el fibrado vectorial no es orientable . Por ejemplo, la primera clase de Stiefel–Whitney de la banda de Möbius , como fibrado lineal sobre el círculo, no es cero, mientras que la primera clase de Stiefel–Whitney del fibrado lineal trivial sobre el círculo, es cero.${\displaystyle (n-i+1)}$${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R}}$

La clase Stiefel–Whitney debe su nombre a Eduard Stiefel y Hassler Whitney y es un ejemplo de una clase característica asociada a fibrados vectoriales reales.${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

En geometría algebraica también se pueden definir clases de Stiefel-Whitney análogas para fibrados vectoriales con una forma cuadrática no degenerada, que toman valores en grupos de cohomología étale o en la K-teoría de Milnor . Como caso especial se pueden definir clases de Stiefel-Whitney para formas cuadráticas sobre cuerpos, siendo los dos primeros casos el discriminante y el invariante de Hasse-Witt (Milnor 1970).

Para un fibrado vectorial real E , la clase Stiefel–Whitney de E se denota por w ( E ) . Es un elemento del anillo de cohomología

${\displaystyle H^{\ast}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i\geq 0}H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

donde X es el espacio base del fibrado E , y (a menudo denotado alternativamente por ) es el anillo conmutativo cuyos únicos elementos son 0 y 1. El componente de en se denota por y se llama la i -ésima clase de Stiefel–Whitney de E . Por lo tanto, ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$${\displaystyle w(E)}$${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$$estilo de visualización w_{i}(E)}$

${\displaystyle w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\cdots }$,

donde cada uno es un elemento de .$estilo de visualización w_{i}(E)}$${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

La clase Stiefel–Whitney es un invariante del fibrado vectorial real E ; es decir, cuando F es otro fibrado vectorial real que tiene el mismo espacio base X que E , y si F es isomorfo a E , entonces las clases Stiefel–Whitney y son iguales. (Aquí isomorfo significa que existe un isomorfismo de fibrado vectorial que cubre la identidad ). Si bien en general es difícil decidir si dos fibrados vectoriales reales E y F son isomorfos, las clases Stiefel–Whitney y a menudo se pueden calcular fácilmente. Si son diferentes, uno sabe que E y F no son isomorfos.${\displaystyle w(E)}$${\displaystyle w(E)}$${\displaystyle w(F)}$ ${\displaystyle E\a F}$${\displaystyle \mathrm {id} _ {X}\colon X\to X}$${\displaystyle w(E)}$${\displaystyle w(F)}$

Como ejemplo, sobre el círculo , hay un fibrado lineal (es decir, un fibrado vectorial real de rango 1) que no es isomorfo a un fibrado trivial . Este fibrado lineal L es la banda de Möbius (que es un fibrado cuyas fibras pueden equiparse con estructuras de espacio vectorial de tal manera que se convierte en un fibrado vectorial). El grupo de cohomología tiene solo un elemento distinto de 0. Este elemento es la primera clase de Stiefel–Whitney de L . Dado que el fibrado lineal trivial sobre tiene la primera clase de Stiefel–Whitney 0, no es isomorfo a L .$Estilo de visualización S1$${\displaystyle H^{1}(S^{1};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$${\displaystyle w_{1}(L)}$${\displaystyle S^{1}}$

Dos fibrados vectoriales reales E y F que tienen la misma clase de Stiefel–Whitney no son necesariamente isomorfos. Esto sucede, por ejemplo, cuando E y F son fibrados vectoriales reales triviales de diferentes rangos sobre el mismo espacio base X. También puede suceder cuando E y F tienen el mismo rango: el fibrado tangente de la 2-esfera y el fibrado vectorial real trivial de rango 2 sobre X tienen la misma clase de Stiefel–Whitney, pero no son isomorfos. Pero si dos fibrados lineales reales sobre X tienen la misma clase de Stiefel–Whitney, entonces son isomorfos.${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$

Las clases de Stiefel-Whitney reciben su nombre porque Eduard Stiefel y Hassler Whitney las descubrieron como reducciones módulo 2 de las clases de obstrucción para construir secciones linealmente independientes en todas partes del fibrado vectorial E restringido al i -esqueleto de X . Aquí n denota la dimensión de la fibra del fibrado vectorial .${\displaystyle w_{i}(E)}$${\displaystyle n-i+1}$ ${\displaystyle F\to E\to X}$

Para ser precisos, siempre que X sea un complejo CW , Whitney definió clases en el i -ésimo grupo de cohomología celular de X con coeficientes trenzados. El sistema de coeficientes es el -er grupo de homotopía de la variedad de Stiefel de vectores linealmente independientes en las fibras de E. Whitney demostró que si y solo si E , cuando se restringe al i -esqueleto de X , tiene secciones linealmente independientes.${\displaystyle W_{i}(E)}$${\displaystyle (i-1)}$ ${\displaystyle V_{n-i+1}(F)}$${\displaystyle n-i+1}$${\displaystyle W_{i}(E)=0}$${\displaystyle n-i+1}$

Como es infinitamente cíclico o isomorfo a , hay una reducción canónica de las clases a clases que son las clases de Stiefel–Whitney. Además, siempre que , las dos clases son idénticas. Por lo tanto, si y solo si el fibrado es orientable .${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle W_{i}(E)}$${\displaystyle w_{i}(E)\in H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle w_{1}(E)=0}$${\displaystyle E\to X}$

La clase no contiene información porque, por definición, es igual a 1. Su creación por parte de Whitney fue un acto de notación creativa, que permitió que la fórmula de suma de Whitney fuera verdadera.${\displaystyle w_{0}(E)}$${\displaystyle w(E_{1}\oplus E_{2})=w(E_{1})w(E_{2})}$

En todo momento, denota cohomología singular de un espacio X con coeficientes en el grupo G. La palabra mapa significa siempre una función continua entre espacios topológicos .${\displaystyle H^{i}(X;G)}$

La clase característica de Stiefel-Whitney de un fibrado vectorial real de rango finito E en un espacio base paracompacto X se define como la única clase tal que se cumplen los siguientes axiomas:${\displaystyle w(E)\in H^{*}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

1. Normalización: La clase Whitney del fibrado lineal tautológico sobre el espacio proyectivo real no es trivial, es decir, .${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle w(\gamma _{1}^{1})=1+a\in H^{*}(\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} );\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )[a]/(a^{2})}$
2. Rango: y para i por encima del rango de E , , es decir,${\displaystyle w_{0}(E)=1\in H^{0}(X),}$${\displaystyle w_{i}=0\in H^{i}(X)}$${\displaystyle w(E)\in H^{\leqslant \mathrm {rank} (E)}(X).}$
3. Fórmula del producto de Whitney: , es decir, la clase de Whitney de una suma directa es el producto de taza de las clases de los sumandos.${\displaystyle w(E\oplus F)=w(E)\smile w(F)}$
4. Naturalidad: para cualquier fibrado vectorial real y mapa , donde denota el fibrado vectorial de retroceso .${\displaystyle w(f^{*}E)=f^{*}w(E)}$${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle f\colon X'\to X}$${\displaystyle f^{*}E}$

La unicidad de estas clases se demuestra, por ejemplo, en los apartados 17.2 a 17.6 de Husemoller o en el apartado 8 de Milnor y Stasheff. Hay varias pruebas de su existencia, procedentes de diversas construcciones, con diferentes matices, cuya coherencia está asegurada por la afirmación de unicidad.

En esta sección se describe una construcción que utiliza la noción de espacio clasificador .

Para cualquier espacio vectorial V , sea Grassmanniano , el espacio de subespacios lineales n -dimensionales de V , y sea Grassmanniano infinito${\displaystyle Gr_{n}(V)}$

${\displaystyle Gr_{n}=Gr_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })}$.

Recordemos que está dotado del fibrado tautológico un fibrado vectorial de rango n que puede definirse como el subfibrado del fibrado trivial de fibra V cuya fibra en un punto es el subespacio representado por W.${\displaystyle \gamma ^{n}\to Gr_{n},}$${\displaystyle W\in Gr_{n}(V)}$

Sea , una función continua hasta el Grassmanniano infinito. Entonces, hasta el isomorfismo, el fibrado inducido por la función f en X${\displaystyle f\colon X\to Gr_{n}}$

${\displaystyle f^{*}\gamma ^{n}\in \mathrm {Vect} _{n}(X)}$

depende únicamente de la clase de homotopía del mapa [ f ]. La operación de pullback da por tanto un morfismo del conjunto

${\displaystyle [X;Gr_{n}]}$

de mapas módulo equivalencia de homotopía, al conjunto${\displaystyle X\to Gr_{n}}$

${\displaystyle \mathrm {Vect} _{n}(X)}$

de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales de rango n sobre X .

(El hecho importante en esta construcción es que si X es un espacio paracompacto , esta función es una biyección . Esta es la razón por la que llamamos Grassmannianos infinitos a los espacios clasificadores de los fibrados vectoriales.)

Ahora bien, por el axioma de naturalidad (4) anterior, . Por lo tanto, en principio basta con conocer los valores de para todo j . Sin embargo, el anillo de cohomología es libre en generadores específicos que surgen de una descomposición de celdas estándar, y entonces resulta que estos generadores, de hecho, están dados por . Por lo tanto, para cualquier fibrado de rango n, , donde f es la función de clasificación apropiada. Esto, en particular, proporciona una prueba de la existencia de las clases de Stiefel–Whitney.${\displaystyle w_{j}(f^{*}\gamma ^{n})=f^{*}w_{j}(\gamma ^{n})}$${\displaystyle w_{j}(\gamma ^{n})}$${\displaystyle H^{*}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle x_{j}\in H^{j}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})}$${\displaystyle x_{j}=w_{j}(\gamma ^{n})}$${\displaystyle w_{j}=f^{*}x_{j}}$

Ahora restringimos la construcción anterior a los fibrados de líneas, es decir, consideramos el espacio de fibrados de líneas sobre X. El Grassmanniano de líneas es simplemente el espacio proyectivo infinito${\displaystyle \mathrm {Vect} _{1}(X)}$${\displaystyle Gr_{1}}$

${\displaystyle \mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )=\mathbf {R} ^{\infty }/\mathbf {R} ^{*},}$

que está doblemente cubierta por la esfera infinita con puntos antípodas como fibras. Esta esfera es contráctil , por lo que tenemos${\displaystyle S^{\infty }}$${\displaystyle S^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{i}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\pi _{i}(S^{\infty })=0&&i>1\end{aligned}}}$

Por lo tanto P ^∞ ( R ) es el espacio de Eilenberg-Maclane .${\displaystyle K(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,1)}$

Es una propiedad de los espacios de Eilenberg-Maclane, que

${\displaystyle \left[X;\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )\right]=H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

para cualquier X , con el isomorfismo dado por f → f* η, donde η es el generador

${\displaystyle H^{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

Aplicando la observación anterior de que α : [ X , Gr ₁ ] → Vect ₁ ( X ) también es una biyección, obtenemos una biyección

${\displaystyle w_{1}\colon {\text{Vect}}_{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$

Esto define la clase Stiefel–Whitney w ₁ para haces de líneas.

Si Vect ₁ ( X ) se considera como un grupo bajo la operación de producto tensorial, entonces la clase Stiefel–Whitney, w ₁  : Vect ₁ ( X ) → H ¹ ( X ; Z /2 Z ), es un isomorfismo. Es decir, w ₁ (λ ⊗ μ) = w ₁ (λ) + w ₁ (μ) para todos los fibrados de líneas λ, μ → X .

Por ejemplo, dado que H ¹ ( S ¹ ; Z /2 Z ) = Z /2 Z , sólo hay dos fibrados de líneas sobre el círculo hasta el isomorfismo de fibrados: el trivial y la banda de Möbius abierta (es decir, la banda de Möbius con su límite eliminado).

La misma construcción para fibrados vectoriales complejos muestra que la clase de Chern define una biyección entre fibrados lineales complejos sobre X y H ² ( X ; Z ), porque el espacio de clasificación correspondiente es P ^∞ ( C ), a K( Z , 2). Este isomorfismo es cierto para fibrados lineales topológicos, la obstrucción a la inyectividad de la clase de Chern para fibrados vectoriales algebraicos es la variedad jacobiana .

1. w _i ( E ) = 0 siempre que i > rango ( E ).
2. Si E ^k tiene secciones que son en todas partes linealmente independientes , entonces las clases de Whitney de grado superior se desvanecen: .${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle w_{k-\ell +1}=\cdots =w_{k}=0}$
3. La primera clase de Stiefel–Whitney es cero si y solo si el fibrado es orientable . En particular, una variedad M es orientable si y solo si w ₁ ( TM ) = 0.
4. El haz admite una estructura de espín si y sólo si tanto la primera como la segunda clase de Stiefel–Whitney son cero.
5. Para un fibrado orientable, la segunda clase de Stiefel–Whitney está en la imagen de la función natural H ² ( M , Z ) → H ² ( M , Z /2 Z ) (equivalentemente, la llamada tercera clase integral de Stiefel–Whitney es cero) si y sólo si el fibrado admite una estructura de espín ^{c .}
6. Todos los números de Stiefel-Whitney (ver abajo) de una variedad compacta suave X se desvanecen si y solo si la variedad es el límite de alguna variedad compacta suave (no orientada) (¡Note que alguna clase de Stiefel-Whitney aún podría ser distinta de cero, incluso si todos los números de Stiefel-Whitney se desvanecen!)

La biyección anterior para los fibrados de líneas implica que cualquier funtor θ que satisfaga los cuatro axiomas anteriores es igual a w , por el siguiente argumento. El segundo axioma produce θ(γ ¹ ) = 1 + θ ₁ (γ ¹ ). Para la función de inclusión i  : P ¹ ( R ) → P ^∞ ( R ), el fibrado de pullback es igual a . Por lo tanto, el primer y el tercer axioma implican${\displaystyle i^{*}\gamma ^{1}}$${\displaystyle \gamma _{1}^{1}}$

${\displaystyle i^{*}\theta _{1}\left(\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=i^{*}w_{1}\left(\gamma ^{1}\right).}$

Desde el mapa

${\displaystyle i^{*}:H^{1}\left(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} \right);\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{1}\left(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \right)}$

es un isomorfismo, y se sigue θ(γ ¹ ) = w (γ ¹ ). Sea E un fibrado vectorial real de rango n sobre un espacio X . Entonces E admite una función descomponible , es decir, una función f  : X′ → X para algún espacio X′ tal que es inyectiva y para algunos fibrados lineales . Cualquier fibrado lineal sobre X es de la forma para alguna función g , y${\displaystyle \theta _{1}(\gamma ^{1})=w_{1}(\gamma ^{1})}$${\displaystyle f^{*}:H^{*}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ))\to H^{*}(X';\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$${\displaystyle f^{*}E=\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n}}$${\displaystyle \lambda _{i}\to X'}$${\displaystyle g^{*}\gamma ^{1}}$

${\displaystyle \theta \left(g^{*}\gamma ^{1}\right)=g^{*}\theta \left(\gamma ^{1}\right)=g^{*}w\left(\gamma ^{1}\right)=w\left(g^{*}\gamma ^{1}\right),}$

por naturalidad. Por lo tanto, θ = w en . Del cuarto axioma anterior se deduce que${\displaystyle {\text{Vect}}_{1}(X)}$

${\displaystyle f^{*}\theta (E)=\theta (f^{*}E)=\theta (\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n})=\theta (\lambda _{1})\cdots \theta (\lambda _{n})=w(\lambda _{1})\cdots w(\lambda _{n})=w(f^{*}E)=f^{*}w(E).}$

Como es inyectiva, θ = w . Por lo tanto, la clase Stiefel–Whitney es el único funtor que satisface los cuatro axiomas anteriores.${\displaystyle f^{*}}$

Aunque la función es una biyección, la función correspondiente no es necesariamente inyectiva en dimensiones superiores. Por ejemplo, considere el fibrado tangente para n par. Con la incrustación canónica de en , el fibrado normal a es un fibrado lineal. Como es orientable, es trivial. La suma es simplemente la restricción de a , que es trivial ya que es contráctil. Por lo tanto w ( TS ⁿ ) = w ( TS ⁿ ) w (ν) = w( TS ⁿ ⊕ ν) = 1. Pero, siempre que n sea par, TS ⁿ → S ⁿ no es trivial; su clase de Euler , donde [ S ⁿ ] denota una clase fundamental de S ⁿ y χ la característica de Euler .${\displaystyle w_{1}\colon \mathrm {Vect} _{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$${\displaystyle TS^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle TS^{n}\oplus \nu }$${\displaystyle T\mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle e(TS^{n})=\chi (TS^{n})[S^{n}]=2[S^{n}]\not =0}$

Si trabajamos en una variedad de dimensión n , entonces cualquier producto de clases de Stiefel–Whitney de grado total  n se puede emparejar con la clase fundamental Z /2 Z de la variedad para dar un elemento de Z /2 Z , un número de Stiefel–Whitney del fibrado vectorial. Por ejemplo, si la variedad tiene dimensión 3, hay tres números de Stiefel–Whitney linealmente independientes, dados por . En general, si la variedad tiene dimensión n , el número de posibles números de Stiefel–Whitney independientes es el número de particiones de  n .${\displaystyle w_{1}^{3},w_{1}w_{2},w_{3}}$

Los números de Stiefel-Whitney del fibrado tangente de una variedad lisa se denominan números de Stiefel-Whitney de la variedad. Se sabe que son invariantes del cobordismo . Lev Pontryagin demostró que si B es una variedad lisa compacta de dimensión ( n +1) con borde igual a M , entonces los números de Stiefel-Whitney de M son todos cero. ^{[1] Además,} René Thom demostró que si todos los números de Stiefel-Whitney de M son cero, entonces M puede realizarse como el borde de alguna variedad lisa compacta. ^[2]

Un número de Stiefel-Whitney de importancia en la teoría de la cirugía es el invariante de De Rham de una variedad de dimensión (4 k +1),${\displaystyle w_{2}w_{4k-1}.}$

Las clases de Stiefel–Whitney son los cuadrados de Steenrod de las clases de Wu , definidas por Wu Wenjun en 1947. ^[3] De forma más sencilla, la clase total de Stiefel–Whitney es el cuadrado total de Steenrod de la clase total de Wu: . Las clases de Wu se definen con mayor frecuencia de forma implícita en términos de cuadrados de Steenrod, como la clase de cohomología que representa los cuadrados de Steenrod. Sea la variedad X n dimensional . Entonces, para cualquier clase de cohomología x de grado ,${\displaystyle w_{k}}$ ${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle \operatorname {Sq} (v)=w}$${\displaystyle n-k}$

${\displaystyle v_{k}\cup x=\operatorname {Sq} ^{k}(x)}$.

O más específicamente, podemos exigir , nuevamente para clases de cohomología x de grado . ^[4]${\displaystyle \langle v_{k}\cup x,\mu \rangle =\langle \operatorname {Sq} ^{k}(x),\mu \rangle }$${\displaystyle n-k}$

El elemento se llama clase integral i +1 de Stiefel–Whitney, donde β es el homomorfismo de Bockstein , correspondiente a la reducción módulo 2, Z → Z /2 Z :${\displaystyle \beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle \beta \colon H^{i}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{i+1}(X;\mathbf {Z} ).}$

Por ejemplo, la tercera clase integral de Stiefel–Whitney es la obstrucción a una estructura de Spin ^c .

Sobre el álgebra de Steenrod , las clases de Stiefel–Whitney de una variedad suave (definidas como las clases de Stiefel–Whitney del fibrado tangente) son generadas por aquellas de la forma . En particular, las clases de Stiefel–Whitney satisfacen la${\displaystyle w_{2^{i}}}$Fórmula Wu , llamada así porWu Wenjun:^[5]

${\displaystyle Sq^{i}(w_{j})=\sum _{t=0}^{i}{j+t-i-1 \choose t}w_{i-t}w_{j+t}.}$

• Clase característica para un estudio general, en particular la clase de Chern , el análogo directo de los fibrados vectoriales complejos
• Espacio proyectivo real

• Clase Wu en el Atlas Manifold