Campo de números algebraicos

En matemáticas , un cuerpo de números algebraicos (o simplemente cuerpo de números ) es un cuerpo de extensión del cuerpo de números racionales tal que la extensión del cuerpo tiene grado finito (y por lo tanto es una extensión del cuerpo algebraico ). Por lo tanto, es un cuerpo que contiene y tiene dimensión finita cuando se lo considera como un espacio vectorial sobre .${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El estudio de los cuerpos numéricos algebraicos y, en términos más generales, de las extensiones algebraicas del cuerpo de los números racionales es el tema central de la teoría algebraica de números . Este estudio revela estructuras ocultas detrás de los números racionales mediante el uso de métodos algebraicos.

La noción de campo de números algebraicos se basa en el concepto de campo . Un campo consiste en un conjunto de elementos junto con dos operaciones, a saber, adición y multiplicación , y algunos supuestos de distributividad . Estas operaciones convierten el campo en un grupo abeliano bajo la adición, y convierten los elementos distintos de cero del campo en otro grupo abeliano bajo la multiplicación. Un ejemplo destacado de campo es el campo de números racionales , comúnmente denotado como , junto con sus operaciones habituales de adición y multiplicación.${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Otra noción necesaria para definir cuerpos numéricos algebraicos es la de espacios vectoriales . En la medida en que sea necesario, los espacios vectoriales pueden considerarse como compuestos de secuencias (o tuplas )

( x ₁ , x ₂ , …)

cuyas entradas son elementos de un cuerpo fijo, como el cuerpo . Se pueden sumar dos secuencias cualesquiera de estas sumando las entradas correspondientes. Además, todos los miembros de cualquier secuencia se pueden multiplicar por un único elemento c del cuerpo fijo. Estas dos operaciones conocidas como suma vectorial y multiplicación escalar satisfacen una serie de propiedades que sirven para definir espacios vectoriales de forma abstracta. Se permite que los espacios vectoriales sean de " dimensión infinita ", es decir, que las secuencias que constituyen los espacios vectoriales puedan tener una longitud infinita. Sin embargo, si el espacio vectorial consta de secuencias finitas${\displaystyle \mathbb {Q} }$

( x ₁ , x ₂ , …, x _n ),

Se dice que el espacio vectorial es de dimensión finita , n .

Un cuerpo de números algebraicos (o simplemente cuerpo de números ) es una extensión de cuerpo de grado finito del cuerpo de números racionales. Aquí, grado significa la dimensión del cuerpo como un espacio vectorial sobre .${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• El cuerpo numérico más pequeño y básico es el cuerpo de los números racionales. Muchas propiedades de los cuerpos numéricos generales se modelan a partir de las propiedades de . Al mismo tiempo, muchas otras propiedades de los cuerpos numéricos algebraicos son sustancialmente diferentes de las propiedades de los números racionales; un ejemplo notable es que el anillo de los números enteros algebraicos de un cuerpo numérico no es un dominio ideal principal , en general.${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Los racionales gaussianos , denotados (léase " adjuntos "), forman el primer ejemplo (históricamente) no trivial de un cuerpo numérico. Sus elementos son elementos de la forma donde tanto a como b son números racionales e i es la unidad imaginaria . Tales expresiones pueden sumarse, restarse y multiplicarse de acuerdo con las reglas habituales de la aritmética y luego simplificarse utilizando la identidad Explícitamente, para números reales : Los números racionales gaussianos distintos de cero son invertibles , lo que se puede ver a partir de la identidad De ello se deduce que los racionales gaussianos forman un cuerpo numérico que es bidimensional como un espacio vectorial sobre .${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle i}$$${\displaystyle a+bi}$$$${\displaystyle i^{2}=-1.}$$${\displaystyle a,b,c,d}$$${\displaystyle {\begin{matrix}(a+bi)+(c+di)&=&(a+c)+(b+d)i\\(a+bi)\cdot (c+di)&=&(ac-bd)+(ad+bc)i\end{matrix}}}$$$${\displaystyle (a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.}$$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• En términos más generales, para cualquier entero sin cuadrados , el campo cuadrático es un campo numérico que se obtiene al agregar la raíz cuadrada de al campo de números racionales. Las operaciones aritméticas en este campo se definen en analogía con el caso de los números racionales gaussianos, .${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d=-1}$
• El campo ciclotómico donde es un campo numérico obtenido de mediante la adición de una raíz primitiva n-ésima de la unidad . Este campo contiene todas las raíces n- ésimas complejas de la unidad y su dimensión sobre es igual a , donde es la función totiente de Euler .$${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n}),}$$${\displaystyle \zeta _{n}=\exp {(2\pi i/n)}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \varphi (n)}$${\displaystyle \varphi }$

• Los números reales , , y los números complejos , , son cuerpos que tienen dimensión infinita como espacios vectoriales; por lo tanto, no son cuerpos numéricos. Esto se deduce de la imposibilidad de contar y como conjuntos, mientras que todo cuerpo numérico es necesariamente contable .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• El conjunto de pares ordenados de números racionales, con la adición y multiplicación por entradas, es un álgebra conmutativa bidimensional sobre . Sin embargo, no es un cuerpo, ya que tiene divisores de cero :${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(1\cdot 0,0\cdot 1)=(0,0)}$$

En general, en álgebra abstracta , una extensión de campo es algebraica si cada elemento del campo más grande es el cero de un polinomio (distinto de cero) con coeficientes en :${\displaystyle K/L}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$${\displaystyle e_{0},\ldots ,e_{m}}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle p(f)=e_{m}f^{m}+e_{m-1}f^{m-1}+\cdots +e_{1}f+e_{0}=0}$

Toda extensión de campo de grado finito es algebraica. (Demostración: para en , simplemente considere – obtenemos una dependencia lineal, es decir, un polinomio que es raíz de). En particular, esto se aplica a los campos de números algebraicos, por lo que cualquier elemento de un campo de números algebraicos se puede escribir como un cero de un polinomio con coeficientes racionales. Por lo tanto, los elementos de también se denominan números algebraicos . Dado un polinomio tal que , se puede organizar de manera que el coeficiente principal sea uno, dividiendo todos los coeficientes por él, si es necesario. Un polinomio con esta propiedad se conoce como polinomio mónico . En general, tendrá coeficientes racionales. ${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 1,x,x^{2},x^{3},\ldots }$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(f)=0}$${\displaystyle e_{m}}$

Sin embargo, si los coeficientes del polinomio mónico son en realidad todos números enteros, se denomina entero algebraico . ${\displaystyle f}$

Cualquier número entero (usual) es un número entero algebraico, ya que es el cero del polinomio mónico lineal:${\displaystyle z\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle p(t)=t-z}$.

Se puede demostrar que cualquier entero algebraico que también sea un número racional debe ser en realidad un entero, de ahí el nombre de "entero algebraico". De nuevo utilizando el álgebra abstracta, específicamente la noción de un módulo finitamente generado , se puede demostrar que la suma y el producto de dos enteros algebraicos cualesquiera sigue siendo un entero algebraico. De ello se deduce que los enteros algebraicos en forman un anillo denotado llamado el anillo de enteros de . Es un subanillo de (es decir, un anillo contenido en) . Un campo no contiene divisores de cero y esta propiedad es heredada por cualquier subanillo, por lo que el anillo de enteros de es un dominio integral . El campo es el campo de fracciones del dominio integral . De esta manera se puede ir y venir entre el campo de números algebraicos y su anillo de enteros . Los anillos de enteros algebraicos tienen tres propiedades distintivas: en primer lugar, es un dominio integral que está integralmente cerrado en su campo de fracciones . En segundo lugar, es un anillo noetheriano . Finalmente, todo ideal primo distinto de cero de es máximo o, equivalentemente, la dimensión de Krull de este anillo es uno. Un anillo conmutativo abstracto con estas tres propiedades se denomina anillo de Dedekind (o dominio de Dedekind ), en honor a Richard Dedekind , quien emprendió un estudio profundo de los anillos de números enteros algebraicos.${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Para los anillos de Dedekind generales , en particular los anillos de números enteros, existe una factorización única de ideales en un producto de ideales primos . Por ejemplo, el ideal en el anillo de números enteros cuadráticos se factoriza en ideales primos como${\displaystyle (6)}$${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$

${\displaystyle (6)=(2,1+{\sqrt {-5}})(2,1-{\sqrt {-5}})(3,1+{\sqrt {-5}})(3,1-{\sqrt {-5}})}$

Sin embargo, a diferencia del anillo de números enteros de , el anillo de números enteros de una extensión propia de no necesita admitir la factorización única de números en un producto de números primos o, más precisamente, elementos primos . Esto ya sucede para los números enteros cuadráticos , por ejemplo en , la unicidad de la factorización falla:${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}]}$

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})\cdot (1-{\sqrt {-5}})}$

Usando la norma se puede demostrar que estas dos factorizaciones son en realidad inequivalentes en el sentido de que los factores no sólo difieren en una unidad en . Los dominios euclidianos son dominios de factorización únicos; por ejemplo , el anillo de enteros gaussianos , y , el anillo de enteros de Eisenstein , donde es una raíz cúbica de la unidad (desigual a 1), tienen esta propiedad. ^[1]${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}})}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$${\displaystyle \mathbf {Z} [\omega ]}$${\displaystyle \omega }$

El fallo de la factorización única se mide por el número de clase , comúnmente denotado h , la cardinalidad del llamado grupo de clase ideal . Este grupo es siempre finito. El anillo de números enteros posee factorización única si y solo si es un anillo principal o, equivalentemente, si tiene número de clase 1 . Dado un cuerpo numérico, el número de clase es a menudo difícil de calcular. El problema del número de clase , que se remonta a Gauss , se ocupa de la existencia de cuerpos numéricos cuadráticos imaginarios (es decir, ) con un número de clase prescrito. La fórmula del número de clase relaciona h con otros invariantes fundamentales de . Implica la función zeta de Dedekind ζ (s), una función en una variable compleja s , definida por${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-d}}),d\geq 1}$${\displaystyle K}$_{${\displaystyle K}$}

${\displaystyle \zeta _{K}(s):=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}.}$

(El producto es sobre todos los ideales primos de , denota la norma del ideal primo o, equivalentemente, el número (finito) de elementos en el cuerpo de residuos . El producto infinito converge solo para Re ( s ) > 1, en general se necesita la continuación analítica y la ecuación funcional para la función zeta para definir la función para todos los s ). La función zeta de Dedekind generaliza la función zeta de Riemann en que ζ ( s ) = ζ( s ).${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle N({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}}$_{${\displaystyle \mathbb {Q} }$}

La fórmula del número de clase establece que ζ ( s ) tiene un polo simple en s = 1 y en este punto el residuo está dado por_{${\displaystyle K}$}

${\displaystyle {\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h\cdot \operatorname {Reg} }{w\cdot {\sqrt {|D|}}}}.}$

Aquí r ₁ y r ₂ denotan clásicamente el número de incrustaciones reales y pares de incrustaciones complejas de , respectivamente. Además, Reg es el regulador de , w el número de raíces de la unidad en y D es el discriminante de .${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

Las funciones L de Dirichlet son una variante más refinada de . Ambos tipos de funciones codifican el comportamiento aritmético de y , respectivamente. Por ejemplo, el teorema de Dirichlet afirma que en cualquier progresión aritmética${\displaystyle L(\chi ,s)}$${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K}$

${\displaystyle a,a+m,a+2m,\ldots }$

con coprimos y , hay infinitos números primos. Este teorema está implícito en el hecho de que la función de Dirichlet no es cero en . Utilizando técnicas mucho más avanzadas, incluyendo la teoría K algebraica y las medidas de Tamagawa , la teoría de números moderna se ocupa de una descripción, si bien en gran medida conjetural (véase la conjetura del número de Tamagawa ), de valores de funciones L más generales . ^[2]${\displaystyle a}$${\displaystyle m}$${\displaystyle L}$${\displaystyle s=1}$

Una base integral para un cuerpo de números de grado es un conjunto${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$

B = { b ₁ , …, b _n }

de n enteros algebraicos en tal que cada elemento del anillo de enteros de puede escribirse únicamente como una combinación Z -lineal de elementos de B ; es decir, para cualquier x en tenemos${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

x = m ₁ b ₁ + ⋯ + m _n b _n ,

donde los m _i son números enteros (ordinarios). Entonces también es cierto que cualquier elemento de puede escribirse de forma única como${\displaystyle K}$

m ₁ b ₁ + ⋯ + m _n b _n ,

donde ahora los m _i son números racionales. Los enteros algebraicos de son entonces precisamente aquellos elementos de donde los m _i son todos números enteros.${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

Trabajando localmente y utilizando herramientas como el mapa de Frobenius , siempre es posible calcular explícitamente dicha base, y ahora es estándar que los sistemas de álgebra computacional tengan programas incorporados para hacer esto.

Sea un cuerpo numérico de grado . Entre todas las bases posibles de (vistas como un espacio vectorial ), hay unas particulares conocidas como bases de potencia , que son bases de la forma${\displaystyle K}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle B_{x}=\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n-1}\}}$

para algún elemento . Por el teorema del elemento primitivo , existe tal , llamado un elemento primitivo . Si se puede elegir en y tal que es una base de como un Z -módulo libre, entonces se llama una base integral de potencia , y el cuerpo se llama un cuerpo monogénico . Un ejemplo de un cuerpo de números que no es monogénico fue dado por primera vez por Dedekind. Su ejemplo es el cuerpo obtenido al adjuntar una raíz del polinomio ^[3]${\displaystyle x\in K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle B_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle B_{x}}$${\displaystyle K}$$${\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x-8.}$$

Recordemos que cualquier extensión de campo tiene una estructura única de espacio vectorial . Usando la multiplicación en , un elemento del campo sobre el campo base puede ser representado por matrices al requerir Aquí hay una base fija para , vista como un espacio vectorial . Los números racionales están determinados de manera única por y la elección de una base ya que cualquier elemento de puede ser representado de manera única como una combinación lineal de los elementos de la base. Esta forma de asociar una matriz a cualquier elemento del campo se llama representación regular . La matriz cuadrada representa el efecto de la multiplicación por en la base dada. De ello se deduce que si el elemento de está representado por una matriz , entonces el producto está representado por el producto matricial . Las invariantes de matrices, como la traza , el determinante y el polinomio característico , dependen únicamente del elemento del campo y no de la base. En particular, la traza de la matriz se llama traza del elemento del campo y se denota , y el determinante se llama norma de x y se denota .${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle n\times n}$ $${\displaystyle A=A(x)=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}}$$$${\displaystyle xe_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbb {Q} .}$$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle K}$${\displaystyle B}$${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle BA}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\text{Tr}}(x)}$${\displaystyle N(x)}$

Ahora bien, esto se puede generalizar ligeramente considerando en cambio una extensión de campo y dando una base para . Entonces, hay una matriz asociada , que tiene traza y norma definidas como la traza y el determinante de la matriz .${\displaystyle K/L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A_{K/L}(x)}$${\displaystyle {\text{Tr}}_{K/L}(x)}$${\displaystyle {\text{N}}_{K/L}(x)}$${\displaystyle A_{K/L}(x)}$

Considere la extensión del campo donde . Entonces, tenemos una base dada por ya que cualquier puede expresarse como una combinación lineal Entonces, podemos tomar algún donde y calcular . Escribiendo esto obtenemos Podemos encontrar la matriz escribiendo la ecuación matricial asociada dando mostrando Luego podemos calcular la traza y el determinante con relativa facilidad, dando la traza y la norma.${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$${\displaystyle \theta =\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle \{1,\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3}^{2}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}\}}$$${\displaystyle x\in \mathbb {Q} (\theta )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle a+b\zeta _{3}{\sqrt[{3}]{2}}+c\zeta _{3}^{2}{\sqrt[{3}]{2^{2}}}=a+b\theta +c\theta ^{2}}$$${\displaystyle y\in \mathbb {Q} (\theta )}$${\displaystyle y=y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2}}$${\displaystyle x\cdot y}$$${\displaystyle {\begin{aligned}a(y_{0}+y_{1}\theta +y_{2}\theta ^{2})+\\b(2y_{2}+y_{0}\theta +y_{1}\theta ^{2})+\\c(2y_{1}+2y_{2}\theta +y_{0}\theta ^{2})\end{aligned}}}$$${\displaystyle A(x)}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ay_{0}+2cy_{1}+2by_{2}\\by_{0}+ay_{1}+2cy_{2}\\cy_{0}+by_{1}+ay_{2}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle A(x)={\begin{bmatrix}a&2c&2b\\b&a&2c\\c&b&a\end{bmatrix}}}$$

Por definición, las propiedades estándar de las trazas y determinantes de matrices se trasladan a Tr y N: Tr( x ) es una función lineal de x , como se expresa por Tr( x + y ) = Tr( x ) + Tr( y ) , Tr( λx ) = λ Tr( x ) , y la norma es una función homogénea multiplicativa de grado n : N( xy ) = N( x ) N( y ) , N( λx ) = λ ⁿ N( x ) . Aquí λ es un número racional, y x , y son dos elementos cualesquiera de .${\displaystyle K}$

La forma de traza derivada es una forma bilineal definida por medio de la traza, como por . La forma de traza integral , una matriz simétrica de valor entero se define como , donde b ₁ , ..., b _n es una base integral para . El discriminante de se define como det( t ). Es un entero y es una propiedad invariante del cuerpo , que no depende de la elección de la base integral.$${\displaystyle Tr_{K/L}:K\otimes _{L}K\to L}$$$${\displaystyle Tr_{K/L}(x\otimes y)=Tr_{K/L}(x\cdot y)}$$${\displaystyle {\text{Tr}}_{K/L}(x)}$${\displaystyle t_{ij}={\text{Tr}}_{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

La matriz asociada a un elemento x de también se puede utilizar para dar otras descripciones equivalentes de números enteros algebraicos. Un elemento x de es un número entero algebraico si y solo si el polinomio característico p _A de la matriz A asociada a x es un polinomio mónico con coeficientes enteros. Supóngase que la matriz A que representa un elemento x tiene entradas enteras en alguna base e . Por el teorema de Cayley-Hamilton , p _A ( A ) = 0, y se sigue que p _A ( x ) = 0, de modo que x es un número entero algebraico. A la inversa, si x es un elemento de que es una raíz de un polinomio mónico con coeficientes enteros, entonces la misma propiedad se cumple para la matriz correspondiente A . En este caso se puede demostrar que A es una matriz entera en una base adecuada de . La propiedad de ser un número entero algebraico se define de una manera que es independiente de la elección de una base en .${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

Considere , donde x satisface x ³ − 11 x ² + x + 1 = 0 . Entonces una base integral es [1, x , 1/2( x ²  + 1)], y la forma de traza integral correspondiente es${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x)}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&11&61\\11&119&653\\61&653&3589\end{bmatrix}}.}$$

El "3" en la esquina superior izquierda de esta matriz es la traza de la matriz de la función definida por el primer elemento base (1) en la representación regular de en . Este elemento base induce la función identidad en el espacio vectorial tridimensional, . La traza de la matriz de la función identidad en un espacio vectorial tridimensional es 3.${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

El determinante de esto es 1304 = 2 ³ ·163 , el discriminante de campo; en comparación, el discriminante raíz , o discriminante del polinomio, es 5216 = 2 ⁵ ·163 .

Los matemáticos del siglo XIX asumieron que los números algebraicos eran un tipo de número complejo. ^{[4] [5]} Esta situación cambió con el descubrimiento de los números p-ádicos por Hensel en 1897; y ahora es estándar considerar todas las diversas incrustaciones posibles de un campo numérico en sus diversas compleciones topológicas a la vez.${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$

Un lugar de un cuerpo numérico es una clase de equivalencia de valores absolutos en ^{[6] pág. 9.} En esencia, un valor absoluto es una noción para medir el tamaño de los elementos de . Dos de estos valores absolutos se consideran equivalentes si dan lugar a la misma noción de pequeñez (o proximidad). La relación de equivalencia entre valores absolutos está dada por alguna tal que significa que elevamos el valor de la norma a la -ésima potencia.${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle |\cdot |_{0}\sim |\cdot |_{1}}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{>0}}$$${\displaystyle |\cdot |_{0}=|\cdot |_{1}^{\lambda }}$$${\displaystyle |\cdot |_{1}}$${\displaystyle \lambda }$

En general, los tipos de lugares se dividen en tres regímenes. En primer lugar (y en su mayoría irrelevante), el valor absoluto trivial | | ₀ , que toma el valor en todos los distintos de cero . La segunda y tercera clases son lugares arquimedianos y lugares no arquimedianos (o ultramétricos) . La completitud de con respecto a un lugar se da en ambos casos tomando secuencias de Cauchy en y dividiendo secuencias nulas , es decir, secuencias tales que tiende a cero cuando tiende a infinito. Se puede demostrar que esto es un cuerpo nuevamente, la llamada completitud de en el lugar dado , denotado .${\displaystyle 1}$${\displaystyle x\in K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$$${\displaystyle |x_{n}|_{\mathfrak {p}}\to 0}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}$

Para , se dan las siguientes normas no triviales ( teorema de Ostrowski ): el valor absoluto (usual) , a veces denotado , que da lugar al cuerpo topológico completo de los números reales . Por otra parte, para cualquier número primo , el valor absoluto p -ádico se define por${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle p}$

| q | _p = p ^{− n} , donde q = p ⁿ a / b y a y b son números enteros no divisibles por p .

Se utiliza para construir los números -ádicos . A diferencia del valor absoluto habitual, el valor absoluto p -ádico se hace más pequeño cuando q se multiplica por p , lo que da lugar a un comportamiento bastante diferente de en comparación con .${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Nótese que la situación general que se considera típicamente es tomar un cuerpo de números y considerar un ideal primo para su anillo asociado de números algebraicos . Entonces, habrá un lugar único llamado lugar no arquimediano. Además, para cada incrustación habrá un lugar llamado lugar arquimediano, denotado . Esta afirmación es un teorema también llamado teorema de Ostrowski .${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle |\cdot |_{\mathfrak {p}}:K\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$${\displaystyle \sigma :K\to \mathbb {C} }$${\displaystyle |\cdot |_{\sigma }:K\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

El campo para donde es una sexta raíz fija de la unidad, proporciona un rico ejemplo para construir incrustaciones arquimedianas explícitas reales y complejas, así como incrustaciones no arquimedianas también ^{[6] pág. 15-16} .${\displaystyle K=\mathbb {Q} [x]/(x^{6}-2)=\mathbb {Q} (\theta )}$${\displaystyle \theta =\zeta {\sqrt[{6}]{2}}}$${\displaystyle \zeta }$

Aquí utilizamos la notación estándar y para el número de incrustaciones reales y complejas utilizadas, respectivamente (ver a continuación).${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$

El cálculo de los lugares arquimedianos de un cuerpo de números se realiza de la siguiente manera: sea un elemento primitivo de , con polinomio mínimo (sobre ). Sobre , generalmente ya no será irreducible, pero sus factores irreducibles (reales) son de grado uno o dos. Como no hay raíces repetidas, no hay factores repetidos. Las raíces de los factores de grado uno son necesariamente reales, y reemplazando por da una incrustación de en ; el número de tales incrustaciones es igual al número de raíces reales de . Restringiendo el valor absoluto estándar de a da un valor absoluto arquimediano en ; un valor absoluto de este tipo también se conoce como un lugar real de . Por otro lado, las raíces de los factores de grado dos son pares de números complejos conjugados , lo que permite dos incrustaciones conjugadas en . Cualquiera de este par de incrustaciones se puede utilizar para definir un valor absoluto en , que es el mismo para ambas incrustaciones ya que son conjugadas. Este valor absoluto se llama un lugar complejo de . ^{[7] [8]}${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

Si todas las raíces de arriba son reales (respectivamente, complejas) o, equivalentemente, cualquier posible incrustación está realmente forzada a estar dentro (resp. ), se llama totalmente real (resp. totalmente compleja ). ^{[9] [10]}${\displaystyle f}$${\displaystyle K\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle K}$

Para encontrar los lugares no arquimedianos, sea nuevamente y como se indicó anteriormente. En , se divide en factores de varios grados, ninguno de los cuales se repite, y cuyos grados suman , el grado de . Para cada uno de estos factores -ádicamente irreducibles , podemos suponer que satisface y obtener una incrustación de en una extensión algebraica de grado finito sobre . Un cuerpo local de este tipo se comporta de muchas maneras como un cuerpo numérico, y los números -ádicos pueden desempeñar de manera similar el papel de los racionales; en particular, podemos definir la norma y la traza exactamente de la misma manera, dando ahora funciones que mapean a . Al usar este mapa de norma -ádico para el lugar , podemos definir un valor absoluto correspondiente a un factor -ádicamente irreducible dado de grado por Un valor absoluto de este tipo se llama lugar ultramétrico , no arquimediano o -ádico de .${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle N_{f_{i}}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle m}$$${\displaystyle |y|_{f_{i}}=|N_{f_{i}}(y)|_{p}^{1/m}}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle K}$

Para cualquier lugar ultramétrico v tenemos que | x | _v ≤ 1 para cualquier x en , ya que el polinomio minimal para x tiene factores enteros, y por lo tanto su factorización p -ádica tiene factores en Z _p . En consecuencia, el término de norma (término constante) para cada factor es un entero p -ádico, y uno de estos es el entero utilizado para definir el valor absoluto para v .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Para un lugar ultramétrico v , el subconjunto de definido por | x | _v < 1 es un ideal de . Esto se basa en la ultrametricidad de v : dados x e y en , entonces${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

| x + y | _v ≤ máx (| x | _v , |y| _v ) < 1.

En realidad, es incluso un ideal primordial .${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Por el contrario, dado un ideal primo de , se puede definir una valoración discreta fijando donde n es el entero más grande tal que , la potencia n -vez del ideal. Esta valoración se puede convertir en un lugar ultramétrico. Bajo esta correspondencia, (clases de equivalencia) de lugares ultramétricos de corresponden a ideales primos de . Para , esto nos devuelve el teorema de Ostrowski: cualquier ideal primo en Z (que es necesariamente por un solo número primo) corresponde a un lugar no arquimediano y viceversa. Sin embargo, para cuerpos numéricos más generales, la situación se vuelve más complicada, como se explicará a continuación.${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=n}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}^{n}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$

Otra forma equivalente de describir lugares ultramétricos es por medio de localizaciones de . Dado un lugar ultramétrico en un cuerpo de números , la localización correspondiente es el subanillo de de todos los elementos tales que |  x  | _v ≤ 1. Por la propiedad ultramétrica es un anillo. Además, contiene . Para cada elemento x de , al menos uno de x o x ⁻¹ está contenido en . En realidad, dado que se puede demostrar que K ^× / T ^× es isomorfo a los números enteros, es un anillo de valoración discreto , en particular un anillo local . En realidad, es solo la localización de en el ideal primo , por lo que . A la inversa, es el ideal maximal de .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle T={\mathcal {O}}_{K,{\mathfrak {p}}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle T}$

En conjunto, existe una triple equivalencia entre valores absolutos ultramétricos, ideales primos y localizaciones en un cuerpo numérico.

Algunos de los teoremas básicos en la teoría de números algebraicos son los teoremas de subida y bajada , que describen el comportamiento de algún ideal primo cuando se extiende como un ideal en para alguna extensión de campo . Decimos que un ideal se encuentra sobre si . Entonces, una encarnación del teorema establece que un ideal primo en se encuentra sobre , por lo tanto, siempre hay una función sobreyectiva inducida a partir de la inclusión . Dado que existe una correspondencia entre lugares e ideales primos, esto significa que podemos encontrar lugares que dividan a un lugar que se induce a partir de una extensión de campo. Es decir, si es un lugar de , entonces hay lugares de que dividen a , en el sentido de que sus ideales primos inducidos dividen al ideal primo inducido de en . De hecho, esta observación es útil ^{[6] pág. 13} al observar el cambio de base de una extensión de campo algebraico de a una de sus completaciones . Si escribimos y escribimos para el elemento inducido de , obtenemos una descomposición de . Explícitamente, esta descomposición es además, el polinomio inducido se descompone como debido al lema de Hensel ^{[11] pág. 129-131} ; por lo tanto , además, hay incrustaciones donde es una raíz de dando ; por lo tanto, podríamos escribir como subconjuntos de (que es la finalización del cierre algebraico de ).${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle L/K}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}\subset {\mathcal {O}}_{L}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}\cap {\mathcal {O}}_{K}={\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$$${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle K}$${\displaystyle v}$${\displaystyle L}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{L})}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$$${\displaystyle K={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}}$$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle X\in K}$${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&={\frac {\mathbb {Q} [X]}{Q(X)}}\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}\\&={\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{Q(X)}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle Q(X)\in \mathbb {Q} _{p}[X]}$$${\displaystyle Q(X)=\prod _{v|p}Q_{v}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p}&\cong {\frac {\mathbb {Q} _{p}[X]}{\prod _{v|p}Q_{v}(X)}}\\&\cong \bigoplus _{v|p}K_{v}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}i_{v}:&K\to K_{v}\\&\theta \mapsto \theta _{v}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \theta _{v}}$${\displaystyle Q_{v}}$${\displaystyle K_{v}=\mathbb {Q} _{p}(\theta _{v})}$$${\displaystyle K_{v}=i_{v}(K)\mathbb {Q} _{p}}$$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

La ramificación , en términos generales, describe un fenómeno geométrico que puede ocurrir con aplicaciones finitas a uno (es decir, aplicaciones tales que las preimágenes de todos los puntos y en Y consisten solo en un número finito de puntos): la cardinalidad de las fibras f ⁻¹ ( y ) generalmente tendrá el mismo número de puntos, pero ocurre que, en puntos especiales y , este número disminuye. Por ejemplo, la aplicación${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,z\mapsto z^{n}}$

tiene n puntos en cada fibra sobre t , es decir, las n raíces (complejas) de t , excepto en t = 0 , donde la fibra consta de un solo elemento, z = 0. Se dice que la función está "ramificada" en cero. Este es un ejemplo de un recubrimiento ramificado de superficies de Riemann . Esta intuición también sirve para definir la ramificación en la teoría algebraica de números . Dada una extensión (necesariamente finita) de cuerpos de números , un ideal primo p de genera el ideal pO _K de . Este ideal puede ser o no un ideal primo, pero, según el teorema de Lasker-Noether (véase más arriba), siempre está dado por${\displaystyle K/L}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

pO = q 1 e 1 q 2 e 2 ⋯ q m e m${\displaystyle K}$

con ideales primos determinados de manera única q _i de y números (llamados índices de ramificación) e _i . Siempre que un índice de ramificación sea mayor que uno, se dice que el primo p se ramifica en .${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$

La conexión entre esta definición y la situación geométrica se establece mediante el mapa de espectros de anillos . De hecho, los morfismos no ramificados de esquemas en geometría algebraica son una generalización directa de extensiones no ramificadas de cuerpos numéricos.${\displaystyle \mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{K}\to \mathrm {Spec} {\mathcal {O}}_{L}}$

La ramificación es una propiedad puramente local, es decir, depende únicamente de las completitudes alrededor de los primos p y q _i . El grupo de inercia mide la diferencia entre los grupos de Galois locales en algún lugar y los grupos de Galois de los campos de residuos finitos involucrados.

El siguiente ejemplo ilustra las nociones introducidas anteriormente. Para calcular el índice de ramificación de , donde${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$

f ( x ) = x ³ − x − 1 = 0,

En 23, basta considerar la extensión del campo . Hasta 529 = 23 ² (es decir, módulo 529) f se puede factorizar como${\displaystyle \mathbb {Q} _{23}(x)/\mathbb {Q} _{23}}$

f ( x ) = ( x + 181) ( x ² − 181 x − 38) = gh .

Sustituyendo x = y + 10 en el primer factor g módulo 529 se obtiene y + 191, por lo que la valoración |  y  | _g para y dada por g es | −191 | ₂₃ = 1. Por otra parte, la misma sustitución en h da y ² − 161 y − 161 módulo 529. Como 161 = 7 × 23,

${\displaystyle \left\vert y\right\vert _{h}={\sqrt {\left\vert 161\right\vert }}_{23}={\frac {1}{\sqrt {23}}}}$

Dado que los valores posibles para el valor absoluto del lugar definido por el factor h no se limitan a potencias enteras de 23, sino que son potencias enteras de la raíz cuadrada de 23, el índice de ramificación de la extensión del campo en 23 es dos.

Las valoraciones de cualquier elemento de se pueden calcular de esta manera utilizando resultantes . Si, por ejemplo y = x ² − x − 1, utilizando la resultante para eliminar x entre esta relación y f = x ³ − x − 1 = 0 se obtiene y ³ − 5 y ² + 4 y − 1 = 0 . Si en cambio eliminamos con respecto a los factores g y h de f , obtenemos los factores correspondientes para el polinomio para y , y luego la valoración 23-ádica aplicada al término constante (norma) nos permite calcular las valoraciones de y para g y h (que son ambas 1 en este caso).${\displaystyle K}$

Gran parte de la importancia del discriminante reside en el hecho de que los lugares ultramétricos ramificados son todos lugares obtenidos a partir de factorizaciones en donde p divide al discriminante. Esto es cierto incluso para el discriminante polinómico; sin embargo, también es cierto lo inverso, que si un primo p divide al discriminante, entonces hay un p -lugar que se ramifica. Para este inverso se necesita el discriminante de cuerpo. Este es el teorema del discriminante de Dedekind . En el ejemplo anterior, el discriminante del cuerpo de números con x ³  −  x  − 1 = 0 es −23, y como hemos visto, el lugar 23-ádico se ramifica. El discriminante de Dedekind nos dice que es el único lugar ultramétrico que lo hace. El otro lugar ramificado proviene del valor absoluto en la incrustación compleja de .${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (x)}$${\displaystyle K}$

En general, en álgebra abstracta, las extensiones de campo K / L se pueden estudiar examinando el grupo de Galois Gal( K / L ), que consiste en automorfismos de campo que dejan elementos fijos. Como ejemplo, el grupo de Galois de la extensión de campo ciclotómica de grado n (ver arriba) está dado por ( Z / n Z ) ^× , el grupo de elementos invertibles en Z / n Z . Este es el primer paso hacia la teoría de Iwasawa .${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathrm {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )}$

Para incluir todas las extensiones posibles que tienen ciertas propiedades, el concepto de grupo de Galois se aplica comúnmente a la extensión de campo (infinita) K / K del cierre algebraico , lo que lleva al grupo de Galois absoluto G  := Gal( K / K ) o simplemente Gal( K ), y a la extensión . El teorema fundamental de la teoría de Galois vincula los campos intermedios y su cierre algebraico y los subgrupos cerrados de Gal( K ). Por ejemplo, la abelianización (el mayor cociente abeliano) G ^ab de G corresponde a un campo denominado extensión abeliana máxima K ^ab (llamada así ya que cualquier extensión posterior no es abeliana, es decir, no tiene un grupo de Galois abeliano). Por el teorema de Kronecker-Weber , la extensión abeliana máxima de es la extensión generada por todas las raíces de la unidad . Para cuerpos numéricos más generales, la teoría de cuerpos de clase , específicamente la ley de reciprocidad de Artin , da una respuesta al describir G ^ab en términos del grupo de clases ideal . También es notable el cuerpo de clase de Hilbert , la extensión de cuerpo abeliano no ramificado máxima de . Se puede demostrar que es finito sobre , su grupo de Galois sobre es isomorfo al grupo de clase de , en particular su grado es igual al número de clase h de (ver arriba).${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

En ciertas situaciones, el grupo de Galois actúa sobre otros objetos matemáticos, por ejemplo un grupo. A un grupo de este tipo también se lo denomina módulo de Galois. Esto permite el uso de la cohomología de grupos para el grupo de Galois Gal( K ), también conocido como cohomología de Galois , que en primer lugar mide la falla de exactitud al tomar Gal( K )-invariantes, pero también ofrece conocimientos (y preguntas) más profundos. Por ejemplo, el grupo de Galois G de una extensión de cuerpo L / K actúa sobre L ^× , los elementos no nulos de L . Este módulo de Galois juega un papel significativo en muchas dualidades aritméticas , como la dualidad de Poitou-Tate . El grupo de Brauer de , originalmente concebido para clasificar álgebras de división sobre , puede reformularse como un grupo de cohomología, a saber, H ² (Gal ( K , K ^× )).${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

En términos generales, el término "de lo local a lo global" se refiere a la idea de que un problema global se resuelve primero a nivel local, lo que tiende a simplificar las cuestiones. Luego, por supuesto, la información obtenida en el análisis local debe combinarse para volver a un enunciado global. Por ejemplo, la noción de haces concreta esa idea en topología y geometría .

Los cuerpos numéricos comparten una gran similitud con otra clase de cuerpos muy utilizados en geometría algebraica conocidos como cuerpos de funciones de curvas algebraicas sobre cuerpos finitos . Un ejemplo es K _p ( T ). Son similares en muchos aspectos, por ejemplo en que los anillos numéricos son anillos regulares unidimensionales, al igual que los anillos de coordenadas (cuyos cuerpos cocientes son los cuerpos de funciones en cuestión) de las curvas. Por lo tanto, ambos tipos de cuerpos se denominan cuerpos globales . De acuerdo con la filosofía expuesta anteriormente, se pueden estudiar primero a nivel local, es decir, observando los cuerpos locales correspondientes . Para cuerpos numéricos , los cuerpos locales son las terminaciones de en todos los lugares, incluidos los arquimedianos (véase análisis local ). Para cuerpos de funciones, los cuerpos locales son las terminaciones de los anillos locales en todos los puntos de la curva para cuerpos de funciones.${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

Muchos resultados válidos para cuerpos de funciones también son válidos, al menos si se reformulan adecuadamente, para cuerpos de números. Sin embargo, el estudio de cuerpos de números a menudo plantea dificultades y fenómenos que no se encuentran en los cuerpos de funciones. Por ejemplo, en los cuerpos de funciones, no existe una dicotomía entre cuerpos arquimedianos y no arquimedianos. No obstante, los cuerpos de funciones a menudo sirven como una fuente de intuición sobre lo que se debe esperar en el caso de cuerpos de números.

Una pregunta prototípica, planteada a nivel global, es si alguna ecuación polinómica tiene una solución en . Si este es el caso, esta solución también es una solución en todas las compleciones. El principio local-global o principio de Hasse afirma que para las ecuaciones cuadráticas, también se cumple lo inverso. Por lo tanto, se puede verificar si dicha ecuación tiene una solución en todas las compleciones de , lo que a menudo es más fácil, ya que se pueden usar métodos analíticos (herramientas analíticas clásicas como el teorema del valor intermedio en los lugares arquimedianos y el análisis p-ádico en los lugares no arquimedianos). Esta implicación no se cumple, sin embargo, para tipos de ecuaciones más generales. Sin embargo, la idea de pasar de datos locales a globales resulta fructífera en la teoría de campos de clases, por ejemplo, donde la teoría de campos de clases locales se usa para obtener conocimientos globales mencionados anteriormente. Esto también está relacionado con el hecho de que los grupos de Galois de las compleciones K _v se pueden determinar explícitamente, mientras que los grupos de Galois de los campos globales, incluso de son mucho menos comprendidos.${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Para reunir datos locales pertenecientes a todos los campos locales asociados a , se configura el anillo de Adele . Una variante multiplicativa se denomina ideles .${\displaystyle K}$

• Campo de funciones algebraicas

• Teorema de unidad de Dirichlet , unidad S
• Extensión Kummer
• Teorema de Minkowski , Geometría de los números
• Teorema de densidad de Chebotarev

• Grupo de clase de Ray
• Grupo de descomposición
• Campo de género

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