Par de pantalones (matemáticas)

En matemáticas , un pantalón es una superficie homeomorfa de la esfera de tres agujeros . El nombre proviene de considerar uno de los discos extraídos como la cintura y los otros dos como los puños de un pantalón .

Los pares de pantalones se utilizan como bloques de construcción para superficies compactas en varias teorías. Dos aplicaciones importantes son la geometría hiperbólica , donde las descomposiciones de superficies cerradas en pares de pantalones se utilizan para construir las coordenadas de Fenchel-Nielsen en el espacio de Teichmüller , y en la teoría cuántica de campos topológica , donde son los cobordismos no triviales más simples entre variedades unidimensionales .

Un pantalón es cualquier superficie homeomorfa a una esfera con tres agujeros, que formalmente es el resultado de retirar de la esfera tres discos abiertos con cierres disjuntos por pares. Por lo tanto, un pantalón es una superficie compacta de género cero con tres componentes de contorno .

La característica de Euler de un par de pantalones es igual a −1, y la única otra superficie con esta propiedad es el toro perforado (un toro menos un disco abierto).

La importancia de los pares de pantalones en el estudio de superficies se deriva de la siguiente propiedad: definamos la complejidad de una superficie compacta conexa de género con componentes de contorno como , y para una superficie no conexa tomemos la suma sobre todos los componentes. Entonces las únicas superficies con característica de Euler negativa y complejidad cero son las uniones disjuntas de pares de pantalones. Además, para cualquier superficie y cualquier curva cerrada simple en la que no sea homotópica a un componente de contorno, la superficie compacta obtenida cortando a lo largo tiene una complejidad que es estrictamente menor que . En este sentido, los pares de pantalones son las únicas superficies "irreducibles" entre todas las superficies de característica de Euler negativa.${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización g}$${\estilo de visualización k}$${\displaystyle \xi(S)=3g-3+k}$${\estilo de visualización S}$ ${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización S}$

Mediante un argumento de recursión, esto implica que para cualquier superficie existe un sistema de curvas cerradas simples que cortan la superficie en pares de pantalones. Esto se llama descomposición de pantalones para la superficie, y las curvas se llaman los dobladillos de la descomposición. Esta descomposición no es única, pero al cuantificar el argumento se ve que todas las descomposiciones de pantalones de una superficie dada tienen el mismo número de curvas, que es exactamente la complejidad. ^[1] Para superficies conexas, una descomposición de pantalones tiene exactamente pantalones.${\estilo de visualización 2g-2+k}$

Una colección de curvas cerradas simples sobre una superficie es una descomposición en pantalones si y solo si son disjuntas, ninguna de ellas es homotópica y ninguna es homotópica a un componente del límite, y la colección es máxima para estas propiedades.

Una superficie dada tiene infinitas descomposiciones pants distintas (entendemos que dos descomposiciones son distintas cuando no son homotópicas). Una forma de intentar entender las relaciones entre todas estas descomposiciones es el complejo pants asociado a la superficie . Este es un grafo con conjunto de vértices las descomposiciones pants de , y dos vértices se unen si están relacionados por un movimiento elemental, que es una de las dos operaciones siguientes:${\estilo de visualización S}$

• tomar una curva en la descomposición en un toro con un solo agujero y reemplazarla por una curva en el toro que lo interseca solo una vez,${\estilo de visualización \alpha}$
• tomar una curva en la descomposición en una esfera de cuatro agujeros y reemplazarla por una curva en la esfera que la interseca solo dos veces.${\estilo de visualización \alpha}$

El complejo pants está conectado ^[2] (lo que significa que dos descomposiciones pants cualesquiera están relacionadas por una secuencia de movimientos elementales) y tiene un diámetro infinito (lo que significa que no hay un límite superior en la cantidad de movimientos necesarios para llegar de una descomposición a la otra). En el caso particular en el que la superficie tiene complejidad 1, el complejo pants es isomorfo al grafo de Farey .

La acción del grupo de clases de mapeo sobre el complejo pants es de interés para el estudio de este grupo. Por ejemplo, Allen Hatcher y William Thurston lo han utilizado para dar una prueba del hecho de que está finitamente presentado .

Las interesantes estructuras hiperbólicas de un par de pantalones se clasifican fácilmente. ^[3]

Para todos existe una superficie hiperbólica que es homeomorfa a un par de pantalones y cuyos componentes de contorno son geodésicas cerradas simples de longitudes iguales a . Tal superficie está determinada de manera única por la isometría hasta .${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2},\ell _{3}\in (0,\infty)}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle \ell_ {1},\ell_ {2},\ell_ {3}}$${\displaystyle \ell _{i}}$

Al tomar la longitud de un puño como igual a cero, se obtiene una métrica completa del pantalón menos el puño, que se reemplaza por una cúspide . Esta estructura es de volumen finito.

La prueba geométrica de la clasificación del párrafo anterior es importante para comprender la estructura de los pantalones hiperbólicos. Se desarrolla de la siguiente manera: Dados unos pantalones hiperbólicos con un límite totalmente geodésico, existen tres únicos arcos geodésicos que unen los dobladillos de a pares y que son perpendiculares a ellos en sus puntos finales. Estos arcos se denominan costuras de los pantalones.

Al cortar los pantalones por las costuras se obtienen dos hexágonos hiperbólicos rectángulos que tienen tres lados alternos de longitudes iguales. El siguiente lema se puede demostrar con geometría hiperbólica elemental. ^[4]

Si dos hexágonos hiperbólicos rectángulos tienen cada uno tres lados alternos de longitudes iguales, entonces son isométricos entre sí.

Vemos, pues, que el par de pantalones es el doble de un hexágono rectángulo a lo largo de sus lados alternos. Puesto que la clase de isometría del hexágono también está determinada de forma única por las longitudes de los tres lados alternos restantes, la clasificación de los pantalones se desprende de la de los hexágonos.

Cuando la longitud de un manguito es cero, se reemplaza el lado correspondiente en el hexágono rectángulo por un vértice ideal.

Un punto en el espacio de Teichmüller de una superficie está representado por un par donde es una superficie hiperbólica completa y un difeomorfismo.${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización (M,f)}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle f:S\to M}$

Si se tiene una descomposición de pantalones por curvas , entonces se pueden parametrizar los pares de Teichmüller por las coordenadas de Fenchel-Nielsen, que se definen de la siguiente manera. Las longitudes de los puños son simplemente las longitudes de las geodésicas cerradas homotópicas a .${\estilo de visualización S}$${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle \ell _{i}}$${\ Displaystyle f (\ gamma _ {i})}$

Los parámetros de giro son más difíciles de definir. Corresponden a cuánto se gira al pegar dos pares de pantalones a lo largo de : esto los define módulo . Se puede refinar la definición (usando la continuación analítica ^[5] o técnicas geométricas) para obtener parámetros de giro con valores en (a grandes rasgos, el punto es que cuando se hace un giro completo se cambia el punto en el espacio de Teichmüller al precomponer con un giro de Dehn alrededor de ).${\displaystyle \tau_{i}}$${\displaystyle \gamma _{i}}$${\displaystyle \ell _{i}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R}}$${\estilo de visualización f}$${\displaystyle \gamma _{i}}$

Se puede definir una función del complejo de pantalones en el espacio de Teichmüller, que lleva a cabo una descomposición de pantalones en un punto elegido arbitrariamente en la región donde la parte del puño de las coordenadas de Fenchel-Nielsen está limitada por una constante lo suficientemente grande. Es una cuasi-isometría cuando el espacio de Teichmüller está dotado de la métrica de Weil-Petersson , que ha demostrado ser útil en el estudio de esta métrica. ^[6]

Estas estructuras corresponden a grupos de Schottky en dos generadores (más precisamente, si el cociente del plano hiperbólico por un grupo de Schottky en dos generadores es homeomorfo al interior de un par de pantalones, entonces su núcleo convexo es un par de pantalones hiperbólicos como se describió anteriormente, y todos se obtienen como tales).

Un cobordismo entre dos variedades cerradas n -dimensionales es una variedad compacta ( n +1)-dimensional cuyo límite es la unión disjunta de las dos variedades. La categoría de cobordismos de dimensión n +1 es la categoría con objetos las variedades cerradas de dimensión n , y morfismos los cobordismos entre ellos (nótese que la definición de un cobordismo incluye la identificación del límite a las variedades). Nótese que una de las variedades puede estar vacía; en particular una variedad cerrada de dimensión n +1 se ve como un endomorfismo del conjunto vacío . También se pueden componer dos cobordismos cuando el final del primero es igual al comienzo del segundo. Una teoría cuántica de campos topológica n-dimensional (TQFT) es un funtor monoidal de la categoría de n -cobordismos a la categoría de espacio vectorial complejo (donde la multiplicación está dada por el producto tensorial).

En particular, los cobordismos entre variedades unidimensionales (que son uniones de círculos) son superficies compactas cuyo límite se ha separado en dos uniones disjuntas de círculos. Las TQFT bidimensionales corresponden a las álgebras de Frobenius , donde el círculo (la única variedad unidimensional cerrada y conexa) se asigna al espacio vectorial subyacente del álgebra, mientras que el par de pantalones da un producto o coproducto, dependiendo de cómo se agrupan los componentes del límite, que es conmutativo o co-conmutativo. Además, la función asociada con un disco da una counidad (traza) o unidad (escalares), dependiendo de la agrupación del límite, que completa la correspondencia.

• Hatcher, Allen; Thurston, William (1980). "Una presentación para el grupo de clases de mapeo de una superficie orientable cerrada". Topología . 19 (3): 221–237. doi :10.1016/0040-9383(80)90009-9.
• Imayoshi, Yôichi; Taniguchi, Masahiko (1992). Una introducción a los espacios de Teichmüller . Springer. pp. xiv+279. ISBN 4-431-70088-9.
• Ratcliffe, John (2006). Fundamentos de variedades hiperbólicas, segunda edición . Springer. pp. xii+779. ISBN 978-0387-33197-3.