Cuasigrupo

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En matemáticas , especialmente en álgebra abstracta , un cuasigrupo es una estructura algebraica que se asemeja a un grupo en el sentido de que siempre es posible la " división ". Los cuasigrupos se diferencian de los grupos principalmente en que las propiedades asociativas y de elemento identidad son opcionales. De hecho, un cuasigrupo asociativo no vacío es un grupo. ^{[1] [2]}

Un cuasigrupo con un elemento identidad se llama bucle .

Existen al menos dos definiciones formales estructuralmente equivalentes de cuasigrupo:

• Se define un cuasigrupo como un conjunto con una operación binaria .
• La otra, del álgebra universal , define un cuasigrupo como aquel que tiene tres operaciones primitivas.

Sin embargo, la imagen homomórfica de un cuasigrupo definido con una sola operación binaria no necesita ser un cuasigrupo. ^[3] Comenzamos con la primera definición.

Un cuasigrupo ( Q , ∗) es un conjunto no vacío Q con una operación binaria ∗ (es decir, un magma , lo que indica que un cuasigrupo tiene que satisfacer la propiedad de clausura), que obedece a la propiedad del cuadrado latino . Esta establece que, para cada a y b en Q , existen elementos únicos x e y en Q tales que ambos

a ∗ x = b

y ∗ a = b

sostener. (En otras palabras: cada elemento del conjunto aparece exactamente una vez en cada fila y exactamente una vez en cada columna de la tabla de multiplicación del cuasigrupo, o tabla de Cayley . Esta propiedad asegura que la tabla de Cayley de un cuasigrupo finito, y, en particular, de un grupo finito, sea un cuadrado latino .) El requisito de que x e y sean únicos puede reemplazarse por el requisito de que el magma sea cancelativo . ^{[4] [a]}

Las soluciones únicas de estas ecuaciones se escriben x = a \ b e y = b / a . Las operaciones '\' y '/' se denominan, respectivamente, división por la izquierda y división por la derecha . Con respecto a la tabla de Cayley, la primera ecuación (división por la izquierda) significa que la entrada b en la fila a está en la columna x mientras que la segunda ecuación (división por la derecha) significa que la entrada b en la columna a está en la fila y .

El conjunto vacío dotado de la operación binaria vacía satisface esta definición de cuasigrupo. Algunos autores aceptan el cuasigrupo vacío pero otros lo excluyen explícitamente. ^{[5] [6]}

Dada una estructura algebraica , una identidad es una ecuación en la que todas las variables están cuantificadas universalmente de forma tácita y en la que todas las operaciones se encuentran entre las operaciones primitivas propias de la estructura. Las estructuras algebraicas que satisfacen axiomas que están dados únicamente por identidades se denominan variedad . Muchos resultados estándar en álgebra universal se cumplen únicamente para variedades. Los cuasigrupos forman una variedad si se toman como primitivas las divisiones por la izquierda y por la derecha.

Un cuasigrupo derecho ( Q , ∗, /) es un álgebra de tipo (2, 2) que satisface ambas identidades:

y = ( y / x ) ∗ x

y = ( y ∗ x ) / x .

Un cuasigrupo izquierdo ( Q , ∗, \) es un álgebra de tipo (2, 2) que satisface ambas identidades:

y = x ∗ ( x \ y )

y = x \ ( x ∗ y ).

Un cuasigrupo ( Q , ∗, \, /) es un álgebra de tipo (2, 2, 2) (es decir, equipada con tres operaciones binarias) que satisfacen las identidades: ^[b]

y = ( y / x ) ∗ x

y = ( y ∗ x ) / x

y = x ∗ ( x \ y )

y = x \ ( x ∗ y ).

En otras palabras: la multiplicación y la división en cualquier orden, una después de la otra, en el mismo lado por el mismo elemento, no tienen efecto neto.

Por lo tanto, si ( Q , ∗) es un cuasigrupo según la definición de la sección anterior, entonces ( Q , ∗, \, /) es el mismo cuasigrupo en el sentido del álgebra universal. Y viceversa: si ( Q , ∗, \, /) es un cuasigrupo según el sentido del álgebra universal, entonces ( Q , ∗) es un cuasigrupo según la primera definición.

Un bucle es un cuasigrupo con un elemento identidad ; es decir, un elemento, e , tal que

x ∗ e = x y e ∗ x = x para todo x en Q .

De ello se deduce que el elemento identidad, e , es único, y que cada elemento de Q tiene inversas izquierda y derecha únicas (que no necesitan ser iguales).

Un cuasigrupo con un elemento idempotente se llama pique ("cuasigrupo idempotente puntiagudo"); esta es una noción más débil que la de bucle pero común de todos modos porque, por ejemplo, dado un grupo abeliano , ( A , +) , tomar su operación de resta como multiplicación de cuasigrupo produce un pique ( A , −) con la identidad de grupo (cero) convertida en un "idempotente puntiagudo". (Es decir, hay una isotopía principal ( x , y , z ) ↦ ( x , − y , z ) .)

Un bucle asociativo es un grupo. Un grupo puede tener un isótopo de pique estrictamente no asociativo, pero no puede tener un isótopo de bucle estrictamente no asociativo.

Hay propiedades de asociatividad más débiles a las que se les han dado nombres especiales.

Por ejemplo, un bucle Bol es un bucle que satisface:

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = ( x ∗ ( y ∗ x )) ∗ z      para cada x , y y z en Q (un bucle Bol izquierdo ),

si no

(( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x = z ∗ (( x ∗ y ) ∗ x ) para cada x , y y z en Q (un bucle Bol derecho ).

Un bucle que es tanto un bucle de Bol izquierdo como uno derecho es un bucle de Moufang . Esto es equivalente a cualquiera de las siguientes identidades simples de Moufang que se cumplen para todos los x , y , z :

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = (( x ∗ y ) ∗ x ) ∗ z ,

z ∗ ( x ∗ ( y ∗ x )) = (( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x ,

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = x ∗ (( y ∗ z ) ∗ x ), o

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = ( x ∗ ( y ∗ z )) ∗ x .

Según Jonathan DH Smith, los "bucles" recibieron su nombre del Chicago Loop , ya que sus creadores estaban estudiando cuasigrupos en Chicago en ese momento. ^[9]

(Smith 2007) nombra las siguientes propiedades y subclases importantes:

Un cuasigrupo es semisimétrico si se cumple alguna de las siguientes identidades equivalentes: ^[c]

x ∗ y = y / x

y ∗ x = x \ y

x = ( y ∗ x ) ∗ y

x = y ∗ ( x ∗ y ).

Aunque esta clase puede parecer especial, cada cuasigrupo Q induce un cuasigrupo semisimétrico Q Δ en el cubo del producto directo Q ³ mediante la siguiente operación:

( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ⋅ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) = ( y ₃ / x ₂ , y ₁ \ x ₃ , x ₁ ∗ y ₂ ) = ( x ₂ // y ₃ , x ₃ \\ y ₁ , x ₁ ∗ y ₂ ),

donde "//" y "\\" son las operaciones de división conjugada dadas por y // x = x / y y y \\ x = x \ y .

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Un cuasigrupo puede exhibir trialidad semisimétrica . ^[10]

Una clase más estrecha es un cuasigrupo totalmente simétrico (a veces abreviado como TS-cuasigrupo ) en el que todos los conjugados coinciden como una operación: x ∗ y = x / y = x \ y . Otra forma de definir (la misma noción de) un cuasigrupo totalmente simétrico es como un cuasigrupo semisimétrico que es conmutativo, es decir, x ∗ y = y ∗ x .

Los cuasigrupos simétricos totales idempotentes son precisamente (es decir, en una biyección con) ternas de Steiner , por lo que un cuasigrupo de este tipo también se llama cuasigrupo de Steiner , y a veces este último incluso se abrevia como squag . El término sloop se refiere a un análogo de los bucles, es decir, bucles totalmente simétricos que satisfacen x ∗ x = 1 en lugar de x ∗ x = x . Sin idempotencia, los cuasigrupos simétricos totales corresponden a la noción geométrica de terna de Steiner extendida, también llamada curva cúbica elíptica generalizada (GECC).

Un cuasigrupo ( Q , ∗ ) se llama débilmente totalmente antisimétrico si para todo c , x , y ∈ Q , se cumple la siguiente implicación. ^[11]

( c ∗ x ) ∗ y = ( c ∗ y ) ∗ x implica que x = y .

Un cuasigrupo ( Q , ∗ ) se llama totalmente antisimétrico si, además, para todo x , y ∈ Q , se cumple la siguiente implicación: ^[11]

x ∗ y = y ∗ x implica que x = y .

Esta propiedad es necesaria, por ejemplo, en el algoritmo Damm .

• Todo grupo es un bucle, porque a ∗ x = b si y solo si x = a ⁻¹ ∗ b , e y ∗ a = b si y solo si y = b ∗ a ⁻¹ .
• Los números enteros Z (o los racionales Q o los reales R ) con sustracción (−) forman un cuasigrupo. Estos cuasigrupos no son bucles porque no hay ningún elemento identidad (0 es una identidad derecha porque a − 0 = a , pero no una identidad izquierda porque, en general, 0 − a ≠ a ).
• Los racionales distintos de cero Q ^× (o los reales distintos de cero R ^× ) con división (÷) forman un cuasigrupo.
• Cualquier espacio vectorial sobre un cuerpo de característica no igual a 2 forma un cuasigrupo conmutativo idempotente bajo la operación x ∗ y = ( x + y ) / 2 .
• Todo sistema triple de Steiner define un cuasigrupo conmutativo idempotente : a ∗ b es el tercer elemento del triple que contiene a y b . Estos cuasigrupos también satisfacen ( x ∗ y ) ∗ y = x para todos los x e y en el cuasigrupo. Estos cuasigrupos se conocen como cuasigrupos de Steiner . ^[12]
• El conjunto {±1, ±i, ±j, ±k} donde ii = jj = kk = +1 y con todos los demás productos como en el grupo de cuaterniones forma un bucle no asociativo de orden 8. Véase cuaterniones hiperbólicos para su aplicación. (Los cuaterniones hiperbólicos en sí mismos no forman un bucle o cuasigrupo).
• Los octoniones distintos de cero forman un bucle no asociativo al multiplicarse. Los octoniones son un tipo especial de bucle conocido como bucle de Moufang .
• Un cuasigrupo asociativo está vacío o es un grupo, ya que si hay al menos un elemento, la invertibilidad de la operación binaria del cuasigrupo combinada con la asociatividad implica la existencia de un elemento identidad, lo que implica entonces la existencia de elementos inversos, satisfaciendo así los tres requisitos de un grupo.
• La siguiente construcción se debe a Hans Zassenhaus . Sobre el conjunto subyacente del espacio vectorial de cuatro dimensiones F ^{4 sobre el} campo de Galois de 3 elementos F = Z /3 Z se define

  ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) ∗ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) + ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) + (0, 0, 0, ( x ₃ − y ₃ )( x ₁ y ₂ − x ₂ y ₁ )).

Entonces, ( F ⁴ , ∗) es un bucle de Moufang conmutativo que no es un grupo. ^[13]

• De manera más general, los elementos distintos de cero de cualquier álgebra de división forman un cuasigrupo con la operación de multiplicación en el álgebra.

En el resto del artículo denotaremos la multiplicación de cuasigrupos simplemente por yuxtaposición .

Los cuasigrupos tienen la propiedad de cancelación : si ab = ac , entonces b = c . Esto se deduce de la unicidad de la división por la izquierda de ab o ac por a . De manera similar, si ba = ca , entonces b = c .

La propiedad del cuadrado latino de los cuasigrupos implica que, dadas dos de las tres variables en xy = z , la tercera variable está determinada de forma única.

La definición de un cuasigrupo se puede tratar como condiciones de los operadores de multiplicación izquierdo y derecho L _x , R _x  : Q → Q , definidos por

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}(y)&=xy\\R_{x}(y)&=yx\\\end{aligned}}}$

La definición dice que ambas aplicaciones son biyecciones de Q sobre sí mismo. Un magma Q es un cuasigrupo precisamente cuando todos estos operadores, para cada x en Q , son biyectivos. Las aplicaciones inversas son divisiones izquierda y derecha, es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}^{-1}(y)&=x\backslash y\\R_{x}^{-1}(y)&=y/x\end{aligned}}}$

En esta notación, las identidades entre las operaciones de multiplicación y división del cuasigrupo (establecidas en la sección sobre álgebra universal) son

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}L_{x}^{-1}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x(x\backslash y)&=y\\L_{x}^{-1}L_{x}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x\backslash (xy)&=y\\R_{x}R_{x}^{-1}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (y/x)x&=y\\R_{x}^{-1}R_{x}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (yx)/x&=y\end{aligned}}}$

donde id denota la asignación de identidad en Q.

La tabla de multiplicar de un cuasigrupo finito es un cuadrado latino : una tabla n × n llena de n símbolos diferentes de tal manera que cada símbolo aparece exactamente una vez en cada fila y exactamente una vez en cada columna.

Por el contrario, cada cuadrado latino puede tomarse como la tabla de multiplicación de un cuasigrupo de muchas maneras: la fila del borde (que contiene los encabezados de las columnas) y la columna del borde (que contiene los encabezados de las filas) pueden ser cada una cualquier permutación de los elementos. Véase cuadrados latinos pequeños y cuasigrupos .

Para un cuasigrupo infinito numerable Q , es posible imaginar una matriz infinita en la que cada fila y cada columna corresponde a algún elemento q de Q , y donde el elemento a ∗ b está en la fila correspondiente a a y la columna que responde a b . También en esta situación, la propiedad del cuadrado latino dice que cada fila y cada columna de la matriz infinita contendrá cada valor posible precisamente una vez.

Para un cuasigrupo infinito incontable , como el grupo de números reales distintos de cero bajo multiplicación, la propiedad del cuadrado latino todavía se cumple, aunque el nombre es un tanto insatisfactorio, ya que no es posible producir la matriz de combinaciones a la que se extiende la idea anterior de una matriz infinita, ya que los números reales no pueden escribirse todos en una secuencia . (Sin embargo, esto es un tanto engañoso, ya que los números reales pueden escribirse en una secuencia de longitud , suponiendo el teorema de buen orden .)${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

La operación binaria de un cuasigrupo es invertible en el sentido de que tanto y , los operadores de multiplicación izquierdo y derecho, son biyectivos y, por lo tanto, invertibles .${\displaystyle L_{x}}$${\displaystyle R_{x}}$

Cada elemento del bucle tiene un inverso izquierdo y derecho único dado por

${\displaystyle x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e}$

${\displaystyle x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e}$

Se dice que un bucle tiene inversos ( bilaterales ) si para todo x . En este caso, el elemento inverso se suele denotar por .${\displaystyle x^{\lambda }=x^{\rho }}$${\displaystyle x^{-1}}$

Existen algunas nociones más sólidas de inversas en bucles que suelen ser útiles:

• Un bucle tiene la propiedad inversa izquierda si para todos y . Equivalentemente, o .${\displaystyle x^{\lambda }(xy)=y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle L_{x}^{-1}=L_{x^{\lambda }}}$${\displaystyle x\backslash y=x^{\lambda }y}$
• Un bucle tiene la propiedad inversa derecha si para todos y . Equivalentemente, o .${\displaystyle (yx)x^{\rho }=y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle R_{x}^{-1}=R_{x^{\rho }}}$${\displaystyle y/x=yx^{\rho }}$
• Un bucle tiene la propiedad inversa antiautomórfica si o, equivalentemente, si .${\displaystyle (xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }}$${\displaystyle (xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }}$
• Un bucle tiene la propiedad inversa débil cuando si y solo si . Esto puede expresarse en términos de inversas mediante o equivalentemente .${\displaystyle (xy)z=e}$${\displaystyle x(yz)=e}$${\displaystyle (xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }}$${\displaystyle x(yx)^{\rho }=y^{\rho }}$

Un bucle tiene la propiedad inversa si tiene tanto la propiedad inversa izquierda como la derecha. Los bucles con propiedad inversa también tienen las propiedades antiautomórfica e inversa débil. De hecho, cualquier bucle que satisfaga dos de las cuatro identidades anteriores tiene la propiedad inversa y, por lo tanto, satisface las cuatro.

Cualquier bucle que satisfaga las propiedades inversas izquierda, derecha o antiautomórfica tiene automáticamente inversas bilaterales.

Un homomorfismo de cuasigrupo o de bucle es una función f  : Q → P entre dos cuasigrupos tales que f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) . Los homomorfismos de cuasigrupo necesariamente preservan la división izquierda y derecha, así como los elementos identidad (si existen).

Sean Q y P cuasigrupos. Una homotopía de cuasigrupo de Q a P es un triple ( α , β , γ ) de funciones de Q a P tales que

${\displaystyle \alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy)\,}$

para todo x , y en Q. Un homomorfismo de cuasigrupo es simplemente una homotopía para la cual los tres mapas son iguales.

Una isotopía es una homotopía para la cual cada una de las tres funciones ( α , β , γ ) es una biyección . Dos cuasigrupos son isotópicos si hay una isotopía entre ellos. En términos de cuadrados latinos, una isotopía ( α , β , γ ) está dada por una permutación de filas α , una permutación de columnas β y una permutación en el conjunto de elementos subyacente γ .

Una autotopía es una isotopía de un cuasigrupo a sí mismo. El conjunto de todas las autotopías de un cuasigrupo forma un grupo con el grupo de automorfismos como subgrupo.

Todo cuasigrupo es isotópico a un bucle. Si un bucle es isotópico a un grupo, entonces es isomorfo a ese grupo y, por lo tanto, es en sí mismo un grupo. Sin embargo, un cuasigrupo que es isotópico a un grupo no necesariamente es un grupo. Por ejemplo, el cuasigrupo en R con multiplicación dada por ( x , y ) ↦ ( x + y )/2 es isotópico al grupo aditivo ( R , +) , pero no es en sí mismo un grupo ya que no tiene ningún elemento identidad. Todo cuasigrupo medial es isotópico a un grupo abeliano por el teorema de Bruck-Toyoda .

La división por la izquierda y por la derecha son ejemplos de la formación de un cuasigrupo mediante la permutación de las variables en la ecuación que lo define. A partir de la operación original ∗ (es decir, x ∗ y = z ) podemos formar cinco nuevas operaciones: x o y  := y ∗ x (la operación opuesta ), / y \, y sus opuestos. Esto hace un total de seis operaciones de cuasigrupo, que se denominan conjugadas o parástrofas de ∗. Se dice que dos de estas operaciones cualesquiera son " conjugadas " o "parastróficas" entre sí (y entre sí mismas).

Si el conjunto Q tiene dos operaciones de cuasigrupo, ∗ y ·, y una de ellas es isotópica respecto de un conjugado de la otra, se dice que las operaciones son isóstróficas entre sí. Existen también muchos otros nombres para esta relación de "isóstrofa", por ejemplo, paratopía .

Un cuasigrupo n - ario es un conjunto con una operación n -aria , ( Q , f ), con f  : Qn → Q , ^tal que la ecuación f ( x1 ,..., _xn ) = y tiene una solución única para cualquier variable si todas las otras n variables se especifican arbitrariamente. Poliádico o _multiario significa n - ario para algún entero no negativo n .

Un cuasigrupo 0-ario o nulo es simplemente un elemento constante de Q. Un cuasigrupo 1-ario o unario es una biyección de Q a sí mismo. Un cuasigrupo binario o 2-ario es un cuasigrupo ordinario.

Un ejemplo de un cuasigrupo multiario es una operación iterada de grupo, y = x ₁ · x ₂ · ··· · x _n ; no es necesario utilizar paréntesis para especificar el orden de las operaciones porque el grupo es asociativo. También se puede formar un cuasigrupo multiario realizando cualquier secuencia de operaciones del mismo grupo o cuasigrupo o de diferentes grupos, si se especifica el orden de las operaciones.

Existen cuasigrupos multiarios que no pueden representarse de ninguna de estas formas. Un cuasigrupo n -ario es irreducible si su operación no puede factorizarse en la composición de dos operaciones de la siguiente manera:

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=g(x_{1},\dots ,x_{i-1},\,h(x_{i},\dots ,x_{j}),\,x_{j+1},\dots ,x_{n}),}$

donde 1 ≤ i < j ≤ n y ( i, j ) ≠ (1, n ) . Existen cuasigrupos n -arios irreducibles finitos para todos los n > 2 ; véase Akivis y Goldberg (2001) para más detalles.

Un cuasigrupo n -ario con una versión n -aria de asociatividad se denomina grupo n -ario .

El número de clases de isomorfismo de pequeños cuasigrupos (secuencia A057991 en la OEIS ) y bucles (secuencia A057771 en la OEIS ) se da aquí: ^[14]

• Anillo de división : un anillo en el que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo.
• Semigrupo : estructura algebraica que consiste en un conjunto junto con una operación binaria asociativa.
• Monoide : un semigrupo con un elemento identidad
• Anillo ternario planar : tiene una estructura de bucle aditiva y multiplicativa.
• Problemas en la teoría de bucles y la teoría de cuasigrupos
• Matemáticas del sudoku

• cuasigrupos
• "Cuasi-grupo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]