Grupo lineal especial

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones básicas Subgrupo Subgrupo normal Acción grupal Grupo de cocientes Producto (semi) directo Suma directa Producto gratuito Producto de corona Homomorfismos de grupo núcleo imagen simple finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Grupo cíclico Z n Grupo simétrico S n Grupo alterno A n Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p -grupo Grupo abeliano elemental Grupo de Frobenius Multiplicador de Schur Clasificación de grupos finitos simples cíclico alterno Tipo de mentira esporádico
Grupos discretos Enrejados Números enteros (${\displaystyle \mathbb {Z}}$) Grupo libre Grupos modulares LPS(2,${\displaystyle \mathbb {Z}}$) SL(2,${\displaystyle \mathbb {Z}}$) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de Lie Solenoide Círculo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) O( n ) ortogonal E( n ) euclidiana SO( n ) ortogonal especial Unitario U( n ) SU unitario especial ( n ) Sp( n ) simpléctico G2​ F4​ E6​ E7​ E8​ Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Bucle Grupo de Lie de dimensión infinita O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Abelian variety Elliptic curve
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Lie groups and Lie algebras
Classical groups General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n)
Simple Lie groups Classical An Bn Cn Dn Exceptional G2 F4 E6 E7 E8
Other Lie groups Circle Lorentz Poincaré Conformal group Diffeomorphism Loop Euclidean
Lie algebras Lie group–Lie algebra correspondence Exponential map Adjoint representation Killing form Index Simple Lie algebra Loop algebra Affine Lie algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrams Cartan subalgebra Root system Weyl group Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra
Representation theory Lie group representation Lie algebra representation Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
Lie groups in physics Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
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Glossary Table of Lie groups
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En matemáticas , el grupo lineal especial SL( n , R ) de grado n sobre un anillo conmutativo R es el conjunto de matrices n × n con determinante 1, con las operaciones de grupo de multiplicación de matrices ordinarias e inversión de matrices . Este es el subgrupo normal del grupo lineal general dado por el núcleo del determinante.

${\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} (n,R)\to R^{\times }.}$

donde R ^× es el grupo multiplicativo de R (es decir, R excluyendo 0 cuando R es un campo).

Estos elementos son "especiales" porque forman una subvariedad algebraica del grupo lineal general: satisfacen una ecuación polinómica (ya que el determinante es polinómico en las entradas).

Cuando R es el campo finito de orden q , a veces se utiliza la notación SL( n , q ) .

El grupo lineal especial SL( n , R ) puede caracterizarse como el grupo de transformaciones lineales de R ⁿ que preservan el volumen y la orientación ; esto corresponde a la interpretación del determinante como medida del cambio en el volumen y la orientación.

Cuando F es R o C , SL( n , F ) es un subgrupo de Lie de GL( n , F ) de dimensión n ² − 1 . El álgebra de Lie de SL( n , F ) consiste en todas las matrices n × n sobre F con traza nula . El corchete de Lie viene dado por el conmutador .${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$

Cualquier matriz invertible puede representarse de forma única según la descomposición polar como el producto de una matriz unitaria y una matriz hermítica con valores propios positivos . El determinante de la matriz unitaria está en el círculo unitario mientras que el de la matriz hermítica es real y positivo y como en el caso de una matriz del grupo lineal especial el producto de estos dos determinantes debe ser 1, entonces cada uno de ellos debe ser 1. Por lo tanto, una matriz lineal especial puede escribirse como el producto de una matriz unitaria especial (o matriz ortogonal especial en el caso real) y una matriz hermítica definida positiva (o matriz simétrica en el caso real) que tiene determinante 1.

Así, la topología del grupo SL( n , C ) es el producto de la topología de SU( n ) y la topología del grupo de matrices hermíticas de determinante unitario con valores propios positivos. Una matriz hermítica de determinante unitario y que tenga valores propios positivos puede expresarse de forma única como la exponencial de una matriz hermítica sin traza , y por tanto la topología de ésta es la del espacio euclidiano ( n ² − 1) -dimensional . ^[1] Puesto que SU( n ) es simplemente conexa , ^[2] concluimos que SL( n , C ) también es simplemente conexa, para todo n mayor o igual a 2.

La topología de SL( n , R ) es el producto de la topología de SO ( n ) y la topología del grupo de matrices simétricas con valores propios positivos y determinante unitario. Dado que las últimas matrices se pueden expresar de forma única como la exponencial de matrices simétricas sin traza, entonces esta última topología es la del espacio euclidiano ( n + 2)( n − 1)/2 -dimensional. Por lo tanto, el grupo SL( n , R ) tiene el mismo grupo fundamental que SO( n ), es decir, Z para n = 2 y Z ₂ para n > 2 . ^[3] En particular, esto significa que SL( n , R ) , a diferencia de SL( n , C ) , no es simplemente conexo, para n mayor que 1.

Dos subgrupos relacionados, que en algunos casos coinciden con SL y en otros casos se confunden accidentalmente con SL, son el subgrupo conmutador de GL y el grupo generado por transvecciones . Ambos son subgrupos de SL (las transvecciones tienen determinante 1 y det es una función de un grupo abeliano, por lo que [GL, GL] ≤ SL), pero en general no coinciden con él.

El grupo generado por transvecciones se denota E( n , A ) (para matrices elementales ) o TV( n , A ) . Por la segunda relación de Steinberg , para n ≥ 3 , las transvecciones son conmutadores, por lo que para n ≥ 3 , E( n , A ) ≤ [GL( n , A ), GL( n , A )] .

Para n = 2 , las transvecciones no necesitan ser conmutadores (de matrices de 2 × 2 ), como se ve, por ejemplo, cuando A es F ₂ , el campo de dos elementos, entonces

${\displaystyle \operatorname {Alt} (3)\cong [\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2}),\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})]<\operatorname {E} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {SL} (2,\mathbf {F} _{2})=\operatorname {GL} (2,\mathbf {F} _{2})\cong \operatorname {Sym} (3),}$

donde Alt(3) y Sym(3) denotan el grupo simétrico alternado o resp. en 3 letras.

Sin embargo, si A es un campo con más de 2 elementos, entonces E(2, A ) = [GL(2, A ), GL(2, A )] , y si A es un campo con más de 3 elementos, E(2, A ) = [SL(2, A ), SL(2, A )] . ^{[ dudoso – discutir ]}

En algunas circunstancias, estos coinciden: el grupo lineal especial sobre un cuerpo o un dominio euclidiano se genera por transvecciones, y el grupo lineal especial estable sobre un dominio de Dedekind se genera por transvecciones. Para anillos más generales, la diferencia estable se mide por el grupo Whitehead especial SK ₁ ( A ) := SL( A )/E( A ) , donde SL( A ) y E( A ) son los grupos estables del grupo lineal especial y las matrices elementales.

Si se trabaja sobre un anillo donde SL se genera por transvecciones (como un campo o dominio euclidiano ), se puede dar una presentación de SL usando transvecciones con algunas relaciones. Las transvecciones satisfacen las relaciones de Steinberg , pero estas no son suficientes: el grupo resultante es el grupo de Steinberg , que no es el grupo lineal especial, sino más bien la extensión central universal del subgrupo conmutador de GL.

Un conjunto suficiente de relaciones para SL( n , Z ) para n ≥ 3 está dado por dos de las relaciones de Steinberg, más una tercera relación (Conder, Robertson y Williams 1992, p. 19). Sea T _ij  := e _ij (1) la matriz elemental con 1 en la diagonal y en la posición ij , y 0 en el resto (e i ≠ j ). Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{ij},T_{jk}\right]&=T_{ik}&&{\text{for }}i\neq k\\[4pt]\left[T_{ij},T_{k\ell }\right]&=\mathbf {1} &&{\text{for }}i\neq \ell ,j\neq k\\[4pt]\left(T_{12}T_{21}^{-1}T_{12}\right)^{4}&=\mathbf {1} \end{aligned}}}$

son un conjunto completo de relaciones para SL( n , Z ), n ≥ 3.

En una característica distinta de 2, el conjunto de matrices con determinante ±1 forma otro subgrupo de GL, con SL como subgrupo de índice 2 (necesariamente normal); en la característica 2 esto es lo mismo que SL. Esto forma una secuencia corta y exacta de grupos:

${\displaystyle 1\to \operatorname {SL} (n,F)\to \operatorname {SL} ^{\pm }(n,F)\to \{\pm 1\}\to 1.}$

Esta secuencia se divide tomando cualquier matriz con determinante −1 , por ejemplo la matriz diagonal Si es impar, la matriz identidad negativa está en SL ^± ( n , F ) pero no en SL( n , F ) y por lo tanto el grupo se divide como un producto directo interno . Sin embargo, si es par, ya está en SL( n , F ) , SL ^± no se divide y, en general, es una extensión de grupo no trivial .${\displaystyle (-1,1,\dots ,1).}$${\displaystyle n=2k+1}$${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} ^{\pm }(2k+1,F)\cong \operatorname {SL} (2k+1,F)\times \{\pm I\}}$${\displaystyle n=2k}$${\displaystyle -I}$

Sobre los números reales, SL ^± ( n , R ) tiene dos componentes conexos , correspondientes a SL( n , R ) y otra componente, que son isomorfas con identificación dependiendo de la elección del punto (matriz con determinante −1 ). En dimensión impar estas se identifican naturalmente por , pero en dimensión par no hay una identificación natural.${\displaystyle -I}$

El grupo GL( n , F ) se divide sobre su determinante (usamos F ^× ≅ GL(1, F ) → GL( n , F ) como el monomorfismo de F ^× a GL( n , F ) , ver producto semidirecto ), y por lo tanto GL( n , F ) puede escribirse como un producto semidirecto de SL( n , F ) por F ^× :

GL( n , F ) = SL( n , F ) ⋊ F ^× .

• SL(2, R )
• SL(2, C )
• Grupo modular (PSL(2, Z ))
• Grupo lineal proyectivo
• Mapa conforme
• Representaciones de grupos de Lie clásicos

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• Conder, Marston ; Robertson, Edmund; Williams, Peter (1992), "Presentaciones para grupos lineales especiales tridimensionales sobre anillos de números enteros", Actas de la American Mathematical Society , 115 (1), American Mathematical Society: 19–26, doi :10.2307/2159559, JSTOR  2159559, MR  1079696
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer