Topología de Zariski

En geometría algebraica y álgebra conmutativa , la topología de Zariski es una topología definida sobre objetos geométricos llamados variedades . Es muy diferente de las topologías que se utilizan comúnmente en análisis real o complejo ; en particular, no es Hausdorff . ^[1] Esta topología fue introducida principalmente por Oscar Zariski y luego generalizada para hacer del conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo (llamado espectro del anillo) un espacio topológico.

La topología de Zariski permite utilizar herramientas de la topología para estudiar variedades algebraicas , incluso cuando el campo subyacente no es un campo topológico . Esta es una de las ideas básicas de la teoría de esquemas , que permite construir variedades algebraicas generales uniendo variedades afines de una manera similar a la de la teoría de variedades , donde las variedades se construyen uniendo gráficos , que son subconjuntos abiertos de espacios afines reales .

La topología de Zariski de una variedad algebraica es la topología cuyos conjuntos cerrados son los subconjuntos algebraicos de la variedad. ^[1] En el caso de una variedad algebraica sobre los números complejos , la topología de Zariski es, por tanto, más burda que la topología habitual, ya que todo conjunto algebraico está cerrado para la topología habitual.

La generalización de la topología de Zariski al conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo se sigue del Nullstellensatz de Hilbert , que establece una correspondencia biyectiva entre los puntos de una variedad afín definida sobre un cuerpo algebraicamente cerrado y los ideales maximales del anillo de sus funciones regulares . Esto sugiere definir la topología de Zariski sobre el conjunto de los ideales maximales de un anillo conmutativo como la topología tal que un conjunto de ideales maximales es cerrado si y solo si es el conjunto de todos los ideales maximales que contienen un ideal dado. Otra idea básica de la teoría de esquemas de Grothendieck es considerar como puntos , no solo los puntos usuales correspondientes a ideales maximales, sino también todas las variedades algebraicas (irreducibles), que corresponden a ideales primos. Por lo tanto, la topología de Zariski en el conjunto de ideales primos (espectro) de un anillo conmutativo es la topología tal que un conjunto de ideales primos está cerrado si y sólo si es el conjunto de todos los ideales primos que contienen un ideal fijo.

En geometría algebraica clásica (es decir, la parte de la geometría algebraica en la que no se utilizan esquemas , que fueron introducidos por Grothendieck alrededor de 1960), la topología de Zariski se define sobre variedades algebraicas . ^[2] La topología de Zariski, definida sobre los puntos de la variedad, es la topología tal que los conjuntos cerrados son los subconjuntos algebraicos de la variedad. Como las variedades algebraicas más elementales son las variedades afines y proyectivas , es útil hacer esta definición más explícita en ambos casos. Suponemos que estamos trabajando sobre un cuerpo fijo, algebraicamente cerrado k (en geometría algebraica clásica, k suele ser el cuerpo de los números complejos ).

En primer lugar, definimos la topología en el espacio afín formado por las n -tuplas de elementos de k . La topología se define especificando sus conjuntos cerrados, en lugar de sus conjuntos abiertos, y estos se toman simplemente como todos los conjuntos algebraicos en Es decir, los conjuntos cerrados son aquellos de la forma donde S es cualquier conjunto de polinomios en n variables sobre k . Es una verificación sencilla demostrar que:${\displaystyle \mathbb {A} ^{n},}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}.}$$${\displaystyle V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ para todo }}f\in S\}}$$

• V ( S ) = V (( S )), donde ( S ) es el ideal generado por los elementos de S ;
• Para cualesquiera dos ideales de polinomios I , J , tenemos
  1. ${\displaystyle V(I)\cup V(J)\,=\,V(IJ);}$
  2. ${\displaystyle V(I)\cap V(J)\,=\,V(I+J).}$

De ello se deduce que las uniones finitas y las intersecciones arbitrarias de los conjuntos V ( S ) también son de esta forma, de modo que estos conjuntos forman los conjuntos cerrados de una topología (equivalentemente, sus complementos, denotados D ( S ) y llamados conjuntos abiertos principales , forman la topología misma). Esta es la topología de Zariski en${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}.}$

Si X es un conjunto algebraico afín (irreducible o no), entonces la topología de Zariski sobre él se define simplemente como la topología del subespacio inducida por su inclusión en algún conjunto . De manera equivalente, se puede comprobar que:${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}.}$

• Los elementos del anillo de coordenadas afines actúan como funciones en X del mismo modo que los elementos de actúan como funciones en ; aquí, I ( X ) es el ideal de todos los polinomios que se desvanecen en X .$${\displaystyle A(X)\,=\,k[x_{1},\puntos ,x_{n}]/I(X)}$$${\displaystyle k[x_{1},\puntos ,x_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$
• Para cualquier conjunto de polinomios S , sea T el conjunto de sus imágenes en A ( X ). Entonces el subconjunto de X (estas notaciones no son estándar) es igual a la intersección con X de V(S) .$${\displaystyle V'(T)=\{x\en X\mid f(x)=0,\para todo f\en T\}}$$

Esto establece que la ecuación anterior, claramente una generalización de la definición de los conjuntos cerrados anterior , define la topología de Zariski en cualquier variedad afín.${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$

Recordemos que el espacio proyectivo n -dimensional se define como el conjunto de clases de equivalencia de puntos distintos de cero en al identificar dos puntos que difieren en un múltiplo escalar en k . Los elementos del anillo polinómico no son generalmente funciones en porque cualquier punto tiene muchos representantes que dan valores diferentes en un polinomio; sin embargo, para polinomios homogéneos la condición de tener valor cero o distinto de cero en cualquier punto proyectivo dado está bien definida ya que el múltiplo escalar se factoriza a partir del polinomio. Por lo tanto, si S es cualquier conjunto de polinomios homogéneos podemos hablar razonablemente de ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}}$${\displaystyle k[x_{0},\puntos ,x_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.}$

Los mismos hechos que arriba se pueden establecer para estos conjuntos, excepto que la palabra "ideal" debe ser reemplazada por la frase " ideal homogéneo ", de modo que V ( S ), para conjuntos S de polinomios homogéneos, definen una topología en Como arriba los complementos de estos conjuntos se denotan D ( S ), o, si es probable que resulte en confusión, D ′ ( S ).${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}.}$

La topología proyectiva de Zariski se define para conjuntos algebraicos proyectivos de la misma manera que la topología afín se define para conjuntos algebraicos afines, tomando la topología de subespacios. De manera similar, se puede demostrar que esta topología se define intrínsecamente por conjuntos de elementos del anillo de coordenadas proyectivas, mediante la misma fórmula que la anterior.

Una propiedad importante de las topologías de Zariski es que tienen una base que consiste en elementos simples, a saber, los D ( f ) para polinomios individuales (o para variedades proyectivas, polinomios homogéneos) f . Que estos forman una base se deduce de la fórmula para la intersección de dos conjuntos cerrados de Zariski dada anteriormente (aplíquela repetidamente a los ideales principales generados por los generadores de ( S ) ). Los conjuntos abiertos en esta base se denominan conjuntos abiertos distinguidos o básicos . La importancia de esta propiedad resulta en particular de su uso en la definición de un esquema afín .

Por el teorema de la base de Hilbert y el hecho de que los anillos noetherianos son cerrados bajo cocientes , todo anillo de coordenadas afín o proyectivo es noetheriano. En consecuencia, los espacios afines o proyectivos con la topología de Zariski son espacios topológicos noetherianos , lo que implica que cualquier subconjunto cerrado de estos espacios es compacto .

Sin embargo, a excepción de los conjuntos algebraicos finitos, ningún conjunto algebraico es jamás un espacio de Hausdorff . En la antigua literatura topológica, se consideraba que "compacto" incluía la propiedad de Hausdorff, y esta convención todavía se respeta en geometría algebraica; por lo tanto, la compacidad en el sentido moderno se llama "cuasicompacidad" en geometría algebraica. Sin embargo, dado que cada punto ( a ₁ , ..., a _n ) es el conjunto cero de los polinomios x ₁ - a ₁ , ..., x _n - a _n , los puntos son cerrados y, por lo tanto, cada variedad satisface el axioma T ₁ .

Toda función regular de variedades es continua en la topología de Zariski. De hecho, la topología de Zariski es la topología más débil (con el menor número de conjuntos abiertos) en la que esto es cierto y en la que los puntos son cerrados. Esto se verifica fácilmente observando que los conjuntos cerrados de Zariski son simplemente las intersecciones de las imágenes inversas de 0 por las funciones polinómicas, consideradas como funciones regulares en${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}.}$

En la geometría algebraica moderna, una variedad algebraica se representa a menudo por su esquema asociado , que es un espacio topológico (equipado con estructuras adicionales) que es localmente homeomorfo al espectro de un anillo . ^[3] El espectro de un anillo conmutativo A , denotado Spec A , es el conjunto de los ideales primos de A , equipado con la topología de Zariski , para la cual los conjuntos cerrados son los conjuntos

${\displaystyle V(I)=\{P\in \operatorname {Spec} A\mid P\supseteq I\}}$

donde yo es un ideal.

Para ver la conexión con la imagen clásica, note que para cualquier conjunto S de polinomios (sobre un cuerpo algebraicamente cerrado), se sigue del Nullstellensatz de Hilbert que los puntos de V ( S ) (en el sentido antiguo) son exactamente las tuplas ( a ₁ , ..., a _n ) tales que el ideal generado por los polinomios x ₁ − a ₁ , ..., x _n − a _n contiene a S ; además, estos son ideales maximales y por el Nullstellensatz "débil", un ideal de cualquier anillo de coordenadas afines es maximal si y solo si es de esta forma. Por lo tanto, V ( S ) es "lo mismo que" los ideales maximales que contienen a S . La innovación de Grothendieck al definir Spec fue reemplazar los ideales maximales con todos los ideales primos; en esta formulación es natural simplemente generalizar esta observación a la definición de un conjunto cerrado en el espectro de un anillo.

Otra forma, quizás más parecida a la original, de interpretar la definición moderna es darse cuenta de que los elementos de A pueden ser considerados en realidad como funciones sobre los ideales primos de A ; es decir, como funciones sobre Spec A . Simplemente, cualquier ideal primo P tiene un campo de residuos correspondiente , que es el campo de fracciones del cociente A / P , y cualquier elemento de A tiene una reflexión en este campo de residuos. Además, los elementos que están realmente en P son precisamente aquellos cuya reflexión se anula en P . Así que si pensamos en la función, asociada a cualquier elemento a de A :

${\displaystyle e_{a}\colon {\bigl (}P\in \operatorname {Spec} A{\bigr )}\mapsto \left({\frac {a\;{\bmod {P}}}{1}}\in \operatorname {Frac} (A/P)\right)}$

("evaluación de a "), que asigna a cada punto su reflejo en el campo de residuos allí, como una función de Spec A (cuyos valores, es cierto, se encuentran en campos diferentes en puntos diferentes), entonces tenemos

${\displaystyle e_{a}(P)=0\Leftrightarrow P\in V(a)}$

En términos más generales, V ( I ) para cualquier ideal I es el conjunto común en el que se anulan todas las "funciones" en I , lo que es formalmente similar a la definición clásica. De hecho, concuerdan en el sentido de que cuando A es el anillo de polinomios sobre algún cuerpo algebraicamente cerrado k , los ideales máximos de A se identifican (como se discutió en el párrafo anterior) con n -tuplas de elementos de k , sus cuerpos de residuos son simplemente k , y las aplicaciones de "evaluación" son en realidad evaluaciones de polinomios en las n -tuplas correspondientes. Dado que, como se muestra arriba, la definición clásica es esencialmente la definición moderna con solo ideales máximos considerados, esto muestra que la interpretación de la definición moderna como "conjuntos cero de funciones" concuerda con la definición clásica donde ambas tienen sentido.

De la misma manera que Spec reemplaza a las variedades afines, la construcción Proj reemplaza a las variedades proyectivas en la geometría algebraica moderna. Al igual que en el caso clásico, para pasar de la definición afín a la proyectiva sólo necesitamos reemplazar "ideal" por "ideal homogéneo", aunque existe una complicación relacionada con el "ideal maximal irrelevante", que se analiza en el artículo citado.

• Spec k , el espectro de un campo k es el espacio topológico con un elemento.
• Spec , el espectro de los números enteros tiene un punto cerrado para cada número primo p correspondiente al ideal maximalista , y un punto genérico no cerrado (es decir, cuyo cierre es todo el espacio) correspondiente al ideal cero (0). Por lo tanto, los subconjuntos cerrados de Spec son precisamente todo el espacio y las uniones finitas de puntos cerrados.${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (p)\subseteq \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Spec k [ t ], el espectro del anillo de polinomios sobre un cuerpo k : se sabe que dicho anillo de polinomios es un dominio ideal principal y los polinomios irreducibles son los elementos primos de k [ t ]. Si k es algebraicamente cerrado , por ejemplo el cuerpo de números complejos , un polinomio no constante es irreducible si y solo si es lineal, de la forma t − a , para algún elemento a de k . Entonces, el espectro consiste en un punto cerrado para cada elemento a de k y un punto genérico, correspondiente al ideal cero, y el conjunto de los puntos cerrados es homeomorfo con la línea afín k equipada con su topología de Zariski. Debido a este homeomorfismo, algunos autores usan el término línea afín para el espectro de k [ t ]. Si k no es algebraicamente cerrado, por ejemplo el campo de los números reales , el panorama se complica debido a la existencia de polinomios irreducibles no lineales . En este caso, el espectro consta de un punto cerrado para cada polinomio irreducible mónico , y un punto genérico correspondiente al ideal cero. Por ejemplo, el espectro de consta de los puntos cerrados ( x − a ), para a en , los puntos cerrados ( x ² + px + q ) donde p , q están en y con discriminante negativo p ² − 4 q < 0, y finalmente un punto genérico (0). Para cualquier campo, los subconjuntos cerrados de Spec k [ t ] son ​​uniones finitas de puntos cerrados, y todo el espacio. (Esto resulta del hecho de que k [ t ] es un dominio de ideales principales , y, en un dominio de ideales principales, los ideales primos que contienen un ideal son los factores primos de la factorización prima de un generador del ideal).${\displaystyle \mathbb {R} [t]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

El cambio más dramático en la topología desde la imagen clásica a la nueva es que los puntos ya no son necesariamente cerrados; al expandir la definición, Grothendieck introdujo puntos genéricos , que son los puntos con cierre máximo, es decir, los ideales primos mínimos . Los puntos cerrados corresponden a ideales máximos de A. Sin embargo, el espectro y el espectro proyectivo siguen siendo espacios T ₀ : dados dos puntos P , Q que son ideales primos de A , al menos uno de ellos, digamos P , no contiene al otro. Entonces D ( Q ) contiene a P pero, por supuesto, no a Q .

Tal como en la geometría algebraica clásica, cualquier espectro o espectro proyectivo es (cuasi)compacto, y si el anillo en cuestión es noetheriano entonces el espacio es un espacio topológico noetheriano. Sin embargo, estos hechos son contraintuitivos: normalmente no esperamos que los conjuntos abiertos, distintos de los componentes conexos , sean compactos, y para las variedades afines (por ejemplo, el espacio euclidiano) ni siquiera esperamos que el espacio mismo sea compacto. Este es un ejemplo de la inadecuación geométrica de la topología de Zariski. Grothendieck resolvió este problema definiendo la noción de propiedad de un esquema (en realidad, de un morfismo de esquemas), que recupera la idea intuitiva de compacidad: Proj es propia, pero Spec no lo es.

• Espacio espectral