Dominio ideal principal

En matemáticas , un dominio ideal principal , o PID , es un dominio integral (es decir, un anillo conmutativo sin divisores de cero distintos de cero ) en el que todo ideal es principal (es decir, está formado por los múltiplos de un único elemento). Algunos autores como Bourbaki se refieren a los PID como anillos principales .

Los dominios ideales principales son objetos matemáticos que se comportan como los números enteros con respecto a la divisibilidad : cualquier elemento de un PID tiene una factorización única en elementos primos (por lo que se cumple un análogo del teorema fundamental de la aritmética ); dos elementos cualesquiera de un PID tienen un máximo común divisor (aunque puede que no sea posible encontrarlo utilizando el algoritmo de Euclides ). Si x e y son elementos de un PID sin divisores comunes, entonces cada elemento del PID puede escribirse en la forma ax + by , etc.

Los dominios ideales principales son noetherianos , integralmente cerrados , de factorización única y de Dedekind . Todos los dominios euclidianos y todos los cuerpos son dominios ideales principales.

Los dominios ideales principales aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases :

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ campos ⊃ campos algebraicamente cerrados

Algunos ejemplos incluyen:

• ${\estilo de visualización K}$: cualquier campo ,
• ${\displaystyle \mathbb {Z}}$:el anillo de los números enteros , ^[1]
• ${\estilo de visualización K[x]}$: anillos de polinomios en una variable con coeficientes en un cuerpo. (La inversa también es cierta, es decir, si es un PID entonces es un cuerpo). Además, un anillo de series de potencias formales en una variable sobre un cuerpo es un PID ya que todo ideal tiene la forma ,${\estilo de visualización A[x]}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización (x^{k})}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$: el anillo de números enteros gaussianos , ^[2]
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$(donde es una raíz cúbica primitiva de 1): los enteros de Eisenstein ,${\estilo de visualización \omega}$
• Cualquier anillo de valoración discreto , por ejemplo el anillo de números enteros p -ádicos .${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$

Ejemplos de dominios integrales que no son PID:

• ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]}$es un ejemplo de un anillo que no es un dominio de factorización único , ya que Por lo tanto, no es un dominio ideal principal porque los dominios ideales principales son dominios de factorización únicos. Además, es un ideal que no puede ser generado por un solo elemento.${\displaystyle 4=2\cdot 2=(1+{\sqrt {-3}})(1-{\sqrt {-3}}).}$${\displaystyle \langle 2,1+{\sqrt {-3}}\rangle }$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$: el anillo de todos los polinomios con coeficientes enteros. No es principal porque es un ideal que no puede generarse a partir de un único polinomio.${\displaystyle \langle 2,x\rangle }$
• ${\displaystyle K[x,y,\lpuntos ],}$ el anillo de polinomios en al menos dos variables sobre un anillo K no es principal, ya que el ideal no es principal.${\displaystyle \langle x,y\rangle }$
• La mayoría de los anillos de números enteros algebraicos no son dominios de ideales principales. Esta es una de las principales motivaciones detrás de la definición de dominios de Dedekind de Dedekind , que permite reemplazar la factorización única de elementos con la factorización única de ideales. En particular, muchos para la raíz p-ésima primitiva de la unidad no son dominios de ideales principales. ^[3] El número de clase de un anillo de números enteros algebraicos da una medida de "qué tan lejos" está el anillo de ser un dominio de ideales principales.${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _ {p}],}$ ${\displaystyle \zeta_{p},}$

El resultado clave es el teorema de estructura: si R es un dominio ideal principal y M es un módulo R finitamente generado , entonces es una suma directa de módulos cíclicos, es decir, módulos con un generador. Los módulos cíclicos son isomorfos a para algún ^[4] (observe que puede ser igual a , en cuyo caso es ).${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización R/xR}$${\displaystyle x\en R}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización 0}$${\estilo de visualización R/xR}$${\estilo de visualización R}$

Si M es un módulo libre sobre un dominio ideal principal R , entonces cada submódulo de M es nuevamente libre. ^[5] Esto no se cumple para módulos sobre anillos arbitrarios, como lo muestra el ejemplo de módulos sobre .${\displaystyle (2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

En un dominio ideal principal, dos elementos cualesquiera a , b tienen un máximo común divisor , que puede obtenerse como generador del ideal ( a , b ) .

Todos los dominios euclidianos son dominios ideales principales, pero lo inverso no es cierto. Un ejemplo de un dominio ideal principal que no es un dominio euclidiano es el anillo , ^{[6] [7]} esto fue demostrado por Theodore Motzkin y fue el primer caso conocido. ^[8] En este dominio no existen q y r , con 0 ≤ | r | < 4 , de modo que , a pesar de y tener un máximo común divisor de 2 .${\displaystyle \mathbb {Z} \izquierda[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\derecha]}$${\displaystyle (1+{\sqrt {-19}})=(4)q+r}$${\displaystyle 1+{\sqrt {-19}}}$${\estilo de visualización 4}$

Todo dominio ideal principal es un dominio de factorización único (UFD). ^{[9] [10] [11] [12]} La inversa no se cumple ya que para cualquier UFD K , el anillo K [ X , Y ] de polinomios en 2 variables es un UFD pero no es un PID. (Para probar esto, observe el ideal generado por No es el anillo completo ya que no contiene polinomios de grado 0, pero no puede ser generado por ningún elemento individual).${\displaystyle \izquierda\ángulo X,Y\derecha\ángulo .}$

1. Todo dominio ideal principal es noetheriano .
2. En todos los anillos unitarios, los ideales maximales son primos . En los dominios de ideales principales se cumple una relación casi inversa: todo ideal primo distinto de cero es maximal.
3. Todos los dominios ideales principales están integralmente cerrados .

Las tres afirmaciones anteriores dan la definición de un dominio de Dedekind y, por lo tanto, todo dominio ideal principal es un dominio de Dedekind.

Sea A un dominio íntegro. Entonces los siguientes son equivalentes.

1. A es un PID.
2. Todo ideal primo de A es principal. ^[13]
3. A es un dominio Dedekind que es un UFD.
4. Todo ideal finitamente generado de A es principal (es decir, A es un dominio de Bézout ) y A satisface la condición de cadena ascendente en ideales principales .
5. A admite una norma de Dedekind-Hasse . ^[14]

Cualquier norma euclidiana es una norma de Dedekind-Hasse; por lo tanto, (5) muestra que un dominio euclidiano es un PID. (4) se compara con:

• Un dominio integral es un UFD si y solo si es un dominio MCD (es decir, un dominio donde cada dos elementos tienen un máximo común divisor) que satisface la condición de cadena ascendente en ideales principales.

Un dominio integral es un dominio de Bézout si y solo si dos elementos cualesquiera que lo componen tienen un mcd que es una combinación lineal de los dos. Por lo tanto, un dominio de Bézout es un dominio de MCD y (4) proporciona otra prueba más de que un PID es un UFD.

• La identidad de Bézout

• Michiel Hazewinkel , Nadiya Gubareni, VV Kirichenko. Álgebras, anillos y módulos . Editores académicos de Kluwer , 2004. ISBN 1-4020-2690-0 
• John B. Fraleigh, Víctor J. Katz. Un primer curso de álgebra abstracta . Compañía editorial Addison-Wesley. 5 ed., 1967. ISBN 0-201-53467-3 
• Nathan Jacobson . Álgebra básica I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1 
• Paulo Ribenboim. Teoría clásica de los números algebraicos . Springer, 2001. ISBN 0-387-95070-2 

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