Dominio de factorización única

En matemáticas , un dominio de factorización único ( UFD ) (también llamado a veces anillo factorial siguiendo la terminología de Bourbaki ) es un anillo en el que se cumple una afirmación análoga al teorema fundamental de la aritmética . En concreto, un UFD es un dominio integral (un anillo conmutativo no trivial en el que el producto de dos elementos cualesquiera distintos de cero es distinto de cero) en el que cada elemento distinto de cero y no unidad se puede escribir como un producto de elementos irreducibles , de forma única hasta el orden y las unidades.

Ejemplos importantes de UFD son los números enteros y los anillos polinomiales en una o más variables con coeficientes que provienen de los números enteros o de un campo .

Los dominios de factorización únicos aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases :

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ campos ⊃ campos algebraicamente cerrados

Formalmente, un dominio de factorización único se define como un dominio integral R en el que cada elemento distinto de cero x de R que no sea una unidad puede escribirse como un producto finito de elementos irreducibles p _i de R :

x = p ₁ p ₂ ⋅⋅⋅ p _n con n ≥ 1

y esta representación es única en el siguiente sentido: Si q ₁ , ..., q _m son elementos irreducibles de R tales que

x = q ₁ q ₂ ⋅⋅⋅ q _m con m ≥ 1 ,

entonces m = n , y existe una función biyectiva φ  : {1, ..., n } → {1, ..., m } tal que p _i está asociada a q _{φ ( i )} para i ∈ {1, ..., n } .

La mayoría de los anillos conocidos de las matemáticas elementales son UFD:

• Todos los dominios ideales principales , y por lo tanto todos los dominios euclidianos , son UFD. En particular, los números enteros (véase también Teorema fundamental de la aritmética ), los números enteros gaussianos y los números enteros de Eisenstein son UFD.
• Si R es un dominio universal, entonces también lo es R [ X ], el anillo de polinomios con coeficientes en R . A menos que R sea un cuerpo, R [ X ] no es un dominio ideal principal. Por inducción, un anillo de polinomios en cualquier número de variables sobre cualquier dominio universal (y en particular sobre un cuerpo o sobre los enteros) es un dominio universal.
• El anillo formal de series de potencias K [[ X ₁ , ..., X _n ]] sobre un cuerpo K (o más generalmente sobre una función funcional única regular como un PID) es una función funcional única. Por otra parte, el anillo formal de series de potencias sobre una función funcional única no necesita ser una función funcional única, incluso si la función funcional única es local . Por ejemplo, si R es la localización de k [ x , y , z ]/( x ² + y ³ + z ⁷ ) en el ideal primo ( x , y , z ), entonces R es un anillo local que es una función funcional única, pero el anillo formal de series de potencias R [[ X ]] sobre R no es una función funcional única.
• El teorema de Auslander-Buchsbaum establece que cada anillo local regular es un UFD.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[e^{\frac {2\pi i}{n}}\right]}$es una UFD para todos los números enteros 1 ≤ n ≤ 22 , pero no para n = 23 .
• Mori demostró que si la compleción de un anillo de Zariski , como un anillo local noetheriano , es una UFD, entonces el anillo es una UFD. ^[1] Lo inverso de esto no es cierto: hay anillos locales noetherianos que son UFD pero cuyas compleciones no lo son. La cuestión de cuándo sucede esto es bastante sutil: por ejemplo, para la localización de k [ x , y , z ]/( x ² + y ³ + z ⁵ ) en el ideal primo ( x , y , z ) , tanto el anillo local como su compleción son UFD, pero en el ejemplo aparentemente similar de la localización de k [ x , y , z ]/( x ² + y ³ + z ⁷ ) en el ideal primo ( x , y , z ) el anillo local es una UFD pero su compleción no lo es.
• Sea un cuerpo de cualquier característica distinta de 2. Klein y Nagata demostraron que el anillo R [ X ₁ , ..., X _n ]/ Q es un UFD siempre que Q sea una forma cuadrática no singular en las X s y n sea al menos 5. Cuando n = 4 , el anillo no necesita ser un UFD. Por ejemplo, R [ X , Y , Z , W ]/( XY − ZW ) no es un UFD, porque el elemento XY es igual al elemento ZW de modo que XY y ZW son dos factorizaciones diferentes del mismo elemento en irreducibles.${\estilo de visualización R}$
• El anillo Q [ x , y ]/( x ² + 2 y ² + 1) es un UFD, pero el anillo Q ( i )[ x , y ]/( x ² + 2 y ² + 1) no lo es. Por otra parte, el anillo Q [ x , y ]/( x ² + y ² − 1) no es un UFD, pero el anillo Q ( i )[ x , y ]/( x ² + y ² − 1) sí lo es. ^[2] De manera similar, el anillo de coordenadas R [ X , Y , Z ]/( X ² + Y ² + Z ² − 1) de la esfera real bidimensional es un UFD, pero el anillo de coordenadas C [ X , Y , Z ]/( X ² + Y ² + Z ² − 1) de la esfera compleja no lo es.
• Supóngase que a las variables X _i se les asignan pesos w _i , y F ( X ₁ , ..., X _n ) es un polinomio homogéneo de peso w . Entonces, si c es coprimo con w y R es un UFD y cada módulo proyectivo finitamente generado sobre R es libre o c es 1 módulo w , el anillo R [ X ₁ , ..., X _n , Z ]/( Z ^c − F ( X ₁ , ..., X _n )) es un UFD. ^[3]

• El anillo entero cuadrático de todos los números complejos de la forma , donde a y b son enteros, no es una función funcional unitaria porque 6 se factoriza como 2×3 y como . Estas son verdaderamente factorizaciones diferentes, porque las únicas unidades en este anillo son 1 y −1; por lo tanto, ninguno de 2, 3, , y están asociados a . No es difícil demostrar que los cuatro factores también son irreducibles, aunque esto puede no ser obvio. ^[4] Véase también Entero algebraico .${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle \left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right)}$${\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle 1-{\sqrt {-5}}}$
• Para un entero positivo libre de cuadrados d , el anillo de enteros de no será un UFD a menos que d sea un número de Heegner .${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]}$
• El anillo de series de potencias formales sobre los números complejos es un DFU, pero el subanillo de aquellos que convergen en todas partes, es decir el anillo de funciones enteras en una sola variable compleja, no es un DFU, ya que existen funciones enteras con infinidad de ceros, y por tanto infinidad de factores irreducibles, mientras que una factorización DFU debe ser finita, por ejemplo:

  ${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{z^{2}} \sobre {n^{2}}}\right).}$

Algunos conceptos definidos para números enteros se pueden generalizar a UFD:

• En los UFD, cada elemento irreducible es primo . (En cualquier dominio integral, cada elemento primo es irreducible, pero la inversa no siempre se cumple. Por ejemplo, el elemento z ∈ K [ x , y , z ]/( z ² − xy ) es irreducible, pero no primo). Nótese que esto tiene una inversa parcial: un dominio que satisface la ACCP es un UFD si y solo si cada elemento irreducible es primo.
• Dos elementos cualesquiera de un UFD tienen un máximo común divisor y un mínimo común múltiplo . Aquí, un máximo común divisor de a y b es un elemento d que divide tanto a a como b , y tal que cualquier otro divisor común de a y b divide a d . Todos los máximos comunes divisores de a y b están asociados .
• Cualquier función funcional unitaria es integralmente cerrada . En otras palabras, si R es una función funcional unitaria con cuerpo cociente K y si un elemento k en K es una raíz de un polinomio mónico con coeficientes en R , entonces k es un elemento de R.
• Sea S un subconjunto multiplicativamente cerrado de un UFD A . Entonces, la localización S ⁻¹ A es un UFD. También se cumple una recíproca parcial; véase más abajo.

Un dominio integral noetheriano es un dominio funcional unitario si y solo si cada ideal primo de altura 1 es principal (se da una prueba al final). Además, un dominio de Dedekind es un dominio funcional unitario si y solo si su grupo de clases ideal es trivial. En este caso, es de hecho un dominio ideal principal .

En general, para un dominio integral A , las siguientes condiciones son equivalentes:

1. A es un UFD.
2. Todo ideal primo distinto de cero de A contiene un elemento primo . ^[5]
3. A satisface la condición de cadena ascendente sobre ideales principales (ACCP), y la localización S ⁻¹ A es una función funcional unitaria, donde S es un subconjunto multiplicativamente cerrado de A generado por elementos primos. (Criterio de Nagata)
4. A satisface ACCP y todo irreducible es primo .
5. A es atómico y todo irreducible es primo .
6. A es un dominio MCD que satisface ACCP .
7. A es un dominio de Schreier , ^[6] y atómico .
8. A es un dominio pre-Schreier y atómico .
9. A tiene una teoría de divisores en la que cada divisor es principal.
10. A es un dominio de Krull en el que cada ideal divisorial es principal (de hecho, esta es la definición de UFD en Bourbaki).
11. A es un dominio de Krull y todo ideal primo de altura 1 es principal. ^[7]

En la práctica, (2) y (3) son las condiciones más útiles para comprobar. Por ejemplo, de (2) se sigue inmediatamente que un PID es un UFD, ya que todo ideal primo es generado por un elemento primo en un PID.

Para dar otro ejemplo, considere un dominio integral noetheriano en el que cada ideal primo de altura uno es principal. Como cada ideal primo tiene una altura finita, contiene un ideal primo de altura uno (inducción sobre la altura) que es principal. Por (2), el anillo es un UFD.

• Anillo local parafactorial
• Dominio de factorización única no conmutativa