Anillo (matemáticas)

En matemáticas , los anillos son estructuras algebraicas que generalizan campos : la multiplicación no necesita ser conmutativa y no es necesario que existan inversos multiplicativos . De manera informal, un anillo es un conjunto equipado con dos operaciones binarias que satisfacen propiedades análogas a las de la suma y la multiplicación de números enteros . Los elementos del anillo pueden ser números como números enteros o números complejos , pero también pueden ser objetos no numéricos como polinomios , matrices cuadradas , funciones y series de potencias .

Formalmente, un anillo es un conjunto dotado de dos operaciones binarias llamadas adición y multiplicación de modo que el anillo es un grupo abeliano con respecto al operador de adición, y el operador de multiplicación es asociativo , es distributivo sobre la operación de adición y tiene un elemento de identidad multiplicativo . (Algunos autores definen anillos sin requerir una identidad multiplicativa y en su lugar llaman a la estructura definida anteriormente un anillo con identidad . Véase § Variaciones sobre la definición .)

El hecho de que un anillo sea conmutativo o no tiene profundas implicaciones en su comportamiento. El álgebra conmutativa , la teoría de anillos conmutativos , es una rama importante de la teoría de anillos . Su desarrollo ha sido muy influenciado por problemas e ideas de la teoría de números algebraicos y la geometría algebraica . Los anillos conmutativos más simples son aquellos que admiten la división por elementos distintos de cero; dichos anillos se denominan campos .

Entre los ejemplos de anillos conmutativos se incluyen el conjunto de números enteros con su adición y multiplicación estándar, el conjunto de polinomios con su adición y multiplicación, el anillo de coordenadas de una variedad algebraica afín y el anillo de números enteros de un cuerpo de números. Entre los ejemplos de anillos no conmutativos se incluyen el anillo de matrices cuadradas reales n × n con n ≥ 2 , los anillos de grupo en teoría de representación , las álgebras de operadores en análisis funcional , los anillos de operadores diferenciales y los anillos de cohomología en topología .

La conceptualización de los anillos abarcó desde la década de 1870 hasta la de 1920, con contribuciones clave de Dedekind , Hilbert , Fraenkel y Noether . Los anillos se formalizaron primero como una generalización de los dominios de Dedekind que ocurren en la teoría de números , y de los anillos polinómicos y anillos de invariantes que ocurren en la geometría algebraica y la teoría de invariantes . Más tarde demostraron ser útiles en otras ramas de las matemáticas, como la geometría y el análisis .

Un anillo es un conjunto R equipado con dos operaciones binarias ^[a] + (suma) y ⋅ (multiplicación) que satisfacen los siguientes tres conjuntos de axiomas, llamados axiomas del anillo : ^{[1] [2] [3]}

1. R es un grupo abeliano bajo adición, lo que significa que:
   • ( a + b ) + c = a + ( b + c ) para todos a , b , c en R (es decir, + es asociativo ).
   • a + b = b + a para todo a , b en R (es decir, + es conmutativo ).
   • Hay un elemento 0 en R tal que a + 0 = a para todo a en R (es decir, 0 es la identidad aditiva ).
   • Para cada a en R existe − a en R tal que a + (− a ) = 0 (es decir, − a es el inverso aditivo de a ).
2. R es un monoide bajo multiplicación, lo que significa que:
   • ( a · b ) · c = a · ( b · c ) para todos a , b , c en R (es decir, ⋅ es asociativo).
   • Hay un elemento 1 en R tal que a · 1 = a y 1 · a = a para todo a en R (es decir, 1 es la identidad multiplicativa ). ^[b]
3. La multiplicación es distributiva con respecto a la suma, lo que significa que:
   • a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ) para todos a , b , c en R (distributividad izquierda).
   • ( b + c ) · a = ( b · a ) + ( c · a ) para todos a , b , c en R (distributividad derecha).

En notación, el símbolo de multiplicación · a menudo se omite, en cuyo caso a · b se escribe como ab .

En la terminología de este artículo, un anillo se define como una estructura que tiene una identidad multiplicativa, mientras que una estructura con la misma definición axiomática pero sin el requisito de una identidad multiplicativa se denomina en cambio un " rng " (IPA: / r ʊ ŋ / ) con una "i" faltante. Por ejemplo, el conjunto de números enteros pares con los habituales + y ⋅ es un rng, pero no un anillo. Como se explica en el § Historia a continuación, muchos autores aplican el término "anillo" sin requerir una identidad multiplicativa.

Aunque la adición de anillos es conmutativa , no es necesario que la multiplicación de anillos sea conmutativa: ab no necesariamente tiene que ser igual a ba . Los anillos que también satisfacen la conmutatividad para la multiplicación (como el anillo de números enteros) se denominan anillos conmutativos . Los libros sobre álgebra conmutativa o geometría algebraica a menudo adoptan la convención de que anillo significa anillo conmutativo , para simplificar la terminología.

En un anillo, no es necesario que existan inversos multiplicativos. Un anillo conmutativo distinto de cero en el que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo se denomina cuerpo .

El grupo aditivo de un anillo es el conjunto subyacente equipado únicamente con la operación de adición. Aunque la definición requiere que el grupo aditivo sea abeliano, esto se puede inferir a partir de los otros axiomas del anillo. ^[4] La prueba hace uso del " 1 ", y no funciona en un generador de números aleatorios. (Para un generador de números aleatorios, omitir el axioma de conmutatividad de la adición lo deja inferible a partir de los supuestos restantes del generador de números aleatorios solo para elementos que son productos: ab + cd = cd + ab .)

Hay algunos autores que utilizan el término "anillo" para referirse a estructuras en las que no se requiere que la multiplicación sea asociativa. ^[5] Para estos autores, toda álgebra es un "anillo".

El ejemplo más conocido de un anillo es el conjunto de todos los números enteros que consiste${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ en los números

${\displaystyle \dots ,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots }$

Los axiomas de un anillo se elaboraron como una generalización de propiedades familiares de suma y multiplicación de números enteros.

Algunas propiedades básicas de un anillo se derivan inmediatamente de los axiomas:

• La identidad aditiva es única.
• El inverso aditivo de cada elemento es único.
• La identidad multiplicativa es única.
• Para cualquier elemento x en un anillo R , se tiene x 0 = 0 = 0 x (cero es un elemento absorbente con respecto a la multiplicación) y (–1) x = – x .
• Si 0 = 1 en un anillo R (o más generalmente, 0 es un elemento unitario), entonces R tiene solo un elemento y se llama anillo cero .
• Si un anillo R contiene el anillo cero como subanillo, entonces R mismo es el anillo cero. ^[6]
• La fórmula binomial es válida para cualquier x e y que satisfaga xy = yx .

Equipa el conjunto con las siguientes operaciones:${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}}$

• La suma en ⁠ ⁠ es el resto cuando el entero x + y se divide por 4 (como x + y siempre es menor que 8 , este resto es x + y o x + y − 4 ). Por ejemplo, y${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}}$${\displaystyle {\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}.}$
• El producto de ⁠ ⁠ es el resto cuando el entero xy se divide por 4. Por ejemplo, y${\displaystyle {\overline {x}}\cdot {\overline {y}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$${\displaystyle {\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}}$${\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}.}$

Entonces ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ es un anillo: cada axioma se sigue del axioma correspondiente para ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Si x es un entero, el resto de x cuando se divide por 4 puede considerarse como un elemento de ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} ,}$ y este elemento a menudo se denota por " x mod 4 " o que es consistente con la notación para 0, 1, 2, 3 . El inverso aditivo de cualquier en ⁠ ⁠ es Por ejemplo,${\displaystyle {\overline {x}},}$${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$${\displaystyle -{\overline {x}}={\overline {-x}}.}$${\displaystyle -{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.}$

⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ tiene un subanillo ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ , y si es primo, entonces ⁠ ⁠ no tiene subanillos.${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

El conjunto de matrices cuadradas de 2 por 2 con entradas en un campo F es ^{[7] [8] [9] [10]}

${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|\ a,b,c,d\in F\right\}.}$

Con las operaciones de suma y multiplicación de matrices , se satisfacen los axiomas del anillo anteriores. El elemento es la identidad multiplicativa del anillo. Si y entonces , mientras que este ejemplo muestra que el anillo no es conmutativo.${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle B=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),}$${\displaystyle AB=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right);}$

De manera más general, para cualquier anillo R , conmutativo o no, y cualquier entero no negativo n , las matrices cuadradas de dimensión n con entradas en R forman un anillo; véase Anillo de matrices .

El estudio de los anillos se originó a partir de la teoría de anillos polinómicos y la teoría de números enteros algebraicos . ^[11] En 1871, Richard Dedekind definió el concepto de anillo de números enteros de un cuerpo de números. ^[12] En este contexto, introdujo los términos "ideal" (inspirado en la noción de número ideal de Ernst Kummer ) y "módulo" y estudió sus propiedades. Dedekind no utilizó el término "anillo" y no definió el concepto de anillo en un contexto general.

El término "Zahlring" (anillo numérico) fue acuñado por David Hilbert en 1892 y publicado en 1897. ^[13] En el alemán del siglo XIX, la palabra "Ring" podría significar "asociación", que todavía se usa hoy en día en inglés en un sentido limitado (por ejemplo, anillo de espías), ^{[ cita requerida ]} así que si esa fuera la etimología, sería similar a la forma en que "grupo" entró en las matemáticas al ser una palabra no técnica para "colección de cosas relacionadas". Según Harvey Cohn, Hilbert usó el término para un anillo que tenía la propiedad de "regresar directamente" a un elemento de sí mismo (en el sentido de una equivalencia ). ^[14] Específicamente, en un anillo de números enteros algebraicos, todas las altas potencias de un número entero algebraico se pueden escribir como una combinación integral de un conjunto fijo de potencias inferiores, y así las potencias "regresan". Por ejemplo, si a ³ − 4 a + 1 = 0 entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{3}&=4a-1,\\a^{4}&=4a^{2}-a,\\a^{5}&=-a^{2}+16a-4,\\a^{6}&=16a^{2}-8a+1,\\a^{7}&=-8a^{2}+65a-16,\\\vdots \ &\qquad \vdots \end{aligned}}}$

y así sucesivamente; en general, a ⁿ va a ser una combinación lineal integral de 1 , a , y a ² .

La primera definición axiomática de un anillo fue dada por Adolf Fraenkel en 1915, ^{[15] [16]} pero sus axiomas eran más estrictos que los de la definición moderna. Por ejemplo, requería que cada divisor distinto de cero tuviera un inverso multiplicativo . ^[17] En 1921, Emmy Noether dio una definición axiomática moderna de anillos conmutativos (con y sin 1) y desarrolló los fundamentos de la teoría de anillos conmutativos en su artículo Idealtheorie in Ringbereichen . ^[18]

Los axiomas de Fraenkel para un "anillo" incluían el de una identidad multiplicativa, ^[19] mientras que los de Noether no. ^[18]

La mayoría o todos los libros sobre álgebra ^{[20] [21]} hasta alrededor de 1960 siguieron la convención de Noether de no requerir un 1 para un "anillo". A partir de la década de 1960, se hizo cada vez más común ver libros que incluían la existencia de 1 en la definición de "anillo", especialmente en libros avanzados de autores notables como Artin, ^[22] Bourbaki, ^[23] Eisenbud, ^[24] y Lang. ^[3] También hay libros publicados hasta 2022 que usan el término sin el requisito de un 1. ^{[25] [26] [27] [28]} Del mismo modo, la Enciclopedia de Matemáticas no requiere elementos unitarios en anillos. ^[29] En un artículo de investigación, los autores a menudo especifican qué definición de anillo usan al comienzo de ese artículo.

Gardner y Wiegandt afirman que, cuando se trabaja con varios objetos en la categoría de anillos (en contraposición a trabajar con un anillo fijo), si se requiere que todos los anillos tengan un 1 , entonces algunas consecuencias incluyen la falta de existencia de sumas directas infinitas de anillos, y que los sumandos directos propios de los anillos no son subanillos. Concluyen que "en muchas, tal vez la mayoría, de las ramas de la teoría de anillos, el requisito de la existencia de un elemento unitario no es sensato y, por lo tanto, inaceptable". ^[30] Poonen presenta el contraargumento de que la noción natural para los anillos sería el producto directo en lugar de la suma directa. Sin embargo, su argumento principal es que los anillos sin una identidad multiplicativa no son totalmente asociativos, en el sentido de que no contienen el producto de ninguna secuencia finita de elementos del anillo, incluida la secuencia vacía. ^{[c] [31]}

Los autores que siguen cualquiera de las convenciones para el uso del término "anillo" pueden utilizar uno de los siguientes términos para referirse a objetos que satisfacen la otra convención:

• incluir un requisito de identidad multiplicativa: "anillo unitario", "anillo unitario", "anillo con unidad", "anillo con identidad", "anillo con una unidad", ^[32] o "anillo con 1". ^[33]
• omitir un requisito para una identidad multiplicativa: "rng" ^[34] o "pseudo-ring", ^[35] aunque este último puede resultar confuso porque también tiene otros significados.

• El ejemplo prototípico es el anillo de números enteros con las dos operaciones de suma y multiplicación.
• Los números racionales, reales y complejos son anillos conmutativos de un tipo llamado campos .
• Un álgebra asociativa unitaria sobre un anillo conmutativo R es en sí misma un anillo y también un módulo R. Algunos ejemplos:
  • El álgebra R [ X ] de polinomios con coeficientes en R .
  • El álgebra de series de potencias formales con coeficientes en R .${\displaystyle R[[X_{1},\dots ,X_{n}]]}$
  • El conjunto de todas las funciones continuas de valor real definidas en la recta real forma un álgebra conmutativa . Las operaciones son la suma y la multiplicación puntual de funciones.${\displaystyle \mathbb {R} }$
  • Sea X un conjunto y R un anillo. Entonces el conjunto de todas las funciones desde X hasta R forma un anillo, que es conmutativo si R es conmutativo.
• El anillo de los números enteros cuadráticos , el cierre integral de ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ en una extensión cuadrática de ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ Es un subanillo del anillo de todos los números enteros algebraicos .
• El anillo de los enteros profinitos ⁠ ⁠${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }},}$ el producto (infinito) de los anillos de los enteros p -ádicos ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ sobre todos los números primos p .
• El anillo de Hecke , el anillo generado por los operadores de Hecke.
• Si S es un conjunto, entonces el conjunto potencia de S se convierte en un anillo si definimos la suma como la diferencia simétrica de conjuntos y la multiplicación como la intersección . Este es un ejemplo de un anillo booleano .

• Para cualquier anillo R y cualquier número natural n , el conjunto de todas las matrices cuadradas n por n con entradas de R , forma un anillo con adición de matrices y multiplicación de matrices como operaciones. Para n = 1 , este anillo de matrices es isomorfo al propio R. Para n > 1 (y R no es el anillo cero), este anillo de matrices es no conmutativo.
• Si G es un grupo abeliano , entonces los endomorfismos de G forman un anillo, el anillo de endomorfismos End( G ) de  G. Las operaciones en este anillo son adición y composición de endomorfismos. De manera más general, si V es un módulo izquierdo sobre un anillo R , entonces el conjunto de todas las funciones R -lineales forma un anillo, también llamado anillo de endomorfismos y denotado por End _R ( V ) .
• Anillo de endomorfismo de una curva elíptica . Es un anillo conmutativo si la curva elíptica está definida sobre un cuerpo de característica cero.
• Si G es un grupo y R es un anillo, el anillo de grupo de G sobre R es un módulo libre sobre R que tiene como base a G. La multiplicación se define por las reglas según las cuales los elementos de G conmutan con los elementos de R y se multiplican entre sí como lo hacen en el grupo G.
• El anillo de operadores diferenciales (dependiendo del contexto). De hecho, muchos anillos que aparecen en el análisis son no conmutativos. Por ejemplo, la mayoría de las álgebras de Banach son no conmutativas.

• El conjunto de los números naturales ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$ con las operaciones usuales no es un anillo, ya que ⁠ ⁠${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ ni siquiera es un grupo (no todos los elementos son invertibles con respecto a la adición – por ejemplo, no hay ningún número natural que pueda sumarse a 3 para obtener 0 como resultado). Hay una manera natural de ampliarlo a un anillo, incluyendo números negativos para producir el anillo de los números enteros ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Los números naturales (incluido el 0 ) forman una estructura algebraica conocida como semianillo (que tiene todos los axiomas de un anillo excluyendo el de un inverso aditivo).
• Sea R el conjunto de todas las funciones continuas en la línea real que se desvanecen fuera de un intervalo acotado que depende de la función, con adición como de costumbre pero con multiplicación definida como convolución : Entonces R es un rng, pero no un anillo: la función delta de Dirac tiene la propiedad de una identidad multiplicativa, pero no es una función y , por lo tanto, no es un elemento de  R.$${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy.}$$

Para cada entero no negativo n , dada una secuencia de n elementos de R , se puede definir el producto recursivamente: sea P ₀ = 1 y sea P _m = P _{m −1} a _m para 1 ≤ m ≤ n .${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}}$

Como caso especial, se pueden definir potencias enteras no negativas de un elemento a de un anillo: a ⁰ = 1 y a ⁿ = a ^{n −1} a para n ≥ 1 . Entonces a ^{m + n} = a ^m a ⁿ para todo m , n ≥ 0 .

Un divisor de cero izquierdo de un anillo R es un elemento a en el anillo tal que existe un elemento b distinto de cero de R tal que ab = 0. [ ^d] Un divisor de cero derecho se define de manera similar.

Un elemento nilpotente es un elemento a tal que a ⁿ = 0 para algún n > 0. Un ejemplo de un elemento nilpotente es una matriz nilpotente . Un elemento nilpotente en un anillo distinto de cero es necesariamente un divisor de cero.

Un idempotente es un elemento tal que e ² = e . Un ejemplo de un elemento idempotente es una proyección en álgebra lineal.${\displaystyle e}$

Una unidad es un elemento a que tiene un inverso multiplicativo ; en este caso, el inverso es único y se denota por a ^–1 . El conjunto de unidades de un anillo es un grupo bajo la multiplicación de anillos; este grupo se denota por R ^× o R * o U ( R ) . Por ejemplo, si R es el anillo de todas las matrices cuadradas de tamaño n sobre un cuerpo, entonces R ^× consiste en el conjunto de todas las matrices invertibles de tamaño n y se llama grupo lineal general .

Un subconjunto S de R se denomina subanillo si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

• La suma y multiplicación de R se restringen para dar operaciones S × S → S, lo que hace que S sea un anillo con la misma identidad multiplicativa que  R.
• 1 ∈ S ; y para todos los x, y en S , los elementos xy , x + y y −x están en  S .
• S puede equiparse con operaciones que lo convierten en un anillo tal que el mapa de inclusión S → R es un homomorfismo de anillo.

Por ejemplo, el anillo ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ de números enteros es un subanillo del cuerpo de números reales y también un subanillo del anillo de polinomios ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ (en ambos casos, ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ contiene 1, que es la identidad multiplicativa de los anillos más grandes). Por otro lado, el subconjunto de números enteros pares ⁠ ⁠${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ no contiene el elemento identidad 1 y, por lo tanto, no califica como un subanillo de  ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} ;}$ sin embargo, se podría llamar ⁠ ⁠${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ un subanillo .

Una intersección de subanillos es un subanillo. Dado un subconjunto E de R , el subanillo más pequeño de R que contiene a E es la intersección de todos los subanillos de R que contienen  a E , y se denomina subanillo generado por  E .

Para un anillo R , el subanillo más pequeño de R se denomina subanillo característico de R . Se puede generar mediante la adición de copias de 1 y  −1 . Es posible que n · 1 = 1 + 1 + ... + 1 ( n veces) pueda ser cero. Si n es el entero positivo más pequeño tal que esto ocurre, entonces n se denomina la característica de  R . En algunos anillos, n · 1 nunca es cero para ningún entero positivo n , y se dice que esos anillos tienen característica cero .

Dado un anillo R , sea Z( R ) el conjunto de todos los elementos x en R tales que x conmuta con cada elemento en R : xy = yx para cualquier y en  R . Entonces Z( R ) es un subanillo de  R , llamado centro de  R . De manera más general, dado un subconjunto X de  R , sea S el conjunto de todos los elementos en R que conmutan con cada elemento en  X . Entonces S es un subanillo de  R , llamado centralizador (o conmutante) de  X . El centro es el centralizador de todo el anillo  R . Se dice que los elementos o subconjuntos del centro son centrales en  R ; ellos (cada uno individualmente) generan un subanillo del centro.

Sea R un anillo. Un ideal izquierdo de R es un subconjunto no vacío I de R tal que para cualquier x, y en I y r en R , los elementos x + y y rx están en I . Si RI denota el R -span de I , es decir, el conjunto de sumas finitas

${\displaystyle r_{1}x_{1}+\cdots +r_{n}x_{n}\quad {\textrm {such}}\;{\textrm {that}}\;r_{i}\in R\;{\textrm {and}}\;x_{i}\in I,}$

entonces I es un ideal izquierdo si RI ⊆ I . De manera similar, un ideal derecho es un subconjunto I tal que IR ⊆ I . Se dice que un subconjunto I es un ideal bilateral o simplemente ideal si es tanto un ideal izquierdo como un ideal derecho. Un ideal unilateral o bilateral es entonces un subgrupo aditivo de R . Si E es un subconjunto de R , entonces RE es un ideal izquierdo, llamado el ideal izquierdo generado por E ; es el ideal izquierdo más pequeño que contiene a E . De manera similar, se puede considerar el ideal derecho o el ideal bilateral generado por un subconjunto de R .

Si x está en R , entonces Rx y xR son ideales izquierdos e ideales derechos, respectivamente; se denominan ideales izquierdos e ideales derechos principales generados por x . El ideal principal RxR se escribe como ( x ) . Por ejemplo, el conjunto de todos los múltiplos positivos y negativos de 2 junto con 0 forman un ideal de los números enteros, y este ideal es generado por el número entero  2 . De hecho, todo ideal del anillo de números enteros es principal.

Al igual que un grupo, se dice que un anillo es simple si es distinto de cero y no tiene ideales bilaterales propios distintos de cero. Un anillo simple conmutativo es precisamente un cuerpo.

Los anillos se estudian a menudo con condiciones especiales establecidas sobre sus ideales. Por ejemplo, un anillo en el que no hay una cadena infinita estrictamente creciente de ideales izquierdos se llama anillo noetheriano izquierdo . Un anillo en el que no hay una cadena infinita estrictamente decreciente de ideales izquierdos se llama anillo artiniano izquierdo . Es un hecho un tanto sorprendente que un anillo artiniano izquierdo sea noetheriano izquierdo (el teorema de Hopkins-Levitzki ). Los números enteros, sin embargo, forman un anillo noetheriano que no es artiniano.

Para los anillos conmutativos, los ideales generalizan la noción clásica de divisibilidad y descomposición de un entero en números primos en álgebra. Un ideal propio P de R se llama ideal primo si para cualquier elemento tenemos que implica o Equivalentemente, P es primo si para cualquier ideal I , J tenemos que IJ ⊆ P implica I ⊆ P o J ⊆ P . Esta última formulación ilustra la idea de los ideales como generalizaciones de elementos.${\displaystyle x,y\in R}$${\displaystyle xy\in P}$${\displaystyle x\in P}$${\displaystyle y\in P.}$

Un homomorfismo de un anillo ( R , +, ⋅ ) a un anillo ( S , ‡, ∗) es una función f de R a  S que preserva las operaciones del anillo; es decir, tal que, para todo a , b en R se cumplen las siguientes identidades:

${\displaystyle {\begin{aligned}&f(a+b)=f(a)\ddagger f(b)\\&f(a\cdot b)=f(a)*f(b)\\&f(1_{R})=1_{S}\end{aligned}}}$

Si se trabaja con generadores de números aleatorios (RNG), se descarta la tercera condición.

Se dice que un homomorfismo de anillo f es un isomorfismo si existe un homomorfismo inverso a f (es decir, un homomorfismo de anillo que es una función inversa ), o equivalentemente si es biyectivo .

Ejemplos:

• La función que asigna cada entero x a su resto módulo 4 (un número en {0, 1, 2, 3} ) es un homomorfismo del anillo ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ al anillo cociente ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ (el "anillo cociente" se define más abajo).
• Si u es un elemento unitario en un anillo R , entonces es un homomorfismo de anillo, llamado automorfismo interno de R .${\displaystyle R\to R,x\mapsto uxu^{-1}}$
• Sea R un anillo conmutativo de característica prima p . Entonces x ↦ x ^p es un endomorfismo de anillo de R llamado homomorfismo de Frobenius .
• El grupo de Galois de una extensión de campo L / K es el conjunto de todos los automorfismos de L cuyas restricciones a K son la identidad.
• Para cualquier anillo R , hay un homomorfismo de anillo único ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} \mapsto R}$ y un homomorfismo de anillo único R → 0 .
• Un epimorfismo (es decir, un morfismo cancelable por la derecha) de anillos no necesita ser sobreyectivo. Por ejemplo, la función única ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} }$ es un epimorfismo.
• Un homomorfismo de álgebra de un k -álgebra al álgebra de endomorfismo de un espacio vectorial sobre k se denomina representación del álgebra .

Dado un homomorfismo de anillo f  : R → S , el conjunto de todos los elementos mapeados a 0 por f se llama núcleo de  f . El núcleo es un ideal bilateral de  R . La imagen de  f , por otra parte, no siempre es un ideal, pero siempre es un subanillo de  S .

Dar un homomorfismo de anillo de un anillo conmutativo R a un anillo A con imagen contenida en el centro de A es lo mismo que dar una estructura de un álgebra sobre R a  A (que en particular da una estructura de un A -módulo).

La noción de anillo cociente es análoga a la noción de grupo cociente . Dado un anillo ( R , +, ⋅ ) y un ideal bilateral I de ( R , +, ⋅ ) , considere I como subgrupo de ( R , +) ; entonces el anillo cociente R / I es el conjunto de clases laterales de I junto con las operaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\\&(a+I)(b+I)=(ab)+I.\end{aligned}}}$

para todo a , b en R . El anillo R / I también se llama anillo de factores .

Al igual que en el caso de un grupo cociente, existe un homomorfismo canónico p  : R → R / I , dado por x ↦ x + I . Es sobreyectivo y satisface la siguiente propiedad universal:

• Si f  : R → S es un homomorfismo de anillo tal que f ( I ) = 0 , entonces existe un homomorfismo único tal que${\displaystyle {\overline {f}}:R/I\to S}$${\displaystyle f={\overline {f}}\circ p.}$

Para cualquier homomorfismo de anillo f  : R → S , invocar la propiedad universal con I = ker f produce un homomorfismo que da un isomorfismo de R / ker f a la imagen de f .${\displaystyle {\overline {f}}:R/\ker f\to S}$

El concepto de módulo sobre un anillo generaliza el concepto de espacio vectorial (sobre un cuerpo ) generalizando desde la multiplicación de vectores con elementos de un cuerpo ( multiplicación escalar ) a la multiplicación con elementos de un anillo. Más precisamente, dado un anillo R , un R -módulo M es un grupo abeliano equipado con una operación R × M → M (asociar un elemento de M a cada par de un elemento de R y un elemento de M ) que satisface ciertos axiomas . Esta operación se denota comúnmente por yuxtaposición y se llama multiplicación. Los axiomas de los módulos son los siguientes: para todo a , b en R y todo x , y en M ,

M es un grupo abeliano bajo adición.

${\displaystyle {\begin{aligned}&a(x+y)=ax+ay\\&(a+b)x=ax+bx\\&1x=x\\&(ab)x=a(bx)\end{aligned}}}$

Cuando el anillo no es conmutativo , estos axiomas definen módulos izquierdos ; los módulos derechos se definen de manera similar escribiendo xa en lugar de ax . Esto no es solo un cambio de notación, ya que el último axioma de módulos derechos (es decir, x ( ab ) = ( xa ) b ) se convierte en ( ab ) x = b ( ax ) , si se utiliza la multiplicación izquierda (por elementos del anillo) para un módulo derecho.

Ejemplos básicos de módulos son los ideales, incluido el propio anillo.

Aunque definida de forma similar, la teoría de módulos es mucho más complicada que la de los espacios vectoriales, principalmente porque, a diferencia de los espacios vectoriales, los módulos no se caracterizan (salvo un isomorfismo) por un único invariante (la dimensión de un espacio vectorial ). En particular, no todos los módulos tienen una base .

Los axiomas de módulos implican que (−1) x = − x , donde el primer signo menos denota el inverso aditivo en el anillo y el segundo signo menos el inverso aditivo en el módulo. El uso de esto y la representación de la adición repetida mediante una multiplicación por un entero positivo permiten identificar grupos abelianos con módulos sobre el anillo de números enteros.

Todo homomorfismo de anillo induce una estructura de módulo: si f  : R → S es un homomorfismo de anillo, entonces S es un módulo izquierdo sobre R por la multiplicación: rs = f ( r ) s . Si R es conmutativo o si f ( R ) está contenido en el centro de S , el anillo S se denomina R - álgebra . En particular, todo anillo es un álgebra sobre los números enteros.

Sean R y S anillos. Entonces el producto R × S puede estar dotado de la siguiente estructura de anillo natural:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2})=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})\\&(r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})=(r_{1}\cdot r_{2},s_{1}\cdot s_{2})\end{aligned}}}$

para todos r ₁ , r ₂ en R y s ₁ , s ₂ en  S . El anillo R × S con las operaciones anteriores de adición y multiplicación y la identidad multiplicativa (1, 1) se llama producto directo de R con  S . La misma construcción también funciona para una familia arbitraria de anillos: si R _i son anillos indexados por un conjunto I , entonces es un anillo con adición y multiplicación por componentes.${\textstyle \prod _{i\in I}R_{i}}$

Sea R un anillo conmutativo y sean ideales tales que siempre que i ≠ j . Entonces el teorema del resto chino dice que hay un isomorfismo de anillo canónico:${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\cdots ,{\mathfrak {a}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)}$$${\displaystyle R/{\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{{\mathfrak {a}}_{i}}}\simeq \prod _{i=1}^{n}{R/{\mathfrak {a}}_{i}},\qquad x{\bmod {\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}}}\mapsto (x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{1},\ldots ,x{\bmod {\mathfrak {a}}}_{n}).}$$

Un producto directo "finito" también puede verse como una suma directa de ideales. ^[36] Es decir, sean anillos, las inclusiones con las imágenes (en particular son anillos aunque no subanillos). Entonces son ideales de R y como una suma directa de grupos abelianos (porque para los grupos abelianos los productos finitos son lo mismo que las sumas directas). Claramente la suma directa de tales ideales también define un producto de anillos que es isomorfo a  R . De manera equivalente, lo anterior se puede hacer a través de idempotentes centrales . Supongamos que R tiene la descomposición anterior. Entonces podemos escribir Por las condiciones en uno tiene que e _i son idempotentes centrales y e _i e _j = 0 , i ≠ j (ortogonal). Nuevamente, uno puede invertir la construcción. Es decir, si uno tiene una partición de 1 en idempotentes centrales ortogonales, entonces sean que son ideales bilaterales. Si cada e _i no es una suma de idempotentes centrales ortogonales, ^[e] entonces su suma directa es isomorfa a  R .${\displaystyle R_{i},1\leq i\leq n}$${\textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$$${\displaystyle R={\mathfrak {a}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {a}}_{n},\quad {\mathfrak {a}}_{i}{\mathfrak {a}}_{j}=0,i\neq j,\quad {\mathfrak {a}}_{i}^{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{i}}$$$${\displaystyle 1=e_{1}+\cdots +e_{n},\quad e_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}.}$$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i},}$

Una aplicación importante de un producto directo infinito es la construcción de un límite proyectivo de anillos (véase más adelante). Otra aplicación es un producto restringido de una familia de anillos (véase el anillo de Adele ).

Dado un símbolo t (llamado variable) y un anillo conmutativo  R , el conjunto de polinomios

${\displaystyle R[t]=\left\{a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\dots +a_{1}t+a_{0}\mid n\geq 0,a_{j}\in R\right\}}$

forma un anillo conmutativo con la adición y multiplicación habituales, que contiene R como subanillo. Se denomina anillo polinómico sobre  R. De manera más general, el conjunto de todos los polinomios en variables forma un anillo conmutativo, que contiene como subanillos.${\displaystyle R\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$${\displaystyle R\left[t_{i}\right]}$

Si R es un dominio integral , entonces R [ t ] es también un dominio integral; su campo de fracciones es el campo de funciones racionales . Si R es un anillo noetheriano, entonces R [ t ] es un anillo noetheriano. Si R es un dominio de factorización único, entonces R [ t ] es un dominio de factorización único. Finalmente, R es un campo si y solo si R [ t ] es un dominio ideal principal.

Sean anillos conmutativos. Dado un elemento x de  S , se puede considerar el homomorfismo de anillos${\displaystyle R\subseteq S}$

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto f(x)}$

(es decir, la sustitución ). Si S = R [ t ] y x = t , entonces f ( t ) = f . Debido a esto, el polinomio f a menudo también se denota por f ( t ) . La imagen de la función ⁠ ⁠${\displaystyle f\mapsto f(x)}$ se denota por R [ x ] ; es lo mismo que el subanillo de S generado por R y  x .

Ejemplo: denota la imagen del homomorfismo${\displaystyle k\left[t^{2},t^{3}\right]}$

${\displaystyle k[x,y]\to k[t],\,f\mapsto f\left(t^{2},t^{3}\right).}$

En otras palabras, es la subálgebra de k [ t ] generada por t ² y  t ³ .

Ejemplo: sea f un polinomio de una variable, es decir, un elemento de un anillo de polinomios R . Entonces f ( x + h ) es un elemento de R [ h ] y f ( x + h ) – f ( x ) es divisible por h en ese anillo. El resultado de sustituir cero en h en ( f ( x + h ) – f ( x )) / h es f' ( x ) , la derivada de f en  x .

La sustitución es un caso especial de la propiedad universal de un anillo polinomial. La propiedad establece: dado un homomorfismo de anillo y un elemento x en S existe un único homomorfismo de anillo tal que y se restringe a ϕ . ^[37] Por ejemplo, al elegir una base, un álgebra simétrica satisface la propiedad universal y, por lo tanto, es un anillo polinomial.${\displaystyle \phi :R\to S}$${\displaystyle {\overline {\phi }}:R[t]\to S}$${\displaystyle {\overline {\phi }}(t)=x}$${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

Para dar un ejemplo, sea S el anillo de todas las funciones desde R hasta sí mismo; la adición y la multiplicación son las de las funciones. Sea x la función identidad. Cada r en R define una función constante, dando lugar al homomorfismo R → S . La propiedad universal dice que esta función se extiende de forma única a

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto {\overline {f}}}$

( t se asigna a x ) donde es la función polinómica definida por f . La función resultante es inyectiva si y solo si R es infinito.${\displaystyle {\overline {f}}}$

Dado un polinomio mónico no constante f en R [ t ] , existe un anillo S que contiene a R tal que f es un producto de factores lineales en S [ t ] . ^[38]

Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. El teorema de los ceros de Hilbert establece que existe una correspondencia biunívoca natural entre el conjunto de todos los ideales primos en y el conjunto de subvariedades cerradas de k ⁿ . En particular, muchos problemas locales de geometría algebraica pueden abordarse mediante el estudio de los generadores de un ideal en un anillo de polinomios (cf. base de Gröbner ) .${\displaystyle k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$

Existen otras construcciones relacionadas. Un anillo de series de potencias formales consta de series de potencias formales${\displaystyle R[\![t]\!]}$

${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }a_{i}t^{i},\quad a_{i}\in R}$

junto con la multiplicación y la suma que imitan las de las series convergentes. Contiene R [ t ] como subanillo. Un anillo de serie de potencias formal no tiene la propiedad universal de un anillo polinomial; una serie puede no converger después de una sustitución. La ventaja importante de un anillo de serie de potencias formal sobre un anillo polinomial es que es local (de hecho, completo ).

Sea R un anillo (no necesariamente conmutativo). El conjunto de todas las matrices cuadradas de tamaño n con entradas en R forma un anillo con la adición entrada por entrada y la multiplicación matricial habitual. Se llama anillo de matrices y se denota por M _n ( R ) . Dado un R -módulo derecho U , el conjunto de todas las aplicaciones R -lineales de U a sí mismo forma un anillo con adición que es de función y multiplicación que es de composición de funciones ; se llama anillo de endomorfismo de U y se denota por End _R ( U ) .

Al igual que en el álgebra lineal, un anillo matricial puede interpretarse canónicamente como un anillo de endomorfismo: Este es un caso especial del siguiente hecho: Si es una función R -lineal, entonces f puede escribirse como una matriz con entradas f _ij en S = End _R ( U ) , lo que resulta en el isomorfismo de anillo:${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R).}$${\displaystyle f:\oplus _{1}^{n}U\to \oplus _{1}^{n}U}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(\oplus _{1}^{n}U)\to \operatorname {M} _{n}(S),\quad f\mapsto (f_{ij}).}$

Cualquier homomorfismo de anillo R → S induce M _n ( R ) → M _n ( S ) . ^[39]

El lema de Schur dice que si U es un R -módulo recto simple, entonces End _R ( U ) es un anillo de división. ^[40] Si es una suma directa de m _i -copias de R -módulos simples entonces${\displaystyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}}$${\displaystyle U_{i},}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i})).}$

El teorema de Artin-Wedderburn establece que cualquier anillo semisimple (véase más abajo) tiene esta forma.

Un anillo R y el anillo matricial M _n ( R ) sobre él son equivalentes de Morita : la categoría de módulos rectos de R es equivalente a la categoría de módulos rectos sobre M _n ( R ) . ^[39] En particular, los ideales bilaterales en R corresponden en relación uno a uno a los ideales bilaterales en M _n ( R ) .

Sea R _i una secuencia de anillos tal que R _i es un subanillo de R _{i + 1} para todo i . Entonces la unión (o colimite filtrado ) de R _i es el anillo definido de la siguiente manera: es la unión disjunta de todos los R _i módulo la relación de equivalencia x ~ y si y solo si x = y en R _i para un i suficientemente grande .${\displaystyle \varinjlim R_{i}}$

Ejemplos de colimites:

• Un anillo polinomial con infinitas variables:${\displaystyle R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].}$
• La clausura algebraica de cuerpos finitos de la misma característica${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.}$
• El campo de series formales de Laurent sobre un cuerpo k : (es el campo de fracciones del anillo de series formales de potencias )${\displaystyle k(\!(t)\!)=\varinjlim t^{-m}k[\![t]\!]}$ ${\displaystyle k[\![t]\!].}$
• El campo de funciones de una variedad algebraica sobre un campo k es donde el límite recorre todos los anillos de coordenadas k [ U ] de subconjuntos abiertos no vacíos U (más sucintamente es el tallo del haz de estructura en el punto genérico ).${\displaystyle \varinjlim k[U]}$

Cualquier anillo conmutativo es el colimite de subanillos generados finitamente .

Un límite proyectivo (o un límite filtrado ) de anillos se define de la siguiente manera. Supongamos que se nos da una familia de anillos R _i , i que se ejecuta sobre números enteros positivos, por ejemplo, y homomorfismos de anillos R _j → R _i , j ≥ i tales que R _i → R _i son todas las identidades y R _k → R _j → R _i es R _k → R _i siempre que k ≥ j ≥ i . Entonces es el subanillo de que consiste en ( x _n ) tal que x _j se mapea a x _i bajo R _j → R _i , j ≥ i .${\displaystyle \varprojlim R_{i}}$${\displaystyle \textstyle \prod R_{i}}$

Para un ejemplo de límite proyectivo, véase § Completitud .

La localización generaliza la construcción del cuerpo de fracciones de un dominio integral a un anillo y módulos arbitrarios. Dado un anillo (no necesariamente conmutativo) R y un subconjunto S de R , existe un anillo junto con el homomorfismo de anillo que "invierte" S ; es decir, el homomorfismo asigna elementos en S a elementos unitarios en y, además, cualquier homomorfismo de anillo de R que "invierte" S se factoriza de manera única a través de ^[41] El anillo se denomina localización de R con respecto a S . Por ejemplo, si R es un anillo conmutativo y f un elemento en R , entonces la localización consiste en elementos de la forma (para ser precisos, ) ^[42]${\displaystyle R[S^{-1}]}$${\displaystyle R\to R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right],}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]}$${\displaystyle r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0}$${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]=R[t]/(tf-1).}$

La localización se aplica frecuentemente a un anillo conmutativo R con respecto al complemento de un ideal primo (o una unión de ideales primos) en  R . En ese caso, a menudo se escribe para es entonces un anillo local con el ideal máximo. Esta es la razón de la terminología "localización". El campo de fracciones de un dominio integral R es la localización de R en el cero ideal primo. Si es un ideal primo de un anillo conmutativo  R , entonces el campo de fracciones de es el mismo que el campo de residuos del anillo local y se denota por${\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}},}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle k({\mathfrak {p}}).}$

Si M es un módulo R izquierdo , entonces la localización de M con respecto a S está dada por un cambio de anillos. ${\displaystyle M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M.}$

Las propiedades más importantes de la localización son las siguientes: cuando R es un anillo conmutativo y S un subconjunto multiplicativamente cerrado

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\left[S^{-1}\right]}$es una biyección entre el conjunto de todos los ideales primos en R disjuntos de S y el conjunto de todos los ideales primos en ^[43]${\displaystyle R\left[S^{-1}\right].}$
• ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right],}$ f recorriendo elementos en S con ordenación parcial dada por divisibilidad. ^[44]
• La localización es exacta: es exacta sobre siempre que es exacta sobre  R .$${\displaystyle 0\to M'\left[S^{-1}\right]\to M\left[S^{-1}\right]\to M''\left[S^{-1}\right]\to 0}$$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$
• Por el contrario, si es exacto para cualquier ideal maximalista entonces es exacto.${\displaystyle 0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0}$${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$
• Una observación: la localización no ayuda a demostrar una existencia global. Un ejemplo de esto es que si dos módulos son isomorfos en todos los ideales primos, no se sigue que sean isomorfos. (Una forma de explicar esto es que la localización permite ver un módulo como un haz sobre ideales primos y un haz es inherentemente una noción local).

En teoría de categorías , una localización de una categoría equivale a convertir algunos morfismos en isomorfismos. Un elemento de un anillo conmutativo R puede considerarse como un endomorfismo de cualquier R -módulo. Por lo tanto, categóricamente, una localización de R con respecto a un subconjunto S de R es un funtor de la categoría de R -módulos hacia sí mismo que envía elementos de S vistos como endomorfismos a automorfismos y es universal con respecto a esta propiedad. (Por supuesto, R se mapea entonces a y los R -módulos se mapean a -módulos).${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$

Sea R un anillo conmutativo, y sea I un ideal de  R . La completitud de R en I es el límite proyectivo, es un anillo conmutativo. Los homomorfismos canónicos desde R hasta los cocientes inducen un homomorfismo. El último homomorfismo es inyectivo si R es un dominio integral noetheriano e I es un ideal propio, o si R es un anillo local noetheriano con ideal maximalista I , por el teorema de intersección de Krull . ^[45] La construcción es especialmente útil cuando I es un ideal maximalista.${\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n};}$${\displaystyle R/I^{n}}$${\displaystyle R\to {\hat {R}}.}$

El ejemplo básico es la completitud de ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ en el ideal principal ( p ) generado por un número primo p ; se llama anillo de enteros p -ádicos y se denota ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ La completitud en este caso también se puede construir a partir del valor absoluto p -ádico en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ El valor absoluto p -ádico en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$ es una función de ⁠ ⁠ a ⁠ ⁠ dada por donde denota el exponente de p en la factorización prima de un entero distinto de cero n en números primos (también ponemos y ). Define una función de distancia en ⁠ ⁠ y la completitud de ⁠ ⁠ como un espacio métrico se denota por ⁠ ⁠ Es nuevamente un cuerpo ya que las operaciones de cuerpo se extienden hasta la completitud. El subanillo de ⁠ ⁠ que consiste en elementos x con | x | _p ≤ 1 es isomorfo a  ⁠ ⁠${\displaystyle x\mapsto |x|}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle |n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}}$${\displaystyle v_{p}(n)}$${\displaystyle |0|_{p}=0}$${\displaystyle |m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$

De manera similar, el anillo de series de potencias formales R [{[ t ]}] es la completitud de R [ t ] en ( t ) (véase también el lema de Hensel ).

Un anillo completo tiene una estructura mucho más simple que un anillo conmutativo. Esto se debe al teorema de estructura de Cohen , que dice, a grandes rasgos, que un anillo local completo tiende a parecerse a un anillo de serie de potencias formal o a un cociente de este. Por otra parte, la interacción entre el cierre integral y la completitud ha estado entre los aspectos más importantes que distinguen la teoría moderna de anillos conmutativos de la clásica desarrollada por personas como Noether. Los ejemplos patológicos encontrados por Nagata llevaron a la reexaminación de los roles de los anillos noetherianos y motivaron, entre otras cosas, la definición de anillo excelente .

La forma más general de construir un anillo es especificando generadores y relaciones. Sea F un anillo libre (es decir, álgebra libre sobre los enteros) con el conjunto X de símbolos, es decir, F consiste en polinomios con coeficientes enteros en variables no conmutativas que son elementos de X. Un anillo libre satisface la propiedad universal: cualquier función del conjunto X a un anillo R se factoriza a través de F de modo que F → R es el único homomorfismo de anillo. Al igual que en el caso de grupo, cada anillo puede representarse como un cociente de un anillo libre. ^[46]

Ahora, podemos imponer relaciones entre símbolos en X tomando un cociente. Explícitamente, si E es un subconjunto de F , entonces el anillo cociente de F por el ideal generado por E se llama anillo con generadores X y relaciones E . Si usamos un anillo, digamos, A como anillo base en lugar de ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ entonces el anillo resultante será sobre A . Por ejemplo, si entonces el anillo resultante será el anillo polinomial usual con coeficientes en A en variables que son elementos de X (También es lo mismo que el álgebra simétrica sobre A con símbolos X .)${\displaystyle E=\{xy-yx\mid x,y\in X\},}$

En términos de teoría de categorías, la formación es el funtor adjunto izquierdo del funtor olvidadizo de la categoría de anillos a Conjunto (y a menudo se lo llama funtor de anillo libre).${\displaystyle S\mapsto {\text{the free ring generated by the set }}S}$

Sean A , B álgebras sobre un anillo conmutativo R . Entonces el producto tensorial de R -módulos es una R -álgebra con multiplicación caracterizada por${\displaystyle A\otimes _{R}B}$${\displaystyle (x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv.}$

Un anillo distinto de cero sin divisores de cero distintos de cero se denomina dominio . Un dominio conmutativo se denomina dominio integral . Los dominios integrales más importantes son los dominios ideales principales, PID para abreviar, y los cuerpos. Un dominio ideal principal es un dominio integral en el que cada ideal es principal. Una clase importante de dominios integrales que contienen un PID es un dominio de factorización única (UFD), un dominio integral en el que cada elemento no unitario es un producto de elementos primos (un elemento es primo si genera un ideal primo ). La pregunta fundamental en la teoría de números algebraicos es hasta qué punto el anillo de números enteros (generalizados) en un cuerpo de números , donde un "ideal" admite la factorización prima, no es un PID.

Entre los teoremas relativos a un PID, el más importante es el teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal . El teorema puede ilustrarse con la siguiente aplicación al álgebra lineal. ^[47] Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo k y f  : V → V una función lineal con polinomio mínimo q . Entonces, dado que k [ t ] es un dominio de factorización único, q se factoriza en potencias de polinomios irreducibles distintos (es decir, elementos primos):$${\displaystyle q=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{s}^{e_{s}}.}$$

Dejando que hagamos V un k [ t ] -módulo. El teorema de estructura dice entonces que V es una suma directa de módulos cíclicos , cada uno de los cuales es isomorfo al módulo de la forma Ahora, si entonces dicho módulo cíclico (para p _i ) tiene una base en la que la restricción de f está representada por una matriz de Jordan . Por lo tanto, si, digamos, k es algebraicamente cerrado, entonces todos los p _i son de la forma t – λ _i y la descomposición anterior corresponde a la forma canónica de Jordan de f .${\displaystyle t\cdot v=f(v),}$${\displaystyle k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right).}$${\displaystyle p_{i}(t)=t-\lambda _{i},}$

En geometría algebraica, los UFD surgen debido a la suavidad. Más precisamente, un punto en una variedad (sobre un cuerpo perfecto) es suave si el anillo local en el punto es un anillo local regular . Un anillo local regular es un UFD. ^[48]

La siguiente es una cadena de inclusiones de clases que describe la relación entre anillos, dominios y campos:

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ campos ⊃ campos algebraicamente cerrados

Un anillo de división es un anillo tal que cada elemento distinto de cero es una unidad. Un anillo de división conmutativo es un cuerpo . Un ejemplo destacado de un anillo de división que no es un cuerpo es el anillo de cuaterniones . Cualquier centralizador en un anillo de división también es un anillo de división. En particular, el centro de un anillo de división es un cuerpo. Resultó que todo dominio finito (en particular el anillo de división finito) es un cuerpo; en particular conmutativo (el pequeño teorema de Wedderburn ).

Cada módulo sobre un anillo de división es un módulo libre (tiene una base); en consecuencia, gran parte del álgebra lineal se puede realizar sobre un anillo de división en lugar de un cuerpo.

El estudio de las clases de conjugación ocupa un lugar destacado en la teoría clásica de los anillos de división; véase, por ejemplo, el teorema de Cartan-Brauer-Hua .

Un álgebra cíclica , introducida por LE Dickson , es una generalización de un álgebra de cuaterniones .

Un módulo semisimple es una suma directa de módulos simples. Un anillo semisimple es un anillo que es semisimple como un módulo izquierdo (o módulo derecho) sobre sí mismo.

• Un anillo de división es semisimple (y simple ).
• Para cualquier anillo de división D y entero positivo n , el anillo de matrices M _n ( D ) es semisimple (y simple ).
• Para un cuerpo k y un grupo finito G , el anillo de grupo kG es semisimple si y sólo si la característica de k no divide el orden de G ( teorema de Maschke ).
• Las álgebras de Clifford son semisimples.

El álgebra de Weyl sobre un cuerpo es un anillo simple , pero no es semisimple. Lo mismo se aplica a un anillo de operadores diferenciales en muchas variables .

Cualquier módulo sobre un anillo semisimple es semisimple. (Demostración: Un módulo libre sobre un anillo semisimple es semisimple y cualquier módulo es un cociente de un módulo libre.)

Para un anillo R , son equivalentes:

• R es semisimple.
• R es artiniano y semiprimitivo .
• R es un producto directo finito donde cada n _i es un entero positivo y cada D _i es un anillo de división ( teorema de Artin-Wedderburn ).${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$

La semisimplicidad está estrechamente relacionada con la separabilidad. Se dice que un álgebra asociativa unitaria A sobre un cuerpo k es separable si la extensión de base es semisimple para cada extensión de cuerpo F / k . Si A resulta ser un cuerpo, entonces esto es equivalente a la definición usual en la teoría de cuerpos (cf. extensión separable ).${\displaystyle A\otimes _{k}F}$

Para un cuerpo k , una k -álgebra es central si su centro es k y es simple si es un anillo simple . Como el centro de una k -álgebra simple es un cuerpo, cualquier k -álgebra simple es un álgebra simple central sobre su centro. En esta sección, se supone que un álgebra simple central tiene dimensión finita. Además, fijamos principalmente el cuerpo base; por lo tanto, un álgebra se refiere a una k -álgebra. El anillo matricial de tamaño n sobre un anillo R se denotará por R _n .

El teorema de Skolem-Noether establece que cualquier automorfismo de un álgebra central simple es interno.

Se dice que dos álgebras centrales simples A y B son similares si hay números enteros n y m tales que ^[49] Dado que la similitud es una relación de equivalencia. Las clases de similitud [ A ] con la multiplicación forman un grupo abeliano llamado grupo de Brauer de k y se denota por Br( k ) . Por el teorema de Artin-Wedderburn , un álgebra central simple es el anillo matricial de un anillo de división; por lo tanto, cada clase de similitud está representada por un anillo de división único.${\displaystyle A\otimes _{k}k_{n}\approx B\otimes _{k}k_{m}.}$${\displaystyle k_{n}\otimes _{k}k_{m}\simeq k_{nm},}$${\displaystyle [A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]}$

Por ejemplo, Br( k ) es trivial si k es un cuerpo finito o un cuerpo algebraicamente cerrado (más generalmente, un cuerpo cuasi-algebraicamente cerrado ; cf. el teorema de Tsen ). tiene orden 2 (un caso especial del teorema de Frobenius ). Finalmente, si k es un cuerpo local no arquimediano (por ejemplo, ⁠ ⁠ ), entonces a través de la función invariante .${\displaystyle \operatorname {Br} (\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \operatorname {Br} (k)=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

Ahora bien, si F es una extensión de campo de k , entonces la extensión de base induce Br( k ) → Br( F ) . Su núcleo se denota por Br( F / k ) . Consiste en [ A ] tal que es un anillo de matrices sobre F (es decir, A está dividido por F ). Si la extensión es finita y de Galois, entonces Br( F / k ) es canónicamente isomorfo a ^[50]${\displaystyle -\otimes _{k}F}$${\displaystyle A\otimes _{k}F}$${\displaystyle H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right).}$

Las álgebras de Azumaya generalizan la noción de álgebras centrales simples a un anillo local conmutativo.

Si K es un cuerpo, una valuación v es un homomorfismo de grupo desde el grupo multiplicativo K ^∗ a un grupo abeliano totalmente ordenado G tal que, para cualquier f , g en K con f + g distinto de cero, v ( f + g ) ≥ min{ v ( f ), v ( g )}. El anillo de valuación de v es el subanillo de K que consiste en cero y todos los f distintos de cero tales que v ( f ) ≥ 0 .

Ejemplos:

• El cuerpo de la serie formal de Laurent sobre un cuerpo k viene con la valoración v tal que v ( f ) es el menor grado de un término distinto de cero en f ; el anillo de valoración de v es el anillo de la serie de potencias formal${\displaystyle k(\!(t)\!)}$ ${\displaystyle k[\![t]\!].}$
• De manera más general, dado un cuerpo k y un grupo abeliano totalmente ordenado G , sea el conjunto de todas las funciones desde G hasta k cuyos soportes (los conjuntos de puntos en los que las funciones son distintas de cero) están bien ordenados . Es un cuerpo con la multiplicación dada por convolución : También viene con la valoración v tal que v ( f ) es el menor elemento en el soporte de f . El subanillo que consiste en elementos con soporte finito se llama anillo de grupo de G (lo cual tiene sentido incluso si G no es conmutativo). Si G es el anillo de los números enteros, entonces recuperamos el ejemplo anterior (identificando f con la serie cuyo n º coeficiente es  f ( n ) .)${\displaystyle k(\!(G)\!)}$$${\displaystyle (f*g)(t)=\sum _{s\in G}f(s)g(t-s).}$$

Un anillo puede considerarse como un grupo abeliano (mediante la operación de adición), con una estructura adicional: es decir, la multiplicación de anillos. De la misma manera, existen otros objetos matemáticos que pueden considerarse como anillos con una estructura adicional. Por ejemplo:

• Un álgebra asociativa es un anillo que es también un espacio vectorial sobre un cuerpo n tal que la multiplicación escalar es compatible con la multiplicación del anillo. Por ejemplo, el conjunto de matrices n por n sobre el cuerpo real ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ tiene dimensión n ² como espacio vectorial real.
• Un anillo R es un anillo topológico si a su conjunto de elementos R se le da una topología que hace que la función de adición ( ) y la función de multiplicación ⋅ : R × R → R sean ambas continuas como funciones entre espacios topológicos (donde X × X hereda la topología del producto o cualquier otro producto en la categoría). Por ejemplo, a las matrices n -por- n sobre los números reales se les podría dar la topología euclidiana o la topología de Zariski , y en cualquier caso se obtendría un anillo topológico.${\displaystyle +:R\times R\to R}$
• Un anillo λ es un anillo conmutativo R junto con operaciones λ ⁿ : R → R que son como potencias exteriores n :

  ${\displaystyle \lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y).}$

Por ejemplo, ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ es un λ-anillo con coeficientes binomiales . La noción juega un papel central en el enfoque algebraico del teorema de Riemann-Roch .${\displaystyle \lambda ^{n}(x)={\binom {x}{n}},}$

• Un anillo totalmente ordenado es un anillo con un orden total que es compatible con las operaciones del anillo.

Se pueden analizar de forma fructífera muchos tipos diferentes de objetos matemáticos en términos de algún anillo asociado .

A cualquier espacio topológico X se le puede asociar su anillo de cohomología integral

${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X,\mathbb {Z} ),}$

un anillo graduado . También hay grupos de homología de un espacio, y de hecho estos se definieron primero, como una herramienta útil para distinguir entre ciertos pares de espacios topológicos, como las esferas y los toros , para los cuales los métodos de topología de conjuntos puntuales no son adecuados. Los grupos de cohomología se definieron más tarde en términos de grupos de homología de una manera que es aproximadamente análoga al dual de un espacio vectorial . Conocer cada grupo de homología integral individual es esencialmente lo mismo que conocer cada grupo de cohomología integral individual, debido al teorema del coeficiente universal . Sin embargo, la ventaja de los grupos de cohomología es que hay un producto natural , que es análogo a la observación de que uno puede multiplicar puntualmente una forma k - multilineal y una forma l -multilineal para obtener una forma ( k + l )-multilineal.${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )}$

La estructura de anillo en cohomología proporciona la base para las clases características de los haces de fibras , la teoría de intersecciones en variedades y variedades algebraicas , el cálculo de Schubert y mucho más.

A cualquier grupo se le asocia su anillo de Burnside , que utiliza un anillo para describir las diversas formas en que el grupo puede actuar sobre un conjunto finito. El grupo aditivo del anillo de Burnside es el grupo abeliano libre cuya base es el conjunto de acciones transitivas del grupo y cuya adición es la unión disjunta de la acción. Expresar una acción en términos de la base es descomponer una acción en sus constituyentes transitivos. La multiplicación se expresa fácilmente en términos del anillo de representación : la multiplicación en el anillo de Burnside se forma escribiendo el producto tensorial de dos módulos de permutación como un módulo de permutación. La estructura del anillo permite una forma formal de restar una acción de otra. Dado que el anillo de Burnside está contenido como un subanillo de índice finito del anillo de representación, se puede pasar fácilmente de uno a otro extendiendo los coeficientes de los números enteros a los números racionales.

A todo anillo de grupos o álgebra de Hopf se le asocia su anillo de representación o "anillo de Green". El grupo aditivo del anillo de representación es el grupo abeliano libre cuya base son los módulos indecomponibles y cuya adición corresponde a la suma directa. Expresar un módulo en términos de la base es hallar una descomposición indecomponible del módulo. La multiplicación es el producto tensorial. Cuando el álgebra es semisimple, el anillo de representación es justamente el anillo de caracteres de la teoría de caracteres , que es más o menos el grupo de Grothendieck dada una estructura de anillo.

A cualquier variedad algebraica irreducible se le asocia su cuerpo de funciones . Los puntos de una variedad algebraica corresponden a anillos de valoración contenidos en el cuerpo de funciones y que contienen al anillo de coordenadas . El estudio de la geometría algebraica hace un uso intensivo del álgebra conmutativa para estudiar conceptos geométricos en términos de propiedades de la teoría de anillos. La geometría birracional estudia los mapas entre los subanillos del cuerpo de funciones.

Cada complejo simplicial tiene un anillo de caras asociado, también llamado anillo de Stanley-Reisner . Este anillo refleja muchas de las propiedades combinatorias del complejo simplicial, por lo que es de particular interés en la combinatoria algebraica . En particular, la geometría algebraica del anillo de Stanley-Reisner se utilizó para caracterizar el número de caras en cada dimensión de los politopos simpliciales .

Cada anillo puede considerarse como un monoide en Ab , la categoría de los grupos abelianos (pensada como una categoría monoidal bajo el producto tensorial de ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -módulos ). La acción monoide de un anillo R sobre un grupo abeliano es simplemente un R -módulo . Esencialmente, un R -módulo es una generalización de la noción de un espacio vectorial , donde en lugar de un espacio vectorial sobre un cuerpo, se tiene un "espacio vectorial sobre un anillo".

Sea ( A , +) un grupo abeliano y sea End( A ) su anillo de endomorfismos (véase más arriba). Nótese que, esencialmente, End( A ) es el conjunto de todos los morfismos de A , donde si f está en End( A ) , y g está en End( A ) , se pueden usar las siguientes reglas para calcular f + g y f ⋅ g :

${\displaystyle {\begin{aligned}&(f+g)(x)=f(x)+g(x)\\&(f\cdot g)(x)=f(g(x)),\end{aligned}}}$

donde + como en f ( x ) + g ( x ) es adición en A , y la composición de funciones se denota de derecha a izquierda. Por lo tanto, asociado a cualquier grupo abeliano, hay un anillo. A la inversa, dado cualquier anillo, ( R , +, ⋅ ) , ( R , +) es un grupo abeliano. Además, para cada r en R , la multiplicación por la derecha (o por la izquierda) por r da lugar a un morfismo de ( R , +) , por distributividad por la derecha (o por la izquierda). Sea A = ( R , +) . Considérense aquellos endomorfismos de A , que "factorizan mediante" la multiplicación por la derecha (o por la izquierda) de R . En otras palabras, sea End _R ( A ) el conjunto de todos los morfismos m de A , que tienen la propiedad de que m ( r ⋅ x ) = r ⋅ m ( x ) . Se vio que cada r en R da lugar a un morfismo de A : multiplicación derecha por r . De hecho, es cierto que esta asociación de cualquier elemento de R , a un morfismo de A , como función de R a End _R ( A ) , es un isomorfismo de anillos. En este sentido, por lo tanto, cualquier anillo puede verse como el anillo de endomorfismo de algún X -grupo abeliano (por X -grupo, se entiende un grupo con X siendo su conjunto de operadores ). ^[51] En esencia, la forma más general de un anillo, es el grupo de endomorfismo de algún X -grupo abeliano.

Cualquier anillo puede ser visto como una categoría preaditiva con un único objeto. Por lo tanto, es natural considerar que las categorías preaditivas arbitrarias son generalizaciones de anillos. Y, de hecho, muchas definiciones y teoremas dados originalmente para anillos pueden traducirse a este contexto más general. Los funtores aditivos entre categorías preaditivas generalizan el concepto de homomorfismo de anillos, y los ideales en categorías aditivas pueden definirse como conjuntos de morfismos cerrados bajo adición y bajo composición con morfismos arbitrarios.

Los algebristas han definido estructuras más generales que los anillos debilitando o eliminando algunos de los axiomas del anillo.

Un rng es lo mismo que un anillo, excepto que no se supone la existencia de una identidad multiplicativa. ^[52]

Un anillo no asociativo es una estructura algebraica que satisface todos los axiomas del anillo excepto la propiedad asociativa y la existencia de una identidad multiplicativa. Un ejemplo notable es un álgebra de Lie . Existe cierta teoría de la estructura para tales álgebras que generaliza los resultados análogos para las álgebras de Lie y las álgebras asociativas. ^{[ cita requerida ]}

Un semianillo (a veces rig ) se obtiene debilitando el supuesto de que ( R , +) es un grupo abeliano al supuesto de que ( R , +) es un monoide conmutativo, y añadiendo el axioma de que 0 ⋅ a = a ⋅ 0 = 0 para todo a en R (ya que ya no se sigue de los otros axiomas).

Ejemplos:

• los números enteros no negativos con suma y multiplicación ordinaria;${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$
• El semianillo tropical .

Sea C una categoría con productos finitos . Sea pt un objeto terminal de C (un producto vacío). Un objeto de anillo en C es un objeto R equipado con morfismos (adición), (multiplicación), (identidad aditiva), (inverso aditivo) e (identidad multiplicativa) que satisfacen los axiomas de anillo habituales. De manera equivalente, un objeto de anillo es un objeto R equipado con una factorización de su funtor de puntos a través de la categoría de anillos:${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {a}{\to }}\,R}$${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {m}{\to }}\,R}$${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {0}{\to }}\,R}$${\displaystyle R\;{\stackrel {i}{\to }}\,R}$${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {1}{\to }}\,R}$${\displaystyle h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets} }$${\displaystyle C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets} .}$

En geometría algebraica, un esquema de anillo sobre un esquema base S es un objeto de anillo en la categoría de S -esquemas. Un ejemplo es el esquema de anillo W _n sobre ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ , que para cualquier anillo conmutativo A devuelve el anillo W _n ( A ) de vectores de Witt p -isotípicos de longitud n sobre A . ^[53]

En topología algebraica , un espectro en anillo es un espectro X junto con una multiplicación y una función unitaria S → X del espectro esférico S , de modo que los diagramas axiomáticos del anillo conmutan hasta la homotopía. En la práctica, es común definir un espectro en anillo como un objeto monoide en una buena categoría de espectros, como la categoría de espectros simétricos .${\displaystyle \mu :X\wedge X\to X}$

Wikilibros tiene un libro sobre el tema: Álgebra abstracta/Anillos

Tipos especiales de anillos: